2020高考试题分类解析(排列组合、二项式定理与概率)
选择题
1.
（全国卷Ⅱ）10()x -
的展开式中64x y 项的系数是(A )
(A) 840
(B) 840- (C) 210 (D) 210-
2.（全国卷Ⅲ）在(x?1)(x+1)8的展开式中x 5的系数是(B)
（A ）?14 （B ）14 （C ）?28 （D ）28
3.（北京卷）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为(A )
（A ）124414
12
8
C C C （B ）124414128
C A A （C ）1244141283
3
C C C A （
D ）12443
141283C C C A 4.（北京卷）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有(B)
（A ）144
4C C 种 （B ）1444C A 种 （C ）44C 种 （D ）44A 种 5.（天津卷）某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击,此人恰有两次击中目标的概率为( B) A ．
125
81 B ．
125
54 C ．
125
36 D ．
125
27 6.（天津卷）某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（ A A ．
125
81 B ．
125
54 C ．
125
36 D ．
125
27 7.（福建卷）从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四
个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，
且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有
（ B ）
A ．300种
B ．240种
C ．144种
D ．96种
8.（广东卷）先后抛掷两枚均匀的正方体股子（它们的六个面分别标有点数１、２、３、４、５、６），股子朝上的面的点数分别为，则的概率为(C) （Ａ）1
6
（Ｂ）
536（Ｃ）112（Ｄ）12
9．（湖北卷）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影
票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ D ）
A ．168
B ．96
C ．72
D ．144
10．（湖北卷）以平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为
（A ）
A ．
385367 B ．385
376
C ．
385
192
D ．
385
18
11.（湖南卷）4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（B ） A ．48 B ．36 C ．24 D ．18
12.（江苏卷）设k=1,2,3,4,5,则(x+2)5的展开式中x k 的系数不可能是( C)
( A ) 10 ( B ) 40 ( C ) 50 ( D )80
13.（江苏卷）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 ( B)
（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0
14．（江西卷）123)(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有
（ B ）
A ．4项
B ．3项
C ．2项
D ．1项
15.（江西卷）将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一
组，则不同分组方法的种数为（ A ）
A ．70
B ．140
C ．280
D ．840
16.（江西卷）将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三
个数都成等差数列的概率为（ A ） A ．
56
1
B ．
70
1 C ．
336
1 D ．
420
1 17.（辽宁卷）设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ D ）
A ．10
100
610
480C C C ? B ．10
100
410
680C C C ? C ．10
100
620
480C C C ? D ．10
100
420
680C C C ? 18.（浙江卷）在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是
( C )
(A) －5 (B) 5 (C) －10 (D) 10
19.(山东)
如果3n
x ??
?
的展开式中各项系数之和为128，则展开式
中31
x
的系数是（C ） （A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）
21-
20. (山东)10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是（D ）
（A ）310
（B ）112
（C ）12
（D ）
1112
21.(重庆卷)8. 若n
x x ???
?
?-12展开式中含21x 项的系数与含41x 项的系数
之比为-5，则n 等于( B ) (A) 4；
(B) 5；
(C) 6；
(D) 10。
22. (重庆卷)在(1+2x )n 展开式中含x 3的项的系数等于含x 的项的系数的8倍，则n 等于( A) (A) 5；
(B) 7；
(C) 9；
(D) 11。
填空题： 1.（全国卷Ⅰ）9)12(x
x -的展开式中，常数项为672 。（用
数字作答）
2.(全国卷Ⅰ)8)1(x
x -的展开式中，常数项为 70 。（用数字作答）
3.(全国卷Ⅰ)从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 100 种。
4.（全国卷Ⅱ）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 192 个.
5.（全国卷Ⅲ）
设l 为平面上过点()01，的直线，l 的斜率等可能地取
022
--
，ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E ξ=
7
4
。 6.（北京卷）
6
(x
-的展开式中的常数项是 15 （用数字作答）
7.（上海卷）某班有50名学生，其中 15人选修A 课程，另外35人选修B 课程．从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的慨率是
7
3
．(结果用分数表示) 8.（上海卷）在10)(a x -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =-2
1 __________。
9.（天津卷）二项式（3x －
x
1）10的展开式中常数项为
__210___________（用数字作答）。
10.（天津卷）设*∈N n ,则=++++-1
2321666n n n n n n
C C C C Λ()
176
1-n
（11）（天津卷）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
则该公司一年后估计可获收益的期望是4760___________（元）
12．（福建卷）（6)12x
x -展开式中的常数项是 240 （用数字作答）.
13（广东卷）已知5(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数与45()4
x +的展开式中3x 的系数相等，则cos θ＝________2
2
±
_____． 14．（湖北卷）843)1()2
(x
x x
x ++-的展开式中整理后的常数项等于
38 .
15．（湖南卷）一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲．乙．丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲．乙．丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 5600 件产品.
16．（湖南卷）在（1＋x ）＋（1＋x ）2＋……＋（1＋x ）6的展开式中，x 2项的系数是35 .（用数字作答） 17．（辽宁卷）n x x )2(2
12
1
--的展开式中常数项是－160 .
18．（辽宁卷）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有576 个.（用数字作答）19．（浙江卷）从集合{ P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任限2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_5832________．(用数字作答)．
20．（浙江卷）从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任限2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是__8424_______．(用数字作答)．
21.(重庆卷)若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为_______17
___。
45
解答题：
1.(全国卷Ⅰ)9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；
（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；
（Ⅲ）求有坑需要补种的概率。
（精确到01.0）
（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为8
1
)5.01(3=-，所以甲坑不需要补种的概率为 .875.08
7811==-
（Ⅱ）解：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 .041.0)8
1(8721
3=??C
（Ⅲ）解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为3)8
7(，
所以有坑需要补种的概率为 .330.0)8
7(13=-
解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为
,287.0)8
7(8121
3=??C
恰有2个坑需要补种的概率为 ,041.08
7)8
1(223=??C 3个坑都需要补种的概率为 .002.0)8
7()81
(0333=??C
2.(全国卷Ⅰ)9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望。（精确到01.0）
20．本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 满分12分.
（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为31(10.5)8
-=
所以甲坑不需要补种的概率为 .878
11=-
3个坑都不需要补种的概率,670.0)87
()81(303=??οC
恰有1个坑需要补种的概率为,287.0)87(8121
3=??C
恰有2个坑需要补种的概率为22317
()0.041,88C ??=
3个坑都需要补种的概率为330317
()()0.002.88
C ??=
补种费用ξ的分布为
ξ的数学期望为
00.670100.287200.041300.002 3.75E ξ=?+?+?+?=
3.（全国卷Ⅱ）（本小题满分12分）
甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数,求ξ的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）
解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6=0.4
比赛三局结束有两种情况，甲队胜3局或乙队胜3局，因而 334.06.0)3(+==ξp =0.28
比赛4局结束有两种情况：前3局甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜，因而
3744.0)4.06.04.06.04.06.0()4(2223=??+???==c p ξ
比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局，乙队胜2局，第
5
局
甲
胜
或
乙
胜
，
因
而
，
3456.0)4.06.04.06.04.06.0()5(222224=??+??==c p ξ
所以ξ的概率分布表如下
所以ξ的数学期望是E ξ=3×0.28+4×0.3744+5×
0.3456=4.0656 4.（全国卷Ⅱ）)
甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6．本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响，求：
(Ⅰ) 前三局比赛甲队领先的概率； (Ⅱ) 本场比赛乙队以3:2取胜的概率． (精确到0.001)
解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6=0.4
(I)记“甲队胜三局”为事件A ，“甲队胜二局”为事件B ，则
3223()0.60.216,()0.60.40.432P A P B C ===??=
∴前三局比赛甲队领先的概率为P(A)+P(B)=0.648
(II)若本场比赛乙队3：2取胜，则前四局双方应以2：2战平，且第五局乙队胜。
所以，所求事件的概率为22240.40.60.40.138C ???= 5.（全国卷Ⅲ）
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.
解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A 、B 、C ，……1分
则A 、B 、C 相互独立， 由题意得：
P （AB ）=P （A ）P （B ）=0.05 P （AC ）=P （A ）P （C ）=0.1
P （BC ）=P （B ）P （C ）=0.125…………………………………………………………4分
解得：P （A ）=0.2；P （B ）=0.25；P （C ）=0.5
所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分
（Ⅱ）∵A 、B 、C
相互独立，∴A B C 、、
相互独立，……………………………………7分
∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为
()()()()0.80.750.50.3P A B C P A P B P C ??==??= (10)
分
∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为
1()10.30.7p P A B C =-??=-= (12)
分
6.（北京卷）（I ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E ξ；
（II ）求乙至多击中目标2次的概率； （III ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率． （17）（共13分）
解：（I ）P (ξ＝0)＝03311
()28C =，P (ξ＝1)＝1331
3()28C =，
P (ξ＝2)＝23313()28
C =， P (ξ＝3)＝33311
()28
C =，
ξ的概率分布如下表：
ξ 0
1
2
3
P
8
1
8
3 8
3 8
1
E ξ＝1
3310123 1.58888
?+?+?+?=, （或E ξ=3·21=1.5）；
（II ）乙至多击中目标2次的概率为1－3332()3C =19
27
；
（III ）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B 1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2， B 1，B 2为互斥事件．
1231121
()()()8278924
P A P B P B =+=?+?=
所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为
124
. 7（北京卷）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为
21
，乙每次击中目标的概率3
2， （I ）甲恰好击中目标的2次的概率； （II ）乙至少击中目标2次的概率；
（III ）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率． （18）（共13分）
解：（I ）甲恰好击中目标的2次的概率为23313()2
8
C = （II ）乙至少击中目标2次的概率为2233332
1220()()()3
3
3
27
C C ?+=
； （III ）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A ，乙恰击中目标2次且甲恰击中目标0次为事件B 1，乙恰击中目标3次且甲恰击中目标1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1，B 2为互斥事件．
22033313
12333321121()()()()()()()33232P A P B P B C C C C =+=??+?=1111896
+=.
所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为16
.
8．（福建卷）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为5
22
1与. （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率； （Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.
解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命
中”为事件B ，则
.5
3)(,2
1)(,5
2)(,2
1)(====P P B P A P
∵“甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为B A B A ?+? .2
15
2215
321)()()(=?+?=?+?=?+?∴B A P B A P B A B A P
答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为.2
1 （Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概
率为
100
95
3
532121=
???=P ∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率 .100
91100911=-
=-=P P 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为
.100
91 9.（福建卷）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为5
221与，投中得1分，投不中得0分.
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期
望；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；
解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命
中”为事件B ，则
.5
3)(,2
1)(,5
2)(,2
1)(====P P B P A P
甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，则ξ概率分布为：
E ξ=0×10+1×2+2×5=10
答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为
10
9
. （Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概
率为
100
95
3532121=
???=P ∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率 .100
91100911=-
=-=P P 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为
.100
91 10.（广东卷）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为ｓ：ｔ．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n 次．以ξ表示取球结束
时已取到白球的次数． （Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望． 解：(I)ξ的可能取值为：0,1,2,…,n ξ的分布列为
(II) ξ的数学希望为
n
n
n n t s t n t s st n t s st t s st t s s E )()()1(...)(2)(1011322+?++?-+++?++?++?=--ξ…(1) 1
1
1113322)()()1()()2(...)(2)(++---++
+-++-+++++=+n n n n n n t s nt t s st n t s st n t s st t s st E t s t ξ…(2) (1) －(2)得
n
n
n n n n t s nt t s t n t s s t s t E )
()()1()(11+++--+-=--ξ 11．（湖北卷）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p 1，寿命为2年以上的概率为p 2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.
（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；
（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；
（Ⅲ）当p 1=0.8，p 2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.
解：（I ）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为,51p 需要更换2只灯泡的概率为
;)1(213125p p C -
（II ）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p 1）
2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为
p 1(1-p 2)，故所求的概率为
);1()1(2121p p p p -+-=
（III ）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的
概率为p 5（其中p 为（II ）中所求，下同）换4只的概率为4
15
p C （1-p ），故至少换4只灯泡的概率为
.
34.042.
34.04.06.056.06.07.08.02.0,3.0,8.0).
1(4
5
32214
1553只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当=??+=∴=?+===-+=p p p p p p C p p
12.（湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，
并求李明在一年内领到驾照的概率. 解：ξ的取值分别为1，2，3，4.
1=ξ，
表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P （1=ξ）=0.6.
2=ξ，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故
.28.07.0)6.01()2(=?-==ξP
ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故
.096.08.0)7.01()6.01()3(=?-?-==ξP
ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故
.024.0)8.01()7.01()6.01()4(=-?-?-==ξP
∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为
∴ξ的期望E ξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544. 李明在一年内领到驾照的概率为
1－(1－0.6)(1－0.7)(1-0.8)(1－0.9)=0.9976.
13.（湖南卷）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.
（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；
（Ⅱ）记“函数f (x )＝x 2－3ξx ＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率.
解：（I ）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览
丙景点”
为事件A 1，A 2，A 3. 由已知A 1，A 2，A 3相互独立，P （A 1）=0.4，P （A 2）=0.5， P （A 3）=0.6.
客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有
游览的景点数的可能取 值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.
P （ξ=3）=P （A 1·A 2·A 3）+ P （321A A A ??）
= P （A 1）P （A 2）P （A 3）+P （)()()321A P A P A ） =2×0.4×0.5×0.6=0.24，
P （ξ=1）=1－
所以ξ
E ξ（Ⅱ）解法一 因为,4
91)23()(22ξξ-+-=x x f
所以函数),2
3[13)(2+∞+-=ξξ在区间x x x f 上单调递增， 要使),2[)(+∞在x f 上单调递增，当且仅当.3
4,22
3≤≤ξξ即 从而.76.0)1()3
4
()(===≤=ξξP P A P 解法二：ξ的可能取值为1，3.
当ξ=1时，函数),2[13)(2+∞+-=在区间x x x f 上单调递增， 当ξ=3时，函数),2[19)(2+∞+-=在区间x x x f 上不单调递增.0 所以.76.0)1()(===ξP A P
14.（江苏卷）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32
和4
3.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;
(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;
(Ⅲ)假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?
20、（1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A ，则其
对立事件A 为“4次均击中目标”，则()()
4
26511381P A P A ??=-=-= ???
（2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则
()2
23
234
42131133448
P B C C ??
????=?????= ?
? ???
????
（3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。
故()22123313145444441024
P C C ??????=+????=?? ? ?????????
15.（江西卷）A 、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数.
（1）求ξ的取值范围；
（2）求ξ的数学期望E ξ.
解：（1）设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则??
?
??≤≤=+=-915||ξξn m n m ，
可得：
5,00,5,5;6,11,6,7;7,22,7,9;:5,7,9.
m n m n m n m n m n m n ξξξξ===============当或时当或时当或时所以的所有可能取值为
（2）517
512115(5)2();(7)2();23216264
P P C ξξ==?=====
1555
(9)1;
166464
1555275
579.
16646432
P E ξξ==--==?+?+?=
16.（江西卷）A 、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率.
解：（1）设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数，
设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则||5
17m n m n ξξ-=??
+=??≤≤?
，可得：
5,00,5,5;6,11,6,7;:5,7.
m n m n m n m n ξξξ==========当或时当或时所以的取值为
517
511259(7)(5)(7)2()2().22326464
P P P C ξξξ≤==+==?+=+=
17．（辽宁卷）
某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A 、B
排列组合与二项式定理知识点
排列组合与二项式定理知识点
第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．． 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式： ) ,,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 1 1 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C
2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排 列个数等于! !...!!2 1 k n n n n n =. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3 ! 2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列 个数1!3!3==n . 三、组合. 1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式： )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -= +--==Λ ⑶两个公式：①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ ①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合. （或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一
排列组合与二项式定理精华总结
排列组合 知识点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理：分类相加，分步相乘。 二、排列：元素是有顺序的 （1）：对排列定义.：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （2）：排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 1 1 --=m n m n nA A 规定10==n n n C C （3）： 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中有限重复数为n 1、n 2……n k ，且 n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 三、组合：元素没有顺序之分 （1）：组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. （2）：组合数公式：)! (!!! )1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ （3）：两个性质：①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ （4）：常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如： )!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n Λ（利用! 1 )!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：4 13353433+=+++n n C C C C C Λ. vi. 构造二项式. 如：n n n n n n C C C C 222120)()()(=+++Λ 证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为 2 2120022110) ()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=?++?+?+?--ΛΛ，而右边n n C 2= 四、排列、组合综合 （1）直接法 （2）间接法 （3）捆绑法 （4）插空法 （5）占位法 （6）调序法 （7）平均法 （8）隔板法 （9）定位问题 （10）指定元素排列组合问题 五、二项式定理. 1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+--ΛΛ. 展开式具有以下特点：
排列组合二项式定理知识点
排列组合项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以．有．重．复．元．素．的排列. 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以 从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m- m?…m = m n..例
3! 1 . 3! 如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ (解: m n 种) 二、排列. 1.(1)对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取 m (贰n )个元素，按照一定顺序 排成一列， 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺 序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (mcn)个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个排列.从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用 符号表 示. ⑷排列数公式： 注意：n n! (n 1)! n!规定 0! = 1 m m m m 1 m m 1 m m 1 On, A n 1 A n A m C n A n mA n A n nA n 1 /规^定 C n C n 1 2.含有可重元素的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 S 有k 个不同元素a 1, a 2,……a n 其中限重复数为n 1、n ..... n k ,且n = n 计尊+ .. n k ,则S 的排列 例如：已知数字3、2、2,求其排列个数n 喈3又例如：数字5、5、5、 求其排列个数？其排列个数 个数等于n n! n !n 2!...n k
(最新经营)排列组合二项式定理与概率及统计
主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙 一、复习策略 排列与组合是高中数学中从内容到方法均比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题均有特殊性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误，且且结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内于联系和区别，科学周全的思考、分析问题． 二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点． 概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律． 纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活，涉及知识点均于两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题也于高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年均有一道解答题，占12分左右． 排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)
以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.（4）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；（5）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”； 于求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答． 二、典例剖析 题型一：排列组合应用题 解决此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件． 例1、（08安徽理12）12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．B．C．D．
排列组合与二项式定理的综合练习题
排列组合与二项式定理的综合应用 1．已知（1+a x ）(1+x)5的展开式中x 2 的系数为5，则a = （A ）-4 （B ）-3 （C ）-2 （D ）-1 2．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则：等于（） A ．55 B ．-l C ．52 D ．52- 3，则的值为 A ． B ．C 4．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（） A.36种 B.30种 C.24种 D.6种 5．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 6．()()8 x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案） 7．(x-2)6的展开式中3x 的系数为.（用数字作答） 8．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝________. 9．有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数： (1)选其中5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻； (6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人． 10．7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？ (1)其中甲不站排头，乙不站排尾； (2)其中甲、乙、丙3人必须相邻； (3)其中甲、乙、丙3人两两不相邻； (4)其中甲、乙中间有且只有1人； (5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列． 2312420)()(a a a a a +-++16-16
排列组合二项式定理与概率统计
排列组合二项式定理与概率统计 重点知识回顾 1. 排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关, 分类计数原理与分类有关 ⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合, ⑶排列与组合的主要公式 _ r — r+1 项是 T r+1 =C n a n r b r . ⑵二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1项T r+1=c n a n —r b r （r=0,1,…叫）做二项展开式的通项公式。 ⑶二项式系数的性质 ① 在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即 c n = c n r （r=0,1,2，…,n ）. 项和第n 3项）的二项式系数相等，并且最大，其值为 2 A n = n! =n(n — 1)(n — 2) ....... 2 ? 1. ②组合数公式： c m n! n(n 1) (n m 1) (m < n) m!( n m)! m (m 1) 2 1 ③组合数性质： ①c m ㈡ m (m < n) ② c 0 c ； c n 2 c ； 2n ③ Cn Cn c 4 C n c 1 c 3 C n C n 2n 1 2.二项式定理 ⑴二项式定理 (a +b)n =C 0a n +c n a n — 1 r b+ …+C n a n r b r +… + c n b n ,其中各项系数就是组合数c n ，展开式共有n+1项，第 问题?区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关, 与顺序有关的属于排列问题, 与顺序无关的属于组合问题 求共有多少种方法的 ①排列数公式: A m n! (n m)! n(n 1) (n m 1) (m 第一讲 排列组合概念及简单应用 排列和排列数公式 A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！ (n －m )！(m ，n ∈N *，并且m ≤n ) A n n ＝n ！＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1. 规定：0！＝1. 组合与组合数公式 1．组合数公式 C m n ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(m ，n ∈N *，并且 m ≤n ) 2．组合数的性质 (1)C m n ＝C n －m n (2)C m n ＋1＝C m n ＋C m － 1n 常规题型 一、投信问题 1、个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同. （1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？ （2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？ 2、五位旅客到一个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿方法？ 3、12名旅客在一辆火车上，共有六个车站，有多少种下车方案？ 4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼，有几种下楼方案？ 二、染色问题 1、如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数. 2. 如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种． 3.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种． 排列组合与二项式定理知识点 １．计数原理知识点 ①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类) ２．排列（有序）与组合（无序） Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m! Cnm= Cnn－m Cnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k?k!=(k+1)!－k! ３．排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排 排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. 捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑） 插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等 在求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答. 经常运用的数学思想是： ①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想. ４．二项式定理知识点： ①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+-…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn 特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn ②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn－m 最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项） 所有二项式系数的和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和 Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+…＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn７+ Cn９+…=2n -1 ③通项为第r+1项：Tr+1= Cnran－rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。 5.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。 6.注意二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。 排列组合二项定理考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有 ．．重复 ．．的排列. ．．元素 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = m n.. 例 如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解： n m 种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式： 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3! 2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1! 3!3==n . 第十章排列组合和二项式定理教材分析 作为高中数学必修内容的一个部份，本章在整个高中数学中占有重要地位以计数问题为主要内容的排列与组合，属于现在发展很快且在计算机领域获得广泛应用的组合数学的最初步知识，它不仅有着许多直接应用，是学习概率理论的准备知识，而且由于其思维方法的新颖性与独特性，它也是培养学生思维能力的不可多得的好素材；作为初中一种多项式乘法公式推广二项式定理，不仅使前面组合等知识的学习得到强化，而且与后面概率中的二项分布有着密切联系 本章教学约需17课时，具体分配如下： 10．1加法原理和乘法原理约2课时 10．2排列约4课时 10．3组合约5课时 10．4二项式定理约4课时 小结与复习约2课时 一、内容分析 本章从学习加法原理和乘法原理开始，应该说，这两个基本原理在本章的学习中占有重要地位；其作用并不限于用来推导排列数、组合数公式，实际上其解决问题的思想方法贯穿在整个学习的始终：当将一个较复杂的问题通过分类进行分解时，用的是加法原理；当将它通过分步进行分解时，用的是乘法原理在此基础上，研究排列与组合，运用归纳法导出排列数公式与组合数公式，并提出组合数的两个性质，以简化组合数的计算和为推导二项式定理作好铺垫 的学习深化一步，而且为学习后面的独立重复试验，二项分布作了准备 本章还为部分学有余力的学生安排了阅读材料《从集合的角度看排列、组合和概率》，通过这篇材料，可以看到排列、组合与概率这两类看上去并无共同之处的概念间的内在联系例如，求组合数及其相应的等可能性事件的概率，可分别看成是在一个全集下的某个子集到数的集合的不同的映射，可见从集合的角度去认识这些概念，可加深对其本质和内在联系的认识，此外，由于集合及其关系可用图形表示，便于将一些较复杂的问题分析清楚，因此运用集合的方法可以较为顺利地求解一些较为复杂的应用题 二、教学要求 1．掌握加法原理与乘法原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题 2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数计算公式，并能用它们解决一些简单的应用问题 3.掌握二项式定理和二项展开式的性质并能用它们计算和证明一些简单的问题 三、考点诠释 （1）两个原理（分类计数原理、分步计数原理） 分类和分步的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步.分类要用加法原理将种数相加；分步要用乘法原理，分步后再将种数相乘. （2）两个概念（排列、组合） 排列与组合是既有联系又有区别的两类问题，它们都是从n个不同元素中任取m个不同元素.但是前者要求将元素排成一个顺序，后者对此不做要求.若不理解排列问题和组合问题的区别，在分析实际问题时就会犯错误. （3）两类基本公式 高中数学第十章-排列组合二项定理 考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． §10. 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有．．重复．．元素．． 的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ?排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--= 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数 n n +1n n n 排列组合、二项式定理总结复习 1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情） 分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的 方法 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中，任取 m （m ≤n ）个元素的所有组合个数 m n m = n ! n m !(n - m )! 性质 C m = C n -m C m = C m + C m -1 排列组合题型总结 一． 直接法 1 .特殊元素法 例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 C C （1）数字 1 不排在个位和千位 （2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。 分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择A2 ，其余 2 位有四个可供选择A2 ，由乘法原理： 5 4 A2 A2 =240 5 4 2．特殊位置法 （2）当 1 在千位时余下三位有A3 =60，1 不在千位时，千位有A1 种选法，个位有A1 种，余下 5 4 4 的有A2 ，共有A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=252 4 4 4 4 二间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法A4 - 2 A3 +A2 =252 6 5 4 Eg 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数C 3 ? 23 ?A3 个，其中 0 在 5 3 百位的有C 2 ? 22 ?A2 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数 4 2 C 3 ? 23 ?A3 - C 2 ? 22 ?A2 =432 5 3 4 2 Eg 三个女生和五个男生排成一排 （1）女生必须全排在一起有多少种排法（捆绑法） （2）女生必须全分开（插空法须排的元素必须相邻） （3）两端不能排女生 （4）两端不能全排女生 （5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法 排列组合与二项式定理的综合应用 1．()()5121x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．10 B ．-30 C ．-10 D ．-20 2．若()()72801281212x x a a x a x a x +-=++++…，则0127a a a a ++++…的值为（ ） A ．2- B ．3- C ．253 D ．126 3．()()512x x +-的展开式中2x 的系数为（ ） ． A ．25 B ．5 C ．-15 D ．-20 4．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种 5．从5名学生中选出4名分别参加A ，B ，C ，D 四科竞赛，其中甲不能参加C ，D 两科竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) 6．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( ) A.828 9A A B.82810A A C.8287A A D.8286A A 7．小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个.小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（ ） A ．96种 B ．120种 种 D ．720种 8．已知身穿红，黄两种颜色衣服的各两人，身穿蓝衣服的有1人，现将五人排成一列，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法有（ ） 种 种 种 种 9．3n x ?+??的展开式中，各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，且72A B +=，则展开式中常数项为（ ） 10．从1,3,5,7,9中任取3个数字，从2,4,6,8中任取两个数字，一共可以组成没有重复数字的五位偶数的个数为（ ） A ．2880 B ．7200 C ． 1440 D ．60 11．某中学四名高二学生约定“五一”节到本地区三处旅游景点做公益活动，如果每个景点至少一名同学，且甲乙两名同学不在同一景点，则这四名同学的安排情况有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．30种 D ．40种 12．51 ()(21)ax x x +-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ） 排列组合二项式定理知识点 2、排列、组合 3、二项式定理 内容典型题 定义①二项式定理: (a＋b)n＝C 0n a n＋C 1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n ＝∑ = n r r n C a n－r b r（n∈N＋） ②二项式展开式第r＋1项通项公式: T r－1 ＝C r n a n－r b r 其中C r n（r＝0，1，2，…，n）叫做二项式系数. 8.二项式8)1 (- x的展开式中的第5项是( ) A. 70x4 B. 70x2 C. 56x3 D. －562 3 x 9.二项式(x－2)12展开式中第3项的系数是( ) A.264 B.－264 C.66 D.－1760 10.(x－2)8 的展开式中, x6的系数是( ) A. 56 B. －56 C. 28 D. 224 11.(x2＋)5展开式中的10x是( ) A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 12.二项式x－1 x 6 的展开式中常数项是( ) A. 1 B. 6 C. 15 D. 20 13.设(3－x)n＝n n x a x a x a a+???+ + +2 2 1 ,已知 n a a a a+???+ + + 2 1 ＝64,则n＝. 14.设二项式(3x＋5)10＝ 1 8 8 9 9 10 10 a x a x a x a x a+ +???+ + +,则 1 8 9 10 a a a a a+ -???- + -＝. 15.二项式2x－1 x 6 的展开式中二项式系数最大的项是. 性质①在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. ②如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等并且最大. ③二项式系数的和为n2，即 n C＋1 n C＋…＋r n C＋…＋n n C＝n2 ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 n C＋2 n C＋…＝1 n C＋3 n C＋…＝1 2-n 2010年高考数学试题分类汇编——排列组合与二项式定理 （2010全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力. 【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有 种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有 种方法，共有种，故选B. （2010全国卷2文数）（9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A ） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种 【解析】B ：本题考查了排列组合的知识 ∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有 246C =，余下放入最后一个信封，∴共有24318C = （2010江西理数）6. (8 2展开式中不含．．4 x 项的系数的和为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B 【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反。 采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去4 x 项系数80882(1)1C -=即为所求，答案为0. （2010重庆文数）（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有 （A ）30种 （B ）36种 （C ）42种 （D ）48种 解析：法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法 即221211 6454432C C C C C C -?+=42 法二：分两类 甲、乙同组，则只能排在15日，有2 4C =6种排法 高中数学之排列组合二项式定理 一、分类计数原理和分步计数原理： 分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种 方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。 分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤 中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各 步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。 区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类 与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。 二、排列与组合： （1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题； 区别：前者有顺序，后者无顺序。 （2）排列数、组合数： 排列数的公式：)()! (!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n ≤-= +---= 注意：①全排列：!n A n n =； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 排列数的性质： ①11--=m n m n nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成： 第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上； 第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置 上） ②m n m n m n A mA A 111---+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成： 第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成： 第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。 第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置 上） 即有11--m n mA 种不同的方法。 第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个 位置上，有m n A 1-种方法。 组合数的公式：)()!(!!!)1()2)(1(n m m n m n m m n n n n A A C m m n m n ≤-=+---== 组合数的性质： ①m n n m n C C -=（从n 个不同的元素中取出m 个元素后，剩下m n -个元素，也就是说， 排列组合与二项式定理 一、排列组合 1.（2016年四川高考）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) （A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D 【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5，其他 位置共有44A ，所以其中奇数的个数为44372A =，故选D. 2.（2015年四川高考）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有3 42A ?个；若万位上 排5，则有343A ?个.所以共有342A ?343524120A +?=?=个.选B. 3. （2015年广东高考）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560．【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的 排列数，所以全班共写了24040391560A =?=条毕业留言，故应填入1560． 4．(2014大纲全国，理5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )． A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种 答案：C 解析：从6名男医生中选出2名有26C 种选法，从5名女医生中选出1名有15C 种选法，故共有216565C C 57521 ??=?=?种选法，选C. 5．(2014福建，理10)用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )． A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5 B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5 C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c 5) D ．(1＋a 5)(1＋b )5(1＋c ＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5) 答案：A 解析：本题可分三步：第一步，可取0,1,2,3,4,5个红球，有1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5种取法；第二步，取0或5个蓝球，有1＋b 5种取法；第三步，取5个有区别的黑球，有(1＋c )5种取法．所以共有(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5种取法．故选A. 2017高考复习---排列组合与二项式定理 1?在8张奖券中有一、二、三等奖各 1张，其余5张无奖?将这8张奖券分配给4个人, 10 ?用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有 数字作答） a 1, a 2,…a 为实数，则 a 3= 每人2张，不同的获奖情况有 种（用数字作答）. 2 ?某学校开设 A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选 3门，若要求两类课 程中各至少选一 门，则不同的选法共有 种.（用数字作答） 3.把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少 一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号， 那么不同的分法种数为 ?（用数字作答） 4 ?将A,B, C, D,E, F 六个字母排成一排，且A,B 均在C 的同侧，则不同的排法共有 （用数字作答） 5 ?在某班进行的演讲比赛中，共有 5位选手参加，其中 3位女生，2位男生?如果2位男 生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 6 ?将序号分别为1 , 2, 3, 4, 5的5张参观券全部分给 4人，每人至少1张，如果分给同 一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于 8?在二项式（ X -丄）n 的展开式中恰好第 5项的二项式系数最大，则展开式中含 X 2 项的系 数是 9 .甲、乙、丙 3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站 2人，同一级台阶上的人不 区分站的位置, 则不同的站法总数是 个.（用 11 .如图，一个地区分为 5个行政区域，现给地图着色，要求相 邻区域不得使用同一颜色. 现有 4种颜色可供选择, 色方法共有 种. （以数字作答） 12 .若将函数 f (X )=x 5 表示为 f (X )=a o +a 1 (1+x ) 13 .由1 , 2, 3, 4, 5, 6组成没有重复数字的六位数, 要求奇数不相邻，且 4不在第四位, 7 则不同的着 +a 2 (1 排列组合二项定理 考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有．．重复．．元素．． 的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ?排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--= 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数排列组合与二项式定理及概率应用综合
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