专题五第3讲空间向量及解题方法

第3讲空间向量方法解立体几何

1．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110 B.25 C.3010 D.22 答案 C

解析方法一由于∠BCA ＝90°，三棱柱为直三棱柱，且BC ＝CA ＝CC 1.

建立如图(1)所示空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则可得A (0,0,0)，B (2,2,0)，M (1,1,2)，N (0,1,2)，

∴BM →＝(1,1,2)－(2,2,0)＝(－1，－1,2)，AN →

＝(0,1,2)． ∴cos 〈BM →，AN →

〉＝BM →·AN →|BM →||AN →|

＝

－1＋4

(－1)2＋(－1)2＋22×02＋12＋22

＝36×5＝3010.

方法二如图(2)，取BC 的中点D ，连接MN ，ND ，AD ，

由于MN 綊1

2B 1C 1綊BD ，因此有ND 綊BM ，则ND 与NA 所成的角即为异面直线BM 与AN

所成的角．

设BC ＝2，则BM ＝ND ＝6，AN ＝5，AD ＝5，因此cos ∠AND ＝ND 2＋NA 2－AD 22ND ·NA ＝30

2．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，平面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D －AF －E 与二面角C －BE －F 都是60°.

(1)证明：平面ABEF ⊥EFDC ；

(2)求二面角E －BC －A 的余弦值． (1)证明由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC ，又AF ?平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC .

(2)解过点D 作DG ⊥EF ，垂足为G ，由(1)知DG ⊥平面ABEF .以点G 为坐标原点，GF →

的方向为x 轴正方向，|GF →

|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz .

由(1)知∠DFE 为二面角D －AF －E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)．

由已知，AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC ，又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF ，

由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C －BE －F 的平面角，∠CEF ＝60°，从而可得C (－2,0，3)．

所以EC →＝(1,0，3)，EB →＝(0,4,0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →

＝(－4,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则?????

n ·

EC →＝0，n ·

EB →＝0，

即???

x ＋3z ＝0，

4y ＝0.

所以可取n ＝(3,0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则?????

m ·

AC →＝0，m ·AB →＝0.

同理可取m ＝(0，3，4)，则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－219

19.

故二面角E －BC －A 的余弦值为－219

以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.

热点一利用向量证明平行与垂直

设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)则有： (1)线面平行

l ∥α?a ⊥μ?a ·μ＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (2)线面垂直

l ⊥α?a ∥μ?a ＝k μ?a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. (3)面面平行

α∥β?μ∥v ?μ＝λv ?a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3. (4)面面垂直

α⊥β?μ⊥v ?μ·v ＝0?a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0.

例1 如图，在直三棱柱ADE —BCF 中，面ABFE 和面ABCD 都是正方形且互相垂直，点M 为AB 的中点，点O 为DF 的中点．运用向量方法证明：

(1)OM ∥平面BCF ； (2)平面MDF ⊥平面EFCD .

证明方法一由题意，得AB ，AD ，AE 两两垂直，以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．

设正方形边长为1，则A (0,0,0)，B (1，0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，F (1,0,1)，M ????12，0，0，O ????12，12，12. (1)OM →＝????0，－12，－12，BA →

＝(－1,0,0)， ∴OM →·BA →＝0, ∴OM →⊥BA →

. ∵棱柱ADE —BCF 是直三棱柱，

∴AB ⊥平面BCF ，∴BA →

是平面BCF 的一个法向量，

且OM ?平面BCF ，∴OM ∥平面BCF .

(2)设平面MDF 与平面EFCD 的一个法向量分别为 n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)．

∵DF →＝(1，－1,1)，DM →＝????12，－1，0，DC →＝(1,0,0)，CF →

＝(0，－1,1)，由????? n 1·DF →＝0，n 1·DM →＝0. 得?????

x 1－y 1＋z 1

＝0，12x 1－y 1＝0，

令x 1＝1，则n 1＝????1，12，－1

2. 同理可得n 2＝(0,1,1)．

∵n 1·n 2＝0，∴平面MDF ⊥平面EFCD .

方法二 (1)OM →＝OF →＋FB →＋BM →＝12DF →－BF →＋12BA →

＝12(DB →＋BF →)－BF →＋12BA →

＝－12BD →－12BF →＋12BA → ＝－12(BC →＋BA →)－12BF →＋12BA →

＝－12BC →－12

BF →.

∴向量OM →与向量BF →，BC →

共面，又OM ?平面BCF ，∴OM ∥平面BCF . (2)由题意知，BF ，BC ，BA 两两垂直， ∵CD →＝BA →，FC →＝BC →－BF →， ∴OM →·CD →＝????－12BC →－12BF →·BA →＝0， OM →·FC →＝????－12BC →－12BF →·(BC →－BF →) ＝－12BC →2＋12

BF →

2＝0.

∴OM ⊥CD ，OM ⊥FC ，又CD ∩FC ＝C ， ∴OM ⊥平面EFCD .

又OM ?平面MDF ，∴平面MDF ⊥平面EFCD .

思维升华用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a ∥b ，只需证明向量a ＝λb (λ∈R )即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．

跟踪演练1 如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，点E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2.

(1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求证：平面P AD ⊥平面PDC .

证明 (1)以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)， ∵点E ，F 分别是PC ，PD 的中点， ∴E ????12，1，12，F ????0，1，12， EF →＝????－12，0，0，AB →

＝(1,0,0)． ∵EF →＝－12AB →，∴EF →∥AB →，

即EF ∥AB ，

又AB ?平面P AB ，EF ?平面P AB ， ∴EF ∥平面P AB .

(2)由(1)可知PB →＝(1,0，－1)，PD →＝(0,2，－1)，AP →＝(0,0,1)，AD →＝(0,2,0)，DC →

＝(1,0,0)， ∵AP →·DC →＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0， AD →·DC →＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，

∴AP →⊥DC →，AD →⊥DC →

，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ， ∴DC ⊥平面P AD . ∵DC ?平面PDC ， ∴平面P AD ⊥平面PDC .

热点二利用空间向量求空间角

设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)(以下相同)． (1)线线夹角

设l ，m 的夹角为θ(0≤θ≤π

)，

则cos θ＝|a ·b |

|a ||b |＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22. (2)线面夹角

设直线l 与平面α的夹角为θ(0≤θ≤π2)，

则sin θ＝

|a ·μ|

|a ||μ|

＝|cos 〈a ，μ〉|. (3)面面夹角

设平面α、β的夹角为θ(0≤θ<π)，则|cos θ|＝

|μ·v |

|μ||v |

＝|cos 〈μ，v 〉|. 例2 如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知P A ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π

，P A ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.

(1)求平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；

(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．解以{AB →，AD →，AP →

}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，

则各点的坐标为B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)．

(1)因为AD ⊥平面P AB ，所以AD →是平面P AB 的一个法向量，AD →

＝(0,2,0)．因为PC →＝(1,1，－2)，PD →

＝(0,2，－2)．设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，

则m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，

即?????

x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.

令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1. 所以m ＝(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量．从而cos 〈AD →

，m 〉＝AD →

·m |AD →

||m |

＝33，

所以平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为3

. (2)因为BP →

＝(－1,0,2)，

设BQ →＝λBP →

＝(－λ，0,2λ)(0≤λ≤1)，

又CB →＝(0，－1,0)，则CQ →＝CB →＋BQ →

＝(－λ，－1,2λ)，又DP →

＝(0，－2,2)，

从而cos 〈CQ →，DP →

〉＝CQ →·DP →

|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2. 设1＋2λ＝t ，t ∈[1,3]，

则cos 2

〈CQ →，DP →

〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29????1t －592＋209

≤910.

当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →

〉|的最大值为31010

因为y ＝cos x 在????0，π

2上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝25

思维升华 (1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．(2)求空间角注意：①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|.②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角．③直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化．

跟踪演练2 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面△ABC 是直角三角形，AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，点P 是棱BB 1上一点，满足BP →＝λBB 1→

(0≤λ≤1)．

(1)若λ＝1

3，求直线PC 与平面A 1BC 所成角的正弦值；

(2)若二面角P —A 1C —B 的正弦值为2

，求λ的值．

解以点A 为坐标原点O ，分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz .因为AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，A 1(0,0,2)，B 1(1,0,2)，P (1,0,2λ)．

(1)由λ＝13得，CP →＝????1，－1，23，A 1B →＝(1,0，－2)，A 1C →

＝(0,1，－2)，设平面A 1BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由?????

n 1·A 1B →＝0，n 1·

A 1C →＝0，得?????

x 1－2z 1＝0，

y 1－2z 1＝0.

不妨取z 1＝1，则x 1＝y 1＝2，

从而平面A 1BC 的一个法向量为n 1＝(2,2,1)．设直线PC 与平面A 1BC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈CP →

，n 1〉|＝??????CP →·n 1|CP →

|·|n 1|＝2233，所以直线PC 与平面A 1BC 所成的角的正弦值为

(2)设平面P A 1C 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，A 1P →

＝(1,0,2λ－2)，由?????

n 2·A 1C →＝0，n 2·

A 1P →＝0，得?????

y 2－2z 2＝0，

x 2＋(2λ－2)z 2＝0.

不妨取z 2＝1，则x 2＝2－2λ，y 2＝2，所以平面P A 1C 的法向量为n 2＝(2－2λ，2,1)．则cos 〈n 1，n 2〉＝9－4λ

34λ2－8λ＋9，

又因为二面角P —A 1C —B 的正弦值为2

3，

所以9－4λ34λ2－8λ＋9＝5

，

化简得λ2＋8λ－9＝0，解得λ＝1或λ＝－9(舍去)，故λ的值为1.

热点三利用空间向量求解探索性问题

存在探索性问题的基本特征是要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立．解决这类问题的基本策略是先假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．

例3 如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．

(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；

(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．

解 (1)由题意，易得DM ⊥DA ，DM ⊥DC ，DA ⊥DC .

如图所示，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．

则D (0,0,0)，A (1,0,0)，M (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，N (1,1,1)，E (1

2，1,0)，

所以NE →＝(－12，0，－1)，AM →

＝(－1,0,1)．

设异面直线NE 与AM 所成角为θ，则cos θ＝|cos 〈NE →，AM →

〉| ＝|NE →·AM →||NE →|·|AM →|＝1

252

×2

＝1010.

所以异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为

1010

. (2)假设在线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ，连接AE . 因为AN →

＝(0,1,1)，

可设AS →＝λAN →

＝(0，λ，λ)，λ∈[0,1]，又EA →＝(1

，－1,0)，

所以ES →＝EA →＋AS →＝(1

2，λ－1，λ)．

由ES ⊥平面AMN ，

得????? ES →·AM →＝0，ES →·AN →＝0，即?????

－12＋λ＝0，

(λ－1)＋λ＝0，

解得λ＝12，此时AS →＝(0，12，12)，|AS →

|＝22.

经检验，当AS ＝

时，ES ⊥平面AMN . 故线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ，此时AS ＝

. 思维升华空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法．

跟踪演练3 如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面于直线AB ，且AB ＝BP ＝2，AD ＝AE ＝1，AE ⊥AB ，且AE ∥BP .

(1)设点M 为棱PD 的中点，求证：EM ∥平面ABCD ；

(2)线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于2

5？若存在，

试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．

(1)证明由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且BC ⊥AB ，则BC ⊥平面ABPE ，所以BA ，BP ，BC 两两垂直，故以点B 为原点，BA →，BP →，BC →

分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

则P (0,2,0)，D (2,0,1)，M ????1，1，12，E (2,1,0)，C (0,0,1)，所以EM →

＝????－1，0，12. 易知平面ABCD 的一个法向量n ＝(0,1,0)，所以EM →

·n ＝(－1,0，12)(0,1,0)＝0，

所以EM →

⊥n ，又EM ?平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD .

(2)当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为2

理由如下：

PD →＝(2，－2,1)，CD →

＝(2,0,0)，

设平面PCD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由?????

n 1·PD →＝0，n 1·

CD →＝0，得?????

2x 1－2y 1＋z 1＝0，2x 1＝0，

取y 1＝1，得平面PCD 的一个法向量等于n 1＝(0,1,2)，

假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成的角α的正弦值等于2

设PN →＝λPD →

(0≤λ≤1)，

则PN →

＝λ(2，－2,1)＝(2λ，－2λ，λ)， BN →＝BP →＋PN →

＝(2λ，2－2λ，λ)．所以sin α＝|cos 〈BN →

，n 1〉|＝|BN →·n 1||BN →||n 1|

＝2

5×(2λ)2＋(2－2λ)2＋λ2

＝

25×9λ2－8λ＋4＝2

所以9λ2－8λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－1

(舍去)．

因此，线段PD 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25

如图，在五面体中，四边形ABCD 是矩形，AB ∥EF ，AD ⊥平面ABEF ，且AD ＝1，AB ＝1

2EF

＝22，AF ＝BE ＝2，点P 、Q 分别为AE 、BD 的中点．

(1)求证：PQ ∥平面BCE ； (2)求二面角A －DF －E 的余弦值．

押题依据利用空间向量求二面角全面考查了空间向量的建系、求法向量、求角等知识，是高考的重点和热点．

(1)证明连接AC ，∵四边形ABCD 是矩形，且Q 为BD 的中点，∴点Q 为AC 的中点，又在△AEC 中，点P 为AE 的中点，∴PQ ∥EC ， ∵EC ?面BCE ，PQ ?面BCE ，∴PQ ∥平面BCE . (2)解如图，取EF 的中点M ，连接AM ，

因为由题意知AM 2＋AF 2＝MF 2，则AF ⊥AM ，以点A 为坐标原点，以AM ，AF ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．则A (0,0,0)，D (0,0,1)，M (2,0,0)，F (0,2,0)．

可得AM →＝(2,0,0)，MF →＝(－2,2,0)，DF →

＝(0,2，－1)．设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，

则?????

n ·MF →＝0，n ·

DF →＝0.故????? －2x ＋2y ＝0，2y －z ＝0，即?????

x －y ＝0，

2y －z ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，z ＝2，

故n ＝(1,1,2)是平面DEF 的一个法向量．

∵AM ⊥面ADF ，∴AM →

为平面ADF 的一个法向量． ∴cos 〈n ，AM →

〉＝n ·AM →|n |·|AM →|＝2×1＋0×1＋0×26×2＝66.

由图可知所求二面角为锐角， ∴二面角A －DF －E 的余弦值为

A 组专题通关

1．已知平面ABC ，点M 是空间任意一点，点M 满足条件OM →＝34OA →＋18OB →＋18OC →

，则直线

AM ( )

A ．与平面ABC 平行

B ．是平面AB

C 的斜线 C ．是平面ABC 的垂线

D ．在平面ABC 内答案 D

解析由已知得M 、A 、B 、C 四点共面．所以AM 在平面ABC 内，选D.

2.如图，点P 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中异于A 的一个顶点，则AP →·AB →

的值为( )

A ．0

B ．1

C ．0或1

D ．任意实数

答案 C

解析 AP →可为下列7个向量：AB →，AC →，AD →，AA 1→，AB 1→，AC 1→，AD 1→，其中一个与AB →重合，AP →·AB →

＝|AB →|2＝1；AD →，AD 1→，AA 1→与AB →垂直，这时AP →·AB →＝0；AC →，AB 1→与AB →的夹角为45°，这时AP →·AB →＝2×1×cos π

＝1，

最后AC 1→·AB →

＝3×1×cos ∠BAC 1＝3×13＝1，

故选C.

3．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (1,1，2)．若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥D －ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( ) A ．S 1＝S 2＝S 3 B ．S 2＝S 1且S 2≠S 3 C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2 D ．S 3＝S 2且S 3≠S 1 答案 D

解析如图所示，

△ABC 为三棱锥在坐标平面xOy 上的正投影，所以S 1＝1

×2×2＝2.

三棱锥在坐标平面yOz 上的正投影与△DEF (E ，F 分别为OA ，BC 的中点)全等，所以S 2＝1

×2×2＝ 2.

三棱锥在坐标平面xOz 上的正投影与△DGH (G ，H 分别为AB ，OC 的中点)全等，所以S 3＝

2×2×2＝ 2.

所以S 2＝S 3且S 1≠S 3.故选D.

4．如图，三棱锥A －BCD 的棱长全相等，点E 为AD 的中点，则直线CE 与BD 所成角的余

弦值为(

)

A.36

B.32

C.336

D.12

答案 A

解析设AB ＝1，则CE →·BD →＝(AE →－AC →)·(AD →－AB →

) ＝12AD →2－12AD →·AB →－AC →·AD →＋AC →·AB → ＝12－12cos 60°－cos 60°＋cos 60°＝14. ∴cos 〈CE →，BD →

〉＝CE →·BD →|CE →||BD →|

＝1

432

＝36.选A.

5．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( ) A.

64 B.104 C.22 D.3

答案 A

解析如图所示建立空间直角坐标系，

设正三棱柱的棱长为2，则O (0,0,0)，B (3，0,0)，A (0，－1,0)，B 1(3，0,2)，

则AB 1→＝(3，1,2)，则BO →

＝(－3，0,0)为侧面ACC 1A 1的法向量，故sin θ＝|AB 1→·BO →

||AB 1→||BO →

|＝64.

6．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP →

的取值范围是________．

答案 [0,1]

解析以DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，DD 1所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz .

则D (0,0,0)，C (0,1,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)． ∴DC →＝(0,1,0)，BD 1→

＝(－1，－1,1)． ∵点P 在线段BD 1上运动，

∴设BP →＝λBD 1→

＝(－λ，－λ，λ)，且0≤λ≤1. ∴AP →＝AB →＋BP →＝DC →＋BP →

＝(－λ，1－λ，λ)， ∴DC →·AP →＝1－λ∈[0,1]．

7．在一直角坐标系中，已知点A (－1,6)，B (3，－8)，现沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A 、B 两点间的距离为________．答案 217

解析如图为折叠后的图形，其中作AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，

则AC ＝6，BD ＝8，CD ＝4，两异面直线AC ，BD 所成的角为60°，故由AB →＝AC →＋CD →＋DB →，得|AB →|2＝|AC →＋CD →＋DB →

|2＝68， ∴|AB →

|＝217.

8．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →

)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|.其中正确命题的序号是________．答案 ①②

解析设正方体的棱长为1，①中(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝A 1C →2＝3A 1B 1→2＝3，故①正确；②中A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中|AB →·AA 1→·AD →|＝0.故④也不正确．

9.如图所示，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB ＝AE ，F A ＝FE ，∠AEF ＝45°.

(1)求证：EF ⊥平面BCE ；

(2)设线段CD ，AE 的中点分别为点P ，M ，求证：PM ∥平面BCE . 证明因为△ABE 是等腰直角三角形，AB ＝AE ，所以AE ⊥AB ，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB . 所以AE ⊥平面ABCD ，所以AE ⊥AD ，

即AD ，AB ，AE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．

设AB ＝1，则AD ＝AE ＝1.

(1)A (0,0,0)，B (0,1,0)，D (1,0,0)，E (0,0,1)，C (1,1,0)，因为F A ＝FE ，∠AEF ＝45°，所以∠AFE ＝90°，

从而F (0，－12，12)，EF →＝(0，－12，－12)，

BE →＝(0，－1,1)，BC →

＝(1,0,0)．于是EF →·BE →＝0＋12－12＝0，EF →·BC →

＝0，

所以EF ⊥BE ，EF ⊥BC ，

因为BE ?平面BCE ，BC ?平面BCE ，BC ∩BE ＝B ，所以EF ⊥平面BCE .

(2)M ????0，0，12，P (1，1

2，0)，从而PM →

＝(－1，－12，12

)，

于是PM →·EF →＝????－1，－12，12·?

???0，－12，－12

＝0＋14－14

＝0.

所以PM ⊥EF ，又EF ⊥平面BCE ，直线PM 不在平面BCE 内，故PM ∥平面BCE .

10.如图所示的多面体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC ＝BC ＝BD ＝2AE ＝2，点M 是AB 的中点．

(1)求证：CM ⊥EM ；

(2)求平面EMC 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值． (1)证明 ∵AC ＝BC ，点M 是AB 的中点， ∴CM ⊥AB .

∵EA ⊥平面ABC ，CM ?平面ABC ，∴CM ⊥EA ，又∵EA ∩AB ＝A ，∴CM ⊥平面AEM ，又EM ?平面AEM ，∴CM ⊥EM .

(2)解以点M 为原点，分别以MB ，MC 所在直线为x ，y 轴建立坐标系Mxyz ，如图，

则M (0,0,0)，C (0，2，0)，B (2，0,0)，D (2，0,2)，E (－2，0,1)， ∴ME →＝(－2，0,1)，MC →

＝(0，2，0)， BD →＝(0,0,2)，BC →

＝(－2，2，0)，设平面EMC 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则?????

m ·ME →＝0，m ·

MC →＝0，即???

－2x 1＋z 1＝0，2y 1＝0，

∴???

z 1＝2x 1，y 1＝0，

取x 1＝1，则m ＝(1,0，2)，设平面BCD 的一个法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)，则?????

n ·BC →＝0，n ·

BD →＝0，即???

－2x 2＋2y 2＝0，2z 2＝0，

∴?

????

x 2＝y 2，z 2＝0，取x 2＝1，则n ＝(1,1,0)， ∴cos 〈m ，n 〉＝

m·n

|m||n |＝12×3＝66

， ∴平面EMC 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值为

. B 组能力提高

11.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是( )

A ．[3

3，1] B ．[

，1] C ．[

63，223

] D ．[223

，1]

答案 B

解析根据题意可知平面A 1BD ⊥平面A 1ACC 1且两平面的交线是A 1O ，

所以过点P 作交线A 1O 的垂线PE ，则PE ⊥平面A 1BD ，

所以∠A 1OP 或其补角就是直线OP 与平面A 1BD 所成的角α. 设正方体的边长为2，

则根据图形可知直线OP 与平面A 1BD 可以垂直．

当点P 与点C 1重合时可得A 1O ＝OP ＝6， A 1C 1＝22，所以12×6×6×sin α＝1

2×22×2，

所以sin α＝22

；

当点P 与点C 重合时，可得sin α＝26＝6

. 根据选项可知B 正确．

12．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在直线BC 1上运动时，有下列三个命题：①三棱锥A －D 1PC 的体积不变；②直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变；③二面角P －AD 1－C 的大小不变．其中真命题的序号是________．

答案 ①③

解析 ①中，∵BC 1∥平面AD 1C ，∴BC 1上任意一点到平面AD 1C 的距离相等，所以体积不变，正确；②中，点P 在直线BC 1上运动时，直线AB 与平面ACD 1所成角和直线AC 1与平面ACD 1所成角不相等，所以不正确；③中，点P 在直线BC 1上运动时，点P 在平面AD 1C 1B 中，既二面角P —AD 1－C 的大小不受影响，所以正确．

13．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 、F 分别为BB 1、CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为______________．答案

解析以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则A 1(0,0,1)，E (1,0，12)，F (1

2，1,0)，D 1(0,1,1)．

∴A 1E →＝(1,0，－12

)，A 1D 1→

＝(0,1,0)．

设平面A 1D 1E 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，

必修2立体几何+选修2-1空间向量专题复习学案：空间向量与立体几何(含答案-可直接打印)

必修2立体几何+选修2-1空间向量专题复习学案：空间向量与立体几何(含答案-可直接打印) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2 专题复习：空间向量与立体几何题型一：空间几何体的三视图、表面积和体积 1．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( ) 2．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A ．9π＋42 B ．36π＋18 C.92π＋12 D.92 π＋18 3.如果圆锥的侧面展开图半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是（） A.?30 B.?45 C.?60 D.?90 4.球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于 . 5.如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是 . 6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为?45，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积等于 . 题型二：空间向量的运算及坐标表示 1.已知空间四边形OABC ，其对角线OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG=2GN ，用向量,,OA OB OC 表示向量OG 是（） A.2233 OG OA OB OC =++； B.122233 OG OA OB OC =++； C.111633OG OA OB OC =++ D.112 633 OG OA OB OC =++ 2、给出下列命题 ①已知a b ⊥,则()() a b c c b a b c ?++?-=?; ②A 、B 、M 、N 为空间四点,若,,BA BM BN 不构成空间的一个基底,则A 、B 、M 、N 共面; ③已知a b ⊥,则,a b 与任何向量不构成空间的一个基底; ④已知{} ,,a b c 是空间的一个基底,则基向量,a b 可以与向量m a c =+构成空间另一个基底. 正确命题个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3、已知平行四边形ABCD 中，A (4，1，3)、B (2，－5，1)、C (3，7，－5)，则D 的坐标为( ) A ．)1,4,2 7 (- B ．(2，3，1) C ．(－3，1，5) D ．(5，13，－3) 4、1,2,,a b c a b ===+且c a ⊥,则向量a b 与的夹角为（） A ．30? B ．60? C ．120? D ．150? 5．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 6．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a λ，且a 与b 的夹角余弦为9 8 ，则λ等于（） A ．2 B ．2- C ．2-或552 D ．2或552 - 7．空间四边形OABC 中，OB OC =，3 AOB AOC π ∠=∠=，则cos <,OA BC >的值是（） A ． 21 B ．22 C ．－2 1 D ．0 8.已知b a ,是空间二向量，若b a b a b a 与则,7||,2||,3||=-==的夹角为 . 题型三：空间向量在立体几何中的应用例1如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为BC 的中点，N 为AB 的中点，P 为BB 1的中点． (Ⅰ)求证：BD 1⊥B 1C ； (Ⅱ)求证：BD 1⊥平面MNP ．

平面向量及空间向量高考数学专题训练

平面向量及空间向量高考数学专题训练（四）一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b ，则锐角α为（） A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(（） A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-（） A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3 π ）平移，再将所得图像上各点的横坐标变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（） A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x －3 π )－2 C.y=(321π+x )－2 D.y=sin(321π-x )+2 6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则?的值为（） A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10．O 为空间中一定点，动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,

空间向量与立体几何高考题汇编

1. （2009北京卷）（本小题共14分）如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形， PD _底面ABCD , 点E 在棱PB 上. （I ）求证：平面 AEC _平面PDB ；（H ）当PD = J2AB 且E 为PB 的中点时，求 AE 与平面PDB 所成的角的大小. 解：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系 D-xyz , 设 AB 二 a,PD 二h, 则 A a,0,0 ,B a,a,0 ,C 0,a,0 , D 0,0,0 ,P 0,0,h , (I 「AC …a,a,0 齐=0,0,h,DB=a,a,0 , ??? AC 丄 DR AC 丄 DB ??? AC 丄平面 PDB ???平面AEC _平面PDB . （n ）当PD =?』2AB 且E 为PB 的中点时, 设ASBD=O 连接 OE 由（I ）知ACL 平面PDB 于 O, ? / AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ?- AOE =45，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45 ? 2.（2009山东卷）（本小题满分 12分） P 0,0,、、2a Ji i 42 E —a, —a, — a , 匹2 2 丿 ?cos AEO EA 】EO 2 p,

解法二：(1)因为AB=4, BC=CD=2, F 是棱AB 的中点，所以BF=BC=CF ^ BCF 为正三角形，因为ABCD 为等腰梯形，所以/ BAC=Z ABC=60 ,取AF 的中点M, 连接。皿＞则DMLAB,所以DM L CD, 以DM 为x 轴,DC 为y 轴,DDi 为z 轴建立空间直角坐标系， ,则 D( 0,0,0 ) ,A (、.3,-1,0 ) ,F ( ... 3,1,0 ) ,C 向量为；=(x, y,则 4 ^F=0所以 ]n C 。= 0 i EE i i-丄.3 i 0=0,所以 n _ EE i ,所以直线 EEj/ 平面 FCC . 2 2 2 ) FB =(0, 2,0),设平面BFC 的法向量为n =( x, y, z)则]J i n FC =0 .厂 ,取 n=(2,0, J3),则 -、3x i y i 2 Z i —0 2 7 ,由图可知二面角 B-FC 1 -C 2 .7 7 B-FC i -C 的余弦值为+ 3. (2009全国卷H)(本小题满分12分) 如图，直三棱柱 ABC-ABG 中，AB_AC, D 、E 分别为AA ,、 B i C 的中点，DE _平面BCC i (I )证明：AB=AC (II )设二面角A-BD -C 为60°,求B i C 与平面BGD 所成的角的大小。 (I )分析一：连结BE, ： ABC -AQG 为直三棱柱，一 B^C =90 , C (0,2,2 ) ,E (邑 2 i 2。) ,Ei ( ? 3小)， E i ,_1,1),CF =(.3-1,0),CC i =(0,0,2) D E ? A M F F C 、3,I ,2) 设平面CGF (020 ③-八。取 n=(i,§0), z = 0 yi =0 n 2 i 一、3 0 0 .3 =2, |二汀(3)2 =2,|；|「22 0 c ，3)2 -7 所以cos n, n |n||n | 为锐角，所以二面角 D i A i B i

专题7.6 利用空间向量证明平行与垂直-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)

第七篇立体几何与空间向量专题7.06利用空间向量证明平行与垂直【考试要求】 1.理解直线的方向向量及平面的法向量； 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系； 3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理； 4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题； 5.能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题； 6.并能描述解决夹角和距离的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 【知识梳理】 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l 的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量. 2.空间位置关系的向量表示 3.异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

4.求直线与平面所成的角设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n | |a ||n |. 5.求二面角的大小 (1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD → 〉. (2)如图②③，n 1，n 2 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角). 6.点到平面的距离用向量方法求点B 到平面距离基本思路：确定平面法向量，在平面内取一点A ，求向量AB → 到法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面α的法向量为n ，点B 到平面α的距离d ＝|AB →·n | |n |. 【微点提醒】 1.平面的法向量是非零向量且不唯一. 2.建立空间直角坐标系要建立右手直角坐标系. 3.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|. 4.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( )

空间向量专题讲解

空间向量的概念解析例1、下列说法中正确的是（） A.若｜a ｜=｜b ｜，则a,b 的长度相同，方向相同或相反 B.若向量a 是向量b 的相反向量，则｜a ｜=｜b ｜ C.空间向量的减法满足结合律 D.在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC += 练习 1、给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点相同；③若空间向量a,b 满足｜a ｜=｜b ｜，则a=b ；④若空间向量m,n,p 满足m=n,n=p,则m=p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等，其中正确命题的个数为（） A.4 B.3 C.2 D.1 2、下列四个命题：（1）方向相反的两个向量是相反向量（2）若a,b 满足｜a ｜＞｜b ｜，且a,b 同向，则a ＞b （3）不相等的两个空间向量的模必不相等（4）对于任何向量a,b ，必有｜a+ b ｜≤｜a ｜+｜b ｜其中正确命题的序号为（） A.（1）（2）（3） B.（4） C.（3）（4） D.（1）（4）空间向量的线性运算例1、已知长方体ABCD-A ’B ’C ’D ’,化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量（1）AA CB '-（2）AB B C C D '''''++（3） 111222 AD AB A A '+- 练习 1、如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量的共有（） ①1()AB BC CC ++②11111()AA A D DC ++ ③111()AB BB BC ++④11111()AA A B BC ++ A.1个 B.2个 C.3个 D.4 个

空间向量及其运算(经典)

§8.5 空间向量及其运算 1.空间向量的有关概念 2.(1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . 推论如图所示，点P 在l 上的充要条件是 OP →＝OA → ＋t a ① 其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ，则①可化为OP → ＝ OA →＋tAB →或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →或OP →＝xOM → ＋yOA →＋zOB → ，其中x ＋y ＋z ＝__1__. (3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.

3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23， cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 . 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则d AB ＝|AB → |＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面. ( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ). ( × )

专题11.4 空间向量的应用(专题训练卷)(解析版)

专题11.4 空间向量的应用（专题训练卷）一、单选题 1．（2020·江苏如东高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（） A ． 6 B ． 102 C ． 155 D ． 105 【答案】D 【解析】以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1), 1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量． 110 cos ,558 BC AC ∴<>= =?． ∴直线1BC 与平面11BB DD 10 故选：D ． 2．（2020·河北新华石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( )

A．1 6 B． 1 4 C． 1 6 -D． 1 4 - 【答案】A 【解析】如图，以D为坐标原点，分别以1 ,, DA DC DD所在直线为,, x y z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则()( )()() 1 100,012,121,002 M N O D ，，，，，，，，，∴()() 1 1,1,2,1,2,1 MN OD =-=--．则 1 1 1 1 cos, 6 66 MN OD MN OD MN OD ? === ?．∴异面直线 MN与 1 OD所成角的余弦值为 1 6 ,故选A． 3．（2020·辽宁高三其他（文））如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为（） A 6 B 26 C 15 D 10 【答案】D 【解析】以D点为坐标原点，以DA、DC、1 DD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，

高三数学专题复习：空间向量

一、知识梳理【高考考情解读】高考对本节知识的考查以解答题的形式为主：1.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明、空间角(主要是线面角和二面角)的计算.2.以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题． 1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)(以下相同)． (1)线面平行：l ∥α?a ⊥μ?a ·μ＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥μ?a ＝k μ?a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. (3)面面平行：α∥β?μ∥v ?μ＝λv ?a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3. (4)面面垂直：α⊥β?μ⊥v ?μ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0. 2．直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)(以下相同)． (1)线线夹角：设l ，m 的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22 . (2)线面夹角：设直线l 与平面α的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则sin θ＝|a ·μ||a ||μ| ＝|cos 〈a ，μ〉|. (3)面面夹角：设平面α、β的夹角为θ(0≤θ<π)，则|cos θ|＝|μ·v ||μ||v | ＝|cos 〈μ，v 〉|. 提醒求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析． 3．求空间距离直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离，点P 到平面α的距离：d ＝|PM →·n ||n | (其中n 为α的法向量，M 为α内任一点). 二、课前预习 1．平面α的法向量为m ，向量a 、b 是平面α之外的两条不同的直线的方向向量，给出三个论断：①a ⊥m ；②a ⊥b ；③m ∥b .以其中的两个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出所有正确的命题______________________． 2.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1， ∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，则cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值为________． 3．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，

3.1.1空间向量及其运算

3. 1.1空间向量及其运算（一）教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程： Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa 与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本

2021年高考数学专题复习：空间向量及其运算

2021年高考数学专题复习：空间向量及其运算一、单选题 1．若向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2a b -=（） A ．(4,1,0)- B ．(4,1,4)-- C ．(4,1,0)- D ．(4,1,4)-- 2．在平行六面体ABCD－A 1B 1C 1D 1中，向量1D A －1D C －11AC 是( ) A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 3．已知空间直角坐标系O xyz -中， )3,2,1(=， )2,1,2(=， ) 2,1,1(=，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ?取得最小值时，点Q 的坐标为（） A ．131,,243?? ??? B ．133,,224?? ??? C ．448,,333?? ??? D ．447,,333?? ??? 4．已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱1AA ，1BB ，1CC 分别交于三点M ，N ，Q ，若MNQ △为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（）． A ．2 B ．4 C ． D ．5．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是（） A ．OM OA OB OC =-- B ．111 532 OM OA OB OC = ++ C ．0MA MB MC ++= D ．0OM OA OB OC +++= 6．对于空间向量()1,2,3a =，(),4,6b λ=，若//a b ，则实数λ=（）

A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 7．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知 AB a =， AD b =， 1AA c =，则用向量a ， b ，c 可表示向量 1BD 等于 A ．a b c ++ B ．a b c -+ C ．a b c +- D ．a b c -++ 8．在空间直角坐标系中，()()2,2,0,1,,1,OA a b OB c d O ==-为坐标原点，满足 22221,4a b c d +=+=，则下列结论中不正确的是（） A ．·OA O B 的最小值为-6 B ．·OA OB 的最大值为10 C ．AB D ．AB 最小值为1 二、填空题 9．在正方体1111ABCD A B C D -中，给出以下向量表达式： ①111()A D A A AB --； ②111()BC BB DC +-； ③1()2AD AB DD --； ④1111 ()B D A A DD ++. 其中能够化简为向量1BD 的是______________（填序号）. 10．已知向量()1,2,3a =,() 2 ,2,b x x y y =+-,并且a ?b 共线且方向相同,则x y +=

空间向量高考题.doc.docx

空间向量高考题 1. 如下图 , 在长方体 ABCD— A1 B1C1 D1中, 已知 AB=4, AD=3, AA1= 2. E、F 分别是线段AB、BC上的点 , 且 EB=FB=1. （Ⅰ）求二面角C— DE—C1的正切值 ; （Ⅱ）求直线 EC1与 FD1所成角的余弦值 . 、如图四棱锥 P—ABCD中底面 ABCD为矩形AB AD , 侧面 PAD为等边 2 .,,, =8,=4三角形 , 并且与底面所成二面角为60°. （Ⅰ）求四棱锥P— ABCD的体积 ;（Ⅱ）证明PA⊥BD. 4、如图，α⊥β，α ∩β＝l ，∈α，∈β，点 A 在直线 l 上的射影为 1 ，点 A B A B 在直线l 上的射影为1，已知＝，1， 1 ＝，求： B AB 2AA=1BB （Ⅰ）直线 AB分别与平面α，β所成的角的大小；（Ⅱ）二面角A1－AB－ B1的大小 .

证∵α⊥β，α∩β=l ， AA1⊥l ， BB1⊥l ，∴AA1⊥β，BB1⊥α ，则∠ BAB1，∠ ABA1分别是 AB与α和β所成的角 . Rt△BB1A 中， BB1=，AB=2，∴ sin∠BAB1=， ∴∠ BAB1=45°. Rt△AA1B 中， AA1=1，AB=2， ∴sin ∠ABA1=，∴∠ ABA1=30°. 故 AB与平面α，β所成的角分别是45°， 30°. ( Ⅱ) 如图，建立坐标系，则A1（ 0， 0， 0）， A（0，0， 1）， B1（0，1，0）， B （，1，0）. 在 AB上取一点 F（x，y，z），则存在 t ∈R，使得=t，即（ x，y，z－1）=t() ，∴点 F 的坐标为 (t ，t ，1－ t). 要使，须=0，即（，t ，1－t ）·（，1，－1）=0， 2t+t－(1 －t)=0 ，解得 t=，∴点 F 的坐标为 () ∴(). 1 ）. ∴ 设 E 为 AB 的中点，则点 E 的坐标为（ 0，又 ∴，∴∠A1FE为所求二面角的平面角.

空间向量及其运算练习题

空间向量及其运算练习题一、选择题 1、在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.0 B.1 C.2 D.3 2、点（2，3，4）关于xoz 平面的对称点为（） A 、（2，3，-4） B 、（-2，3，4） C 、（2，-3，4） D 、（-2，-3，4） 3、在空间直角坐标系中，设z 为任意实数，相应的点(3,1,)P z 的集合确定的图形为（）A ．点 B ．直线 C ．圆 D ．平面 4、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ， A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（） A ．c b a ++- 21 21 B ． c b a ++21 21 C ．c b a +-2 1 21 D ．c b a +--2 1 21 5、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（） A ．OC O B OA OM --=2 B ．O C OB OA OM 2 1 3151++= C ．=++MC MB MA 0 D ．=+++OC OB OA OM 0 5、已知平行六面体''' ' ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，' 5AA =，0 90BAD ∠=， ''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（） A ．85 B ．85 C ．52 D ．50 图

立体几何与空间向量-浙江省台州市书生中学2020届高三数学复习专题练习(无答案)

立体几何例1.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =.三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为（） A ．72π B ．86π C ．112π D ．128π 2.三视图例2.某简单组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．164+π B ．484π+ C ．4812π+ D ．4816π+ 3.常见几何体的体积计算公式例3.已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为3，将ABC ?绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为__________，此时该旋转体外接球的表面积为___________. 例4.如图，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为__________．例5.如图，在几何体中，平面底面ABC ，四边形是正方形，，Q 是的中点，且，．求证：平面；求二面角的余弦值．

例6.如图几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ， //EC PD ，且22PD AD EC ===.（1）求证：//BE 平面PDA ；（2）求PA 与平面PBD 所成角的大小. 例7．已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n ≥，且n *∈N ），则球1O 的体积等于__________，球n O 的表面积等于__________. 例8.如图所示，在等腰梯形ABCD 中，，，E ，F 为AB 的三等分点，且将和分别沿DE 、CF 折起到A 、B 两点重合，记为点P ．证明：平面平面PEF ；若，求PD 与平面PFC 所成角的正弦值．

空间向量及其运算测试题

高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试一、选择题 1 抛物线2 81x y - =的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 32 1 =y D ． 2-=y 2．已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（） A ． 22 1169x y += B ． 22 11612x y += C ．22 143x y += D ．22 134 x y += 1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于（） A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4) D ．(8,0,4) 2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B → ＝（） A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（） A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC → ＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC → ＝0 6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC → ＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→ 的是（） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－20 9 8．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为（） A ．4 B ．15 C ．7 D ．3 9．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB → >0，则该四边形为（） A ．平行四边形 B ．梯形 C ．长方形 D ．空间四边形

专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理(解析版)

专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理一、单选题 1．（2019·全国高二课时练习）已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（） A ．2a ，a ﹣b ，a +2b B ．2b ，b ﹣a ，b +2a C ．a ，2b ，b ﹣c D ．c ，a +c ，a ﹣c 【答案】C 【解析】对于A ，因为2a = 43（a ﹣b ）+2 3（a +2b ），得2a 、a ﹣b 、a +2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，A 不正确；对于B ，因为2b = 43（b ﹣a ）+2 3 （b +2a ），得2b 、b ﹣a 、b +2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，B 不正确；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a =λ?2b +μ（b ﹣c ）成立，故a 、2b 、b ﹣c 三个向量不共面，它们能构成一个基底，C 正确；对于D ，因为c =12（a +c ）﹣1 2 （a ﹣c ），得c 、a +c 、a ﹣c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，D 不正确故选：C ． 2．（2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1AA a =， AB b =，AD c =，N 是BC 的中点，试用a ，b ，c 表示1A N （） A ．12 a b c -++ B ．a b c -++ C ．12 a b c --+ D ．12 a b c -+ 【答案】A

【解析】 N 是BC 的中点， 11111 222 A N A A A B BN a b B C a b A D a b c ∴=++=-++=-++=-++. 故选：A. 3．（2020·山东省章丘四中高二月考）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（） A ．111 333OA OB OC ++ B ．111 234OA OB OC ++ C ．111244 OA OB OC ++ D ．111446 OA OB OC ++ 【答案】C 【解析】在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点 ∴1 2 OG OA AD =+ 11 ()22OA AB AC =+?+ 1 ()4OA OB OA OC OA =+?-+- 111 244 OA OB OC =++ 故选:C. 4．（2020·河南省高二期末）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，设AB a =， AD b =，1AA c =，则CE =（）

高中数学(理)空间向量知识点归纳总结及综合练习

空间向量知识点归纳总结知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于 b ，记作b a //。》（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a b a b 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使 p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组 ,,x y z ，使p xa yb zc =++。若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使 OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： ~ （1）空间直角坐标系中的坐标：（2）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=。 ②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。》

专题五 第3讲 空间向量及解题方法