2019高考数学总练习练习-8-5简单几何体的面积与体积

【一】选择题

1、一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，那么球的表面积为( )

A 、82π

B 、8π

C 、42π

D 、4π [答案] B

[解析] 球的半径R ＝12＋12

＝2，

∴S ＝4πR 2

＝8π应选B.

2、(2017·陕西理，5)某几何体的三视图如下图所示，那么它的体积是( )

A 、8－2π3

B 、8－π3

C 、8－2π

D. 2π3

[答案] A

[解析] 本小题考查几何体的三视图与体积计算，此几何体为正方体内有一倒置圆锥、

∴V ＝2×2×2－13×π×2＝8－2π

3、(文)将一个边长为a 的正方体切成27个全等的小正方体，那么表面积增加了( )

A 、6a 2

B 、12a 2

C 、18a 2

D 、24a 2

[答案] B

[解析] 依题意，小正方体的棱长为a

3，所以27个小正方体的表面积总

和为27×6×? ??

a 32

＝18a 2，增加了18a 2－6a 2＝12a 2. (理)假设一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，那么这个圆锥的全面积为( )

A 、3π

B 、33π

C 、6π

D 、9π [答案] A

[解析] 正三角形的面积求其边长，然后利用圆锥的母线，底面半径与轴截面以及三角形之间的关系，由圆锥的全面积公式可求，如图，设圆锥轴

截面三角形的边长为a ，那么34a 2＝3，∴a 2

＝4，∴a ＝2，

∴圆锥的全面积S ＝π? ????a 22

＋π·a 2·a ＝3π.

4、设矩形的边长分别为a ，b (a ＞b )，将其按两种方式卷成高为a 和b 的圆柱筒，以其为侧面的圆柱的体积分别为V a 和V b ，那么( )

A 、V a ＞V b

B 、V a ＜V b

C 、V a ＝V b

D 、V a 和V b 的大小不确定 [答案] B

[解析] 由题意，V b ＝π(a 2π)2b ＝14πa 2b ，V a ＝π(b 2π)2a ＝14πb 2

a ，因为a ＞

b ，所以V a ＜V b .

5、(2017·新课标文)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，那么该球的表面积为( )

A 、3πa 2

B 、6πa 2

C 、12πa 2

D 、24πa 2

[答案] B

[解析] 此题考查了长方体的外接球的表面积的算法，此题是简单题，在解决问题时首先考虑借助长方体和球的关系求得球的半径、

由题可知，长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点在同一个球

面上，所以球的直径等于长方体的体对角线的长度，故2R ＝4a 2＋a 2＋a 2

，

解得R ＝6

2a ，所以球的表面积S ＝4πR 2＝6πa 2

，应选B.

6、三棱锥O —ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC ＝1，OA ＝x ，OB ＝y ，假设x ＋y ＝4，那么三棱锥体积的最大值是( )

A.13

B.23

C 、1 D.4

3 [答案] B

[解析] 由条件可知V 三棱锥O —ABC ＝16OA ·OB ·OC ＝16xy ≤16(x ＋y 2)2

＝2

3，当

x ＝y ＝2时，取得最大值2

【二】填空题

7、(2017·天津文，10)一个几何体的三视图如下图所示(单位：m)，那

么该几何体的体积为______m 3

[答案] 4

[解析] 此题考查立体几何中的三视图、考查同学们识图的能力，空间想象能力等基本能力、把三视图转化为直观图是解决问题的关键、

由三视图可知，对应的几何体为上下叠放的两个直四棱柱，其体积为两个四棱柱体积之和、

V ＝V 1＋V 2＝2＋2＝4.

8、(青岛二模)假设正三棱锥的正视图与俯视图如下图所示(单位：cm)，

那么它的侧视图的面积为________cm 2

[答案] 3

[解析] 由该正三棱锥的正视图和俯视图可知，其侧视图为一个三角

形，它的底边长等于俯视图的高即3

2，高等于正视图的高即3，所以侧视

图的面积为S ＝12×32×3＝3

4cm 2

【三】解答题 9、四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1垂直于底面，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，E ，F 分别为A 1D ，CD 中点、

(1)求证：EF ∥平面A 1ACC 1；

(2)求证：CD ⊥平面A 1ACC 1，并求四棱锥D —A 1ACC 1的体积、

[证明] (1)连A 1C ，

∵E 、F 分别为A 1D ，CD 中点，∴EF ∥A 1C ，又∵A 1C 平面A 1ACC 1，EF 平面A 1ACC 1 ∴EF ∥平面A 1ACC 1

(2)四边形ABCD 为直角梯形且AD ∥BC ， AB ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝BC ＝1，

∴AC ＝CD ＝2，∴AD 2＝AC 2＋CD 2

，∴CD ⊥AC ，又∵AA 1⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ，∴CD ⊥AA 1， AA 1平面A 1ACC 1.AC 平面A 1ACC 1， ∴CD ⊥平面A 1ACC 1

∴CD 为四棱锥D —A 1ACC 1的高，

∴V ＝13S A 1

ACC 1

·CD ＝13·2·2·2＝43.

【一】选择题

1、假设圆锥轴截面的顶角θ满足π3<θ<π

2，那么其侧面展开图中心角α满足( )

A.π4<α<π3

B.π3<α<π2

C.π

2<α<π D 、π<α<2π [答案] D

[解析] ∵θ∈? ????π3，π2 ∴θ2∈? ????

π6

，π4， ∴sin θ∈? ?????12，22.又r l ＝sin θ∈? ?????12，22，

∴其侧面展开图中心角α＝r

l ·2π∈(π，2π)、

2、(文)某几何体的三视图下如下图所示(单位：cm )，那么该几何体的

体积为( )

A 、(16＋π)cm 3

B 、(16＋3π)cm 3

C 、(20＋4π)cm 3

D 、(18＋π)cm 3

[分析] 此题考查三视图、长方体和圆柱体的体积计算，解题的关键是根据三视图想象出几何体的直观图，再利用体积公式进行求解、

[答案] B

[解析] 由三视图知，该几何体的上部分是正四棱柱，下部分是圆柱、

正四棱柱的底面边长为4cm ，高为1cm ，其体积为16cm 3

；圆柱的底面半径为

1cm ，高为3cm ，其体积为3πcm 3.所以该几何体的体积为(16＋3π)cm 3

(理)(2017·全国卷Ⅰ理)在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，假设AB ＝CD ＝2.那么四面体ABCD 的体积的最大值为( )

A.233

B.433

C 、2 3 D.83

3 [答案] B

[解析] 过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD ，交AB 于P ，设点P 到CD

的距离为h ，那么有V 四面体ABCD ＝13×2×12×2×h ＝2

3h ，当直径通过AB 与CD 的

中点时，h max ＝222－12

＝23，故V max ＝43

【二】填空题

3、(文)(2017·新课标理，15)矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝6，BC ＝23，那么棱锥O －ABCD 的体积为________、

[答案] 8 3

[解析] 此题主要考查球的几何性质以及锥体的体积公式、

依题意，矩形的对角线AC ＝43， ∴球心O 到平面ABCD 的距离为d ＝2.

∴V 棱锥O －ABCD ＝13×d ×|AB |×|BC |＝1

3×2×6×23＝8 3.

(理)(2017·新课标文，16)两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底

面的圆周都在同一个球面上、假设圆锥底面面积是这个球面面积的3

16，那么这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________、

[答案] 1

[解析] 设圆锥底面圆半径为r ，球的半径为R ，那么由πr 2

＝316×4π

R 2，知r 2

＝3

4R 2.

根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O ，且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点，因此PB ⊥QB .

设PO ′＝x ，QO ′＝y ，那么x ＋y ＝2R . ①

又△PO ′B ∽△BO ′Q ，知r 2＝O ′B 2

＝xy .

即xy ＝r 2＝3

4R 2. ②

由①②及x >y 可得x ＝32R ，y ＝R

那么这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为1

3. [点评] 本小题考查球的表面积公式、球的截面的性质、球的大圆的性质以及平面几何中的三角形相似等知识，考查利用所学知识综合分析问题的能力、逻辑推理能力及运算求解能力，求解的关键是明确过圆锥与球面交点的母线与圆锥的高构成直角三角形及两圆锥的高过球心，此题对能力要求较高，难度较大、

4、(文)一个几何体的三视图如下图所示，那么这个几何体的体积为_____、

[答案] 10

[解析] 由三视图知，该几何体由一个高为1，底面边长为2的正四棱

锥和一个高为2，底面边长为1的正四棱柱组成，那么体积为2×2×1×1

3＋

1×1×2＝10

(理)(2017·湖北理)圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，假设放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如下图所示)，那么球的半径是________cm.

[答案] 4

[解析] 设球的半径为r ，根据题意可得8πr 2

＋3×4

3πr 3＝6πr 3

，解得r ＝4.

【三】解答题

5、(2017·福建文，20)如下图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，

AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB .

(1)求证：CE ⊥平面PAD ；

(2)假设PA ＝AB ＝1，AD ＝3，CD ＝2，∠CDA ＝45°，求四棱锥P －ABCD 的体积、

[解析] (1)∵PA ⊥底面ABCD ，CE 平面ABCD ∴CE ⊥PA ，

又∵AB ⊥AD ，CE ∥AB .∴CE ⊥AD . 又∵PA ∩AD ＝A ，∴CE ⊥平面PAD . (2)由(1)知CE ⊥AD .

在Rt △ECD 中，DE ＝CD ·cos45°＝1，CE ＝CD ·sin45°＝1. 又∵AB ＝CE ＝1，AB ∥CE ，所以四边形ABCE 为矩形、

∴S 四边形ABCD ＝S 矩形ABCE ＋S △CDE ＝AB ·AE ＋1

2CE ·DE

＝1×2＋12×1×1＝5

2. 又PA ⊥底面ABCD ，PA ＝1

所以V 四棱锥p －ABCD ＝13S 四边形ABCD ×PA ＝13×52×1＝5

6、球的半径为R ，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？

[解析] 作轴截面如下图，令圆柱的高为h ，底面半径为r ，侧面积为S ，

那么? ??

h 22

＋r 2＝R 2，即h ＝2×R 2－r 2，

∴S ＝2πrh ＝4πr ·R 2－r 2

＝4πr 2·R 2－r 2

≤4π

? ??

r 2＋R 2－r 222

＝2πR 2，当且仅当r 2

＝R 2

－r 2

时取等号，此时内接圆柱底面半径为2

2R ，高为2R ，最大侧面积等于2πR 2.

7、(文)如下图，四棱锥P －ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 为四棱锥的高、

(1)证明：平面PAC ⊥平面PBD ；

(2)假设AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥P －ABCD 的体积、 [解析] 此题综合考查立体几何的知识，其中主要考查面面垂直的判定定理和棱锥的体积公式，在解决时要仔细审核题意，找准入手点进行解决，题目定位于中低档题，考查处理立体几何的常规方法、

(1)因为PH 是四棱锥P －ABCD 的高，

所以AC ⊥PH .又AC ⊥BD ，PH ，BD 都在平面PBD 内，且PH ∩BD ＝H ，所以AC ⊥平面PBD ，故平面PAC ⊥平面PBD .

(2)因为ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB ＝6，所以HA ＝HB ＝ 3.

因为∠APB ＝∠ADB ＝60°，所以PA ＝PB ＝6，HD ＝HC ＝1，可得PH ＝3，

等腰梯形ABCD 的面积为S ＝1

2AC ×BD ＝2＋ 3.

所以四棱锥的体积为V ＝13×(2＋3)×3＝3＋23

(理)如下图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面ABC 位于平行四边形ACDE 中，AE ＝2，AC ＝AA 1＝4，∠E ＝60°，点B 在线段DE 上、

(1)当点B 在何处时，平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1；

(2)点B 在线段DE 上运动的过程中，求三棱柱ABC —A 1B 1C 1全面积最小

值、

[分析] 此题属于立体几何探究问题，第(1)问解题思路是逆向的推理问题，从结论下手，寻求解题突破口；第(2)问解决的关键是将动点转化为代数表达式，从而将问题解决、

[解析] (1)由于三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱锥，那么

AA 1⊥平面ABC ，∵BC 平面ABC ，∴AA 1⊥BC .而AA 1∩AB ＝A ，只需BC ⊥平面A 1ABB 1，即AB ⊥BC ，就有“平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1”、

在平行四边形ACDE 中，

∵AE ＝2，AC ＝4，∠E ＝60°.

过点B 作BH 垂直AC 于H ，那么BH ＝ 3.

假设AB ⊥BC ，有BH 2

＝AH ×CH ，∵AC ＝4，∴AH ＝1或3. 两种情况下，B 为ED 的中点或与点D 重合、

(2)三棱柱ABC —A 1B 1C 1全面积等于侧面积与两个底面积之和、

显然其底面积和平面ACC 1A 1的面积为定值，只需保证侧面ABB 1A 1和侧面B 1C 1CB 面积之和最小即可、

过点B 作BF 垂直AC 于F ，那么BF ＝ 3.

令AF ＝x ，那么侧面ABB 1A 1和侧面B 1C 1CB 面积之和等于4×(AB ＋BC )＝

4[3＋x 2＋3＋4－x 2

]、

其中3＋x 2＋3＋4－x 2

表示动点(x,0)到定点(0，－3)和(4，3)的距离之和，当且仅当x ＝2时取得最小值、

所以三棱柱的全面积的最小值为 2×4×3

2＋42

＋4×27 ＝43＋87＋16.

[点评] 立体几何题中求值问题多数情况下是求体积和面积问题，解题时重点关注题目中的位置关系，垂直是求值的根源、此题中的动点问题，还