1、导数中的分类讨论思想

1、导数中的分类讨论思想

1、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠，求函数()f x 的单调区间与极值点．

2、已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x =-

+->，讨论()f x 的单调性．

3、已知函数321()3f x x ax bx =

++,且'(1)0f -=，试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间．

4、已知函数22()(1)

x b f x x -=

-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间．

5、设函数()(0)kx f x xe k =≠

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；

（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围

2、导数处理函数的零点问题

1.（2009天津卷理）设函数1()ln (0),3

f x x x x =

->则()y f x = ( ) A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。 B 在区间1(,1),(1,)e e

内均无零点。 C 在区间1(,1)e

内有零点，在区间(1,)e 内无零点。 D 在区间1(,1)e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点。

2、设a 为实数,函数.)(2

3a x x x x f +--=

(1) 求)(x f 的极值.及单调区间

(2) 当a 在什么范围内取值时, 曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点?两个点？三个点？

3、已知函数()x x x f 82+-=，()m x x g +=ln 6.是否存在实数m ，使得()x f y =的图像与()x g y =的图像有且只有三个不同的交点；若存在，求出m 的范围，若不存在，说明理由.

4、（2010湖北文数）设函数()c bx x a x x f ++-=

232

31，其中a ＞0，曲线()x f y =在点()()0,0f P 处的切线方程为1=y .

（1）确定b 、c 的值。

（2）若过点（0,2）可作曲线()x f y =的三条不同切线，求a 的取值范围。

5、（2008年，四川卷）已知x x x a x f x 10)1ln()(32-++==是函数的一个极值点.

（Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间；

（Ⅲ）当直线)(x f y b y ==与函数的图象有3个交点，求b 的取值范围.

3、导数在恒成立问题中的应用

1、设函数()k x x x x f ---=932

3，已知()0

2、 设函数()()()2

11ln -+-=x x a x f 且()x f 在2=x 处有极值．

⑴ 求a ； ⑵当??

????++

∈e e x 1,11时，不等式()k x f <恒成立，求实数k 的取值范围．

3、设函数()223

-+=ax x x f ，已知()0

4、设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ，求证：当ln 21a >-且0x >时， 221x e x ax >-+．

5、（本题满分15分）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值；

（II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．

，求a 的取值范围．

6、已知函数x x a x x f 2ln )(2+

+=在[1，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．

7、已知定义在正实数集上的函数21()22

f x x ax =+，2()3ln

g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同．

（I ）用a 表示b ，并求b 的最大值；（II ）求证：．．．f(x )．．．．≥． g(x)．．．．

，其中x > 0．

4、三次函数

1、已知函数),,()(23为常数d c b d cx bx x x f +++=，),4()0,(+∞?-∞∈k 时

0)(=-k x f 只有一个实数根；

当有时0)(,)4,0(=-∈k x f k 3个相异实根，现给出下列4个命题：

① 函数)(x f 有2个极值点；②函数)(x f 有3个极值点；③)(x f =4，)(x f '=0有一个相同的实根 ④)(x f =0和)(x f '=0有一个相同的实根；其中正确命题的个数是 ．

2、已知3

()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，求实数a 的值．

3、若函数()3213f x x a x =

-()0>a 满足：对于任意的[]a a x x 2,,21-∈都有 ()()3

421≤-x f x f 恒成立，则a 的取值范围为 ．

4、已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）

设0a >，若过点()a b ，可作曲线．．．．()y f x =的三条切线．．．．．

，证明：()a f b a <<-．

5、已知函数32()(0)3

a f x x bx cx d a =+++>，且方程'()90f x x -= 的两个根分别为1，4，若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围．

6、已知函数()()123323++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值

范围是

___________.

1、已知两个函数232()816,()254,[3,3],f x x x k g x x x x x k R =+-=++∈-∈;

(1) 若对[3,3]x ?∈-,都有()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围；

(2) 若[3,3]x ?∈-,使得()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围；

(3) 若对12,[3,3]x x ?∈-,都有12()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围；

2、已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x -=-+

-∈; (1) 当12

a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）设2()24g x x

b x =-+，当14

a =时，若对1(0,2)x ?∈，2[1,2]x ?∈,使12()()f x g x ≥，求实数

b 的取值范围；

3、设()ln a f x x x x

=

+，32()3g x x x =--． （I ）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；

（II ）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ；

4、已知函数

x x a ax x f ln 2)12(21)(2++-=

. (1) 求)(x f 的单调区间;

(2) 设

x x x g 2)(2-=,若对于任意的]2,0(1∈x ,均存在]2,0(2∈x ,使得)()(21x g x f <,求a 的取值范围.

1、已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈.

（II ）当23

a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值.

2、已知函数32()2f x x mx nx =++-的图象过点(1,6)--，且函数()()6g x f x x '=+的

图象关于y 轴对称.（Ⅰ）求m n 、的值及函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若0a >，求函数()y f x =在区间(1,1)a a -+内的极值.

3、已知函数1()ln(1),01x f x ax x x -=++

≥+，其中0a > （Ⅱ）求()f x 的单调区间；

（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.

4、已知二次函数)(x g y =的导函数的图像与直线2y x =平行，且)(x g y =在x =－1处取得最小值m －1(m 0≠).设函数x

x g x f )()(= （1）若曲线)(x f y =上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m 的值；

（2）)(R k k ∈如何取值时,函数kx x f y -=)(存在零点．．．．

,并求出零点. 5、已知a 是实数，函数()a x ax x f --+=3222

，如果函数()x f y =在区间．．．[]1,1-上有零点．．．．，求a 的取值范围.

6、利用导数证明下列不等式：

)

1(2)1ln(22

2x x x x x x +-<+<- ),0(∞+∈x 7、已知函数x x f =)(，)1ln()(x x g +=，.1)(x x x h +=

（1）证明：当0>x 时，恒有);()(x g x f >

（2）当0>x 时，不等式)0()(≥+>k x

k kx x g 恒成立，求实数k 的取值范围;

8、已知()()2,ln 23+-+==x ax x x g x x x f

(Ⅰ)求函数()x f 的单调区间;

(Ⅱ)求函数()x f 在[]()02,>+t t t 上的最小值;

(Ⅲ)对一切的()+∞∈,0x ,()()22'+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围.