高中数学近三年高考全国卷理科立体几何真题

新课标卷高考真题

1、（2016年全国I 高考）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=o ，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60o ．

（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．

2、（2016年全国II 高考）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，

5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5

4

AE CF ==

，EF 交BD 于点H ．将DEF ?沿EF 折到'D EF ?位置，10OD '=．

（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．

3【2015高考新课标1，理18】

如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；

（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

4、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-3，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC；

(2)设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E-ACD的体积．

图1-3

5、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-5，三棱柱ABC -A1B1C1中，侧面BB1C1C 为菱形，AB⊥B1C.

图1-5

(1)证明：AC＝AB1；

(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A -A1B1-C1的余弦值．

6、（2017?新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面

ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．

（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；

（Ⅱ）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．

7、（2017?新课标Ⅲ）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．

8、（2017?新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12

分）

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

1【解析】 ⑴ ∵ABEF 为正方形 ∴AF EF ⊥∵90AFD ∠=? ∴AF DF ⊥

∵=DF EF F I ∴AF ⊥面EFDC AF ⊥面ABEF ∴平面ABEF ⊥平面EFDC

⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=?

∵AB EF ∥ AB ?平面EFDC

EF ?平面EFDC ∴AB ∥平面ABCD AB ?平面ABCD

∵面ABCD I 面EFDC CD = ∴AB CD ∥,∴CD EF ∥

∴四边形EFDC 为等腰梯形

以E 为原点，如图建立坐标系，FD a =

()

()000020E B a ，，，， ()302202a C A a a ??

? ???

，，，，

()020EB a =u u u r ，，，322a BC a ??

=- ? ???u u u r ，，，()200AB a =-u u u r ，，

设面BEC 法向量为()m x y z =u r

，，.

00m EB m BC ??=?

??=??u r u u u r u r u u u r ，即1111203

202a y a x ay a z ?=????-

+?=?? 111301x y z ===-，，(

)

301m =

-u r

，，

设面ABC 法向量为()222n x y z =r

，，

=00n BC n AB ?????=??r u u u r r u u u r .即2222320220a x ay az ax ?-+

=???=? 222034x y z ===，， ()

034n =r

，，

设二面角E BC A --的大小为θ.219

cos 31316m n m n

θ?==

=-+?+?u r r

u r r ∴二面角E BC A --的余弦值为219

-

2【解析】⑴证明：∵5

4AE CF ==，∴AE CF AD CD

=，

∴EF AC ∥．∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥， ∴EF BD ⊥，∴EF DH ⊥，∴EF D H '⊥．

∵6AC =，∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =， ∴1AE OH OD AO

=

?=，∴3DH D H '==，∴22

2

'OD OH D H '=+，

∴'D H OH ⊥．又∵OH EF H =I ，∴'D H ⊥面ABCD ． ⑵建立如图坐标系H xyz -．

()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，

()430AB =uu u r ，，，()'133AD =-uuur ，，，()060AC =uuu r

，，，

设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r

，

由1100n AB n AD ??=??'?=??u u r u u u r u u r u u u u r

得430330x y x y z +=??-++=?

，取345x y z =??=-??=?，∴()1345n =-u r ，，． 同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r

，，，

∴12129

575cos 255210

n n n n θ?+===?u r u u r

u r u u r

，∴295

sin 25θ=．

3，【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

3

3

又∵AE ⊥EC ，∴EG 3，EG ⊥AC ， 在Rt △EBG 中，可得BE 2DF 2. 在Rt △FDG 中，可得FG 6在直角梯形BDFE 中，由BD =2，BE 2DF 2可得EF 32 ∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ， ∵AC ∩FG=G ，∴EG ⊥平面AFC ，

∵EG ?面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC . ……6分

（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC u u u r u u u r 的方向为x 轴，y 轴正方向，||

GB u u u r

为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，由（Ⅰ）可得A （0，30），E (1,0,

2)，F （－1,02），C （03，0），∴AE u u u r =（132），CF u u u r =（-1，

32

）.…10分 故3

cos ,||||

AE CF AE CF AE CF ?<>==u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r .

所以直线AE 与CF 3

. ……12分 4，解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .

因为EO ?平面AEC ，PB ?平面AEC ，所以PB ∥平面AEC . (2)因为P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．

如图，以A 为坐标原点，AB

→，AD ，AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，

|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系A -xyz ，则D ()0，3，0，E ?

????0，32，12，AE

→＝? ????0，32，12.

设B (m ，0，0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)．

设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，

则?????n 1·AC

→＝0，n 1·AE →＝0，即???mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，

可取n 1＝? ??

??

3m ，－1，3.

又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量，

由题设易知|cos 〈n 1，n 2〉|＝1

2

，即

33＋4m 2＝12

，解得m ＝

3

2. 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E -ACD 的高为1

2.三棱锥E -ACD 的体积V

＝13×12×3×32×12＝38.

5解：(1)证明：连接BC 1，交B 1C 于点O ，连接AO ，因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1，且O 为B 1C 及BC 1的中点．

又AB ⊥B 1C ，所以B 1C ⊥平面ABO .

由于AO ?平面ABO ，故B 1C ⊥AO .

又B 1O ＝CO ，故AC ＝AB 1.

(2)因为AC ⊥AB 1，且O 为B 1C 的中点，所以AO ＝CO .

又因为AB ＝BC ，所以△BOA ≌ △BOC .故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，OB 1两两垂直．

以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，|OB |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O - xyz .

因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形，又AB ＝BC ，则A ? ????0，0，33，B (1，0，0)，B 1? ????0，33，0，C ? ??

??0，－33，0.

AB 1→＝? ????0，33，－33，A 1B 1→＝AB ＝?

????1，0，－33， B 1C →1＝BC ＝? ??

??－1，－33，0. 设n ＝(x ，y ，z )是平面AA 1B 1的法向量，则

?????n ·

AB 1＝0，n ·A 1B 1→＝0，即?????33y －33z ＝0，x －33z ＝0.所以可取n ＝(1，3，3)．

设m 是平面A 1B 1C 1的法向量，

则?????m ·A 1B 1→＝0，m ·B 1C 1→＝0，同理可取m ＝(1，－3，3)．

则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1

7.

所以结合图形知二面角A -A 1B 1 - C 1的余弦值为1

7

.

6、【答案】（Ⅰ）证明：取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，因为E 是PD 的中点， 所以EF

AD ，AB=BC=

AD ，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC ∥

AD ，

∴BCEF 是平行四边形，可得CE ∥BF ，BF ?平面PAB ，CF ?平面PAB ， ∴直线CE ∥平面PAB ；

（Ⅱ）解：四棱锥P ﹣ABCD 中，

侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB=BC=

AD ，

∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．

取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP= ，∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，

可得：BN=MN，CN= MN，BC=1，

可得：1+ BN2=BN2，BN= ，MN= ，

作NQ⊥AB于Q，连接MQ，

所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ=

= ，

二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：= ．

7、【答案】（Ⅰ）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．

∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．

△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，

∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．

∵△ACD是直角三角形，

∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．∴DO= AC．

∴DO2+BO2=AB2=BD2．

∴∠BOD=90°．∴OB⊥OD．

又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．又OB?平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．

（Ⅱ）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为h D，h E．则= ．

∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，

∴= = =1．

∴点E是BD的中点．

建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2．

则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E ．=（﹣1，0，1），= ，=（﹣2，0，0）．

设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则，即，取= ．

同理可得：平面ACE的法向量为=（0，1，）．

∴cos = = =﹣．

∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．

8、【答案】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB ⊥PD，

又∵PA∩PD=P，且PA?平面PAD，PD?平面PAD，

∴AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PAD；

（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，

在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，

设PA=AB=2a，则AD= ．

取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，

以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．

，，．

设平面PBC的一个法向量为，

由，得，取y=1，得．

∵AB⊥平面PAD，AD?平面PAD，∴AB⊥AD，

又PD⊥PA，PA∩AB=A，

∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．

∴cos＜＞= = ．

由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，

∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．