七年级上册北师版第二章有理数学案分解
第一节 有理数
【学习目标】
1．了解正数与负数是从实际需要中产生的；理解正数与负数的概念，会判断数是正数还是负数；
2．会用正负数表示具有相反意义的量，体会数学知识与生活的密切联系； 3.在负数概念的形成过程中，培养观察、归纳与概括的能力。 【学习方法】自主学习与合作探究相结合。
【学习重难点】重点：用正负数表示具有相反意义的量。
难点：理解正数与负数的概念，会按要求进行数的分类。
有理数????
???
??????????___
__________：_____________：_____________：_____________：
如负分数如正分数分数如负整数零如正整数整数 一、填空题
1.如果提高10分表示+10分，那么下降8分表示_______，不升不降用_______表示..如果向南走5 km 记为－5 km ，那么向北走10 km 记为____.如果收入2万元用+2万元表示，那么支出3000元，用_______表示..某乒乓球比赛用+1表示赢一局，那么输2局用_______表示，不输不赢用_______表示..某企业以1996年的利润为标准，2000年增加了10%记为+10%，2001年利润为－5%表示的意义是_______..节约用水，如果节约5.6吨水记作+5.6吨，那么浪费3.8吨水，记作_______.
2.大于－5.1的所有负整数为_____.
3.分数有_____，_____.
4.珠穆朗玛峰高出海平面8848米，表示为+8848米.吐鲁番盆地低于海平面155米,表示为____.
5.请写出3个大于－1的负分数_____. 二、选择题
1、下面是关于0的一些说法，其中正确说法的个数是（ ）
①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数.
A.0
B.1
C.2
D.3
2、在0，，－，－8，+10，+19，+3，－3.4中整数的个数是（ ）
A.6
B.5
C.4
D.3 3、下列说法正确的是（ ）
A.零上5℃与零下5℃意思一样，都是5℃.
B.正整数集合与负整数集合并在一起是整数集合.
C.收入－2000元表示支出2000元.
D.－a 是负数， a 是正数.
4、下列各数中，大于－小于的负数是（ ）
2151
2121
A.－
B.－
C.
D.0
5、.负数是指（ ）
A.把某个数的前边加上“－”号
B.不大于0的数
C.除去正数的其他数
D.小于0的数 三、解答题
1、下面是具有相反意义的量，请用箭头标出其对应关系
2、某天气预报显示，我国五个地区的最高气温第二天比第一天下降了12℃，这五个地区第一天最高气温如图所示，请填写第二天的最高气温
3、某同学语、数、外三科的成绩，高出平均分部分记作正数，低出部分记作负数，如表所示请回答，该生成绩最好和最差的科目分别是什
么？
12、某公司今年第一季度收入与支出情况如表所
示（单位：万元）
请问：(1)该公司今年第一季度总收入与总支出各多少万元？
(2)如果收入用正数表示，则总收入与总支出应如何表示？
(3)该公司第一季度利润为多少万元？
13、某地气象站测得某天的四个时刻气温分别为：早晨6点为零下3℃，中午12点为零上1℃，下午4点为0℃,晚上12点为零下9℃.
1.用正数或负数表示这四个不同时刻的温度.
2.早晨6点比晚上12点高多少度.
3.下午4点比中午12点低多少度.？
32
313
1
第二节数轴
一、学习目标
1、通过与温度计的类比认识数轴,会用数轴上的点表示有理数;
2、借助数轴了解相反数的概念,知道互为相反数的一对数在数轴上的位置关系;
3、利用数轴比较有理数的大小.
4、培养学生的观察、比较、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和动手能力，渗透数形结合的数学思想和方法.
二、重点难点
重点：数轴、相反数的概念及应用。
难点：数形结合的数学思想和方法的渗透，利用数轴比较有理数的大小。
(1)规定了______、________、__________的直线叫做数轴。(2)数轴的画法:画一条水平______，在直线上取一点，表示___（叫做______）,选取某一适当长度为__________，规定直线上向___的方向为，就得到一条数轴。
1.要判断一条直线是不是数轴，要抓住数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一：1.任何一个有理数都可以用数轴上的来表示。正有理数可以用原点_____的点表示，__________可以用原点左边的点表示，0用______表示。
2．利用数轴比较两个有理数的大小：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的；正数大于，负数小于，正数大于一切。
不可。2.三要素可以根据需要来确定。
一、选择题
1．下列所画的数轴中正确的是（）
A． B．
C． D．
2、互为相反数是指（）
A、具有相反意义的两个量
B、一个数的前面添上“–”号所得的数
C、数轴上原点两旁的两个点表示的数
D、只有符号不同的两个数
3、在数轴上距离原点4个单位长度的点所表示的数是（）
A、4
B、–4
C、4或–4
D、2或–2
4、大于–2.5而不大于3的整数（）
A、4个
B、5个
C、6个
D、7个
二、填空题
1、在数轴上表示+3的点在原点的______侧，距原点的距离是______个单位;表示–5的点原点的_____侧,它离原点的距离是_____个单位;表示+3的点位于表示–5的点的_____侧,根据_____,可得–5<3
2、若数轴上得点M和N点表示的两个数互为相反数,并且这两点间的距离为7.2,则这两个点表示的数分别和______和______.
3、正数的相反数是______数，一个数的相反数的相反数是______，0的相反数是______.
4、______的相反数大于它本身，______的相反数小于它本身.
三、解答题
1、指出数轴上A，B，C，D各点分别表示的有理数，并用“<”将它们连接起来.
2、先说出下列各数，再在数轴上把它们表示出来： （1）3的相反数；（2）–2的相反数；（3）2
1
1
的相反数的相反数；（4）0的相反数。
3、小明从家出来向东走3米，他在数轴上+3的位置上记A ，他又向东走5米记作B ，B 点表示什么数？如果他再向西走10米到C 点，C 点表示什么数？你能在数轴上记出小明到达的位置吗？你让他再到3各位置并再数轴上表示出来.
4、如图，一只蚂蚁从原点O 出发，它先向右爬了2个单位长度到达点A ，再向右爬了3个单位长度到达点B ，然后向左爬了9个单位长度到达点C 。
（1）写出A ，B ，C 三点表示的数；
（2）根据C 点在数轴上的位置回答蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行了几个单位长度？
3．绝对值
一、学习目标
1、借助数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值，会利用绝对值比较两个负数的大小。
2、通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。
3、通过运用“| |”来表示一个数的绝对值，培养学生的数感和符号感，达到发展学生抽象思维的目的； 二、重点难点
理解绝对值的概念；求一个数的绝对值；比较两个负数的大小。
归纳：如果两个数只有______不同，那么称其中一个数为另一个数的________,也称这两个数____________.特别地，0的相反数是____。如，+3的相反数是—3，也可以说+3与—3互为相反数。相反数是成对出现的，不能单独存在。
归纳：1.相反数的几何特征：（1）分别位于原点的_______；（2）与原点的距离______。 2.相反数的表示方法：如6的相反数是—6，即在6的前面添加一个“—”号，那么—3的相反数就可以表示成—（—3）=_____
归纳：正数的绝对值是___ ___；负数的绝对值是_____ _____；零的绝对值是__ _
a （a ﹥0）， 用式子表示： |a |= 0（______）， —a （_______）.
1.绝对值小于3的整数有 个,分别是 。
2..如果一个数的绝对值等于 4，那么这个数等于 。
3..用>、<、=号填空
│-5│ 0 , │+3│ 0, │+8│ │-8│ , │-5│ │-8│. 4..在数轴上表示下列各数，并求它们的绝对值：
，6 ，-3 ， ； 5..比较下列各组数的大小：
(1) (2)
(3) (4) 解：(1)
(2)
(3)
(4)
23-4
5;,72101--;
,5.032--;
,032-.7,7-
4.有理数的加法（1）
【学习目标】
1．经历探索有理数的加法法则的过程，能熟练运用法则进行计算；
2．在有理数加法法则的教学过程中，培养观察、比较、归纳及运算能力．
3．在小组协作学习过程中体会到数学活动的乐趣和意义。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】重点:有理数加法法则．
难点:异号两数相加的法则
归纳：有理数加法法则：⑴同号两数相加，；
⑵异号两数相加，绝对值相等时，；绝对值不等时，
。⑶一个数同0相加，。
1，某天股票A开盘价18元，上午11：30跌1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天收盘价为（）
A.0.3元
B.16.2元
C.16.8元
D.18元
2，能使|-11.3+（）| = | -11.3 |+|（）|成立的是（）
A.任意一个数
B.任意一个正数
C.任意一个非正数
D.任意一
个非负数
3，如果|a|=3，|b|=2，则|a+b|等于（）
A.5
B.1
C.5或1
D.±5或±1
4，当a<0，b<0时，比较大小：|a|+|b| |a+b|
5，某出租车司机小李某天下午营运全是在东西走向的人民大道上进行的，如果规定向东为正，想西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：+15，-2，+5，-1，+10，-3，-2，+12，+4，-5，+6.
（1）将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发点多远？
（2）若汽车耗油量为a升/千米，这天下午小李共耗油多少升？
解：⑴
⑵
第四节 有理数的加法（2）
【学习目标】
1．掌握有理数加法的运算律，并能运用加法运算律简化运算；
2．培养观察、比较、归纳及运算能力，进一步培养协作学习的能力． 【学习方法】自主探究与合作交流相结合。 【学习重难点】重点: 有理数加法运算律．
难点: 灵活运用运算律使运算简便． 归纳：加法交换律：a b += ____ 加法结合律：()a b c ++= _____
归纳：在使用运算律时，一般先把具有以下特征的数相加：（1）互为相反数的两个数（和为0）；（2）相加能得到_____的数；（3）分母_____的数或易通分的数;(4)符号相同的数结合。
1、计算：
（1）（—6）+8+（—4）+12；
（2）3
1
73312741
++??? ??-+
（3）0.36+(—7.4)+0.3+(—0.6)+0.64； （4）9+（—7）+10+（—3）+（—9）；
2、用简便方法计算下列各题：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
)127()65()411()310(-++-+75
.9)219
()29()5.0(+-++-)
539()518()23()52()2
1(++++-+-)4.2()6.0()2.1()8(-+-+-+-)
37
(75.0)27()43()34()5.3(-++++-+-+-
第五节有理数的减法
【学习目标】
1.经历探索有理数的减法法则的过程，并熟练地进行有理数减法运算；
2.培养观察、分析、归纳及运算能力，通过把减法转化为加法，；
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】重难点：有理数减法法则
归纳：减法法则：减去一个数,等于加上这个数的_______.表示：a—b=a+（—b）1，一个数加-3.6，和为-0.36，那么这个数是（）
A.-2.24
B.-3.96
C.3.24
D.3.96
2，下列计算正确的是（）
A.（-14）-（+5）= -9
B. 0-（-3）=3
C.（-3）-（-3）= -6
D.|5-3|= -（5-3）
3，较小的数减去较大的数，所得的差一定是（）
A.零
B.正数
C.负数
D.零或负数
4，（1）已知甲数是4的相反数，乙数比甲数的相反数大3，求乙数比甲数大多少？
（2）月球表面的温度中午是101℃，半夜是-153℃，中午比半夜温度高多少？
（3）物体位于地面上空2米处，下降3米后，又下降5米，最后物体在地面之下多米处？
5，某地连续五天内每天最高气温与最低气温记录如下表所示，哪一天的温差（最高气温与最低气温的差）最大？哪天的温差最小？
【学习目标】
1．能从具体情境中抽象出有理数加减混合运算，增强学习兴趣； 2．掌握有理数加减混合运算的技能，适当运用运算律简化运算； 3．能将加减混合运算统一成加法运算。 【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
归纳：在进行有理数的加减混合运算时，可以通过有理数的减法法则，把减法转化为加法，也就是将有理数的加减混合运算统一为单一的加法运算。 （一）、填空题 1、(5)______++= (5)______+-= (5)______-+= (5)______--=
（二）、计算
（1）－5－9+3； （2）10－17+8；
（3）－3－4+19－11； （4）－8+12－16－23． （5）13
15.5()44
-
++- （6）4.8 3.4( 4.5)---
（三）、选择合适的算法完成下面题目 （1）131()77+-- （2）12.54()2
-+- （3）111
324-++ （4）1241()()()2352
+---+-
(5)-4.2+5.7-8.4+10； (6)6.1-3.7-4.9+1.8；
【学习目标】 1．掌握有理数加减混合运算的技能，进行熟练运算；
2．通过解决简单实际问题过程的反思，获得解决问题的经验； 【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】重点：熟练进行有理数的加减混合运算，能应用运算律简化运算
难点：培养初步的数感及对数学活动的兴趣
（一）、计算题
1.+3－(－7)
2.(－32)－(+19)
3.－7－(－21)
4.(－38)－(－24)－(+65)
5、);31(21--
6、-2.25+;41
7、).4
3
(41-+
（二）、填空题
1.－4－_______=23.
2.36℃比24℃高_______℃，19℃比－5℃高_______℃.
3.A 、B 、C 三点相对于海平面分别是－13米、－7米、－20米，那么最高的地方比最低的地方高_______米.
4.冬季的某一天，甲地最低温度是－15℃,乙地最低温度是15℃，甲地比乙地低_______℃.
（三）、求-1，+2，-3，+4，-5，…，-99，100，这100个数的和.
【学习目标】
1．学会综合运用有理数加减法的相关知识去解决实际问题，为今后学习数据统计打基础。2．掌握运用多种图表进行统计的方法，初步理解数形结合的思想方法．
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
1.高寺一中初一(2)班学生的平均身高是160厘米.
(1)下表给出了该班6名同学的身高情况(单位:厘米).试完成下表:
(2)谁最高? 谁最低?
(3)最高与最矮的学生身高相差多少?
2. 一口井,水面比井口低3米,一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬,第一次往上爬了0.5米后又往后滑了0.1米;第二次往上爬了0.42米,却又下滑了0.15米;第三次往上爬了0.7米,却下滑了0.15米;第四次往上爬了0.75米,却下滑了0.1米;第五次往上爬了0.55米,没有下滑;第六次往上爬了0.48米.问蜗牛有没有爬出井口?
【学习目标】
1.了解有理数乘法的意义的基础上，掌握有理数乘法法则，初步掌握多个有理数相乘的积的符号法则；
2.理解倒数的定义以及求法；培养观察、归纳、概括及运算能力； 【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】重点：乘法的符号法则和连乘的符号法则
难点：积的符号的确定
归纳1：法则：两数相乘，同号得____；异号得____；______相乘；任何数与0相乘，仍得___ 归纳2：1.步骤：（1）确定符号（2）求绝对值的积。与小学的乘法的区别就是：符号的判断：如果a ＜0，b ＜0，那么ab 0；如果a ＜0，b ＞ 0，那么ab 0； 2.倒数：乘积为1的两个有理数互为 __ .如，—
3
2
的倒数是____,0.25的倒数是____，正数的倒数是_____，负数的倒数是______，0_____倒数。 归纳3：乘法法则的推广：几个不等于0的有理数相乘，积的符号由 决定， 的个数是奇数时，积为 ； 的个数是偶数时，积为 。几个有理数相乘时，有一个因数为0时，积为 。
1．两个数相乘，同号得___________，异号得_________，并把_________相乘； 2．一个数和任何数相乘都得0，则这个数是_________；
3．若干个有理数相乘，其积是负数，则积中负因数的个数是_________数． 4．填空
（1）1×（－7）－1＝_________， （2） 9×（－9）＋1＝___________，
12×（－7）－2＝_________， 98×（－9）＋2＝_________， 123×（－7）－3＝_________． 987×（－9）＋3＝_________． 5．下列说法正确的是（ ）
A ．异号两数相乘，取绝对值较大的因数的符号
B ．同号两数相乘，符号不变
C ．两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数异号
D ．两数相乘，如果积为正数，那么这两个因数都是正数 6．计算：
（1）（－13）×（－6） （2）－3
1
×0.15
（3）3×（－1）×（－
3
1
） （4）－2×4×（－1）×（－3）
【学习目标】
1．掌握多个有理数相乘的积的符号法则；
2．掌握有理数乘法的运算律，并利用运算律简化乘法运算； 【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】重点：乘法的符号法则和乘法的运算律
难点：积的符号的确定
归纳：运用运算定律可以简便运算，使运算更加准确。
乘法的交换律： ，乘法的结合律： 乘法对加法的分配律： （一）、计算：
⑴ ０×（－56 ） ； ⑵３×（－13 ）；
⑶（－３）×０.３ ； ⑷（－13）×（－6
7）；
（5）（－34 ）×（－８）； （6）３０×［（－13 ）－1
3 ］；
（7） （０.2５－23 ）×（－３６）； （8）８×（－45）×5
16
（二）选择题
1. 下列说法正确的是（ ） A. 两个数的积大于每一个因数
B. 两个有理数的积的绝对值等于这两个数的绝对值的积
C. 两个数的积是0，则这两个数都是0
D. 一个数与它的相反数的积是负数
2. 两个有理数的积是负数，和为零，则这两个有理数（ ）
A. 一个为零，另一个为正数
B. 一个为正数，另一个为负数
C. 一个为零，另一个为负数
D. 互为相反数
【学习目标】
1．理解有理数倒数的意义，不求一个数的倒数；
2．掌握有理数的除法法则，能够熟练地进行除法运算； 【学习方法】自主探究与合作交流相结合。 归纳：（1）两个有理数相除，同号得_____，异号得_____（填“正”或“负”），并把绝对值_______.（2）0除以任何非0的数都得______。 注意：0不能作______。 归纳：步骤：（1）确定符号（2）绝对值相除 归纳：1. 有理数除法规则（二）：除以一个不等于___的数等于 。 2．求一个有理数的倒数的方法：用1除以一个数，商就是这个数的倒数，正数的倒数是______，_____的倒数是负数，_____的倒数是它本身，___没有倒数 注意：（1）除法的混合运算，要按从左往右的顺序进行；（2）除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果。（3）切记看起运算，不要混淆了乘除运算。 1、计算：
⑴（－64）÷4； ⑵（－3÷5）÷（－3）；
⑶ 0÷（－16）； ⑷（－15）÷（ ）÷（－2）.
2、计算：
（1）（ 94-）÷（3
2
- ）; （2）（－6.5）÷0.13；
（3）（ 53- ）÷（ 52-）; （4） 5
4
÷（－1）．
4、填空题
（1）、若a >0,b <0,则_______0,ab _______0.
（2）、若a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，则2c +2d －3ab =_______；两个非零有理数相乘，同号得_____，异号得_____.
（3）、零与任意负数的乘积得_____.2）、一个数的
是－，这个数是_______. b
a
525
16
【学习目标】
1．理解有理数乘方的意义，并掌握幂、底数、指数的概念；
2．能进行有理数的乘方运算，在解决问题的过程中注意与他人的合作，增强团体意识； 3．通过观察、类比、归纳得出正确的结论。 【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
归纳：一般的，n 个相同因数a 相乘，记作____。这种求n 个相同因数a 的积的运算叫做______记作：n
a ，乘方的结果叫做_____a 叫做______，____叫做指数.
归纳：1.10n
的结果中的0的个数与指数一样，2.任何非零数的偶次幂为正。 注意：乘方运算时，注意观察指数带在谁的头上，如（2）中指数带在2的头上。
一、填空：（1）（-2）10
的底数是_______，指数是________，读作_________
(2)(-3)12
表示______个_______相乘,读作_________, (3)( 1/3)8的指数是________,底数是________读作_______,
(4)3.65
的指数是_________,底数是________,读作_______,x m
表示____个_____相乘,指数是______,底数是_______,读作_________. 二、选择题
1.a 为有理数，则下列说法正确的是（ ） A.a 2>0 B.a 2－1>0 C.a 2+1>0 D.a 3+1>0
2.下列式子中，正确的是（ ） A.－102=(－10)×(－10) B.32=3×2
C.(－)3=－××
D.23=32
3、下列说法正确的是（ ）
A.若一个数的平方为正数，则这个数一定不为0.
B.（－1）n =－n .
C.一个数的平方一定大于这个数.
D.平方是8的数有2个，它们是±2.3.三、计算：
(1)(－)3 (2)－32×23 (3)(－3)2×(－2)3
(4)－2×32 (5)(－2×3)2 (6)(－2)14×(－)15
四、.若a 2=16,b 2=9,则a －b =_____.
2121212131
21