MIMO系统的信道容量分析

MIMO 系统的信道容量分析

Analysis of MIMO Channel Capacity

(解放军信息工程大学) 刘 冰

Liu ，Bing

摘要：本文详细推导了MIMO 系统信道容量的表达式，分析了MIMO系统是如何利用多径来提高频谱利用率，并说明当天线数目很大时，信道容量随收发端最小天线数目的增大而线性增大。最后对MIMO 与AWGN 、SISO 、SIMO 的信道容量进行了仿真比较。

关键词：多入多出 信道容量 多径

Abstract : This paper educes the expression of the MIMO channel capacity, and analysis how MIMO system improves the channel capacity. Then, we prove that when the number of antennas is larger, the capacity is linear to the minimum number of the antennas. At last, the capacity simulation results of the MIMO,AWGN, SISO and SIMO valid the analysis.

Keywords: MIMO Channel Capacity Multipath

中图分类号：TN929.5 文献标识码：A

1 引言

MIMO （Multiple Input-Multiple Output ）是指在通信链路的发送端与接收端均使用多个天线元的传输系统，它能够将传统通信系统中存在的多径因素变成对用户通信性能有利的因素，从而成倍地提高业务传输速率。MIMO 系统的基本结构如图1所示。输入的串行码流通过某种方式（编码、调制、加权、映射）转换成几路并行的独立子码流，通过不同的发射天线发送出去。不同的子码流同时同频带的发送，接收方利用不少于发送天线数目的天线组进行接收，并利用测出的信道传输特性与发送子码流间一定的编码关系，对多路接收信号进行空域与时间域上的处理，从而分离出几路发送子码流，再转换成串行数据输出。

图1 MIMO 系统的基本结构

2 MIMO 系统模型

假定一个点对点的MIMO 系统有T n 个发射天线、R n 个接收天线。用1×T n 列矩阵x 表示每个符号周期内的发射信号，其中第i 个元素i x 表示第i 根天线的发射信号。对于高斯信道，发射信号的最佳分布也是高斯分布。因此，x 的元素是零均值独立同分布的高斯变量。

限制总的发射功率为P ，则发射信号的协方差矩阵 T n T

xx I n P R = （1） 式中T n I 是T T n n ×的单位矩阵。由于发射信号的带宽足够窄，因此可以认为它的频率响应是平坦的，即不考虑频率选择性衰落。

用T R n n ×的复矩阵H 描述信道。ij h 表示矩阵H 的第ij 个元素，代表从第j 根发射天线到第i 跟接收天线之间的信道衰落系数。在存在许多散射，反射体的多径信道中，尤其对于非视距无线传播，可以证明ij h 是服从瑞利分布的。

我们用1×R n 的列矩阵描述接收端的加性高斯白噪声，表示为n ，R n 个接收分支中每

一个都有相同的噪声功率2σ，

所以协方差矩阵写成 R n nn I R 2σ= （2） 用1×R n 的列矩阵描述接收信号，表示为r ，其中每个复元素代表一根接收天线。假定每根天线的总接收功率都等于总发射功率，则SNR 可写为 2σP

SNR = （3）

使用线形模型，则接收矢量可以表示为 n Hx r += （4） 利用(4)式，可以得出接收信号的协方差矩阵 H xx rr H

HR R = （5） 3.MIMO系统容量的推导

首先假设信道矩阵在发射端为未知，在接收端为已知。

由奇异值分解理论，任何一个T R n n ×的矩阵H 可以写成 H UDV H = （6） 式中D 是T R n n ×的非负对角阵，U 和V 分别是R R n n ×和T T n n ×的酉矩阵。把式（6）代入式（4），得到接收矢量r n x UDV r H

+= （7） 引入下列变换：r U r H =' x V x H =' n U n H =' (8） U 和H 是可逆的。显然，式（4）中定义的矩阵n x r 和,与相应矩阵的乘积仅有一个缩放比例的效果。矢量'n 是一个零均值的高斯随机变量，其实部和虚部独立同分布。这样，前面所描述的信道与下式所描述的信道是等价的： n Dx r +='' （9） 矩阵H HH 的非零特征值的数量等于矩阵H 的秩，用γ表示。对T R n n ×的矩阵H ，秩的最大值为),min(T R n n m =。用

i λ表示H 的奇异值。将i λ代入式（9），得到接收信号为 ),...,2,1(,'''γλ=+=i n x r i i i i ),...,2,1(,''R i i n i n r ++==γγ （10）

式（10）显示，接收元素),...,2,1('R i n i r ++=γγ并不依赖于发射信号，即信道增益是

零。另一方面，接收元素),...,2,1('γ=i r i 仅仅取决于发射元素'

i x 。因此，可以认为，通过式（10）得到的等效MIMO 信道是由γ个去耦平行子信道组成的。为每个子信道分配的矩阵

H 的奇异值，相当于信道幅度增益。因此信道功率增益等于矩阵H HH 的特征值。由式（8）

可以导出信号'r 、'x 和'n 的协方差矩阵和它们的迹

U R U R rr H r r ='' V R V R xx H x x ='' U R U R nn H n n ='/ （11）

)()(''rr r r R tr R tr = )()(''xx x x R tr R tr = )()(''nn n n R tr R tr = （12）

以上关系表示，'r 、'x 和'n 的协方差有相等的对角元素和，从而有相等的功率，而对于原始信号r 、x 和n ，它们是各不相等的。

考虑到式(10)所描述的等价MIMO 信道模型中，子信道是去耦的，因此其信道容量可直接相加。设每根天线的发射功率为T n P /，运用香浓公式可以估算出总的信道容量 ∑=+

=r i ri P W C 1221(log σ s Bit / （13）

式中，W 是每个子信道的带宽；ri P 是在第i 个子信道中接收的信号功率，T i ri n P

P λ=（14） 式中i λ为信道矩阵H 的奇异值，所以信道容量又可以写成 ∑=+

=r i T i n P W C 1221(log σ

λ （15） 由式（15）可以看出，MIMO 链路的信道容量很大程度上取决于H 的秩r 。矩阵的秩表示矩阵中最大无关向量组中向量的个数，在实际的存在多个散射体的多径传播环境中，一般只要两个接收天线之间的距离超过半个波长就可以认为这两个天线接收到的信号具有独立的衰落特性（经过独立的传输路径到达接收方），因此由（15）式我们可以认为MIMO 系统恰恰是利用了多径这种在传统通信中被认为是有害的因素，创造了多个空间并行信道，需要特别注意的是，这T n 个子信号流同时发送到信道，各发射信号占用同一频带，因而并未增加带宽。因此，通过并行信道的传输，必将大大提高信息传输速率。

下面我们说明信道容量是如何与信道矩阵H 相关的。假定),min(T R n n m =，定义

???><=T

R H T R H n n H H n n HH Q ,, （16） λ是Q 的一个特征值，可得 )det()(1Q I m m

i i ?=?∏=λλλ （17） 用P n T 2σ?替换(17)中的λ得到 )det()1(212Q n P I n P T

m m i T i

σσλ+=+∏= （18） 由式（15）得到的信道容量公式，可以写成 )det(log 22Q n P I W C T m σ+

= s Bit / （19）

需要说明的是如果信道系数是随机变量，则（15）和（19）表示的是瞬时容量，我们可以对所有信道系数取平均值得到平均信道容量。

另外，当T n 不断增大，使得m T

I Q n →1，可以得到信道容量的近似表达式 )1(log 22σP Wm C += s Bit / （20）

由此可以看出当发射天线数目很多时，信道容量随m 的增大而线性增大，也就是说可以在不增加带宽和发射功率的情况下成倍的提高信道容量。

4 仿真结果

图 2 信道容量对比

通过计算机仿真，我们对AWGN 、SISO 、SIMO （1×8）、MIMO （3×3）和MIMO （6×6）的信道容量进行了对比分析。其中除AWGN信道外，其他信道所计算的信道容量都为其平均值。从图中可以看出，在信噪比较高时，（3×3）MIMO 的信道容量基本上是SISO 信道容量的3倍，而（6×6）MIMO 的信道容量基本上是（3×3）的2倍。

5.结束语

MIMO 对于传统的单天线系统，分集接收系统有着很大的优势，在同等信噪比的条件下有着十分高的信道容量，可以大大提高频谱利用率。

参考文献：

[1] Space-Time coding Branka Vucetic,Jinhong Yuan John Wiley & Sons Ltd 2003

[2] 佟学俭 罗涛 “OFDM 移动通信技术原理与应用” 人民邮电出版社 2003

作者简介：

刘 冰 男 1981，汉族，籍贯：山东，解放军信息工程大学硕士研究生，研究方向：无线通信，E-mail：liubing0501@https://www.360docs.net/doc/a412626225.html,

Author brief introduction:

Liu ，Bing(1981) Male, Han nationality,Graduate Student ,Wireless Communication

(450002 郑州解放军信息工程大学) 刘 冰

（Information Engineering University ，zhengzhou 450002 ，China ）Liu ，Bing 通信地址：（郑州市1001信箱825分箱 450002） 刘 冰