电磁场习题解答
1—2—2、求下列情况下，真空中带电面之间的电压。
(2)、无限长同轴圆柱面，半径分别为a 和b （a b >），每单位长度上电荷：内柱为τ而外柱为τ-。
解：同轴圆柱面的横截面如图所示，做一长为l 半径为r （b r a <<）且与同轴圆柱面共轴的圆柱体。对此圆柱体的外表面应用高斯通量定理，得
l S D s
τ=??ρ
ρd
考虑到此问题中的电通量均为r e ρ
即半径方向，所以电通量对圆柱体前后
两个端面的积分为0，并且在圆柱侧面上电通量的大小相等，于是
l rD l τπ=2
即 r e r D ρρπτ2=
， r e r
E ρ
ρ02πετ= 由此可得 a b r e e r r E U b a r r b a
ln 2d 2d 00
?
?
επτ=?επτ=?=ρρρρ
1—2—3、高压同轴线的最佳尺寸设计——高压同轴圆柱电缆，外导体的内半径为cm 2，内外导体间电介质的击穿场强为kV/cm 200。内导体的半径为a ，其值可以自由选定但有一最佳值。因为a 太大，内外导体的间隙就变得很小，以至在给定的电压下，最大的E 会超过介质的击穿场强。另一方面，由于
E 的最大值m E 总是在内导体的表面上，当a 很小时，其表面的E 必定很大。试问a 为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压。
（击穿场强：当电场增大达到某一数值时，使得电介质中的束缚电荷能够
脱离它的分子 而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘性能，称为击穿。某种材料能安全地承受的最大电场强度就称为该材料的击穿强度）。
解：同轴电缆的横截面如图，设同轴电缆内导体每单位长度所带电荷的电量为τ，则内外导体之间及内导表面上的电场强度分别为
r E πετ2=， a
E πετ
2max = 而内外导体之间的电压为
a
b
r r r E U b
a b
a ln 2d 2d πετπετ?
?===
或 )ln(max a
b aE U =
0]1)[ln(a d d max =-+=a
b
E U 即 01ln =-a b ， cm 736.0e
==b
a V)(1047.1102736.0ln 5
5max max ?=??==a
b aE U
1—3—3、两种介质分界面为平面，已知014εε=，022εε=，且分界面一侧的电场强度V /m 1001=E ，其方向与分界面的法线成045的角，求分界面另一侧的电场强度2E 的值。
解：25045sin 10001==t E ，25045cos 10001==n E
220040101εε==n n E D 根据 t t E E 21=，n n D D 21=得
2502=t E ，220002ε=n D ， 210020
22==
εn
n D E 于是： V/m)(1050)2100()250(222
2222=+=
+=n t E E E
1—8、对于空气中下列各种电位函数分布，分别求电场强度和电荷体密度： （1）、2Ax =? （2）、Axyz =? （3）、Brz Ar +=φ?sin 2 （4）、φθ?cos sin 2Ar =
解：求解该题目时注意梯度、散度在不同坐标中的表达式不同。
（1）、i Ax i x Ax k z j y i x E ρρ
ρρρρ2)()(2-=??-=??+??+??-=-?=????
00002)2()(εεεερA Ax x
x E z E y E x E D x z y x -=-??
=??=??+??+??=??=ρ
（2）、)(k z j y i x E ρ
ρρρ??+??+??-=-?=???? )(
k z
Axyz j y Axyz i x Axyz ρρρ??+??+??-= )(k xy j xz i yz A ρρ
ρ++-=
0)]()()([0=-??
+-??+-??=??=Axy z Axz y Ayz x D ερρ
（3）、)1[k z
e r e r E r ρ
ρρρ??+??+??-=-?=?φ???φ φφφφe Brz Ar r e Brz Ar r r ρρ)sin (1)sin ([
22+??++??-=
)])sin (2
k Brz Ar z ρ+??+φ
)]cos )sin 2[(k Br e Ar e Bz Ar r ρρ
ρ+++-=φφφ
)
cos (1)sin 2(1[0φφφερAr r Bz Ar r r r D ??
++??-=??=ρ
)](Br z
??
+
]sin )sin 4(1
[0φφεA Bz Ar r
-+-=
]sin )sin 4[0φφεA r
Bz
A -+-=
（4）、]sin 11[φ
?
θθ???φθ??+??+??-=-?=r e r e r e E r
ρρρρ )
cos sin (1)cos sin ([22φθθ
φθθAr r e Ar r e r ??
+??-=ρρ)]cos sin (sin 12φθφ
θφ
Ar r e ??
+ρ
θφθφθe Ar r e Ar r ρρ)cos cos (1)cos sin 2[(2+-=])sin sin (sin 1
2φφθθe Ar r ρ-
])sin ()cos cos ()cos sin 2[(φθφφθφθe Ar e Ar e Ar r ρ
ρρ-+-=
)](sin 1
)sin (sin 1)(1[220φθφθθθθερE r E r E r r r D r ??+??+??=??=ρ
)sin cos cos (sin 1)cos sin 2(1[
3
20θφθθθφθεAr r Ar r
r -??+-??=
)]sin (sin 1
φφ
θAr r ??+
]sin cos )sin (cos sin cos cos sin 6[220θφ
θθθφφθεA A A +--
-=
1—4—2、两平行导体平板，相距为d ，板的尺寸远大于d ，一板的电位为0，另一板的电位为0V ，两板间充满电荷，电荷体密度与距离成正比，即
x x 0)(ρρ=。试求两极板之间的电位分布（注：0=x 处板的电位为0）。
解：电位满足的微分方程为
x x
002
2d d ερ?
-= 其通解为： 213
06C x C x ++-
=ερ? 定解条件为：00==x ?； 0V ==d x ? 由00==x ?得 02=C 由0V ==d x ?得 01300V 6=+-
d C d ερ，即 20
0016d V d C ερ
+= 于是 x d d x )6V (62
00300ερερ?++-
= 1—4—3、写出下列静电场的边值问题：
（1）、电荷体密度为1ρ和2ρ（注：1ρ和2ρ为常数），半径分别为a 与b 的双层同心带电球体（如题1—4—3图（a ））；
（2）、在两同心导体球壳间，左半部分和右半部分分别填充介电常数为1
ε与2ε的均匀介质，内球壳带总电量为Q ，外球壳接地（题1—4—3图b ））； （3）、半径分别为a 与b 的两无限长空心同轴圆柱面导体，内圆柱表面上单位长度的电量为τ，外圆柱面导体接地（题1—4—3图（c ））。
解：（1）、设内球中的电位函数为1?，介质的介电常数为1ε，两球表面之间的电位函数为2?，介质的介电常数为2ε，则1?，2?所满足的微分方程分别为
1112ερ?-
=?， 2
222ερ?-=? 选球坐标系，则
1121
2212122sin 1)(sin sin 1)(1ερφ?θθ?θθθ?-
=??+????+????r r r r r r 222
2
2222222sin 1)(sin sin 1)(1ερφ?θθ?θθθ?-
=??+????+????r r r r r r 由于电荷对称，所以1?和2?均与θ、φ无关，即1?和2?只是r 的函数，所以
11122)(1ερ?-=????r r r
r ， 22222)(1ερ?-=????r r r r
定解条件为：
分界面条件： a
r a r ===21??； a
r a
r r
r
==??=??22
11
?ε?ε
电位参考点： 02==b
r ?；
附加条件：0
1
=r ?为有限值
（2）、设介电常数为1ε的介质中的电位函数为1?，介电常数为2ε的介质中的电位函数为2?，则1?、2?所满足的微分方程分别为
1112ερ?-
=?， 2
222ερ?-=? 选球坐标系，则
0sin 1
)(sin sin 1)(12
12212122=??+????+????φ?θθ?θθθ?r r r r r r 0sin 1)(sin sin 1)(12
22222222=??+????+????φ?θθ?θθθ?r r r r r r
由于外球壳为一个等电位面，内球壳也为一个等电位面，所以1?和2?均
与θ、φ无关，即1?和2?只是r 的函数，所以
0)(1122=????r r r r ?， 0)(12
22=????r r r
r ?
分界面条件： 2
2
2
1πθπθ??=
==
由分解面条件可知21??= 。令 ???==21，则在两导体球壳之间电位满
足的微分方程为
0)(122=????r r r
r ?
电位参考点： 0==b r ?；
边界条件：Q E E a a r r r =+=)(2212εεπ，即 Q r a a
r =??-
+=)()(2212?
εεπ （3）、设内外导体之间介质的介电常数为ε，介质中的电位函数为?，则?所满足的微分方程分别为
02=??， 选球柱坐标系，则
01)(12
2222=??+??+????z r r r r r ?
φ??
由于对称并假定同轴圆柱面很长，因此介质中的电位?和φ及z无关，即?只是r的函数，所以
)
(
1
=
?
?
?
?
r
r
r
r
?
电位参考点：0
=
=b
r
?；
边界条件：τ
ε
π=
=a
r
r
E
a
2，即
τ
?
ε
π=
?
?
-
=a
r
r
a)
(
2
1－7－3、在无限大接地导体平板两侧各有一个点电荷
1
q和
2
q，与导体平板的距离均为d，求空间的电位分布。
解：设接地平板及
1
q和
2
q如图（a）所示。选一直角坐标系，使得z轴经
过
1
q和
2
q且正z轴方向由
2
q指向
1
q，而x，y轴的方向与z轴的方向符合右手螺旋关系且导体平板的表面在x，y平面内。计算0
>
z处的电场时，在（d
-,0,0）处放一镜像电荷
1
q
-，如图（b）所示，用其等效
1
q在导体平板上的感应电荷，因此
)
)
(
1
)
(
1
(
42
2
2
2
2
2
1
1
d
z
y
x
d
z
y
x
q
+
+
+
-
-
+
+
πε
=
?
计算0
<
z处的电场时，在（d,0,0）处放一镜像电荷
2
q
-如图（c）所示，用
其等效
2
q在导体平板上的感应电荷，因此
)
)
(
1
)
(
1
(
42
2
2
2
2
2
2
2
d
z
y
x
d
z
y
x
q
-
+
+
-
+
+
+
πε
=
?
1－7－5、空气中平行地放置两根长直导线，半径都是2厘米，轴线间距离为12厘米。若导线间加1000V电压，求两圆柱体表面上相距最近的点和最远的点的电荷面密度。
解：由于两根导线为长直平行导线，因此当研究它们附近中部的电场时可将它们看成两根无限长且平行的直导线。在此假定下，可采用电轴法求解此题，电轴的位置及坐标如图所示。
由于对称cm
6
2
12
=
=
h
而cm
2
4
2
62
2
2
2=
-
=
-
=R
h
b
设负电轴到点)
,
(y
x
p的距离矢量为
2
r
?
，正电轴到点)
,
(y
x
p的距离矢量为
1
r
?（p点应在以R为半径的两个圆之外），则p点的电位为
2
2
2
2
1
2
)
(
)
(
ln
2
)
ln(
2
)
,
(
y
b
x
y
b
x
r
r
y
x
+
-
+
+
πε
τ
=
πε
τ
=
?
两根导体之间的电压为U，因此右边的圆的电位为U
2
1
，即
2
)
(
)
(
ln
2
)0
(
2
2
U
b
R
h
b
R
h
τ
,
R
h=
-
-
+
-
πε
=
-
?
由此可得
)
21ln(250)
21ln(410002ln
20
+=
+=
+=πετ
h-R-b
b h-R U
于是 2
222)()(ln )
21ln(250
),(y b x y b x y x +-+++=? ?-=grad E ?
x
e y b x y b x y b x b x y b x b x ρ
])][()[(]))[((]))[(({)21ln(250
2
2222222+++-++--+-++-=
由于两根导线带的异号电荷相互吸引，因而在两根导线内侧最靠近处电场最强电荷密度最大，而在两导线外侧相距最远处电荷密度最小。
x e y b x y b x y b x b x y b x b x ρ
])][()[(]))[((]))[(({)
21ln(250
2
22222220max
+++-++--+-++ε-=σ ) (}])][()[(])[(])[(0
2
2222222x y R
h x y e e y b x y b x y b x y y b x y ρρ
-?+++-++-+-+=-= 270
C/m 10770.1)1
1(
)21ln(250
-?=---+-+ε=b
R h b R h
x
e y b x y b x y b x b x y b x b x ρ
])][()[(]))[((]))[(({)
21ln(250
2
22222220min
+++-++--+-++ε-=σ
x y R
h x y e e y b x y b x y b x y y b x y ρρ
}
]
)][()[(])[(])[(0
22222222?+++-++-+-+=+= }]
)][()[(])[(])[(2
2222
222y e y b x y b x y b x y y b x y ρ
+++-++-+-+
280
C/m 10867.8)1
1(
)21ln(250
-?=-+-+++ε-=b
R h b R h
1—9—4、一个由两只同心导电球壳构成的电容器，内球半径为a ，外球壳半径为b ，外球壳很薄，其厚度可略去不计，两球壳上所带电荷分别是Q +和Q -，均匀分布在球面上。求这个同心球形电容器静电能量。
解：以球形电容器的心为心做一个半径为r 的球面，并使其介于两导体球壳之间。则此球面上任意一点的电位移矢量为
r
e r Q D ρ
ρ
24π=
电场强度为 r e r Q D E ρ
ρρ2
4πεε==
而电场能量密度为 4
22
3221r
Q D E w e επ=?=ρρ 球形电容器中储存的静电场能量为
r r r Q V w W b a V e e d d d sin 32d 2
200422φθθεπππ????==
r r Q b a d d d sin 322002
22φθθεπππ???= ?--=b a r r Q d 1)02)(cos 0(cos 3220
22ππεπ?=b a r r Q d 1822επ )11(82b a Q -=επ=ab
a b Q -=επ82 1－9－5、板间距离为d 电压为0U 的两平行板电极浸于介电常数为ε的液
态介质中，如图所示。已知液体介质的密度是
m
ρ，问两极板间的液体将升高多少？
解：两平行板电极构成一平板电容器，取如图所示的坐标，设平板电
容器在垂直于纸面方向的深度为w，则此电容器的电容为
d
xw
d
w
x
L
x
ε
+
ε
-
=0
)
(
)
(C
电容中储存的电场能量为
2
2
e
)
)
(
(
2
1
2
1
U
d
xw
d
w
x
L
CU
W
ε
+
ε
-
=
=
液体表面所受的力为
)
(
2
)
(
2
1
2
2
eε
-
ε
=
?
?
=
?
?
=
d
w
U
x
x
C
U
x
W
f
x
此力应和电容器中高出电容器之外液面的液体所受的重力平衡，由此
可得
gdwh
d
w
U
m
ρ
=
ε
-
ε)
(
20
2
即
2
m
2
2
)
(
gd
U
h
ρ
ε
-
ε
=
2—5、内外导体的半径分别为
1
R和
2
R的圆柱形电容器，中间的非理想介
质的电导率为γ。若在内外导体间加电压为0U ，求非理想介质中各点的电位和电场强度。
解：设圆柱形电容器介质中的电位为?，则 02=??
选择圆柱坐标，使z 轴和电容器的轴线重合，则有
01)(12
2222=??+??+????z r r r r r ?
φ??
假定电容器在z 方向上很长，并考虑到轴对称性，电位函数?只能是r 的函数，因此?所满足的微分方程可以简化为
0)(1=????r
r r r ?
即 1C r
r
=???
， r C r 1=??? 两边再积分得电位的通解 21ln C r C +=?
定解条件：01
U R r ==?， 02
==R r ?
将电位函数的通解带入定解条件，得
0211ln U C R C =+ 0ln 221=+C R C
由上述两式解得
2
1
01ln
R R U C =
， 1210
02ln ln R R R U U C -=
于是 012
1001210210ln ln ln ln ln ln U R r
R R U U R R R U r R R U +=+-=?
而 ]1[z
e r e r e E z r
??+??+??-=-?=?
φ???φρρρρ r R R U e U R r
R R U r e r
r 1ln )ln ln (2
1
001210ρρ-=+??-=
2—7、一导电弧片由两块不同电导率的薄片构成，如图所示。若71105.6?=γ西门子/米，72102.1?=γ西门子/米，452=R 厘米，301=R 厘米，
钢片厚度为2毫米，电极间的电压V 30=U ，且1γ>>γ电极。求：
⑴、弧片内的电位分布（设x 轴上电极的电位为0）； ⑵、总电流I 和弧片的电阻R ；
⑶、在分界面上D ?，δ?，E ?
是否突变？ ⑷、分界面上的电荷密度σ。
解：（1）、设电导率为1γ的媒质中的电位为1?，电导率为2γ的媒质中的
电位为2?，选取柱坐标研究此问题。由于在柱坐标中电极上的电位和r 及z 无关，因而两部分弧片中的电位也只是α的函数，即
2
1222122122112
1z 1) (r 1α???=???+α???+?????=??r r r r r
2
2222222222222
1z 1)r (r 1α
???=???+α???+?????=??r r r r 由上边两式可得1?、2?的通解分别为 211C C +α=? 432C C +α=? 此问题的定解条件是：
00
2
=?=α ……（a ） U =?π=α2
1 ……（b ）
4
4
21ππ=α=α?=?……（c ） 4
4
221
1
π
π
=α=αα
???γ=α
???γ……（d ）
根据上述四式可得
04=C ， U C C =+π
21
2
4321
4
4C C C C +π
=+π， 3211C C γ=γ 联立以上四式解得
)(42121γ+γπγ=
U C ， 212112)(2γ+γγ-γ=π
-=U C U C
)
(4211
1213γ+γπγ=γγ=
U C C ， 04=C 于是 V )65.2095.5()
()(421212121+α=γ+γγ-γ+αγ+γπγ=
?U U
V 26.32)
(4211
2α=αγ+γπγ=
?U
（2）、根据 ?-?=E ?
得
αα-=γ+γπγ-
=e r
e r U E ρ
ρ?95.5 )(42121 又E ?
?γ=δ，因此
αγ+γπγγ-
=γ=δe r U E ρ?? )(42121111αα?-=-?=e r
e r ρρ87
10868.3)95.5(105.6 而 ??αα-??-=?δ=21
8S 1d )002.0()10868.3( d R R r e e r
S I ρρ
??
A 1014.3)ln(10736.751
25
?=?=R R Ω?=?==- 10.55910.1433055
ΙU R （3）、由于电流密度的法向分量在分界面上连续，且在此题目中电流密
度只有法向分量，因此 4
24
1π=
απ=
αδ=δ?
?。分界面处的电场强度等于分界面处的
电流密度与电导率的比值，又21γ≠γ，因此 4
241π=
απ=
α≠E E ??
。对于导电媒质中的电流场，媒质的介电常数一律为0ε，因此4
2
4
1
π=
απ=α≠D D ??
。
（4）、 απ=απ
=α?-=σ'e D D ρ?? )(4
2
4
1
ααα?γ+γπγ+γ+γπγ-
ε=e e U e U ρ
ρρ )r )(4r )(4(2112120)(r
)(421210γ-γγ+γπε=U
2—11、以橡胶作为绝缘的电缆的漏电阻通过下属办法测定：把长度为l 的电缆浸入盐水溶液中，然后在电缆导体和溶液之间加电压，从而可测得电流。有一段3米长的电缆，浸入后加V 200的电压，测得电流为A 1029-?。已知绝缘层的厚度和中心导体的半径相等，求绝缘层的电阻率。
解： 设导体的电位高于盐水的电位，则绝缘层中的漏电流密度为：
r e lr
I ρρπ=δ2
而绝缘层中的电场强度为：
r e r
l I
E ρργπ=
2 设导体的半径为1R ，电缆绝缘层的外半径为2R ，则导体和盐水之间的电压为：
r r l I
r e e r
l I r E U R R R R r r R R ??
?
γπ=?γπ=?=2121
21
d 2d 2d ρρρρ
1
2ln 2d 1221R R l I
r r l I R R γπ=γπ=? 即 1
2ln 2R R l U I
π=
γ
将已知数据代入上式，得
1192ln 32002102R R ??π?=γ-2ln 600109
π=-S/m 10677.313-?=
m /10727.21
12Ω?==γ
ν
3－2－1、一半径为a 长圆柱形导体，被一同样长度的同轴圆筒导体所包围，圆筒半径为b ，圆柱导体和圆筒导体载有相反方向电流I 。求圆筒内外的磁感应强度（导体和圆筒内外导磁媒质的磁导率均为0μ）。
解：求解此问题可将圆柱导体和圆筒导体视为无限长。在垂直于z 的平面上以z 轴和此平面的交点为心做一半径为r 的圆l ，设l 的方向和z 符合右手螺旋关系。
由安培环路定律得：
I l H l
'=??ρ
ρd
式中I '为l 中包含的电流，其方向与l 符合右手螺旋关系时为正，否则为
负。考虑到在l 上H ρ
的大小相等，方向为l 的切线方向，则有 I rH '=π2
即 r I H π'=2， 而 απ'=e r
I H ρ
ρ2， απμ'=
e r I B ρρ20 当a r <<0时，有
I a
r r a I I 222
2=ππ='
而 ααπμ=?πμ=
e I a
r e I a r r B ρρρ2022022 当b r a <<时，有 I I ='
而 απμ=e I r
B ρ
ρ20
当b r >时，有
0='I 因而 0=B ρ
3－3－3、在恒定磁场中，若两种不同媒质分解面为xoz 平面，其上有电流
线密度A/m 2x e k ρρ=，已知A/m )32(1z y x e e e H ρ
ρρρ++=，求2H ρ。
解：设0>y 的区域中的磁导率、磁场强度、磁感应强度分别为2μ、2H ρ
、2B ρ；0 由已知条件得： 31=z H ； 11=x H ； 111μ=y y H B 由分解面条件得： 212=-z z H H ； 012=-x x H H ；y y B B 12= 将已知条件代入，得： 5212=+=z z H H ； 112==x x H H ； 11122μ=μ=y y H B 而 2 1 2 222μμ= μ= y y B H 于是 A/m )52(2 12222z y x z z y y x x e e e e H e H e H H ρ ρρρρρρ+μμ+=++= 3－4－3、已知电流分布为 a r e r J J z <=ρρ0 0J 为常数，求矢量位A ρ和磁感应强度B ρ （注A ρ的参考点选为a r r >=0处）。 解：设0 ，则1A ρ、2A ρ 所满足的微分方程分别为： z e r J A ρ ρ0012 μ-=? a r < 022 =?A ρ a r > 考虑到电流密度只有z 分量，矢量磁位也只能有z 分量，上两可改写为 r J A z 0012μ-=? a r < 习题： 1. 在3z m =的平面内，长度0.5l m =的导线沿x 轴方向排列。当该导线以速度 24x y m v e e s =+在磁感应强度22363x y z B e x z e e xz T =+-的磁场中移动时，求 感应电动势。 解：给定的磁场为恒定磁场，故导线中的感应电动势只能是导线在恒定磁场中移动时由洛仑兹力产生的。有 ()in v B dl ε=??? 根据已知条件，得 2233()|(24)(363)|z x y x y z z v B e e e x z e e xz ==?=+?+- 210854(1236)x y z e x e x e x =-++- x dl e dx = 故感应电动势为 0.5 20[10854(1236)]13.5in x y z x e x e x e x e dx V ε=-++-?=-? 2.长度为l 的细导体棒位于xy 平面内，其一端固定在坐标原点。当其在恒定磁场 0z B e B =中以角速度ω旋转时，求导体棒中的感应电动势。 解：导体中的感应电动势是由洛仑兹力产生的，即 ()in v b dl ε=??? 根据已知条件，导体棒上任意半径r 处的速度为 v e r ωΦ= r dl e dr = 故感应电动势为 20000 1()()2 l l L in z r v b dl e r e B e dr B rdr B l V εωωωΦ=??=??==??? 3.试推出在线性、无耗、各向同性的非均匀媒质中的麦克斯韦方程。 解：考察麦克斯韦方程中的参量，利用它们与电场强度E 和磁感应强度B 的 关系，将,,H B D E J E μεσ===代入即可，注意在非均匀媒质中,,μεσ是空间坐标的函数。 考察麦克斯韦第一方程，有 11 ()B H B B μ μμ ??=?? =??+?? 2 1 1 B B μμ μ =- ??+?? D E J J t t ε ??=+=+?? 所以 E B B J t μμμε μ ?????=++ ? 而 ()D E E E εεερ??=??=??+??=，于是，微分形式的麦克斯韦方程用E 和B 表示为 E B B J t μμμε μ ?????=++ ? B E t ???=- ? 0B ??= E E εερ??+??= 对于无耗媒质，0σ=，因此有0J =。 4.试由麦克斯韦方程推导出电流连续性方程J t ρ???=-?。 解：对麦克斯韦第一方程D H J t ???=+ ?两边取散度，得 . 1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+?u v u u v u v ,B E t ???=-?u v u v ,0B ?=u v g ,D ρ?=u v g 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? u v u u v g ? S D ds ρ =?u v u u v g ? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为： 3.00n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H r r r r r r r r r 4线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 4.D E ε=u v u v ,B H μ=u v u u v ,J E σ=u v u v 5电流连续性方程的微分形式为： 5. J t ρ??=- ?r g 6电位满足的泊松方程为 2ρ?ε?=- ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。 12??= 1212n n εεεε??=?? 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理 论依据是: 唯一性定理。 8.电场强度E ?的单位是V/m ，电位移D ? 的单位是C/m2 。 9．静电场的两个基本方程的微分形式为 0E ??= ρ?=g D ； 10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A u v ，并令 B A =??u v u v 的依据是（ 0B ?=u v g ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ? ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln( 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω=r r 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-?r r r 其振幅值为：3 04510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510.dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S u u v u u v g ?S d q =?得2 4q D r π= 24D e e u u v v v r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e u u v u u v v r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r u u v u u v v u u v g g g r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε== 电磁场与电磁波复习题 一、填空题 1、矢量的通量物理含义是矢量穿过曲面的矢量线总数，散度的物理意义矢量场中任 意一点处通量对体积的变化率。散度与通量的关系是矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。 2、 散度在直角坐标系的表达式 z A y A x A z y x A A ??????++ = ??=ρ ρdiv ； 散度在圆柱坐标系下的表达 ； 3、矢量函数的环量定义矢量A 沿空间有向闭合曲线C 的线积分， 旋度的定义 过点P 作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右 手螺旋法则。当S 点P 时,存在极限环量密度。二者的关系 n dS dC e A ρρ?=rot ； 旋度的物理意义点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值；点P 的旋度的方向是该 点最 大环量密度的方向。 4.矢量的旋度在直角坐标系下的表达式 。 5、梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数。梯度的大小为该点 标量函数 ?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的 方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向等值面、方向导数与 梯度的关系是梯度的大小为该点标量函数 ?的最大变化率，即该点最 大方向导数; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数 的增加方向.； 6、用方向余弦cos ,cos ,cos αβγ写出直角坐标系中单位矢量l e r 的表达 式 ； 7、直角坐标系下方向导数 u ?的数学表达式是 ，梯度的表达式 8、亥姆霍兹定理的表述在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定，说明的问题是矢量场的散度应满足的关系及旋度应满足的关系决定了矢量场的基本性质。 9、麦克斯韦方程组的积分形式分别为 ()s l s s l s D dS Q B E dl dS t B dS D H dl J dS t ?=??=-??=?=+????????r r r r r r r r g r r r r r g ???? 其物理描述分别为 10、麦克斯韦方程组的微分形式分别为 2 0E /E /t B 0 B //t B c J E ρεε??=??=-????=??=+??r r r r r r r 其物理意义分别为 11、时谐场是激励源按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的也随时间按照正弦变化的 场， 一般采用时谐场来分析时变电磁场的一般规律，是因为任何时变周期函数都可以用正弦函数表示的傅里叶级数来表示；在线性条件下，可以使用叠加原理。 12、坡印廷矢量的数学表达式 2 0S c E B E H ε=?=?r r r r r ，其物理意义表示了单 位面积的瞬时功率流或功率密度。功率流的方向与电场和磁场的方向垂直。表达式 ()s E H dS ??r r r g ?的物理意义穿过包围体积v 的封闭面S 的功率。 13、电介质的极化是指在外电场作用下，电介质中出现有序排列电偶极子以及表面上出 《电磁场与电磁波基础》复习题 一、 填空题： （第一章）（第二章）（第三章）（第四章）（第五章）（第六章） （第一章） 1、直角坐标系下，微分线元表达式 z e y e x e l z y x d d d d ++= 面积元表达式 2、圆柱坐标系下，微分线元表达式z e e e l z d d d d ++=φρρφρ， 面积元表达式z e l l e S z d d d d d φρρφρρ == z e l l e S z d d d d d ρφρφφ ==φρρφρd d d d d z z z e l l e S == 3、圆柱坐标系中，ρe 、e ? 随变量? 的变化关系分别是φρφ e e =??，ρφφe -e =?? 4、矢量的通量物理含义是 矢量穿过曲面的矢量线的总和； 散度的物理意义是 矢量场中任意一点处通量对体积的变化率； 散度与通量的关系是 散度一个单位体积内通过的通量。 5、散度在直角坐标系 F z F y F x F V S d F F div Z Y X S V ??=??+??+??=??=?→?0lim 散度在圆柱坐标系 z F F F F div Z ??+??+??=φρρρρφρ1)(1 6、矢量微分算符（哈密顿算符）?在直角坐标系的表达式为 z z y y x x e e e ??+??+??=? 圆柱坐标系 z e z ??+??+??=? φρρφρe e 球坐标系分别 ? θθφθ??+??+??=?sin e e r e r r r 7、高斯散度定理数学表达式 ???=??V s S d F dV F ，本课程主要应用的两个方面分别是 静电场的散度 、 恒定磁场的散度 ； 第二章电磁感应与电磁场章末综合检测 (时间：90分钟；满分100分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确) 1．下列过程中一定能产生感应电流的是( ) A．导体和磁场做相对运动 B．导体一部分在磁场中做切割磁感线运动 C．闭合导体静止不动，磁场相对导体运动 D．闭合导体内磁通量发生变化 2．关于磁通量的概念，下列说法中正确的是( ) A．磁感应强度越大，穿过闭合回路的磁通量也越大 B．磁感应强度越大，线圈面积越大，穿过闭合回路的磁通量也越大 C．穿过线圈的磁通量为零时，磁感应强度不一定为零 D．磁通量发生变化时，磁感应强度一定发生变化 3．如图2－3，半径为R的圆形线圈和矩形线圈abcd在同一平面内，且在矩形线圈内有变化的磁场，则( ) 图2－3 A．圆形线圈有感应电流，矩形线圈无感应电流 B．圆形线圈无感应电流，矩形线圈有感应电流 C．圆形线圈和矩形线圈都有感应电流 D．圆形线圈和矩形线圈都无感应电流 4．以下叙述不正确的是( ) A．任何电磁波在真空中的传播速度都等于光速 B．电磁波是横波 C．电磁波可以脱离“波源”而独自存在 D．任何变化的磁场都可以产生电磁波 5．德国《世界报》曾报道过个别西方发达国家正在研制电磁脉冲波武器——电磁炸弹．若一枚原始脉冲波功率10 kW、频率5千兆赫的电磁炸弹在不到100 m的高空爆炸，它将使方圆400 m2～500 m2地面范围内电场达到每米数千伏，使得电网设备、通信设施和计算机中的硬盘与软盘均遭到破坏．电磁炸弹有如此破坏力的主要原因是( ) A．电磁脉冲引起的电磁感应现象 B．电磁脉冲产生的动能 C．电磁脉冲产生的高温 D．电磁脉冲产生的强光 6．在图2－4中，理想变压器的原副线圈的匝数比为n1∶n2＝2∶1，A、B为完全相同的灯泡，电源电压为U，则B灯两端的电压有( ) 图2－4 A．U/2 B．2U 电磁场与电磁波例题详解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第1章 矢量分析 例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。 解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为 0)(0200=-+=z y x φ。其等值面方程为 ： 0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z += 例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x ++=的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为 ： z y dz y x dy xy dx 222== 从而有 ???????==z y dz xy dx y x dy xy dx 2222 解之即得矢量方程???=-=2 2 21c y x x c z ，c 1和c 2是积分常数。 例1.3 求函数xyz z xy -+=22?在点（1，1，2）处沿方向角 3 ,4 ,3 π γπ βπ α= = = 的方向导数。 解：由于 1) 2,1,1(2) 2,1,1(-=-=??==M M yz y x ?, 02) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xz xy y ?, 32) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xy z z ?, 2 1cos ,22cos ,21cos === γβα 所以 1cos cos cos =??+??+??= ??γ?β?α??z y x l M 例1.4 求函数xyz =?在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。 解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为 1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l ++=-+-+-= 其单位矢量 3147 31433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5, 10, 2) 2,1,5()2,1,5()2,1,5() 2,1,5() 2,1,5() 2,1,5(==??==??==??xy z xz y yz x ? ?? 所求方向导数 314 123 cos cos cos = ??=??+??+??=?? l z y x l M ?γ?β?α?? 例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=?，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。 解：由于)66()24()32(-+-++++=?z a x y a y x a z y x ? 所以 623) 0,0,0(z y x a a a ---=?? ，36) 1,1,1(y x a a +=?? 例1.6 运用散度定理计算下列积分： ??++-+=S z y x S d z y xy a z y x a xz a I )]2()([2322 S 是0=z 和2 2 22y x a z --=所围成的半球区域的外表面。 解：设：)2()(2322z y xy a z y x a xz a A z y x ++-+= 则由散度定理???=??τ τs S d A d A 可得 电磁场与电磁波试题及答案 1.麦克斯韦的物理意义：根据亥姆霍兹定理，矢量场的旋度和散度都表示矢量场的源。麦克斯韦方程表明了电磁场和它们的源之间的全部关系：除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D B H J E B D t t ρ????=+ ??=-??=??=??，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁 场也是电场的源。 1.简述集总参数电路和分布参数电路的区别： 2.答：总参数电路和分布参数电路的区别主要有二：（1）集总参数电路上传输的信号的波长远大于传输线的几何尺寸；而分布参数电路上传输的信号的波长和传输线的几何尺寸可以比拟。（2）集总参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位可近似认为相同，无分布参数效应；而分布参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位均不相同，呈现出电路参数的分布效应。 1.写出求解静电场边值问题常用的三类边界条件。 2.答：实际边值问题的边界条件可以分为三类：第一类是整个边界上的电位已知，称为“狄利克莱”边界条件；第二类是已知边界上的电位法向导数，称为“诺依曼”边界条件；第三类是一部分边界上电位已知，而另一部分上的电位法向导数已知，称为混合边界条件。 1.简述色散效应和趋肤效应。 2.答：在导电媒质中，电磁波的传播速度（相速）随频率改变的现象，称为色散效应。在良导体中电磁波只存在于导体表面的现象称为趋肤效应。 1.在无界的理想媒质中传播的均匀平面波有何特性？在导电媒质中传播的均匀平面波有何特性？ 2. 在无界的理想媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电场、磁场的振幅不随传播距离增加而衰减，幅度相差一个实数因子η（理想媒质的本征阻抗）；时间相位相同；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为TEM 波。 在导电媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电磁场的振幅随传播距离增加而呈指数规律衰减；电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为色散的TEM 啵。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。 2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。 (或矢量式2n D σ=、20n E ?=、 2s n H J ?=、20n B =) 1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 2. 答矢量位,0B A A =????=；动态矢量位A E t ??=-?- ?或A E t ??+=-??。库仑规范与洛仑兹规范的作用都 是限制A 的散度，从而使A 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。 1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2. s A ds φ=??? 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。 1. 证明位置矢量 x y z r e x e y e z =++ 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。 2. 证明在直角坐标系里计算 ，则有 ()()x y z x y z r r e e e e x e y e z x y z ? ? ?????=++?++ ?????? 3x y z x y z ???= ++=??? 若在球坐标系里计算，则 23 22 11()()()3r r r r r r r r r ????= ==??由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。 习题9 9-1在磁感应强度B 为0.4T 的均匀磁场中放置一圆形回路，回路平面与B 垂直，回路的面积与时间的关系为：S=5t 2+3(cm 2),求t=2s 时回路中感应电动势的大小？ 解：根据法拉第电磁感应定律得 dt d m Φ- =εdt dS B =Bt 10= V 4108-?=ε 9-2 如题9-2图所示，载有电流I 的长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a .设半圆环以速度v 平行导线平移.求半圆环感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压U M －U N . 题9-2 解: 作辅助线MN ，则在MeNM 回路中，沿v 方向运动时0d =m Φ ∴ 0=MeNM ε 即 MN MeN εε= 又∵ ? +-<+-= =b a b a MN b a b a Iv l vB 0ln 2d cos 0πμπε 所以MeN ε沿NeM 方向， 大小为 b a b a Iv -+ln 20πμ M 点电势高于N 点电势，即 b a b a Iv U U N M -+= -ln 20πμ 题9-3 9-3 如题9-3图所示，在两平行载流的无限长直导线的平面有一矩形线圈.两导线中的电流 方向相反、大小相等，且电流以d I d t 的变化率增大，求： (1)任一时刻线圈所通过的磁通量； (2)线圈中的感应电动势. 解: 以向外磁通为正则 (1) ]ln [ln π2d π2d π2000d a d b a b Il r l r I r l r I a b b a d d m +-+= -= ?? ++μμμΦ (2) t I b a b d a d l t d d ]ln [ln π2d d 0+-+=-=μΦε 题9-4 9-4 如题9-4图所示，长直导线通以电流I ＝5 A ，在其右方放一长方形线圈，两者共面.线圈长b ＝0.06 m ，宽a ＝0.04 m ，线圈以速度v ＝0.03 m/s 垂直于直线平移远离.求：d ＝0.05 m 时线圈中感应电动势的大小和方向. 解: AB 、CD 运动速度v 方向与磁力线平行，不产生感应电动势． 一、选择题 1、以下关于时变电磁场的叙述中，正确的是（ ） A 、电场是无旋场 B 、电场和磁场相互激发 C 、电场与磁场无关 2、区域V 全部用非导电媒质填充，当此区域中的电磁场能量减少时，一定是（ ） A 、能量流出了区域 B 、能量在区域中被消耗 C 、电磁场做了功 D 、同时选择A 、C 3、两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的的是（ ） A 、线圈的尺寸 B 、两个线圈的相对位置 C 、线圈上的电流 D 、空间介质 4、导电介质中的恒定电场E 满足（ ） A 、0??=E B 、0??=E C 、??=E J 5、用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ ） A 、镜像电荷是否对称 B 、电位方程和边界条件不改变 C 、同时选择A 和B 6、在静电场中，电场强度表达式为3(32)()y x z cy ε=+--+x y z E e e e ，试确定常数 ε的值是（ ） A 、ε=2 B 、ε=3 C 、ε=4 7、若矢量A 为磁感应强度B 的磁矢位，则下列表达式正确的是（ ） A 、=?B A B 、=??B A C 、=??B A D 、2=?B A 8、空气（介电常数10εε=）与电介质（介电常数204εε=）的分界面是0z =平面， 若已知空气中的电场强度124= +x z E e e 。则电介质中的电场强度应为（ ） A 、1216=+x z E e e B 、184=+x z E e e C 、12=+x z E e e 9、理想介质中的均匀平面波解是（ ） A 、TM 波 B 、TEM 波 C 、TE 波 10、以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是（ ） A 、不再是平面波 B 、电场和磁场不同相 C 、振幅不变 D 、以T E 波的形式传播 二、填空 1、一个半径为α的导体球作为电极深埋地下，土壤的电导率为 σ，略去地面的影响，则电极的接地电阻R = 2、 内外半径分别为a 、b 的无限长空心圆柱中均匀的分布着轴向电流I ，设空间离轴距离为()r r a <的某点处，B= 3、 自由空间中，某移动天线发射的电磁波的磁场强度 习题 8-6 一根无限长直导线有交变电流0sin i I t ω=，它旁边有一与它共面的矩形线圈ABCD ，如图所示，长为l 的AB 和CD 两边与直导向平行，它们到直导线的距离分别为a 和b ，试求矩形线圈所围面积的磁通量，以及线圈中的感应电动势。 解 建立如图所示的坐标系，在矩形平面上取一矩形面元dS ldx =，载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为 02m i d B dS ldx x μφπ=?= 通过矩形面积CDEF 的总磁通量为 0000ln ln sin 222b m a i il I l b b ldx t x a a μμμφωπππ===? 由法拉第电磁感应定律有 00ln cos 2m d I l b t dt a φμωεωπ=- =- 8-7 有一无限长直螺线管，单位长度上线圈的匝数为n ，在管的中心放置一绕了N 圈，半径为r 的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为dI dt ，球小 线圈中感应的电动势。 解 无限长直螺线管内部的磁场为 0B nI μ= 通过N 匝圆形小线圈的磁通量为 2 0m NBS N nI r φμπ== 由法拉第电磁感应定律有 20m d dI N n r dt dt φεμπ=- =- 8-8 一面积为S 的小线圈在一单位长度线圈匝数为n ，通过电流为i 的长螺线管内，并与螺线管共轴，若0sin i i t ω=，求小线圈中感生电动势的表达式。 解 通过小线圈的磁通量为 0m BS niS φμ== 由法拉第电磁感应定律有 000cos m d di nS nSi t dt dt φεμμωω=- =-=- 8-9 如图所示，矩形线圈ABCD 放在1 6.010B T -=?的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面的法线方向之间的夹角为60α=?，长为0.20m 的AB 边可左右滑动。若令AB 边以速率 15.0v m s -=?向右运动，试求线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向。 解 利用动生电动势公式 《电磁场与电磁波》知识点及参考答案 第1章 矢量分析 1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所 产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。 2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无旋场，由散度源所 产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。 3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是： 散度（高斯）定理：S V FdV F dS ??=?? ?和 斯托克斯定理： s C F dS F dl ???=??? 。 4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。（ √ ） 5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（ √ ） 6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（ √ ） 7、梯度的方向是等值面的切线方向。（ × ） 8、标量场梯度的旋度恒等于0。（ √ ） 9、习题, 。 第2章 电磁场的基本规律 （电场部分） 1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。 2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。 3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是： V V s D dS dV Q ρ?==? ?和 0l E dl ?=?。 4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ??=和0E ??=。 5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。 6、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→ B 的法向分量 B 1n －B 2n ＝0。 7、在介电常数为 的均匀各向同性介质中，电位函数为 22 11522 x y z ?= +-,则电场强度E =5x y z xe ye e --+。 8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。 9、电荷只能在分子或原子范围内作微小位移的物质称为( D )。 A.导体 B.固体 C.液体 D.电介质 10、相同的场源条件下，真空中的电场强度是电介质中的( C )倍。 A.ε0εr B. 1/ε0εr C. εr D. 1/εr 11、导体电容的大小( C )。 A.与导体的电势有关 B.与导体所带电荷有关 C.与导体的电势无关 D.与导体间电位差有关 12、z ＞0半空间中为ε=2ε0的电介质，z ＜0半空间中为空气，在介质表面无自由电荷分布。 《电磁场与电磁波》试题1 填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为μ ，则磁感应强度B 和磁场H 满足的方程 为： 。 2．设线性各向同性的均匀媒质中， 02=?φ称为 方程。 3．时变电磁场中，数学表达式H E S ?=称为 。 4．在理想导体的表面， 的切向分量等于零。 5．矢量场 )(r A 穿过闭合曲面S 的通量的表达式为： 。 6．电磁波从一种媒质入射到理想 表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。 8．如果两个不等于零的矢量的 等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合 关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用 函数的旋度来表 示。 二、简述题 （每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为 t B E ??-=?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数y x e xz e y B ??2+-= 是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。 16．矢量z y x e e e A ?3??2-+= ，z y x e e e B ??3?5--= ，求 （1）B A + （2）B A ? 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 （1） 试写出其时间表达式； （2） 说明电磁波的传播方向； 四、应用题 （每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为a ，带电量为Q 。试求 （1） 球内任一点的电场强度 （2） 球外任一点的电位移矢量。 第十三章 电磁感应 电磁场习题 （一） 教材外习题 电磁感应习题 一、选择题： 1．一块铜板放在磁感应强度正在增大的磁场中时，铜板中出现涡流（感应电流），则涡流将 （A ）加速铜板中磁场的增加 （B ）减缓铜板中磁场的增加 （C ）对磁场不起作用 （D ）使铜板中磁场反向 （ ） 2．在如图所示的装置中，当把原来静止的条形磁铁从螺线管中按图示情况抽出时， （A ）螺线管线圈中感生电流方向如A 点处箭头所示。 （B ）螺线管右端感应呈S 极。 （C ）线框EFGH 从图下方粗箭头方向看去将逆时针旋转。 （D ）线框EFGH 从图下方粗箭头方向看去将顺时针旋转。 （ ） 3．在无限长的载流直导线附近放置一矩形闭合线圈，开始时线圈与导线在同一平面内，且线圈中两条边与导线平行，当线圈以相同的速率作如图所示的三种不同方向的平动时，线圈中的感应电流 （A ）以情况Ⅰ中为最大 （B ）以情况Ⅱ中为最大 （C ）以情况Ⅲ中为最大 （D ）在情况Ⅰ和Ⅱ中相同 （ ） 4．如图所示，一矩形金属线框，以速度v 从无场空间进入一均匀磁场中，然后又从磁场中 出来，到无场空间中。不计线圈的自感，下面哪一条图线正确地表示了线圈中的感应电流对 时间的函数关系？（从线圈刚进入磁场时刻开始计时，I 以顺时针方向为正） 5．如图，一矩形线框（其长边与磁场边界平行）以匀速v 自左侧无场区进入均匀磁场又穿出，进入右侧无场区，试问图（A ）—（E ）中哪一图象能最合适地表示线框中电流i 随时间t 的变化关系？（不计线框自感） （ ） 6．在一个塑料圆筒上紧密地绕有两个完全相同的线圈aa '和bb '，当线圈aa '和bb '如图（1）绕制时其互感系数为M 1，如图（2）绕制时其互感系数为M 2，M 1与M 2的关系是 （A ）M 1 = M 2 ≠ 0 （B ）M 1 = M 2 = 0 （C ）M 1 ≠ M 2，M 2=0 （D ）M 1≠M 2，M 2≠0 （ ） 7．真空中两根很长的相距为2a 的平行直导线与电源组成闭合回路如图。已知导线中的电流强度为I ，则在两导线正中间某点P 处的磁能密度为 （A ）200)2(1a I πμμ （B ）200)2(21 a I πμμ （C ）200)2(21 a I πμμ （D ）0 （ ） 《电磁场与电磁波》试题2 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为ε，则电位移矢量D ?和电场E ? 满足的 方程为： 。 2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为φ，媒质的介电常数为ε，电荷体密度为V ρ，电位 所满足的方程为 。 3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为 。 4．在理想导体的表面，电场强度的 分量等于零。 5．表达式()S d r A S ? ????称为矢量场)(r A ? ?穿过闭合曲面S 的 。 6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生 。 7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。 8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互 。 9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为 。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是 场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。 二、简述题 （每小题5分，共20分） 11．试简述磁通连续性原理，并写出其数学表达式。 12．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 13．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???????-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 14．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．矢量函数 z x e yz e yx A ??2+-=? ，试求 （1）A ? ?? （2）A ? ?? 16．矢量 z x e e A ?2?2-=? ， y x e e B ??-=? ，求 （1）B A ? ?- （2）求出两矢量的夹角 电磁场与电磁波易考简答题归纳 1、什么是均匀平面电磁波？ 答：平面波是指波阵面为平面的电磁波。均匀平面波是指波的电场→ E 和磁场→ H 只沿波的传播方向变化，而在波阵面内→ E 和→ H 的方向、振幅和相位不变的平面波。 2、电磁波有哪三种极化情况？简述其区别。 答：（1）直线极化，同相位或相差 180；2）圆极化，同频率，同振幅，相位相差 90或 270；（3）椭圆极化，振幅相位任意。 3、试写出正弦电磁场的亥姆霍兹方程（即亥姆霍兹波动方程的复数形式），并说明意义。 答：0 02222=+?=+?→ →→ → H k H E k E ，式中μεω22 =k 称为正弦电磁波的波数。 意义：均匀平面电磁波在无界理想介质中传播时，电场和磁场的振幅不变，它们在时间上同相，在空间上互相垂直，并且电场、磁场、波的传播方向三者满足右手螺旋关系。电场和磁场的分量由媒质决定。 4、写出时变电磁场中麦克斯韦方程组的非限定微分形式，并简述其意义。 答：????????? ??=??=????-=????+=??→→ → →→ →→ρ εμμ εE H t H E t E J H )4(0)3()2()1( 物理意义：A 、第一方程：时变电磁场中的安培环路定律。物理意义：磁场是由电流和时变的电场激励的。 B 、第二方程：法拉第电磁感应定律。物理意义：说明了时变的磁场激励电场的这一事实。 C 、第三方程：时变电场的磁通连续性方程。物理意义：说明了磁场是一个旋涡场。 D 、第四方程：高斯定律。物理意义：时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的。 5、写出麦克斯韦方程组的微分形式或积分形式，并简述其意义。 答：（1）微分形式 （2） 积分形式 物理意义：同第4题。 6、写出达朗贝尔方程，即非齐次波动方程，简述其意义。 答：→→ → -=??-?J t A A μμε222 ，ερμε-=?Φ?-Φ?→ →222t 物理意义：→ J 激励→ A ，源ρ激励Φ，时变源激励的时变电磁场在空间中以波动方式传播，是时变源的电场辐射过程。 7、写出齐次波动方程，简述其意义。 答：0 222=??-?→ → t H H με，022 2=??-?→ → t E E με 物理意义：时变电磁场在无源空间中是以波动方式运动，故称时变电磁场为电磁波，且电磁波的传播速度为： με υ1= p 8、简述坡印廷定理，写出其数学表达式及其物理意义。 答：（1）数学表达式：①积分形式：??? ++?? =?-→ →τττστεμd E d E H t S d S S 222)2 1 21(，其中，→ →→?=H E S ，称为坡印廷矢量。 ???????????=??=????-=????+=??→→ →→→ →→ρD B t B E t D J H )4(0)3()2()1( ????? ??????=?=????-=????+=???????→→→ →→→→→→→→→→q S d D l d B S d t B l d E S d t D J l d H S S S l s l )4(0)3()2()()1( 第十三章 电磁感应 一 选择题 3．如图所示，一匀强磁场B 垂直纸面向内，长为L 的导线ab 可以无摩擦地在导轨上滑动，除电阻R 外，其它部分电阻不计，当ab 以匀速v 向右运动时，则外力的大小是： R L B R L B R L B R BL L B 222222222 E. D. 2 C. B. A.v v v v v 解：导线ab 的感应电动势v BL =ε，当 ab 以匀速v 向右运动时，导线ab 受到的外力与安培力是一对平衡力，所以R L B L R B F F v 22===ε 安外。 所以选（D ） 4．一根长度L 的铜棒在均匀磁场B 中以匀角速度ω旋转着，B 的方向垂直铜棒转动的平面，如图，设t = 0时，铜棒与Ob 成θ角，则在任一时刻t 这根铜棒两端之间的感应电动势是：（ ） A. )cos(2θωω+t B L B. t B L ωωcos 2 12 C. )cos(22θωω+t B L D. B L 2ω E. B L 22 1ω 解：???= ==??=L L BL l l B l B )00221d d d ωωεv l B v （ 所以选（E ） 6．半径为R 的圆线圈处于均匀磁场B 中，B 垂直于线圈平面向上。如果磁感应强度为B =3 t 2+2 t +1，则线圈中的感应电场为：（ ） A ． 2π(3 t + 1)R 2 ,顺时针方向； Ｂ． 2π(3 t + 1)R 2 ,逆时针方向； C ． (3 t + 1)R ,顺时针方向； D ． (3 t + 1)R ,逆时针方向； 解：由??? ???-=?S B l E d d i t ，则感应电场的大小满足 选择题4图 选择题3图 v 电磁场与电磁波 补充习题 1 若z y x a a a A -+=23，z y x a a a B 32+-=,求： 1 B A +；2 B A ?；3 B A ?；4 A 和B 所构成平面的单位法线；5 A 和B 之间较 小的夹角；6 B 在A 上的标投影和矢投影 2 证明矢量场z y x a xy a xz a yz E ++=是无散的，也是无旋的。 3 若z y x f 23=，求f ?，求在)5,3,2(P 的f 2?。 5 假设0电磁场理论习题及答案7.
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