三次样条拟合典型实例

1设计目的、要求

对龙格函数2

2511

)(x

x f +=

在区间[-1,1]上取10=n 的等距节点，分别作多项式插值、三次样条插值和三次曲线拟合，画出)(x f 及各逼近函数的图形，比较各结果。

2设计原理

（1） 多项式插值：利用拉格朗日多项式插值的方法，其主要原理是拉格朗日多项

式，即：

01,,...,n x x x 表示待插值函数的1n +个节点， 0()()n

n j k k j j k L x y l x y ===∑，其中0,1,...,j n =；

011011()...()()...()

()()...()...()...()

k k n k k k k k k k n x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+----=

----

（2） 三次样条插值：三次样条插值有三种方法，在本例中，我们选择第一边界条

件下的样条插值，即两端一阶导数已知的插值方法：

00'()'S x f = '()'n n S x f =

（3）三次曲线拟合：本题中采用最小二乘法的三次多项式拟合。最小二乘拟合是

利用已知的数据得出一条直线或者曲线，使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。在本题中，n= 10，故有11个点，以这11个点的x 和

y 值为已知数据，进行三次多项式拟合，设该多项式为23432xi i i i p a a x a x ax =+++，该拟合曲线只需2[]xi i p y -∑的值最小即可。

3采用软件、设备

计算机、matlab 软件

4设计内容

1、多项式插值：

在区间[]1,1-上取10=n 的等距节点，带入拉格朗日插值多项式中，求出各个节点的插值，并利用matlab 软件建立m 函数，画出其图形。

在matlab 中建立一个lagrange.m 文件，里面代码如下： %lagrange 函数

function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k

p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end

s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end

建立一个polynomial.m 文件，用于多项式插值的实现，代码如下： %lagrange 插值 x=[-1:0.2:1];

y=1./(1+25*x.^2); x0=[-1:0.02:1];

y0=lagrange(x,y,x0); y1=1./(1+25*x0.^2); plot(x0,y0,'--r') %插值曲线 hold on %原曲线

plot(x0,y1,'-b')

运行duoxiangshi.m 文件，得到如下图形：

2、三次样条插值：

所谓三次样条插值多项式()n S x 是一种分段函数，它在节点

i x 011()n n a x x x x b -=<

此区间上的表达式如下：

2233

1111111()[()()]()()666[,]1,2,,.

i i i i i i i i i i i i i i i i i h x x h x x S x x x M x x M y M y M h h h x x x i n --------=-+-+-+-∈=???，

，

因此，只要确定了i M 的值，就确定了整个表达式，i M 的计算方法如下： 令：

11111111116()6(,,)i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i h h h h h h y y y y d f x x x h h h h μλμ++++--+++?===-?++??

--?=-=?+?，

则i M 满足如下1n -个方程：

1121,2,,1i i i i i i M M M d i n μλ-+++==???-，

对于第一种边界条件下有

????

??

?

-=+-=+---00011

0111

)

'],([62]),['(62h f x x M M h x x f f M M n n n n n n

如果令10010001

6([,]')6('[,])

1,,1,,n n n n n n f x x f f f x x d d h h λμ----==

==那么解就可以为

???

?????

??=???????? ??????????

??----n n n n n n n d d d d M M M M 110110********* μλμλμλ 求函数的二阶导数： >> syms x

>> f=sym(1/(1+25*x^2)) f =

1/(1+25*x^2) >> diff(f) ans =

-(50*x)/(25*x^2 + 1)^2

将函数的两个端点，代入上面的式子中：

f’(-1)=0.0740

f’(1)=-0.0740

求出从-1到1的n=10的等距节点，对应的x，y值

对应m文件代码如下：

for x=-1:0.2:1

y=1/(1+25*x^2)

end

y =

得出

x=-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y=0.0385 0.0588 0.1 0.2 0.5 1 0.5 0.2 0.1 0.0588 0.0385

编写m文件Three_Spline.m

x=linspace(-1,1,11);

y=1./(1+25*x.^2);

[m,p]=scyt1(x,y,0.0740,-0.0740);

hold on

x0=-1:0.01:1;

y0=1./(1+25*x0.^2);

plot(x0,y0,'--b')

得到如下图像：

.

其中蓝色曲线为原图，红色曲线为拟合后的图像。

3、三次曲线拟合：

这里我们使用最小二乘法的3次拟合

建立一个Three_fitting .m文件，代码如下：

%主要代码

x=[-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1];

y=[0.0385 0.0588 0.1 0.2 0.5 1 0.5 0.2 0.1 0.0588 0.0385];

a=polyfit(x,y,3);

x1=[-1:0.01:1];

y1=a(4)+a(3)*x1+a(2)*x1.^2+a(1)*x1.^3;

x0=[-1:0.01:1];

y0=1./(1+25*x0.^2)

%原曲线 plot(x0,y0,'-r') hold on %三次拟合曲线 plot(x1,y1,'-b')

上图中，蓝色部分为三次拟合曲线，红色部分为原曲线

6结果分析

拉格朗日插值的优点是对于某一区域，不限于被估计点周围，公式简单易实施。一般认为n 的次数越高，逼近)(x f 的精度就越好，但在本题中，对龙格函数2

2511

)(x

x f +=

，中间部分插值效果比较好，而对于两端，插值结果是非常不理想的，即龙格现象。样条函数可以给出光滑的插值曲线，从本题中就能体现出来。从以上图形可以看出，三次样条插值的图形是比较逼近于原图的，收敛性相对而言是非常好的，但在本题中，仅将原区间分成10个等距区间，因此，逼近效果还不是特别理想，当我们将n 增大时，插值后

的曲线越逼近于原曲线。总的来说，三次样条插值的稳定性比较好，收敛性比较强。在这三种方法中，三次曲线拟合的效果是最差的，所得的图形与原曲线差距甚远。最小二乘法中，并不要求拟合后的曲线经过所有已知的点，只需要拟合多项式上的点在某种标准上与定点之间的差距最小即可，因此与原曲线的逼近程度是最差的。最小二乘法的多项式拟合只适用于多项式，而本题中的函数并不是一个多项式，因此，不建议使用最小二乘法拟合。

参考文献:

[1] 李庆扬王能超等.数值分析[M].清华大学出版社

[2] 吴振远.科学计算实验指导书基于MATLAB数值分析[M].中国地质大学出版社

[3] 宋叶志.MATLAB数值分析与应用[M]. 机械工业出版社 , 2009.07

附录

三次样条插值主要代码：

function [m,p]=scyt1(x,y,df0,dfn)

n=length(x);

r=ones(n-1,1);

u=ones(n-1,1);

d=ones(n,1);

r(1)=1;

d(1)=6*((y(2)-y(1))/(x(2)-x(1))-df0)/(x(2)-x(1));

u(n-1)=1;

d(n)=6*(dfn-(y(n)-y(n-1))/(x(n)-x(n-1)))/(x(n)-x(n-1));

for k=2:n-1

u(k-1)=(x(k)-x(k-1))/(x(k+1)-x(k-1)); r(k)=(x(k+1)-x(k))/(x(k+1)-x(k-1));

d(k)=6*((y(k+1)-y(k))/(x(k+1)-x(k))-(y(k)-y(k-1))/(x(k)-x(k-1)))/(x(k+1)-x(k-1));

end

A=eye(n,n)*2;

for k=1:n-1

A(k,k+1)=r(k);

A(k+1,k)=u(k);

end

m=A\d;

ft=d(1);

syms t

for k=1:n-1 %求s(x)即插值多项式

p(k,1)=m(k)/(6*(x(k+1)-x(k)));

p(k,2)=m(k+1)/(6*(x(k+1)-x(k)));

p(k,3)=(y(k)-m(k)*(x(k+1)-x(k))^2/6)/(x(k+1)-x(k));

p(k,4)=(y(k+1)-m(k+1)*(x(k+1)-x(k))^2/6)/(x(k+1)-x(k));

sx(k)=p(k,1)*(x(k+1)-t)^3+p(k,2)*(t-x(k))^3+p(k,3)*(x(k+1)-t)+p(k,4)*(t-x(k)); end

kmax=1000;

xt=linspace(x(1),x(n),kmax);

for i=1:n-1 %出点xt对应的y值

for k=1:kmax

if x(i)<=xt(k)&xt(k)<=x(i+1)

fx(k)=subs(sx(i),xt(k));

end

end

end

plot(xt,fx,'r'); xlabel('x');

ylabel('y'); title('f');

text(x(fix(n/2)),y(fix(n/2)),'f')

hold on

plot(x,y,'*')

hold off