三角函数教案设计

第四章三角函数

总第1教时

4.1-1角的概念的推广（1）

教学目的：

1、推广叫的概念，引入正角、负角、零角；象限角、坐标上的角的概念；终边

相同角的表示方法。

2、让学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”

“终边相同的角”的含义，以及相应的表示方法。

3、从“射线绕其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化的观点审视

事物；通过与数（轴）的类比，理解“正角”“负角”“零角，让学生感受图形的对称美、运动美。

教学重点：

1、理解并掌握正角、负角、零角、象限角的定义；

2、掌握总边相同角的表示方法及判定。

教学难点：把终边相同角用集合和符号语言正确的表示出来。

过程：

一、提出课题：“三角函数”

回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。二、角的概念的推广

1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2．讲解：“旋转”形成角（P4）

突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”

“始边”往往合于x轴正半轴

3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

记法：角α或α

∠可以简记成α

4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1?角有正负之分如：α=210?β=-150?γ=-660?

2?角可以任意大

实例：体操动作：旋转2周（360?×2=720?）3周（360?×3=1080?）

3?还有零角一条射线，没有旋转

三、关于“象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）

例如：30?390?-330?是第Ⅰ象限角300?-60?是第Ⅳ象限角585?1180?是第Ⅲ象限角-2000?是第Ⅱ象限角等

四、关于终边相同的角

1．观察：390?，-330?角，它们的终边都与30?角的终边相同 2．终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与)(Z k k ∈个周角的和 390?=30?+360? )1(=k

-330?=30?-360? )1(-=k 30?=30?+0×360?

)0(=k

1470?=30?+4×360? )4(=k -1770?=30?-5×360? )5(-=k

3．所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 {}

Z k k S ∈?+==,360| αββ

即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 4．（P6例1）例1 在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．

(1)-120°；(2)640°；(3)-950°12′． 解：(1)-120°=240°-360°，

所以与-120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限角； (2)640°=280°+360°，

所以与640°角终边相同的角是280°角，它是第四象限角； (3)-950°12′=129°48′-3×360°，

所以与-950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角． （P5） 五、小结： 1? 角的概念的推广,用“旋转”定义角 角的范围的扩大 2?“象限角”与“终边相同的角” 六、作业： P7 练习1、2、3、4

习题1.4 1

总 第2课时

4.1-2 角的概念的推广(2)

教学目的：

1、进一步理解角的概念，能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；

2、能进行角的集合之间的交与并运算；

3、讨论等分角所在象限问题。 教学重点与难点：

1、角的集合之间的交与并运算；

2、判断等分角的象限。 过程：

一.复习、作业讲评.

二.新课：

例一、（P6例2）写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示)．解：在0°到360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角(图4-4)．因此，所有与90°角终边相同的角构成集合

S1={β|β=90°+k·360°，k∈Z}={β|β=90°+2k·180°，k∈Z}，

而所有与270°角终边相同的角构成集合

S2={β|β=270°+k·360°，k∈Z}

={β|β=90°+180°+2k·180°，k∈Z}

={β|β=90°+(2k+1)180°，k∈Z}，

于是，终边在y轴上的角的集合

S=S1∪S2

={β|β=90°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)180°，k∈Z}

={β|β=90°+180°的偶数倍}∪{β|β=90°+180°的奇数倍}

={β|β=90°+180°的整数倍}={β|β=90°+n·180°，n∈Z}．

例二、（P6例3）、写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S 中适合不等式-360o≤β<720o的元素β写出来：

(1)60o (2)-21o (3)363o14ˊ

解：(1)S={β|β=60°+k·360°，k∈Z}．

S中适合-360°≤β＜720°的元素是

60°-1×360°=-300°，

60°+0×360°=60°，

60°+1×360°=420°．

(2)-21°不是0°到360°的角，但仍可用上述方法来构成与-21°角终边相同的角的集合，即

S={β|β=-21°+k·360°，k∈Z}．

S中适合-360°≤β＜720°的元素是

-21°+0×360°=-21°，

-21°+1×360°=339°，

-21°+2×360°=699°．

(3)S={β|β=363°14′+k·360°，k∈Z}．

S中适合-360°≤β＜720°的元素是

363°14′-2×360°=-356°46′，

363°14′-1×360°=3°14′，

363°14′+0×360°=363°14′．

例三、用集合表示：（1）第二象限的集合；（2）终边落在y轴右侧的角的集合。解：（1）因为在0o~360o范围内，第二象限角的范围为90o<α0<180o，而与每个α0角终边相同的角可记为αo+k360o,(k∈Z),故该范围内每个角适合90o+k360o<α0<90o+k360o,(k∈Z)所以第二象限的集合为{α|-90o+k360o<α<90o+k360o,k∈Z}。

（2）因为在-180o~180o范围内，y轴右侧的角的范围为-90o<α0<+90o，而与每个

α0角终边相同的角可记为αo +k360o ,(k ∈Z),故该范围内每个角适合-90o +k360o <α0<180o +k360o ,(k ∈Z)所以第二象限的集合为{α|90o +k360o <α<180o +k360o ,k ∈Z }。

说明：特殊位置（或给定区域内）的角的集合的表示过步骤:

1) 在0o ~360o 范围内，找到特殊位置（或给定区域内）的角并记为α0；然后写出与上述终边相同角的集合

(二)习题4.1 .5(1)已知α是锐角,那么2α是 ( )

(A)第一象限角. (B)第二象限角.

(C)小于180o的角. (D)不大于直角的角.

三. 练习：课本第7页练习5, 习题4.1 .5(2)

四. 作业：习题4.1. 3 (2)、(4)、(6)、(8) , 4

总 第3教时

4.2-1弧度制（1）

教学目的：

1、理解1弧度的角及弧度的定义，掌握弧度制与角度制互化，并能熟练的进行角度与弧度的换算；熟记一些的数角的弧度数。并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念。

2、通过弧度制的学习，使学生认识到角度与弧度都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下角的加、减运算可以象十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的转化，化简了六十进制给角的加减、运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简洁美。

教学重点：使学生理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。

教学难点：1、弧度制的概念及其与角度的关系，2、角的集合与实数集R 一一对应关系。

过程：

一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。

二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制，它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。 如图：∠AOB=1rad ，∠AOC=2rad

周角=2πrad

1．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0；

2． 角α的弧度数的绝对值 r

l

=α（l 为弧

长，r 为半径）

3．用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。 三、角度制与弧度制的换算

抓住：360?=2πrad ∴180?=π rad

∴ 1?=rad rad 01745.0180

≈π

'185730.571801

=≈??? ??=πrad

例一 把'3067 化成弧度

解：

??

?

??=2167'3067 ∴ rad rad ππ832167180'3067=?= 例二 把rad π53

化成度

解： 1081805

3

53=?=rad π

注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行；

2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如：3表示3rad sin π表示πrad 角的正弦

3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表）

4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。

任意角的集合 实数集R 四、练习（P11 练习1、 2）

例三 用弧度制表示：1?终边在x 轴上的角的集合 2?终边在y 轴上的角的集合 3?终边在坐标轴上的角的集合

解：1?终边在x 轴上的角的集合 {}Z k k S ∈==,|1πββ

2?终边在y 轴上的角的集合 ?

??

???∈+==Z k k S ,2|2ππββ

3?终边在坐标轴上的角的集合 ?

??

???∈==Z k k S ,2|3πββ

五、 小结：1．弧度制定义 2．与弧度制的互化

六、作业： 课本 P11 练习 3、4 P12习题4.2 2、3

总 第4教时

4.2-2弧度制（2）

教学目的：

1、加深学生对弧度制的理解，理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活的在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。

2、通过弧度制与角度制的比较使学生认识到映入弧度制的优越性，激发在学生的学习兴趣和求知欲望，培养良好的学习品质。

教学重点:弧度制下的弧长公式，扇形面积公式及其应用。 教学难点：弧度制的简单应用。 1、

过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。 口答

二、由公式：?=r l α α?=r l

比相应的公式180r

n l π=简单

弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 例一 （课本P10例三） 利用弧度制证明扇形面积公式lR S 2

1

=其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。

证： 如图：圆心角为1rad 的扇形面积为：

221

R ππ

弧长为l 的扇形圆心角为

rad R

l

∴lR R R l S 2

1212=??=

ππ 比较这与扇形面积公式 360

2

R n S π=扇 要简单

例二 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴3

4π

⑵ 165 解： cm r 10= ⑴： )(3

401034cm r l ππα=?=

?= ⑵：r a d r a d 12

11)(165180

165π

π

=

?=

∴)(6

55101211cm l π

π=?=

例三 如图，已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形

o

R S

l

的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则有

??

?==??????==+22162l r r

l l r ∴ 扇形的面积2)(221cm rl S == 例四 计算4sin π

5.1t a n

解：∵

454

=π

∴ 2

245sin 4

sin

=

= π

'578595.855.130.571.5rad ==?=?

∴ 12.14'5785tan 5.1tan ==

例五 将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式

⑴

π3

19

⑵ 315- 解：ππ

π63

319+=

ππ

24

36045315-=

-=-

例六 求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ） 图中长度单位为：m

解： ∵ 3

60π

=

∴ )(471514.3453

m R l ≈?≈?=

?=π

α 三、练习：P11 6、7 、8、9、10

四、作业： 课本 P11 -12 P12-13 习题4.2 5—14

总 第5教时

4.3-1任意角的三角函数（定义）

教学目的：

1、生掌握任意角的三角函数的定义，熟悉三角函数的定义域及确定方法；

2、理解α角与β=2k π+α(k ∈Z)的同名三角函数值相等的道理。

重点难点：三角函数的定义域及确定方法，终边相同角的同名三角函数值相等。 过程：一、提出课题：讲解定义：

1．设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）

则P 与原点的距离0222

2>+=+=

y x y x r （见图4-10

）

2．比值

r

y 叫做α的正弦 记作： r y

=αs i n

比值r x

叫做α的余弦 记作： r x

=αc o s

比值x

y

叫做α的正切 记作： x

y =αt a n

比值

y x 叫做α的余切 记作： y

x

=α

c o t 比值x r 叫做α的正割 记作： x

r

=αs e c

比值

y r 叫做α的余割 记作： y

r

=α

c s c 注意突出几个问题： ①角是“任意角”，当β=2k π+α(k ∈Z)时，β与α的

同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。 ②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下面有例子说明）

③三角函数是以“比值”为函数值的函数

④0>r ，而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定（今后将专题研究） ⑤定义域：

αααt a n c o s s i n ===y y y )

(2

Z k k R

R ∈+

≠π

πα α

αα

csc sec cot ===y y y )

()(2

)

(Z k k Z k k Z k k ∈≠∈+≠∈≠παπ

παπα 二、例题：

例一 已知α的终边经过点P(2,-3)，求α的六个三角函数值 解：13)3(2,3,222=-+=-==r y x

∴sin α=-13133 cos α=13

13

2 tan α=-2

3 cot α=-3

2 sec α=

213 csc α=-3

13 例二 求下列各角的六个三角函数值

⑴ 0 ⑵ π ⑶ 23π⑷ 2π

解：⑴ ⑵ ⑶的解答见P16-17 ⑷ 当α=

2π

时 r y x ==,0 ∴sin 2π

=1 cos 2π=0 tan 2π不存在 cot 2

π

=0

sec

2π

不存在 csc 2

π

=1

例三 求函数x

x

x

x y tan tan cos cos +

=

的值域 解： 定义域：cosx ≠0 ∴x 的终边不在x 轴上 又∵tanx ≠0 ∴x 的终边不在y 轴上

∴当x 是第Ⅰ象限角时，0,0>>y x cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2 …………Ⅱ…………,0,0>

…………ⅢⅣ………, 0

,00

,0<><

解：⑴由定义 ：5=r sin α=-53 cos α=54 ∴2sin α+cos α=-52

⑵若0>a a r 5= 则sin α=-53 cos α=54 ∴2sin α+cos α=-52

若0

2

三、小结：定义及有关注意内容

四、作业： 课本 P19 练习1 P20习题4.3 3

总 第6教时

4.3-2三角函数线

教学目的：

1、理解有向线段的概念、正弦线、余弦线、正（余）切线。

2、要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

过程：一、复习三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”

二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义：

用单位圆中的线段表示三角函数值

三、新授： 2． 介绍（定义）“单位圆”—圆心在原点O ，半径等于单位长度的圆 3． 作图：（图4-12 ）

设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边也与单位圆交于P ，坐标轴正半轴分别与单位圆交于A 、B 两点

过P(x,y)作PM ⊥x 轴于M ，过点A(1,0)作单位圆切线，与α角的终边或其反向延长线交于T ，过点B(0,1)作单位圆的切线，与α角的终边或其反向延长线交于S 4． 简单介绍“向量”（带有“方向”的量—用正负号表示） “有向线段”（带有方向的线段）

方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。 例：有向线段OM ，OP 长度分别为y x ,

当OM=x 时 若0>x OM 看作与x 轴同向 OM 具有正值x

若0

5．

MP y y

r y ====1sin α OM x x

r x ====1

cos α 有向线段MP,OM,AT,BS 分别

称作

AT OA

AT

OM MP x y ===

=αtan α角的正弦线,余弦线,正切线,

余切线 BS OB

BS MP OM y x ====

αcot 四、例题：

例一．利用三角函数线比较下列各组数的大小：

1? 32s i n π与54sin π 2? tan 32π与tan 54π 3? cot 32π与cot 54π

解：如图可知：

32sin

π>54sin

π

， tan 32π< tan

54π cot 32π >cot 5

4π

例二 利用单位圆寻找适合下列条件的0?到360?的角

1? sin α≥

21 2? tan α>3

3

30?≤α≤150? 30?<α<90?或

210?<α<270

?

例三、求证：若2

021π

αα≤<≤时，则sin α1

证明： 分别作α1,α2的正弦线x 的终边不在x 轴上

sin α1=M 1P 1 sin α2=M 2P 2

∵2

021π

αα≤<≤

∴M 1P 1< M 2P 2 即sin α1

五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线

六、作业： 课本 P15 练习 P20习题4.3 2 补充：解不等式：()2,0[π∈x )

1?sinx ≥

2

3 2? tan x 1-> 3?sin 2

x ≤21