2020年高考数学《考试大纲》新解 理

2020年高考理科数学《考试大纲》新解

《考试大纲》是高考命题的规范性文件和标准，是考试评价、复习备考的依据.国家教育部有关部门每年都邀请专家，依据高校人才选拔需求、国家课程标准调整以及考生实际水平变化，对《考试大纲》进行修订，以适应高校对新生基本能力和综合素质的要求.

日前教育部考试中心函件《关于2020年普通高考考试大纲修订内容的通知》（教试中心函﹝2020﹞179号），公布了2020年高考各学科考试大纲的修订内容，其中数学学科的修订内容如下：

1．在能力要求内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求，增加了数学文化的要求，同时对能力要求进行了加细说明，使能力要求更加明确具体.具体内容详见（二）考纲综合解读中的第二点内容. 2．在现行考试大纲三个选考模块中删去“几何证明选讲”，其余2个选考模块的内容和范围都不变，考生从“坐标系与参数方程”“不等式选讲”2个模块中任选1个作答.具体内容详见（二）考纲综合解读中的第三点内容.

“一不变”：核心考点不变

2020年的高考中，核心考点仍然是函数与导数、三角函数、解三角形、数列、立体几何、解析几何、概率与统计、选考内容等.

在选择题或填空题中，集合、复数、程序框图、三视图、三角函数的图象和性质、线性规划、平面向量、数列的概念与性质、圆锥曲线的简单几何性质、解三角形、导数与不等式的结合、函数的性质仍然是高频考点.在解答题中，除数列和三角函数轮流命题外，立体几何、概率与统计、解析几何、函数导数与不等式、选考内容仍然是必考内容.

备考锦囊

1．函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系.首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”；2．选择题与填空题中出现不等式的题目时，优选特殊值法；

3．求参数的取值范围时，应该建立关于参数的等式或不等式，用函数的定义域或值域或解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；

4．恒成立问题或它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复、不遗漏；

5．圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择根与系数的关系求解，使用根与系数的关系时必须先考虑是否为二次方程及根的判别式；

6．求椭圆或双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可；

7．求三角函数的周期、单调区间或最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；

8．数列的题目与和有关，优选作差的方法；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想；

9．导数的常规题目一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或者前一问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；

10．概率与统计的解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；

“二变”：数学文化解读 名师解读

教育部考试中心函件《关于2020年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.比如，在数学中增加数学文化的内容”因此我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给广大师生的复习备考以专业的帮助与指导. 样题展示

一、数学文化与算法

【例1】在《算法统宗》中有一“以碗知僧”的问题，具体如下“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧. 三百六十四只碗，恰合用尽不差争. 三人共食一碗饭，四人共进一碗羹. 请问先生能算者，都来寺内几多僧. ” 记该寺内的僧侣人数为

S ，运行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为

A ．414

B ．504

C ．462

D ．540

【答案】C

【例2】《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的m 的值为0，则输入的a 的值为

A．21

8B

．

45

16C．

93

32D．

189

64

【答案】C

【解析】起始：23

m a

=-，1

i=，第一次循环：2(23)349

m a a

=--=-，2

i=；第二次循环：2(49)3821

m a a

=--=-，3

i=；第三次循环：2(821)31645

m a a

=--=-，4

i=；接着可得2(1645)33293

m a a

=--=-，此时跳出循环，输出m的值为3293

a-．令32930

a-=，解得

93

32

a=

，故选C．

二、数学文化与数列

【例3】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中，甲所得为

A．

5

3钱B．

3

2钱C．

4

3钱D．

5

4钱

【答案】C

【例4】《孙子算经》是中国古代重要的数学专著，其中记载了一道有趣的数学问题：“今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色．”则这个数学问题中动物有______________只．（数字作答） 【答案】590490

【解析】由题意，知“堤、木、枝、巢、禽、雏、毛”的数量构成一个首项

19

a =，公比9q =的等比数列

{}n a ，其通项公式为1999n n n a -=?=，则动物的数量为()5655699919590490a a +=+=+=（只）

．

三、数学文化与概率统计

【例5】欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见 “行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5cm 的圆，中间有边长为0.5cm 的正方形孔，现随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为

A ．4

9π

B ．9

4π C ．49π

D ．49π

【答案】A

【解析】圆的面积为2221.59()(cm )216r ππ=π=，正方形的面积为221

0.50.25(cm )

4== ，所以油（油滴

的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为1

4

49916P ==

ππ ，故选A.

【例6】南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率π的值在3.1415926与3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值

的时间至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平.我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及其内切圆随机投掷豆子，在正方形中的80颗豆子中，落在圆内的有64颗，则估算圆周率的值为 A ．3.1 B ．3.14 C ．3.15 D ．3.2 【答案】D

四、数学文化与立体几何

【例7】中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）

的专用术语。关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之。亦倍下袤，上袤从之。各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一。”，其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个

数值相加，与高相乘，再取其六分之一。依此算法，现有上、下底面为相似矩形的棱台，相似比为1

2，高

为3，且上底面的周长为6，则该棱台的体积的最大值为

A．14B．56

C．4

63

D．63

【答案】C

【解析】依算法，设棱台的上底面的长、宽分别为x、(0,0)

y x y

>>，则下底面的长、宽分别为x2、y2，则棱台的体积

xy

y

x

x

y

x

x

V7

3

]

2

)

4(

)

2

2

[(

6

1

=

?

?

+

+

?

+

=

，又

3

=

+y

x，由基本不等式得4

63

)

2

(

7

72=

+

?

≤

y

x

xy

，当且仅当2

3

=

=y

x

时取得最大值，故选C．

【例8】中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前334年商鞅造的一种标准量器____商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位: 寸）. 若π取3，其体积为12.6（立方寸），则三视图中的x为

A．3.4B． 4.0C．3.8D．3.6

【答案】C

【解析】由三视图可知，商鞅铜方升由一个圆柱和一长方体组合而成，由题意得

2

1

31(5.4)12.6

2

x x

??+π()-=

，解得 3.8

x=，故选C.

五、数学文化与三角函数

【例9】中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为,,

a b c，三角形的面积S可由公式()()()

S p p a p b p c

=---

求得，其中

p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足

12,8

a b c

+==，则此三角形面积的最大值为

A. 45

B. 85

C. 415

D. 815

【答案】B

六、数学文化与推理与证明

【例10】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，，，

，，…．该

数列的特点是：前两个数都是，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列

{}

n a 称为“斐波那契数列”，则2222

132243354201520172016()()()()a a a a a a a a a a a a ---???-=

A. 1

B. 1-

C. 2017

D. 2017-

【答案】B

【解析】由题意得，根据斐波那契数列可知，

22

132243()1,()1

a a a a a a -=-=-，

22

354465()1,()1

a a a a a a -=-=-，…

所以根据计算的规律可得，当n 为偶数时，2

21()1n n n a a a ++-=-，当n 为奇数时，2

21()1

n n n a a a ++-=，

所以

2222

132243354201520172016()()()()1

a a a a a a a a a a a a ---???-=-，故选B.

备考锦囊

弘扬中国传统文化，尤其是数学文化，是2020年高考数学命题的新的“考向”

增加对数学文化的要求，是践行社会主义核心价值观、弘扬中国优秀传统文化的具体体现，通过对这些问题的解答使考生深刻认识到中华民族优秀传统的博大精深和源远流长.相信2020年在数学命题中，仍会适当增加对中国传统文化进行考查的内容，如将四大发明、勾股定理等所代表的中国古代科技文明作为试题背景材料，遵循继承、弘扬、创新的发展路径，注重传统文化在现实中的创造性转化和创新发展，体现中国传统科技文化对人类发展和社会进步的贡献，从而实现考试的社会意义和现实目的.

“三变”：选考模块的调整

名师解读

在考试内容与范围方面，删去了选修4-1里的“几何证明选讲”.删去的理由是几何证明选讲考查的是初中平面几何的知识，作为基础知识，可以在立体几何、解析几何知识中考查，不需要再单独设置专题考查，同时在以前的教学大纲和2020年修订的课程标准中都不包含.选考模块的试题由三道变为两道，可以说减轻了师生备考的负担，对于大多数学生来讲，可以从原来面对平面几何题较为尴尬的境地解放了出来！可以更具有针对性的复习备考另外两个选考模块.

最后一个大题的选择性减少，这就要求我们在备考阶段的聚焦点只能在“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”两部分上下功夫.

样题展示

【例1】在平面直角坐标系中，曲线122cos :sin x C y αα=+??=?（α为参数）经伸缩变换后的曲线为2C ，

以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线

2

C 的极坐标方程；

（2）若,A B 是曲线

2

C 上的两点，且

.

【解析】（1）曲线1C 的参数方程22cos sin x y αα=+??=?化为普通方程为

即2x x y y =='??'?，代入上式，可知曲线2C 的方程为()2211x y -+=，即

222x y x +=， 故曲线

2

C 的极坐标方程为2cos ρθ=.

（2）设()1,A ρθ，

，

【例2（1）解不等式()5

f x >；

（2对任意实数x 恒成立，求a 的取值范围.

【解析】（1）原不等式可化为1125x x ≤-->???或1235x -<≤>???或2

215x x >??->?

， 解得2x <-或3x >，所以不等式

()5

f x >的解集为

()(),23,-∞-+∞U ．

（2）因为

(

)

21213

x x x x

-++≥--+=

，所以

()3

f x≥

，即

()

min

3

f x=

．

由题意知()()

22

2222

2

log log3log2log301log3

a a a a a

-≤?--≤?-≤≤

，

得1

8 2

a

≤≤

．

备考锦囊

坐标系与参数方程中主要的考查点有三个：

（1）极坐标方程、参数方程与直角坐标方程之间的相互转化，此内容相对比较容易，在备考的时候熟记公式，以及各个曲线的参数方程即可得到满分.

（2）极坐标的几何意义（即对应的点到极点的距离），由于有时利用极坐标的几何意义能快速求解，降低解题难度，提高解题效率，所以理解极坐标的几何意义就刻不容缓.

（3）参数方程的几何意义，由于有时在解决最值问题时，利用三角知识能够快速求解，尤其是对圆锥曲线上的动点问题（2020年高考新课标Ⅲ卷有所涉及），直线参数方程中参数“t”的考查非常频繁，考生备考时应注重了解参数“t”的含义和应用方法，特别地，应用直线的参数方程时，需先判断是否为标准形式，再考虑参数t的几何意义.

对于不等式选讲，从历年全国高考中进行分析，绝对值不等式的解法与证明、恒成立问题，用基本不等式证明不等式是高考考查的热点和重点，难度中等.预计2020年，仍会考查绝对值不等式的求解、证明及恒成立问题.

高考的特点是以学生解题能力的高低为标准的一次性选拔，这就使得临场发挥显得尤为重要，研究和总结临场解题策略，进行应试训练和心理辅导，已成为高考数学的重要内容之一，正确运用数学高考临场解题策略，不仅可以预防各种心理障碍造成的不合理丢分和计算失误及笔误，而且能挖掘思维和知识的潜能，考出最佳成绩.

一、“内紧外松”，集中注意力，消除焦虑怯场

集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松.

二、一“慢”一“快”，相得益彰

有些考生只知道考场上一味地要快，结果题意未清，条件未全，便急于解答，岂不知欲速则不达，结果是思维受阻或进入死胡同，导致失败.应该说，审题要慢，解答要快.审题是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据.而思路一旦形成，则可尽量快速完成.

三、确保运算准确，立足一次成功

时间很紧张，不允许做大量细致的解后检验，所以要尽量准确运算(关键步骤，力求准确，宁慢勿快)，立足一次成功.解题速度是建立在解题准确度基础上的，更何况数学题的中间数据常常不但从“数量”上，而且从“性质”上影响着后继各步的解答.所以，在以快为上的前提下，要稳扎稳打，层层有据，步步准确，不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤.

四、讲求规范书写，力争既对又全

考试的又一个特点是以卷面为唯一依据.这就要求不但会而且要对，对且全，全而规范.会而不对，令

人惋惜；对而不全，得分不高；表述不规范、字迹不工整又是造成高考数学非智力因素失分的一大方面.字迹潦草，会使阅卷老师的第一印象不良，进而使阅卷老师认为考生学习不认真、基本功不过硬，“感情分”也就相应低了，此所谓心理学上的“光环效应”.“书写要工整，卷面能得分”讲的也正是这个道理.

五、执果索因，逆向思考，正难则反

对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展.顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证.如用分析法，从肯定结论或中间步骤入手，找充分条件；用反证法，从否定结论入手找必要条件.

六、面对难题，讲究策略，争取得分

会做的题目当然要力求做对、做全、得满分，而更多的问题是对不能全面完成的题目如何分段得分，下面有两种常用方法：

1.缺步解答.对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数.

2.跳步解答.当解题过程卡在一中间环节上时，可以承认中间结论，往下推，看能否得到正确结论，如得不出，说明此途径不对，立即改变方向，寻找其他途径；如能得到预期结论，就再回头集中力量攻克这一过渡环节.若因时间限制，中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继各步，一直做到底；另外，若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问，这都叫跳步解答.