平面向量内积的坐标运算与距离公式
平面向量内积的坐标运算与距离公式
德清乾元职高朱见锋
【教材分析】：本课是在平面向量坐标运算、内积定义基础上学习的，主要知识是平面向量内积的坐标运算与平面内两点间的距离公式，是后面学习曲线方程的重要公式和推导依据，是进一步学习相关数学知识的重要基础。
【教学目标】
1. 掌握平面向量内积的坐标表示，会应用平面向量内积的知识解决平面内有关长度、两向量的夹角和垂直的问题．
2. 能够根据平面向量的坐标，判断两向量是否垂直，求两向量的夹角等。
3. 通过学习平面向量的坐标表示，使学生进一步了解数学知识的相同性，培养学生辩证思维能力．提高学生数学知识的应用能力。
【教学重点】：平面向量内积的坐标公式式，平面向量垂直的充要条件，平面内两点间距离公式的应用．
【教学难点】：平面向量内积的坐标公式的推导和应用。
【教学方法】本节课采用问题启发式教学和讲练结合的教学方法．
【教学过程】
【设计理念】
数学学习是一个知识理解、迁移、转化的过程，因此要实现教学的有效性，必须知识点的迁移、转化，引导学生充分利用自己已有的知识与经验，通过对问题的探究与解决，实现数学知识的转化，从而实现数学知识的归纳和应用，达成教学目标。
向量的坐标及向量积
龙文教育一对一个性化辅导教案 学生伍靖雯学校第四十一中年级高一次数第 8次 科目数学 教师林泽钦日期2016-4-16时段 10：00-12： 00 课题向量的坐标运算及向量积 教学重点1.平面向量的坐标运算 2.平面向量的夹角公式 教学 难点 1.平面向量与三角函数结合 教学目标1.掌握平面向量的坐标运算 2.掌握向量积公式的应用及与三角函数的综合型问题 教学步骤及教学内容一、错题回顾： 已知() P4,1,F -为抛物线28 y x =的焦点，M为此抛物线上的点，求|MP|+|MF|的值最小，并求此时M点的坐标. 二、内容讲解： 主要知识点1:平面向量的坐标运算 主要知识点2:平面向量的积运算 主要知识点3:平面向量与三角函数结合 三、课堂总结： 1、平面向量的坐标运算 2、平面向量的积运算 四、作业布置： 见讲义
一.错题回顾 已知()P 4,1,F -为抛物线28y x =的焦点，M 为此抛物线上的点，求|MP|+|MF|的值最小，并求此时M 点的坐标. 二、内容讲解 （一）平面向量的坐标运算 (1)已知向量 和实数λ，那么 . (2)已知 则 ，即一个向 量的坐标等于该向量的_______的坐标减去________的坐标. 例1. 若A （2，-1），B （-1，3），则的坐标是( ) A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对 例2．若a =(2,1),b =(1,0)，则3a +2b 的坐标是 A.(5，3) B.(4，3) C.(8，3) D.(0，-1) 管理人员签字： 日期： 年 月 日 作业布置 1、学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 备注： 2、本次课后作业： 课堂小结 小结 家长签字： 日期： 年 月 日
(整理)平面向量的内积
课题：平面向量的内积 教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式⑶能用所学知识解决有关综合问题 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a 与b ，作＝a ，＝b ，则∠A ＯB ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b 的夹 角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫a 与b 的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ， （０≤θ≤π）.并规定0 与任何向量的数量积为0 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积 4．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量 1 e a = a e =|a |cos ； 2 a b a b = 0 3 当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |
特别的a a = |a |2或a a a || 4 cos =| |||b a b a ；5 |a b | ≤ |a ||b | 5． 平面向量数量积的运算律 交换律：a b = b a 数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b ) 分配律：(a + b ) c = a c + b c 二、讲解新课： ⒈平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量),(11y x a ，),(22y x b ，试用a 和b 的坐标表示b a 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么 j y i x a 11 ，j y i x b 22 所以))((2211j y i x j y i x b a 2211221221j y y j i y x j i y x i x x 又1 i i ，1 j j ，0 i j j i 所以b a 2121y y x x 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即b a 2121y y x x 2.平面内两点间的距离公式 （1）设),(y x a ，则2 22||y x a 或22||y x a （2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么 221221)()(||y y x x a (平面内两点间的距离公式)
高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。
向量公式大全
向量公式大全 『ps.加粗字母表示向量』1.向量加法 羈AB+BC=AC a+b=(x+x'，y+y') a+0=0+a=a 运算律： 交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 2.向量减法 罿AB-AC=CB 即“共同起点，指向被减”
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 3.数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣ 当λ＞0时，λa与a同方向 当λ＜0时，λa与a反方向 当λ=0时，λa=0，方向任意 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0 『ps.按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0』实数λ
向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩 当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的∣λ∣倍 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的∣λ∣倍 数乘运算律: 结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb) 向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ 4.向量的数量积
定义：已知两个非零向量a,b作OA=a,OB=b,则∠AOB称作a和b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a?b若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?c os〈a，b〉若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣ 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y' 向量数量积运算律 a?b=b?a(交换律) (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律) (a+b)?c=a?c+b?c(分配律) 向量的数量积的性质 a?a=|a|2 a⊥b〈=〉a?b=0
向量公式汇总
向量公式汇总 平面向量 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。 当λ＞0时，λa与a同方向； 当λ＜0时，λa与a反方向； 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 4、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则ab=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'。 向量的数量积的运算律 ab=ba（交换律）； (λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律)； （a+b)c=ac+bc（分配律）；
平面向量的内积
【课题】7.3 平面向量的内积 【教学目标】 知识目标： （1）了解平面向量内积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究相关问题奠定基础. 水平目标： 通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的水平． 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．所以，向量的内积又叫做数量积． 在讲述向量内积时要注意： （1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定； （2）向量数量积的准确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中： （1）当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．能够记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数． （2）|a |显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础； （3）cos＝|||| ?a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础； （4）“a ·b ＝0?a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础． 【教学备品】
教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】 + F cos30 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有
平面向量的内积教案知识讲解
平面向量的内积教案
平面向量的内积 【教学目标】 知识目标： （1）了解平面向量内积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标： 通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积． 在讲述向量内积时要注意： （1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定； （2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中： （1）当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数． （2）|a |算向量模的公式的基础； （3）cos＝ |||| ?a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础； （4）“a ·b ＝0?a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．
【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(80分钟) 【教学过程】 *揭示课题 7.3 平面向量的内积 *创设情境 兴趣导入 如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成?30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？ 动脑思考 探索新知 【新知识】 我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则 F =x i + y j sin 30cos30F i F j =?+?， 即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即 W ＝｜F ｜cos ?30·｜s ｜＝100×2 3·10＝5003 （J ） 图7—21
高中数学平面向量公式
1、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'。 向量的数量积的运算律 a?b=b?a（交换律）； (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)； （a+b)?c=a?c+b?c（分配律）； 向量的数量积的性质 a?a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a?b=0。 |a?b|≤|a|?|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由a?b=a?c (a≠0)，推不出b=c。 3、|a?b|≠|a|?|b| 4、由|a|=|b| ，推不出a=b或a=-b。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a； （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； （a+b）×c=a×c+b×c. 注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； ①当且仅当a、b反向时，左边取等号； ②当且仅当a、b同向时，右边取等号。 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 ①当且仅当a、b同向时，左边取等号； ②当且仅当a、b反向时，右边取等号。 4、定比分点
常用的一些矢量运算公式
常用的一些矢量运算公式 1.三重标量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三 个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为 (),,i j k ，令三个矢量的分量记为()()1 2 3 1 2 3 ,,,,,a a a a b b b b 及()1 2 3 ,,c c c c 则有 ()() 123 123 1 2 3123 123 123 c c c i jk a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ??=?++= 因此，三重标量积必有如下关系式： ()()()a b c b c a c a b ??=??=??即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。 2.三重矢量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ( ) a b c ??叫做他们的三重标量积，因有 ()()()a b c a c b c b a ??=-??=?? 故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:() ()()a b c a b c a c b ??=-?+? （1-209） 将矢量作重新排列又有：()()() a b c b a c b a c ?=??+? （1-210） 3.算子（ a ? ） ? 是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（ a ? ）则是一个标量算子，将它作用于标量φ ，即 ()a φ?是φ在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量 d r 代替以上矢量a ，则 ()dr φ ?是φ在位移方向 d r 的变化率的 d r 倍，即 d φ 。 () ()d dr dr φφφ=?=? 若将 () dr ?作用于矢量v ，则 ()dr v ?就是v 再位移方向 d r 变化率的 d r 倍，既为速度矢量 的全微分() dv d r v =? 应 用 三 重 矢 量 积 公 式 （ 1-209 ） ()()() 00()()()() a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+??
平面向量内积的坐标运算
课 题：平面向量数量积的坐标表示 教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式 ⑶能用所学知识解决有关综合问题 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a 与b ，作＝a ，OB ＝b ，则∠A ＯB ＝θ（０≤θ≤ π）叫a 与b 的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是 θ，则数量|a ||b |c os θ叫a 与b 的数量积，记作a ?b ，即有a ?b = |a ||b |c os θ， （０≤θ≤π）.并规定0 与任何向量的数量积为0 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |c os θ的乘积 4．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量 1?e ?a = a ?e =|a |c os θ；2?a ⊥b ? a ?b = 0 3?当a 与b 同向时，a ?b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ?b = -|a ||b | 特别的a ?a = |a |2或a a a ?=||
4?c os θ =| |||b a b a ? ；5?|a ?b | ≤ |a ||b | 5． 平面向量数量积的运算律 交换律：a ? b = b ? a 数乘结合律：(λa )?b =λ(a ?b ) = a ?(λb ) 分配律：(a + b )?c = a ?c + b ?c 二、讲解新课： ⒈平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a ? 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么 j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=?2211221221j y y j i y x j i y x i x x +?+?+= 又1=?i i ，1=?j j ，0=?=?i j j i 所以b a ?2121y y x x += 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即b a ?2121y y x x += 2.平面内两点间的距离公式 （1）设),(y x a = ，则222||y x a += 或 ||a = （2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-= (平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定 设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a ⊥ ?02121=+y y x x
平面向量知识点总结归纳
平面向量知识点总结归纳 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()() a b c a b c ++=++ ； ③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． b a C B A a b C C -=A -AB =B
设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =-- ． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相 反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 5、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、 () 0b b ≠ 共线． 6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于 这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ， ()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??． 8、平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤ ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??= ．②当a 与b 同向时， a b a b ?= ；当a 与b 反向时，a b a b ?=- ；22a a a a ?== 或a ．③ a b a b ?≤ ． ⑶运算律：①a b b a ?=? ；②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；③() a b c a c b c +?=?+? ． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，则1212a b x x y y ?=+ ．
平面向量的内积练习
第9—10课时 2014.11.5周三 教学题目：平面向量的内积练习1 教学目标： 1、掌握平面向量内积的公式、性质、运算律； 2、利用平面向量内积的公式、性质、运算律解答相关问题． 教学内容： 1、平面向量内积的公式、性质、运算律； 2、利用平面向量内积的公式、性质、运算律解答相关问题． 教学重点：利用平面向量内积的公式、性质、运算律解答相关问题． 教学难点：利用平面向量内积的公式、性质、运算律解答相关问题． 教学方法：讲授法、练习法. 教学过程： 数学练习册《平面向量的内积——A 组》 一、选择题 1、21b 4,,3 a a b π==<>=r r r r ，则a ·的值（ ） A 、2 B 、-2 C 、2± D 、 12 2、已知a b ?=r r 3,2a b ==r r 则,a b <>r r 的值为（ ） A 、 56π B 、6π- C 、3π D 、6π 3、向量()3,4a =-r 的长度是（ ） A 、5 B 、7 C 、1 D 、5±
4、已知P ,Q 两点的坐标分别为（3,1）（2，-3）则PQ u u u r 的值（ ） A 、 B 、3 C D 、5、在平面直角坐标系中，下列四对向量中，不垂直的是（ ） A 、(3,4),(2,1)a b -=-r r B 、(3,4),(4,3)a b --=-r r C 、a b =r r D 、(,),(,)a x y b y x =-r r 6、ABC ?三个顶点的坐标分别为(6,1),(4,1),(7,0)A B C -则ABC ?是（ ）三角形 A 、锐角 B 、钝角 C 、直角 D 、等腰 7、已知点(1,8),(2,4)A B -则AB 的值为（ ） A 、5 B 、25 C 、13 D 8、下面给出的向量的直角坐标其中不是单位向量的是（ ） A 、(cos ,sin )αα B 、11,22?? ??? C 、122?? ? ??? D 、34,55??- ??? 二、填空题 1、a b ⊥r r 的充分条件是 .2、07,12,,120a b a b ==<>=r r r r ，则a b ?r r = . 3、8a b ?=-r r ，2,4a b ==r r ，则,a b <>=r r . 4、已知()()3,4,,3a b x ==-r r ，若a b ⊥r r 则x= . 三、解答题 1、已知3,2,a b a b ==⊥r r r r 求 ()(23)a b a b +?-r r r r . 2、已知向量a b =r r 求a r ，b r 和,a b <>r r . 3、已知6,4,a b ==r r 0,60a b <>=r r 求a b +r r . 作业布置： （一）、抄写公式： 1、1212cos ,a b a b a b x x y y ?==+r r r r r r
平面向量公式
平面向量公式 1.向量三要素：起点，方向，长度 2.向量的长度=向量的模 3.零向量：? ??方向任意长度为 .20.1 4.相等向量：?? ?长度相等 方向相同 .2.1 5.向量的表示：AB ()始点指向终点 6.向量的线性加减运算法则： ()()???? ?=-=+终点指向始点 始点指向终点， CB AC AB AC BC AB ,21 7.实数与向量的积： ()()a a λμμλ=.1 ()a a a μλμλ+=+.2 ()b a b a λλλ+=+.3 4.()y x a λλλ,=? 5.a b b a ?=? 6.()()b a b a ??=?λλ 7.()c b c a c b a ?+?=?+ 注；()()c b a c b a ≠? 8.定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得: a b λ= 9.平面向量基本定理：如果e 1 ，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 : e e a 2211λλ+= 10.坐标的运算： ()1?? ? ? ?+ =y x a ?y x a 22 +=
()2已知；A ()y x 11+，B () y x 22+?() ( )() ?? ???+=--=--y y x x y y x x AB AB 1212.2,.12 2 1212 ()3已知；()y x a 11,= ，()y x b 22,= () ()?? ???+?=?±±=±?和它们对应坐标的乘积的两个向量的数量积等于y y x x y y x x b a b a 21212 121.2,.1 ()4已知；()y x a 11,=//()y x b 22,=01 2 2 1 =?-?y x y x (横纵交错乘积之差为0） ()5已知；已知；()y x a 11,=⊥ ()y x b 2 2 ,= 02 1 2 1 =?+??y y x x （对应坐标乘积之和为0） 10.数量积b a ?等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影θcos ?b 的乘积： θcos ??=?b a b a ()的夹角与为b a θ 变形?b a b a ?= θcos 11.线段的定比分点： 设()x x p 211, ，()y x p 222, ，P ()y x ,是不同于直线p 2 1,上 的任意两点；即有： p p p p 21λ=?? ? ???外在点内 在点p p p p p p 212 100λλ （其中p 为定比分点；λ为定比。） （1）.线段的定比分点“定比”λ=p p p p 2 1 （终点 分点分点 始点→→）
向量积的运算公式及度量公式
如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！ 张喜林制 2.3.2 向量数量积的运算律 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 考点知识清单 1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律： (3)数乘向量结合律： 2．常用结论： 3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=?b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则 如果,02211=+b a b a 则 对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直． 5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b 6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB 要点核心解读 1．向量数量积的运算律 a b b a ?=?)1(（交换律） ； )()())(2(b a b a b a λλλ?=?=?（结合律） ； c b c a c b a ?+?=?+))(3(（分配律） ． 2．向量数量积的运算律的证明 a b b a ?=?)1(（交换律） 证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ?>=<>=<=? )()()()2(b a b a b a λλλ?=?=?（结合律） 证明：.,cos ||||)(><=?b a b a b a λλ① 当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ 当0=λ时，,00)0()(=?=?=?b b a b a λ
平面向量的数量积的物理背景及其含义
人教版高中数学必修4 教学设计 《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》 丰南区唐坊高中苗云桥
一．教学内容分析 本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4（人教A版）§2.4 平面向量的数量积的第一课时,本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律,本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程. 二．学生学习情况分析 学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上,学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断. 三．设计思想 遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导，采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展， 引导学生积极将知识融入自己的知识体系。 四．教学目标 知识与技能：以物理中功的实例认识理解平面向量数量积的含义及物理意义。 过程与方法：培养学生观察、归纳、类比、联想和数形结合等发现规律的一般方法。 情感态度价值观：让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程，性质的发现到论证过程，进一步参悟数学的本质。 五．教学重点和难点 重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。 六．教学过程设计 活动一：创设问题情景，引出新课 1、提出问题：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？ 答：向量的加法、减法及数乘运算。这些运算的结果是向量。 很好，那既然两个向量可以进行加法、减法运算。我们自然就想：两个向量能进行乘法运算吗？如果能，结果也是向量吗？
向量公式大全83635
向量公式 设a=（x，y），b=(x'，y')。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。 当λ＞0时，λa与a同方向； 当λ＜0时，λa与a反方向； 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b
(完整版)高考平面向量公式(教师)
第七辑 平面向量专题 一，基本概念 1，向量的概念：有大小有方向的量称为向量。 2，向量的表示：几何表示为有向线段（如图）；字母表示为a 或者AB 。 3，向量的大小：即是向量的长度（或称模） 4，零向量：长度为0的向量称为零向量，记为，零向量方向是任意的。 5，单位向量：长度为一个单位的向量称为单位向量，一般用、 1= 1= 6，平行向量（也称共线向量）：方向相同或相反的向量称为平行向量，规定零向量与任意向量平行。若平行于，则表示为∥。 7，相等向量：方向相同，大小相等的向量称为相等向量。若a 与b 相等，记为a =b 8，相反向量：大小相等，方向相反的向量称为相反向量。若a 与b 是相反向量，则表示为=-；向量-= 二，几何运算 1，向量加法： （1）平行四边形法则（起点相同），可理解为力的合成，如图所示： （2）三角形法则（首尾相接），可理解为：位移的合成，如图所示， （3）两个向量和仍是一个向量； （4）向量加法满足交换律、结合律：a b b a +=+，)()(c b a c b a ++=++ （5）加法几种情况（加法不等式）： = << = 2，减法： （1）两向量起点相同，方向是从减数指向被减数，如图=- （2）两向量差依旧是一个向量； （3）减法本质是加法的逆运算：CB CA AB CB AC AB =+?=- 3，加法、减法联系： （1）加法和减法分别是平行四边行两条对角线，AC AD AB =+，=- （2=，则四边形ABCD 为矩形 B A a C B A ? a b a b a b b a +
4，实数与向量的积： （1）实数λ与向量a 的积依然是个向量，记作a λ，它的长度与方向判断如下： 当0>λ时，a λ与a 方向相同；当0<λ时，a λ与a 方向相反；当0=λ时，0=a λ；当0=a 时，0=a λ ；=λ（2）实数与向量相乘满足：)()(λμμλ= μλμλ+=+)( λλλ+=+)( 5，向量共线： （1）向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得λ= （2）如图，平面内C B A ,,三点共线的重要条件是存在三个不为零的实数q n m ,,， 使得=++n m q ，且0=++q n m ，反之也成立。 （3）AC AB λ=，则OC OA OB λλ+-=)1(（证明略） 6，向量的数量积 （1 ）数量积公式：= ?=?θθcos cos （2）向量夹角θ：同起点两向量所夹的角，范围是[] 0180,0∈θ （3）零向量与任一向量的数量积为0，即00=?a （4 ）数量积与夹角关系：b a ≤?≤ 00=θ 00900<<θ 090=θ 0018090<<θ 0180=θ =? 0>?> 0=? >?>0 =?（5 = θcos 称为b 在a = θcos a 在b 的方向上的投影 （6）重要结论：直角三角形ABC 中，2 =? （7）向量数量积的运算律： 2a = e =（向量e 为与a 方向相同的单位向量） ?=? )()()(λλλ?=?=? =?+)(?+? 2222)(+?+=+ 2222)(+?-=- 2 2)()(-=-?+ b a b a b a b a b a
平面向量内积坐运算
平面向量内积坐运算
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2
课 题：平面向量数量积的坐标表示
教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式
新疆 王新敞
奎屯
⑶能用所学知识解决有关综合问题 新疆 王新敞 奎屯
教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量
a与
b
，作
OA
＝
a，
OB
＝
b
，则∠AＯB＝θ（０≤θ≤
π）叫
a与
b
的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量
a与
b
，它们的夹角是
θ，则数量|
a||
b
|cos叫
a与
b
的数量积，记作
a
b
，即有
a
b
=
|
a||
b
|cos，
（０≤θ≤π）.并规定
0
与任何向量的数量积为
0 新疆 王新敞
奎屯
3．向量的数量积的几何意义：
数量积
a
b
等于
a的长度与
b
在
a方向上投影|
b
|cos的乘积
新疆 王新敞
奎屯
4．两个向量的数量积的性质：
设
a、
b
为两个非零向量，
e是与
b
同向的单位向量
新疆 王新敞
奎屯
1 e a =
a
e
=|
a|cos；2
a
b
a
b
=0
3当
a与
b
同向时，
a
b
=
|
a||
b
|；当
a与
b
反向时，
a
b
= | a || b |新疆
王新敞
奎屯
特别的 a a = | a|2 或| a| a a
3
2020高考数学专题复习《平面向量的坐标运算》
平面向量的坐标运算 一、知识精讲 1.平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2.平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i、j 作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y 使得a＝xi＋yj，则把有序数对(x，y)叫做向量a 的坐标．记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示． (2)在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝ (0,0)．3．平面向量的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. [小问题·大思维] 1.与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？ 提示：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．
2.已知向量OM ＝(－1，－2)，M 点的坐标与OM 的坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同；OM ＝(－1，－2)，而M(－1，－2)．3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？ 提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量． 4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？ 提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变． 5 x1 y1 ．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，是否有＝成立？ x2 y2 x1 y1 提示：不一定．由于＝的意义与x1y2－x2y1＝0 的意义不同，前者不 x2 y2 允许x2和y2为零，而后者允许，当x1＝x2＝0，或y1＝y2＝0 或x2＝y2＝0 时，a∥b x1 y1 但＝不成立． x2 y2 二、典例精析 例1、如图所示，已知△ABC，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D 分别是AB，AC，BC 的中点，且MN 与AD 交于点F，求DF 的 坐标．