天一大联考理科数学一

河南省开封高级中学等22校2015届高三天一大联考(一)

理科数学试卷

【试卷综析】试题遵循了考查基础知识和基本技能为主体的原则，着重体现了对“双基”的考查。试卷考查了中学数学尤其是考试说明中的大部分知识点，选择题、填空题着重考查了集合、复数、函数的定义域、图象、单调性、初等函数、三角函数、不等式、程序框图、立体几何、排列组合、圆锥曲线、统计初步等常规知识点；解答题也着眼于常规的基本知识和基本技能的考查，考查了三角函数和解三角形、概率统计、立体几何等考生感觉熟悉、容易入手的内容，梯度设计合理。整份试卷中大部分是基础题目，这些题目的设计回归教材和中学教学实际，以自然但不俗套的形式呈现，既保证了高考试题的创新性，又让考生能以一种平和的心态面对试题，在有限的时间内尽力发挥出自己的最佳水平，保证了考生的“基础得分”，从而保证了考试较高的信度和效度。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

【题文】(1)已知集合A=1|22x

x ??

>

???

?

，B {}2|log 1x x =<，则A B ?=（ ） A.()1,2- B.()1,2 C.()0,2 D.()1,1- 【知识点】指数函数与对数函数；集合的交集.A1,B6,B7 【答案解析】C 解析：解：由题可知

21

21,log 102,2

x x x x A B >∴>-<∴<

【思路点拨】根据指数不等式与对数不等式分别求出x 的取值，然后求出交集. 【题文】(2)已知复数

2016

12a i i i

+?-（i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 ( ) A ．2 B. 2 C.1 D.-1 【知识点】复数的概念.L4

【答案解析】A 解析：解：由题可知()2016

2016221112125

a a i a i a i i

i i i -++++=∴?==--，又

因为复数为纯虚数，所以a-2=02a ∴=

【思路点拨】根据复数的概念对复数进行化简，再利用分母实数化求出实部与虚部，最后求出结果.

【题文】(3)已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线2

21x y m

+=的离心率为

A.

323 D. 2

【知识点】等比数列；椭圆；双曲线.D3,H5,H6

【答案解析】C 解析：解：根据条件可知2

93m m =∴=±，当

3323

c m m e a ===-=时，e=

时，，所以正确选项为C. 【思路点拨】根据条件可求出m ，分别求出不同情况下的离心率.

【题文】(4)下列函数中，与函数3y x =的奇偶性、单调性均相同的是 （ ） A.x y e = B.1

22x

x

y =-

C.ln y x =

D.tan y x = 【知识点】函数的奇偶性，单调性.B3,B4

【答案解析】B 解析：解：3y x = 为奇函数，在R 上单调递增，122x

x y ??

=- ???

也是奇函

数，在R 上单调递增，所以只有B 选项正确.

【思路点拨】利用函数的奇偶性与单调性的概念对函数进行分析求解即可. 【题文】(5)如图是某次诗歌比赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数茎叶图（其中a 、b 为数字0---9中的一个），分别去掉一个最高分和一个最低分，记甲、乙两名选手得分的平均数分别为12,x x ，得分的方差分别为12y y 、，则下列结论正确的是（

）

A.1212,x x y y ><

B.1212,x x y y >>

C.1212,x x y y <<

D.1212,x x y y <> 【知识点】统计.I4

【答案解析】C 解析：解：由题计算可知1122812

84,,85,55

x y x y ==

==1212,x x y y ∴<< 【思路点拨】根据平均数的概念与方差的概念分别计算出两组数据的特征数，然后进行比较

即可.

【题文】(6)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若113

3,,12,2

k k a a S +=-==-则正整数k=（ ）

A.10

B.11

C.12

D.13 【知识点】数列的概念.D2

【思路点拨】根据数列的概念直接求解.

【题文】(7)执行如图所示的程序框图，若输出126s =-，则判断框中应填入的条件是 （ ）

A.4?n >

B.5?n >

C.6?n >

D.7?n > 【知识点】程序框图.L1

【答案解析】解析：解：由程序框图知：算法的功能是求S=-21-22-…-2n +1

的值，

∴跳出循环的n 值为6，∴判断框内的条件应为n ＞5或

n ≥6． 故选：B ．

【思路点拨】算法的功能是求S=-21-22-…-2n +1

的值，根据输出的S 值，确定跳出循环的n 值，从而确定判断框内的条件

【题文】 (8)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．48-16π B.964π- C.968π- D.484π- 【知识点】三视图.G2

【答案解析】C 解析：解：由题意可知几何体为长方体内挖去一个圆柱，所以根据条件可知几何体的体积为2

86222968V ππ=??-??=-，所以C 选项正确. 【思路点拨】根据三视图可抽象出几何体的形状，再利用体积公式进行计算.

【题文】(9)若变量x,y 满足约束条件4325048010x y x y x +-≤??

-+≤??-≥?

则Z=2x-y 的最大值为（ ）

A.2

B.5

C.1

D.4

【知识点】线性规划.E5

【答案解析】B 解析：解：由题可知目标函数Z 的最大值在()4,3处取得，代入可得

Z=2435?-=

【思路点拨】由线性规划可知目标函数的可行域，再根据目标函数可知最大值取得的位置.

【题文】(10)已知函数①sin cos y x x =+，②cos y x x =，则下列结论正确的是（ ）

A.两个函数的图像均关于点,04π??

-

???

成中心对称 B. ①的图像的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移

4

π

个单位即得②的图像 C.两个函数在区间,44ππ??

-

??

?上都是单调递增函数 D.两个函数的最小正周期相同

【知识点】三角函数的化简；三角函数对称中心；三角函数的单调区间；三角函数的图像的移动.C3,C4.

【答案解析】C 解析：解：由题可知sin cos 4y x x x π?

?=+=

+ ??

?；①

cos 2y x x x =，②，由函数的性质可知,04π??

- ???

为①的对称中心，不是

②的对称中心，①的图像的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移

4

π

个单位

24y x π?

?=- ??

?的图像，与②不同，①的周期为2π，②的周期为π.所以只有C 为正

确选项.

【思路点拨】根据三角函数的性质进行求解.

【题文】（11）抛物线24y x =的焦点为F ，点P (),x y 为该抛物线上的动点，又点A ()1,0-，则

PF PA

的取值范围是（ ）

A.2????

B.1,12??

???? C. 2? D.[]1,2

【知识点】直线与圆锥曲线.H8

【答案解析】A 解析：解：过P 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，则|PF|=|PB|，

∵抛物线y 2

=4x 的焦点为F （-1，0），点A （-1，0），

设过A 抛物线的切线方程为y=k （x+1），代入抛物线方程可得k 2

x 2

+（2k 2

-4）x+k 2

=0，

∴△=（2k 2-4））2-4k 4

=0， ∴k=±1

sin BAP ?

∠∈???

【思路点拨】把已知转化成直线与抛物线相切有解的问题即可解决.

【题文】(12)若定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),2,f x f x f x f x -=-=且当

[]0,1x ∈时，()f x =则函数()()x H x xe f x =-在区间[]5,1-上的零点个数为

（ ）

A.4

B.8

C.6

D.10 【知识点】导数与函数的单调性.B12

【答案解析】C 解析：解：定义在R 上的函数f （x ）满足f （-x ）=f （x ），f （2-x ）=f （x ），

∴函数是偶函数，且图象关于x=1对称，∵函数f （x ）=xe x

的定义域为R ，

f ′（x ）=（xe x ）′=x ′e x +x （e x ）′=e x +xe x 令f ′（x ）=e x +xe x =e x

（1+x ）=0，解得：x=-1．列表

【思路点拨】利用导数来判定函数的单词性，根据函数的性质求交点的个数.

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13---21题为必考题，每个试题考生都必需作答，第22---24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

【题文】(13)已知向量()()

3,1,0,2,0,OA OB OC AB AC OB λ=-=?== 若，则实数λ的值为

【知识点】向量的坐标运算.F2

【答案解析】2解析：解：设()OC=,x y 由向量的运算可知OC 330AB x y x y ?=-+=∴=

，()()303,10,2212x AC x y OB y λλλλ

-=?=-+==∴∴=?+=?

【思路点拨】根据向量的坐标运算找到向量之间的关系.

【题文】

(14)3

ax ? ?

?的展开式中含2x

项的系数为2

2a x dx -?的值为 【知识点】二项式定理；定积分.J3,B13. 【答案解析】733或

解析：解：由二项式定理可知2

x

的系数为2236C a ??- ??

，211a a ∴=∴=±，所以积分的值为7

33

或.

【思路点拨】利用二项式特定项的求法表示出2

x 的系数，再求出a 的值，再求积分的值. 【题文】 (15)三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，

ABC AB BC SA=AB=BC=2SA ⊥⊥平面，，又，，则球O 的表面积为

【知识点】球的表面积公式.G8

【答案解析】12π

2S=4R =12ππ

【思路点拨】根据几何体的条件求出外接球的半径，利用球的表面积公式计算.

【题文】(16)已知函数()()()()1

1sin 2,[2,21)2

1sin 22,[21,22)2

n n x n x n n f x n N x n x n n ππ+?

-+∈+??=∈??-++∈++??，若

数列{}n a 满足()()

*

m a f m m N =∈，数列{}m a 的前m 项和为m S ，则10496S S -=

【知识点】等差数列.D2

【答案解析】804解析：解：解析：由题设条件得:()()()()11,22,33,44,f f f f ==== 由此归纳得()f n n =，

所以()()

1104196104961049680422

a a a a S S ++-=

-=

【思路点拨】根据解析式求出数列的性质，按数列的性质求出最后结果.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【题文】(17)(本小题满分12分)

在ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且()cos 3cos b C a c B =-。 (I)求cos B 的值.

(II)若2,BA BC b ?==

a 和c.

【知识点】正弦定理；余弦定理；两角和与差的展开式.C5,C8

【答案解析】解析：解：（Ⅰ）由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin ,a R A b R B c R C === 又cos 3cos cos b C a B c B =-，

所以sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B =-，即s

i n c o s s i n c o s 3s i n c o s B C C B A B

+=，

所以sin()3sin cos B C A B +=， 即sin 3sin cos A A B =，又sin 0A ≠，

所以1

cos 3B =

. （Ⅱ）由2,BA BC = 得cos 2ac B =，又1

cos 3

B =，所以6ac =.

由2222cos ,b a c ac B =+-b =2

2

12a c +=，

所以2

()0a c -=，即a c =，所以a c ==…

【思路点拨】由正弦定理与两角和与差的展开式进行计算；根据余弦定理求出边长. 【题文】(18)(本小题满分12分)

某品牌汽车的4S 店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：

已知分3期付款的频率为0.15，并且4S 店销售一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款，其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元，以频率作为概率. （I ）求事件A ：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率； （II ）用X 表示销售一辆该品牌汽车的利润，求X 的分布列及数学期望()E x

【知识点】概率；离散型随机变量的分布列与数学期望.K5,K6 【答案解析】解析：解：（Ⅰ）由

0.15100

a

=，得15a =，因为352510100a b ++++=，所以15b =，“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用4期付款”的概率

312

3()0.9C 0.1(10.1)0.972.P A =+??-=（Ⅱ）记分期付款的期数为ξ,依题意得

(1)0.35P ξ==，(2)0.25P ξ==，(3)0.15P ξ==，(4)0.1P ξ==，(5)0.15P ξ==，

因为X 的可能取值为1,1.5,2,并且(1)(1)0.35P X P ξ====，

( 1.5)(2)(3)0.4P X P P ξξ===+==，

(2)(4)(5)0.10.150.25P X P P ξξ===+==+=. 所以X 的分布列为

所以X 的数学期望

为

()10.35 1.50.420.25 1.45E X =?+?+?=（万元）.……

【思路点拨】由题意求出事件A 的概率；根据条件列出分布列利用公式求变量的数学期望. 【题文】(19)(本小题满分12分)

如图，正四棱锥P ABCD -的高为3，底面边长为2，E 是棱PC 的中点，过AE 作平面与棱PB 、PD 分别交于点M 、N （M 、N 可以是棱的端点）. (I)当M 是PB 的中点时，求PN 的长;

(II)求直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值.

【知识点】正四棱锥；向量求直线与平面所成的角．G7,G10. 【答案解析】解析：解：（Ⅰ）当M 是PB 的中点时，BC ME //.因为//BC 平面PAD ，所以//ME 平面PAD ，所以AN ME //.又AD ME //，所以N 、D 两点重合.

所以PN PD ===.

（Ⅱ）解法一：连接AC 、BD 交于点O ，以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标

系，则3(0,0,3),(0,.2B C P A E ??

? ???

33),3),.2PB PC AE ??

∴=-=-= ? ???

…

设平面PBC 的一个法向量为=(,,),x y z m 则

30,

30,

PB z PC z ??=-=???=-=??

m m

令z =

，得=m

设直线AE与平面PBC所成的角为θ，则

sin cos,

15

AE

θ=??==

m

所以直线AE与平面PBC

【思路点拨】根据线段的长度，利用勾股定理求值；建立空间坐标系，求出法向量，求出夹角．

【题文】(20)(本小题满分12分)

定圆M

：(2216

x y

+=，动圆N过点

F)且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E. （I）求轨迹E的方程；

（II）设点A，Ｂ，Ｃ在E上运动，A与B关于原点对称，且AC CB

=，当ABC

的面积最小时，求直线AB的方程．

【知识点】椭圆的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系．H5,H8

【答案解析】解析：解：（Ⅰ）

因为点(0)

F

在圆22

:(16

M x y

+=内，所以圆N 内切于圆M.

因为||

NM+||4||

NF FM

=>，所以点N的轨迹E为椭圆，

且24,

a c

=所以1

b=，所以轨迹E的方程为

2

21

4

x

y

+=.（Ⅱ）（i）当AB为长轴（或短轴）时，依题意知，点C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），

此时

1

||

2

ABC

S OC

?

=??||2

AB=.

（ii）当直线AB的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，直线AB的方程为y kx

=，

联立方程

2

21,

4

,

x

y

y kx

?

+=

?

?

?=

?

得

2

22

22

44

,,

1414

A A

k

x y

k k

==

++

所以2

||

OA=2

A

x

2

2

2

4(1)

14

A

k

y

k

+

+=

+

.由||||

AC CB

=知，ABC

△为等腰三角形，O为AB的中点，OC AB

⊥，所以直线OC的方程为

1

y x

k

=-，由

2

21,

4

1

,

x

y

y x

k

?

+=

??

?

?=-

??

解得

2224,4C

k x k =+2

C y =24,4k +222

4(1)||4

k OC k +=+，2||||ABC OAC S S OA OC ??==?

=

2=

222(14)(4)5(1)

22

k k k ++++=，所以85ABC S ?…，…………（11

分）

当且仅当22

144k k +=+，即1k =±时等号成立，此时ABC △面积的最小值是

8

5

.因为8

25

>，所以ABC △面积的最小值为85，此时直线AB 的方程为y x =或y x =-.

【思路点拨】根据定义求出椭圆方程，利用直线与椭圆的联立方程讨论面积．

【题文】（２１）（本小题满分１２分）

已知函数()()()ln ,,,,x f x ax x g x be c a b c R =+=+∈且()g x 的图像在()()

0,g x 外的切线方程为1y x =+，其中ｅ为自然对数的底数． （I ）讨论()f x 的极值情况；

（II ）当ａ＝０时，求证：()()()0,,2x f x g x ?∈+∞<-

【知识点】基本初等函数的导数；指数函数与对数函数；导数证明不等式．B6,B7.B11 【答案解析】解析：解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1

()f x a x

'=+

(0)x >． 当0a …

时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上为增函数，()f x 没有极值； 当0a <时，1()a x a f x x ?

?+ ?

??

'=，若10,x a ??∈- ??

?，则()0f x '>；若1(,)x a ∈-+∞，则

()0f x '<,

()f x ∴存在极大值，且当1

x a

=-时，11()()ln()1f x f a a =-=--极大值.综上可知：当0a …

时，()f x 没有极值；

当0a <时，()f x 存在极大值，且当1

x a

=-

时，1()ln()1f x a =--极大值.

(Ⅱ) 函数()g x 的导函数()e x

g x b '=，(0)g b '∴=. (0)g b c =+，∴1,

1,

b c b +=???=??

∴()e x g x =.当0a =时，()ln f x x =，令()()()2x gx f x ?=--，则()e l n 2x x x ?=--，

∴1

()e x x x

?'=-

，且()x ?'在(0,)+∞上为增函数， 设()0x ?'=的根为x t =，则1e t t

=，即e t

t -=，

当(0,)x t ∈时，()0x ?'<，()x ?在(0,)t 上为减函数；

当(,)x t ∈+∞时，()0x ?'>，()x ?在(,)t +∞上为增函数，

min ()()e ln 2e lne 2e 2t t t t x t t t ??-∴==--=--=+- (1)e 10?'=->，

1

202

???'=< ???，1,12t ??∴∈ ???

，

由于函数()e 2x

x x φ=+-在1,12?? ???

上为增函数，

∴12

min 11

()()e 2e 22022

t

x t t ??==+->+->-=， ∴()()2f x g x <-.

【思路点拨】根据导数讨论函数的极值问题，构造函数证明不等式．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时请写清题号.

【题文】（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，点A 是以线段BC 为直径的圆O 上一点，AD ⊥BC 于点D,过点B 作圆O 的切线， 与CA 的延长线交于点E ，点G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F,延长AF 与CB 的延长线相交于点P.

（Ⅰ）求证：BF=EF;

（Ⅱ）求证：PA 是圆O 的切线.

【知识点】几何证明选讲. N1

【答案解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略. 解析：（Ⅰ） 因为BC 是圆O 的直径，BE 是圆O 的切线，

所以EB BC ⊥，又因为AD BC ⊥，所以AD BE ∥，可知BFC DGC ∽

△△， FEC GAC ∽△△， 所以

BF CF EF CF DG CG AG CG ==，，所以BF EF

DG AG

=，因为G 是AD 的中点，所以DG AG =， 所以F 是BE 的中点，BF EF =. …………………………………………（5分） （Ⅱ）如图，连接AO AB ，，因为BC 是圆O 的直径，所以90BAC ∠=°．

在Rt BAE △中，由（Ⅰ）知F 是斜边BE 的中点， 所以AF FB EF ==，所以FBA FAB ∠=∠. 又因为OA OB =，所以ABO BAO ∠=∠． 因为BE 是圆O 的切线，所以90EBO ∠=°.

因为90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=°，

所以PA 是圆O 的切线.…………………………………………………………（10分）

【思路点拨】（Ⅰ）易得AD BE ∥，从而得BFC DGC ∽△△， FEC GAC ∽△△， 所以

BF CF EF CF DG CG AG CG ==，，所以BF EF

DG AG

=，因为G 是AD 的中点，所以DG AG =， 所以F 是BE 的中点，BF EF =.（Ⅱ）即证PA OA ⊥,即证90BAO FAB ∠+∠=

在Rt BAE △中，由（Ⅰ）知F 是斜边BE 的中点，所以AF FB EF ==，

所以FBA FAB ∠=∠.又因为OA OB =，所以ABO BAO ∠=∠．因为BE 是圆O 的切线，所以90EBO ∠=°.因为90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=° 所以PA 是圆O 的切线.

【题文】（23）(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy 中，是过定点P （4,2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位）中，曲线C 的极坐标方程为

4cos ρθ=.

（Ⅰ）写出直线的参数方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若曲线C 与直线相交于不同两点M 、N,求PM PN +的取值范围. 【知识点】极坐标与参数方程. N3

【答案解析】（Ⅰ）4cos ,

(2sin x t t y t αα

=+??

=+?为参数,224x y x +=; （Ⅱ）(

4,

解析：（Ⅰ）直线的参数方程为4cos ,

(2sin x t t y t αα

=+??

=+?为参数.……………（2分）

因为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=. ………………………………………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）将4cos ,

2sin x t y t αα

=+??=+?代入22:4C x y x +=中，得24(sin cos )40t t αα+++=，则

有21212

16(sin cos )160,4(sin cos ),4,t t t t ?αααα?=+->?

+=-+??=?…………………………………………（6分） 所以sin cos 0αα>.又[0,π)α∈，所以π0,

2α??∈ ??

?

， 1212||||||||()t t t PN t PM +=-++=

=π4(sin cos )4ααα?

?+=+ ??

?，………（8分） 由ππ3π,444α??+

∈ ???

得πsin 124α?

?<+ ??

?…

，所以||||PM PN +∈.…（10分） 【思路点拨】（Ⅰ）设直线上任一点M,PM=t ，则直线的参数方程为4cos ,

(2sin x t t y t αα

=+??

=+?为参

数.（Ⅱ）把直线的参数方程代入圆的普通方程得2

4(sin cos )40t t αα+++=

则有21212

16(sin cos )160,4(sin cos ),4,t t t t ?αααα?=+->?

+=-+??=?，所以sin cos 0αα>.

又[0,π)α∈，所以π0,

2α??

∈ ??

?

，所以 1212||||||||()t t t PN t PM +=-++=

=π4(sin cos )4ααα?

?+=+ ??

?，

由ππ3π,444α??+

∈ ???

得，πsin 124α?

?<+ ??

?…

，所以||||PM PN +∈. 【题文】(24) (本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于x 的不等式2324x a x x -++≥+的解集为A.

（Ⅰ）若a=1，求A;（Ⅱ）若A=R,求a 的取值范围. 【知识点】含绝对值的不等式. N4

【答案解析】（Ⅰ）{|0A x x =…或2}x …

; （Ⅱ）(],2-∞- 解析：（Ⅰ）当3x -…时,原不等式化为3224x x --+…

, 得3x -…； 当1

32

x -<…时,原不等式化为424x x -+…

,得30x -<…； 当1

2

x >

时，原不等式化为3224x x ++…

,得2x …， 综上，{|0A x x =…或2}x …

.………………………………………（5分） （Ⅱ）当2x -…时,|2||3|024x a x x -+++厖成立，所以此时a R ∈.

当2x >-时, |2||3||2|324x a x x a x x -++=-+++…

，得1x a +…或1

3

a x -…,在x>-2上恒成立，得2a -….

综上，a 的取值范围为(],2-∞-.…………………………………（10分）

【思路点拨】（Ⅰ）分段讨论解不等式；（Ⅱ）通过对不等号右边式子的符号的讨论，确定实数a 的取值条件，最后求它们的交集即可.