北航计算流体力学第19课

第五讲 高分辨率格式初步

一．目的

为什么那么重视高分辨率格式？是为了提高捕获激波和间断面的质量。

对于光滑流动，无论是中心差分格式，还是矢通量分裂格式，其结果都是令人满意的，彼此之间无优劣之分。

对于含激波这样强间断的流动，格式的优劣就显现出来了。 中心差分是频散格式，求解过程中，激波前后会产生强烈的数值振荡。加入人工粘性，能够抑制数值振荡但是过大的耗散使激波变得很宽（5个网格点左右），从而降低了激波的分辩率。

矢通量分裂格式是耗散格式，可以消除激波前后的数值振荡，但由于精度较低（一阶）、耗散较大使得激波的梯度被抹平，激波宽度仍然较大（3个网格点左右）。

与中心差分格式不同，矢通量分裂格式属于迎风格式，与后面要讲的高分辩率格式属同类，它为什么分辩率还不够高呢？解释如下：

迁移方程

0t x u au += （11-1）

令

a a a +-=+ （11-2）

式中，

()102a a a +=

+≥ ， ()102

a a a -

=-≤ （11-3） 结合式（11-2），（11-3），式（11-1）成为：

()()11022

t x x u a a u a a u +

++-= （11-4） 迎风格式（与矢通量格式相当）为

()()11111022n n n n n n

i i i i i i u u u u u u a a a a t x x

+-+---+++-=??? （11-5） 经过整理，可将迎风格式写成如下形式，

11111

2

222n n n n n n n i i i i i i i u u u u x u u u a a t x x

++-+---?-++=??? （11-6） 从上式可见，当0a =时，二阶耗散消失了，这时差分格式会得到非物理解。

实际上0a =的点在实际流动中就是音速点。一维Euler 方程扰动传播速度为u a +和u a -（这里a 表示音速）而音速点恰恰是激波区不可避免的！

二．预备知识

（一）激波管（黎曼问题）

初始条件为：

膈膜左侧： ,,L L L u u p p ρρ===， 当0, 0x x t <= 膈膜右侧： ,,R R R u u p p ρρ===，

当0, 0x x t >=

假定：, L R L R p p ρρ>>，而L 0R u u == 膈膜破裂之后，0t >，将会发生什么？

接触间断：32p p =，32u u =，32ρρ>

膈膜的初

始位置

膨胀波 接触间断 激波

流动状态（0t

>）

5

状态L 初始状态（0t =）

膈膜

状态R

激波管内流场情况（膈膜破裂之后）

初始条件为：5210N/m L P =，31.0Kg/m L ρ=，0m/s L u = 4210N/m R P =，30.125Kg/m R ρ=，0m/s R u =

()x m ()

x m ()x m ()

x m ()x m ()

x m 压力（P a ）

熵/R g a s

速度 （m /s ）

流量 （K g /m 2s ）

马赫数M

密度 （K g /m 3）

1．②区： 设

2

R

p P p =，1

1

γαγ+=

-，根据Rankine-Hugoniot 条件（简称R-H 条件）有：

()21R P f P P

αρρα+==+

()()2112R u a f P P αγγ??==+- ()2R p P p f P =?=

2．③区根据间断面的定义，可得

()32R p p P p f P ==?=

()32u u f P ==

根据等熵关系，有

()1

3L R L P p f P p γγρρ??=?= ??

?

而P 满足下列关系式：

()

1

1222

12111L L R R P a p P a p P γγγγγγγα--????-??=?- ???--+??????

可用牛顿迭代法从上式中求出P ，于是②区和③区的气流状态完全确定。

3．膨胀波扫过的区域⑤

设膈膜位置为0x =，膈膜破裂时间点为0t =。则根据Riemann 不变量的规律。