分数运算技巧(二)拆项法
分数运算技巧(二)拆项法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
分数计算技巧二
——拆项法
【知识要点和基本方法：】
异分母分数相加减，通常先通分，把异分母分数变成同分母分数后再相加减。有一些分数计算题如果按照常规方法计算就会十分复杂，必须运用某些技巧，寻找简便的方法。当分母之间存在某种特殊规律时，运用这些规律，就能使这些计算简化，如果分母是相邻的两个自然数的乘积，可以通过拆项的方法，使其中一部分分数可以相互抵消，从而简化计算过程。一般地，可以利用下面的等式，巧妙的将分数变形，然后求分数的和。
1 (1) N N+=
1
N
－
1
1
N+
1
(2)
N N+
=
1
2
（
1
N
－
1
2
N+
）
【例题讲解：】
例1计算：
1
12
?
+
1
23
?
+
1
34
?
+
1
45
?
+…+
1
4950
?
思路点拨：
1
12
?
=
1
1
－
1
2
1 23?=
1
2
－
1
3
1 34?=
1
3
－
1
4
1 45?=
1
4
－
1
5
………
1 4950
?=
1
49
－
1
50
解：
1
12
?
+
1
23
?
+
1
34
?
+
1
45
?
+…+
1
4950
?
=1
1
－
1
2
+
1
2
－
1
3
+
1
3
－
1
4
+
1
4
－
1
5
+ ……+
1
49
－
1
50
=1
1
－
1
50
=49 50
例2计算：
1
24
?
+
1
46
?
+
1
68
?
+……+
1
98100
?
思路点拨：
1
24
?
=
1
2
（
1
2
－
1
4
）
1 46?=
1
2
（
1
4
－
1
6
）
1 68?=
1
2
（
1
6
－
1
8
）
………
1 98100
?=
1
2
（
1
98
－
1
100
）
1 24?+
1
46
?
+
1
68
?
+……+
1
98100
?
=1
2
（
1
2
－
1
4
）+
1
2
（
1
4
－
1
6
）+
1
2
（
1
6
－
1
8
）+……+
1
2
（
1
98
－
1
100
）
=1
2
（
1
2
－
1
4
+
1
4
－
1
6
+
1
6
－
1
8
+……+
1
98
－
1
100
）
=1
2
（
1
2
－
1
100
）
=1
2
×
49
100
=49 200
例3计算
1
123
??
+
1
234
??
+……+
1
9899100
??
思路点拨：
1 123??=
1
2
（
1
12
?
－
1
23
?
）
1 234??=
1
2
（
1
23
?
－
1
34
?
）
………
1 9899100??=
1
2
（
1
9899
?
－
1
99100
?
）
解：
1
123
??
+
1
234
??
+……+
1
9899100
??
=1
2
（
1
12
?
－
1
23
?
）+
1
2
（
1
23
?
－
1
34
?
）+……+
1
2
（
1
9899
?
－
1 99100
?
）
=1
2
（
1
12
?
－
1
23
?
+
1
23
?
－
1
34
?
+……+
1
9899
?
－
1
99100
?
）
=1
2
（
1
12
?
－
1
99100
?
）
=
4949 19800
例4计算： 1+
1
12
+
+
1
123
++
+
1
1234
+++
+……+
1
123 (99100)
+++++
思路点拨：
1+2=(12)2
2
+?
1+2+3=(13)3
2
+?
1+2+3+4=(14)4
2
+?
………
1+2+3+4+……+100=(1100)100
2
+?
解； 1+
1
12
+
+
1
123
++
+
1
1234
+++
+……+
1
123 (99100)
+++++
=1+
1
(12)2
2
+?
+
1
(13)3
2
+?
+
1
(14)4
2
+?
+……+
1
(1100)100
2
+?
=1+
2
(12)2
+?
+
2
(13)3
+?
+
2
(14)4
+?
+……+
2
(1100)100
+?
=2（
1
12
?
+
1
23
?
+
1
34
?
+……+
1
100101
?
）
=2（1－1
2
+
1
2
－
1
3
+
1
3
－
1
4
+
1
4
－……+
1
100
－
1
101
）
=2（1－
1 101
）
=1
99 100
模仿练习题；
1．
1
34
?
+
1
45
?
++
1
4950
?
2．
1
13
?
+
1
35
?
+
1
57
?
+……
1
19951997
?
+
1
19971999
?
3．
1
234
??
+
1
345
??
+
1
456
??
+
1
567
??
+
1
678
??
+
1
789
??
4．1+
1
12
+
+
1
123
++
+……+
1
123 (99100)
+++++
+……+
1
12 3 (1990)
+++
拓展提高：
1．
1
12
+
1
20
+
1
30
+
1
42
+
1
56
+
1
72
+
1
90
2．3
4
+
3
28
+
3
70
+
3
130
+
3
208
3．1+1
2
+
2
2
+
1
2
+
1
3
+
2
3
+
3
3
+
2
3
+
1
3
+……+
1
10
+
2
10
…+
9
10
+
10
10
+
9
10
…+
2
10
+
1
10
4．11+131
6
+15
1
12
+17
1
20
+19
1
30
+21
1
42
+23
1
56
+25
1
72
+27
1
90
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结 （一） 用裂项法求1(1) n n +型分数求和 分析：因为111n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：111(1)1 n n n n =-++ （二） 用裂项法求 1()n n k +型分数求和 分析：1() n n k +型。（n,k 均为自然数） 因为11111()[]()()() n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++ （三） 用裂项法求() k n n k +型分数求和 分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝() k n n k + 所以 () k n n k +＝11n n k -+
（四） 用裂项法求2()(2) k n n k n k ++型分数求和 分析： 2()(2) k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++ （五） 用裂项法求1()(2)(3) n n k n k n k +++型分数求和 分析：1()(2)(3) n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ （六） 用裂项法求 3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和 分析：3()(2)(3) k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 311()(2)(3)()(2)()(2)(3) k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 记忆方法： 1.看分数分子是否为1； 2.是1时，裂项之后需要整体×首尾之差分之一； 3.不是1时不用再乘； 4.裂项时首尾各领一队分之一相减。
分数拆项法
分数拆项法 1 / 1 分数拆项法 一、教学过程： 【知识点梳理】 公式一：1 11)1(1+-=+?a a a a 公式二:)11(1)(1n a a n n a a +-?=+? 【例题精讲】 例题1、计算：错误!+错误!+错误!+…..+ 错误! 【即时练习】计算下面各题 (1）错误!+错误!＋错误!+…．.+ 错误! （2）错误!+错误!＋错误!+错误!+ 错误!+错误! (3)＼F （1,10×11） +11１×12 ＋112×1３ + １13×14 ＋错误! 例题２、计算：错误!+错误!＋错误!+…..＋ 错误! 【即时练习】计算下面各题: （1)错误!+错误!+错误!+…..+ 错误! （2）错误!+错误!+错误!+….．+ 错误! （3）错误!+错误!+错误!+…..+ 错误! 例题3、计算:1＼F(1,3） －＼F(7,12） ＋错误!-错误!+错误!-错误! 【即时练习】计算下面各题： (1)1错误!+错误!－错误!+错误!-错误! (2） 1错误!－错误!＋错误!－错误!+错误! （3） 错误!+错误!+错误!+ 错误!+错误! 例题4、计算:错误!+错误!＋错误!+错误!+错误!+错误! 【即时练习】计算下面各题： (１）12 +1４ +＼Ｆ(1,8) +………+１256 (2）错误!+错误!+错误!+错误!+错误! 【奥赛天天练】 1. 1－错误!+错误!＋错误!+错误! 2. 错误!+错误!+错误!+错误!+错误! 3、１1×３ +错误!+错误!＋……+错误!+错误! 4、计算错误!+错误!+错误!+……+错误! 四、【家庭作业】 1、100991.......431321211?++?+?+? 2、40 391......761651541?++?+?+? 3、55 542......141321312212112?++?+?+? 作业完成后家长签名: 欢迎家长对老师教学提出建议或意见:
分数计算的技巧
在做分数的计算题时，只要正确利用分数的基本性质和四则运算法则，一般都能得到正确结果。但有时按常规方法计算就显得相当麻烦。 下面我们来学习分数运算中的某些技巧，通过这些运算技巧的学习，可以达到简化计算的目的，从而提高同学们的计算速度。 一、阅读思考 想一想，你能很快说出下面每组式子的答案吗？ 分析与解：3组中，每组2个式子的结果都相等，分别是21、61、20 1。 总结规律：如果一个分数的分子是1，分母是2个相邻自然数的乘积，那么这个分数就可以拆分成2个分数的差。 应用规律：在计算分数加、减法的时候，先将其中的一些分数适当拆分，使得有一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化，我们把这种方法叫做裂项法（也叫拆项法）。 二、例题选讲 例1 ：计算 211?+321?+ 431?+541?+6 51? 分析：本题按常规方法计算显然相当麻烦，并且不易算出正确结果．除了常规方法还有没有较简单的方法呢？下面我们来分析一下： 211?= 1－21= 321? = 21－31= 541?= 41－5 1=
所以 例2：计算 42 13012011216121+++++ 分析：观察发现题目中的分母都是可以看作是2个连续自然数的积，且分子都是1，将分母加以变形，再利用裂项法即可求出和。 解答： 7671171616151514141313121211761651541431321211=-=??? ??-+??? ??-+??? ??-+??? ??-+??? ??-+??? ??-=?+?+?+?+?+?=原式
例3：计算 分析：仔细观察每一个分数的特点，分子都是1，而分母分别是两个连续整数的乘积：1×2，2×3，3×4，4×5，5×6，6×7，7×8，8×9，9×10， 即原题就是计算： 解答：原式=（1- 21）+（21—31）+（31—41）+……+（91—101） =1－ 101 =10 9 注意：1.裂项时，分数的形变，值不变。2.裂项后能达到简算的目的。 三、练一练 计算 13211101901721+++ 答案:24 1
分数拆项法6
分数简便计算（六） 拆项法 班级： 姓名： 【知识点详解】（1）观察数1 31=34=3131?+=1+31 ，127=4343?+=31+4 1 ，209=5454?+=41+51，……都是相同特征，分解成b a b a ?+=a 1+b 1。 （2）若a 、b 、c 是三个连续的自然数，并且a （2））3211??+4321??+5431??+……+8 761 ?? 【列3】［（ 1249-2063+3077-4291+56105）-361］÷24 1 【思维拓展训练】： （1）1 21-65+127-209+3011-4213+5615-7217+90 19 （2）7×158-7×3512+7×6316-99 20×7 （5）1—32-92-272-812-2432-7292 (5) 41×773+0.25×755÷4 1 【银川一、二九中历年计算部分考试真题】 一、选择合适的方法计算。 （1）（0.7+0.7+0.7+……+0.7）×1.25 （2）5-（76÷143+13 6 ） （3）2.8×43+0.75×6.2+43 （4）154×21÷(53+4 1) (5)10÷［38-( 135÷265+52)］ (6) 34 3×1.25+375×0.975-37.5％×87 （7）7.5-153÷(0.875×53+81×0.6) (8) 211+2121202+21212150505+21212121 13131313 (9) 411? + 741? + 1071?+13101?+……+100 971? 思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。 分数裂项求和方法总结 （一）用裂项法求 1一型分数求和分析：因为n(n 1) 1 n(n 1) n(n 1) （n为自然数）所以有裂项公式: n（n 1） 【例1】 求丄 10 11 11 12 1的和。 59 60 【例2】 咕右）'11 1 1 10 60 1 12 用裂项法求 1 1 k(n 计算 n(n k) 1 1 - [2 5 1 15 n(n 1) 59 60) 型分数求和: k) n n(n k)] 分析： n（n k） 型。 （n,k 均为自然 数） 因为 n(n k) 所以n(n k)k( ； n k 9 11 11 13 13 15 7) 1 1) 丄(1 2 7 1 (1 9) 1(1 却 2、11 1 1 1 1 1 , 1 1、1(丄丄 2(13 15 1 13) 1 用裂项法求 9 11 11 13 型分数求和: n（n k） n n k n(n k) n(n k) n(n k) 13 分析：型（n,k均为自然数）n（n k） k 所以一- n(n k) n n k (1 1 3 97 99 3200 9603 自然数） n(n k)( n 2k)( n 3k) 3k (n(n k^(n 2k) 1139 20520 I (n k)(n 2k)(n 3k) 【例3】 的和 97 99 98 99 (四) 1 3) (3 5 1 1 )( 5 1 7) 1 1 1 99 用裂项法求 型分数求和: n （n k ）（n 2k ） 分析: 2k n(n k)(n 2k) 【例4】 计算： 4 4 4 4 1 3 5 3 5 7 93 95 97 95 97 99 (1I II 3 15) (315 517)…( 1 1 )( 1 1 ) 3 93 95 95 9/ V 95 97 97 99, 1 1 （n,k 均为自然数） 【例5】 1 1 计算：1 2 3 4 2 3 4 5 1 17 18 19 20 3[(1 1 1 3[1 2 3 （丘 18 19 20] 1 17 18 19 1 18 19 20 )] （六）用裂项法求 3k n(n k)(n 2k)(n 3k) 型分数求和：分析: 3k n(n k)(n 2k)( n 3k) (n,k 2k n(n k)(n 2k) 1 1 n(n k) (n k)( n 2k) (五) 用裂项法求 型分数求和分析: n(n k)(n 2k)(n 3k) (n,k 均为 n(n k)(n 2k)(n 3k) 小学六年级奥数教案—03分数运算技巧 本教程共30讲 分数运算的技巧 对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。 1.凑整法 与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……从而使运算得到简化。 2.约分法 3.裂项法 若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算。 例7在自然数1～100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数的和等于1。 分析与解：这道题看上去比较复杂，要求10个分子为1，而分母不同的 就非常简单了。 括号。此题要求的是10个数的倒数和为1，于是做成： 所求的10个数是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。 的10和30，仍是符合题意的解。 4.代数法 5.分组法 分析与解：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。分母为n的分数之和为 原式中分母为2～20的分数之和依次为 练习3 8.在自然数1～60中找出8个不同的数，使这8个数的倒数之和等于1。 答案与提示练习3 1.3。 8.2，6， 8， 12， 20， 30， 42， 56。 9.5680。 解：从前向后，分子与分母之和等于2的有1个，等于3的有2个，等于4的有3个人……一般地，分子与分母之和等于n的有(n-1)个。分子与分母之和小于9+99=108的有1+2+3+…+106=5671（个）， 5671+9=5680（个）。 分数裂项计算 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 【例 1】 111111223344556 ++++=????? 。 分数四则混合运算（分数计算中的技巧） 【知识概述】 在进行分数计算时，不仅要熟练地掌握四则运算的法则和运算定律，而且还常常要根据算式中数的特点和算式结构，用运一些运算技巧，灵活选择计算方法，使一些较复杂的分数计算化难为易，化繁为简。 例题精学 例1、（1） 33 32×17 （2）28×2713 【思路点拨】观察这两道题中数的特点，第（1）题中3332比1少331，把33 32 写成1 减33 1的差与17相乘，再运用乘法分配律使计算简便，同样第（2）题中28与2713中 的分母相差1，把28分成27加1的和与27 13 相乘，再运用乘法分配律使计算简便。 同步精练 1、2423×19 2、36×35 11 3、8×15 14 4、253 ×126 例2、1998÷1998 1999 1998 【思路点拨】这道题先把带分数化成假分数：1998 1999 1998=19991998 19991998+?，先不 要急着算出分子，观察数的特点，1999199819991998+?=1999119991998）（+?=1999 2000 1998?，再 去除1998算出最后结果。 同步精练 1、238÷238239 238 2、1999÷199920001999 例3、 1 200019991998 20001999—??+ 【思路点拨】仔细观察分子、分母中各数的特点，我们就会发现，分子1999+2000×1998=1999+2000×（1999－1）=1999＋2000×1999－2000=2000×1999－1，这样就把分子转化成与分母完全相同的式子，结果为1. 1、186548362361548362—??+ 2、1 198919881987 19891988—??+ 例4、 211?+321?＋431?＋541?＋6 51 ? 【思路点拨】在这道题中，每个分数的分子都是1，分母是两个连续自然数的积。 211?=1－21，321?=21－31，431?=31－41，……)1(1+?n n =n 1－11+n ，把每个分数 都写成两个分数的差，使部分分数互相抵消，使计算简便。 同步精练 1、211?+321?＋431?＋…＋100 991 ? 2、21＋61＋121＋201＋30 1 2008年10月4日 六年级 基本公式：()111n n+1n n 1-+＝； 推广形式：()111n n+d d n n d ??-??+?? 1＝ 例1、计算：11111122334989999100+++++?????=（1－21）＋（21－31）＋（31－4 1）＋……＋（991－100 1）=1－1001=10099。 例2、计算：1111112612203042+++++=7 6； 例3、计算：1111111357911104088154238340+++++=20 336； 例4、计算：=?+++?++?++?+200120002001200043433232212122222222 200120004000 注意：拆分未必拆成两个分数之差，有的时候，需要拆成两个分数之和；可以利用公式： 11m+n m n mn +＝ 例5、计算：1111(1)(1)(1(1)2233441010 -?-?-??-???? (1120) 提示：1n n 1(n 1)(n 1)1n n n n n n ?--+- ==???。 解：原式＝1324359112233441010????????????……＝111210?＝1120 例6、计算：60 59605859586035343602423260131211+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ = 解答：因为()2 1211121-=-??=-+++n n n n n n n n ，所以 ()886 59212 112 592221160 59605859586035343602423260131211=+++?+=++++=+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ 【课堂练习】 1. 计算：111116425672-+++=9 8； 六年级数学专题练习：分数的运算技巧 不可思议的约分方法 我们知道,当分子、分母有公因数时,可以把这个公因数约去,从而使分数变得较为简洁.比如 767446=?? 如果有人作出以下的所谓“约分”： 5 27527= 那当然是绝对错误的,肯定被人笑掉大牙,因为7527其实就是5 70720++,个位数上的7与十位数上的7怎么可以进行“约分”呢？何况,通过“加号”来连接的数字,一般也不允许约简.上面的7527,如果化成最简分数,准确答案应当是25 9. 然而,不可思议的奇事竟然发生了,有人对分数 64 16进行了这种荒谬的“交叉”约分： 416416= 然而最后答数却是对的,不折不扣地等于4 1！ 问题来了,对于两位数来说,通过这种奇妙的约分,而答数却可以正确无误,除了上面所举的例子以外,还有没有别的？当然,像122 22=这样浅显的例子,我们不需要. 利用电子计算机,美国的洪斯伯格教授在不到0.15秒的时间内,就把所有4个例子全部搜索出来了,除了上面所说的那一个以外,其他的例子是： 526526= 常规的做法是：5 25132136526=??= 519519= 常规的做法是：5 11951919519=??= 21849849== 常规的做法是：2 12771779849=????= 把这4个真分数,给它来上一个分子、分母大翻身,使它变为假分数,当然也能成立.所以,总的说来,对两位数来说,“神奇约分”可以通行无阻,一共有8个例子. 这个例子触发了人们的极大兴趣,一个个连珠炮式的问题都提出来了：对三位数或多位数 来说,类似的性质有没有？非十进位记数制,有没有这种怪现象？……通过威力强大的电子计算机,上述一系列难以回答的问题都已有了令人满意的结果. 我们不妨再举两个例子,这是目前我国的出版物上看不到的： 6 1762127= 事实上确实有127×6＝762 25 32725327= 实际上 25 32510931092725327=??= 计算机的本领居然这么大,你们说妙不妙啊？ １．用简便方法计算下列各题. 12)6141(?- 15 14141514+? 8 4738574?+? 949491÷+÷+÷ ２．根据下面各图列式并计算. ？ ？ 奥数裂项法 同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。 （一）阅读思考 例如1 3 1 4 1 12 -=，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把 这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式： 11 1 1 11 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n - += + + - + = +- + = + ()() ()() 即11 1 1 1 n n n n - + = + () 或 1 1 11 1 n n n n () + =- + 下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。【典型例题】 例1. 计算： 1 19851986 1 19861987 1 19871988 1 19941995? + ? + ? ++ ? …… + ?+ ? + 1 19951996 1 19961997 1 1997 分析与解答： 1 19851986 1 1985 1 1986 1 19861987 1 1986 1 1987 1 19871988 1 1987 1 1988 1 19941995 1 1994 1 1995 ? =-? =-? =- ?=- …… 1 19951996 1 1995 1 1996 1 19961997 1 1996 1 1997 ? =- ? =- 上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。 1 198519861 198619871 198719881 199519961 19961997 11997?+ ?+ ?++ ?+ ?+ … =-+-+-++-+-+=119851198611986119871198711988119951199611996 119971199711985 …… 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分 数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。 例2. 计算：1111211231 123100 +++++++ ++++…… 公式的变式 1122 1+++= ?-…n n n () 当n 分别取1，2，3，……，100时，就有 112121122 23 11232 34 112342 45 1121002 100101 = ?+=?++=?+++= ?+++= ?… 1111211231 12100212 223234299100 21001012112 1231341991001100101211212131314 199 1 100 1100 1101 211101 + ++ +++++++=?+?+?++?+ ?=??+?+?++?+ ?=?-+-+ -++ - + - =?- ……………()() () 第五讲:分数拆项法 一、教学目标 学会运用分数拆项法计算 二、教学重点难点 综合运用分数拆项法解决实际问题 三、教学过程： 【知识点梳理】 公式一：1 11)1(1+-=+?a a a a 公式二：)11(1)(1n a a n n a a +-?=+? 【例题精讲】 例题1、计算：11×2 +12×3 +13×4 +…..+ 199×100 【即时练习】计算下面各题 1. 14×5 +15×6 +16×7 +…..+ 139×40 2. 110×11 +111×12 +112×13 + 113×14 +114×15 3. 12 +16 +112 +120 + 130 +142 例题2、计算：12×4 +14×6 +16×8 +…..+ 148×50 【即时练习】计算下面各题： 1. 13×5 +15×7 +17×9 +…..+ 197×99 2. 11×4 +14×7 +17×10 +…..+ 197×100 例题3、计算：113 －712 +920 －1130 +1342 －1556 【即时练习】计算下面各题： 1. 112 +56 －712 +920 －1130 2. 114 －920 +1130 －1342 +1556 3. 19981×2 +19982×3 +19983×4 + 19984×5 +19985×6 例题4、计算：12 +14 +18 +116 +132 +164 【即时练习】计算下面各题： 1. 12 +14 +18 +………+1256 2. 23 +29 +227 +281 +2243 3. 9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6 四、【家庭作业】 1. 1－16 +142 +156 +172 === 分数乘法 === 确保你是在乘两个分数。这些方法只在两个分数相乘时有效。如果有任何一个数字是带分数，首先一定要把它转化成假分数。 分子乘以分子，分母乘以分母。 例如21 x 43，那就1 x3，2 x 4，得到的结果就是8 3。 === 分数除法 === 确保你是在除两个分数。这些方法只在你已经把所有的带分数转化成假分数的前提下有效！ 将第二个分数上下颠倒。你应该能弄清这个“第二个”所指的是哪个分数。 把除号改为乘号。 如果开始是158÷43，那么现在将它改为158 x 3 4。 分子乘以分子，分母乘以分母。 8 x 4 得到 32 ，15 x 3 得到 45, 所以最终得出的结果是45 32。 === 分数加减 === 1. 找到最小公分母（底部数字），不管是分数的加法还是减法，你都得经过这个过程。约 分成最简分数，以便之后转换最小公分母进行运算。 举个例子，如果你遇到的数字是41和6 1，那么它们的最小公约数是12.（4x3=12, 6x2=12) 2.分数乘法时一定要找最小公分母。记住，当你这样做时并没有改变分数的数额，而只是改变了它的表达方式，分数的本质并没有变。 找出当前的分母要扩大多少倍才能得到最小公分母。例如 414乘3得12；61,6乘2得12（所以41和6 1的最小公分母是12）。 '同时把分母和分子与那个数相乘。例如 41，把1和4分别同3相乘，得到123. 61上下同时乘2，得到12 2. 3.把这两个数的分子相加减（注意不是分母）。 #*例如3/12 + 2/12,你最终的答案是5/12。 == 小提示 == *掌握四项基本的运算方法（乘法、除法、加法、减法），将有助于你轻松、快速掌握这个环节。 *在做乘除的时候，可以不用第一时间将带分数转化成假分数。但是这样做可能会导致更复杂地使用分配率。所以通常还是最好首先将带分数转化成假分数。 *要想得到整数的倒数，只要把1放在整数头上就可以了。例如，5的倒数就变成了1/5. *“把分数颠倒“的另一个说法就是”求这个分数的倒数“。你只需要将分子和分母上下对换。例如，2/4的倒数得到4/2. *当你求一个负数的倒数时，负号停留在分子。 分数的速算与巧算—裂项 知识导航 分数裂项是整个奥数知识体系中的一个精华部分，将算式中的项进行拆分，使拆分后的项 可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是 将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的 分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需 复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它 们消去才是最根本的。 1.分数裂差型运算公式： (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 形式的，这里我们把较小的数写在前面， 即 ，那么有 (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： ， 形式的，我们有： 裂差型特征： (1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是 只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。 (2)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。 2.分数裂和型运算公式： （1） （2） 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵 消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 3.整数裂项运算公式： (1) (2) 精典例题1: 思路点拨 观察分数特征，此题属于裂差型分母为4个连续自然数乘积，可直接运用公式。 模仿练习1: 精典例题2: 思路点拨 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子 不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2 的 等差数列(该数列的第 个数恰好为 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大 3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算． 模仿练习2: 精典例题3: 思路点拨 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可 以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即： 原式 例谈分数拆项技巧 学习了分式的加减运算，我们可以验证以下等式的正确性，即： ， ， ， ， ． 熟练运用以上恒等式及平方差公式，可将算式中某数拆成两个（或两个以上）数的和或差，从而使计算简便． 一、运用拆项 例1．例1．计算： 解：原式= = = 二、运用拆项 例2．计算： 11m n mn n m +=+111(1)1 n n n n =-++11()m n n m n n m =-++211(1)(2)(1)(1)(2) n n n n n n n =-+++++12(1)(2)122222 n n n n n n n n n -+-+++==-11m n mn n m +=+3579197199...26122097029900-+-+-+12233445989999100 (12233445989999100) ++++++-+-+-+??????111111111111()()...()2233445989999100 +-+++-++-+++11011100100+=111(1)1 n n n n =-++1111...12123123...100+ ++++++++++ 解：因为 所以 原式=1+ = 三、运用拆项 例3.计算：- ． 解：原式= - = 四、运用拆项 例4计算： 解：原式=+… + ==． 五、运用拆项 1222123...(1)1 n n n n n ==-++++++222222 (2334100101) -+-++-22002101101-=11()m n n m n n m =-++23411(12)(12)(123)(123)(1234) ---?+++++++++...-10(123...9)(123...10) ++++++++1111(1)()1212123-- --++++11()1231234--+++++11()123...9123 (10) -++++++++11123 (1055) =++++211(1)(2)(1)(1)(2) n n n n n n n =-+++++4444 (123234345200420052006) ++++????????222222()()()122323343445 -+-+-??????22()2004200520052006 -??2120052006-?2011014201101512(1)(2)122222 n n n n n n n n n -+-+++==- 知识要点和基本方法 1.2分数计算(裂项法) 分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。 分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快 速、准确，关键是掌握运算技巧。对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运 算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维，培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力, 都有很大的帮助。 公式: (1)平方差公式：a2 b2(a b) (a b) (2)等差数列求和公式: a i a2 a3 a n 1 a n 1 a1 2 a n n (3)分数的拆分公式: n(n 1) 1 n(n d) 裂项 法： 例1. 计算: 例2. 计算: 10X 11 1 2 3 _1 +11X 12 1 ..... +—— 3 4 99 1 +……+59X 60 1 100 例7. 例8. 例3. 1111 计算：2 + 6 + / + 20 1 1 + — + — +30 +42 例9. 例4. 计算: —1——+ -—— 10X 11 11X 12 1 +……+19X 20 例10. 例5. 1 1 计算2X 3 + 3X4 + 1 1 +6X7 +7X8 例11. 1 1 1 1 1 1 1 6 + ' —+— +— + 12 + 20 + 30 + 矗+56 + 72 1 1 1 1 1 1 + —+ + —- + —+ 3 15 35 63 99 143 1 1 1 1 1 4 4 7 7 10 10 13 13 2 2 2 2 2 3 15 35 63 99 1 丄丄丄 1 1 8 24 48 80 120 168 计算: 1 计算: 计算: 计算: 计算: 16 例6. 计算: 例12. 计算: 例13. 计算: 112 11 +丄+土+丄+丄+ 1 2 2 1 + — + 1 2 2 3 1 ----------- F 1 2 3 2 3 2 1 + Y +仝+丄 3 3 3 3 1 例14. 计算: 2X( 1 —丄)X 2丿 20052-------------- +……+ 12 3 4 「-亠) 20042 100 +……+ + 100 100 1 旦+……+ 100 1 100 X( 1 2 3 2005 1 1 1 —2) X ......... X( 1 ---------- ) 2003222 分数乘除法计算方法总结 一、分数乘法： 1．分数乘整数 意义：分数乘整数与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。计算方法：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。2．分数（整数）乘分数，即一个数乘以分数 意义：求一个数的几分之几是多少。 计算方法：分数乘分数，分子相乘的积作新分子，分母相乘的积作新分母。 能约分的要先约分，再计算，结果要试最简分数。约分过程中，一定是分子和分母约分，整数和分母约分。是带分数的要先化成假分数再按照计算方法进行计算。3．乘积相等的几组乘法算式中，一个因数越大，另一个因数就越小（大配小，小配大）。 4．倒数：乘积是“1”的两个数互为倒数。“1”的倒数是“1”，“0”没有倒数。5．求一个数的倒数的方法：用“1”除以这个数。 真分数（假分数）的倒数，直接交换分子和分母的位置；求带分数的倒数，要先把带分数化成假分数，再交换分子和分母的位置；求小数的倒数，要先把小数化成分数，再交换分子和分母的位置；求整数的倒数，把整数写作分母，分子为“1”。 二、分数除法 意义1：与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。 [理解]：把一个数平均分成几份，每份是这个数的几份之一。 求每份数是多少（每份数=一个数÷几份或每份数=一个数×几份之一）。 1、分数除以整数： A，可以用分子除以整数（0除外）的商作分子，分母不变。 B，分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 2、分数（整数）除以分数，即一个数除以分数 A，可以用分子除以分子的商作新分子，分母除以分母的商作新分母。 B，一个数除以分数（0除外），等于这个数乘以分数的倒数。 分数裂项 （一）“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法。常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。 （1）对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- （2）对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2) n n n ?+?+，1(1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ （3）裂差型裂项的三大关键特征： 1，分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 2，分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” 3，分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： 11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 二、换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简。 三、常用公式： （1） 2222(1)(21)1236n n n n ?+?+++++= ； （2） () 2223333(1)1231234 n n n n ?+++++=++++= ； （3） 2123421n n ++++++++= ； （4） 平方差公式：()()22a b a b a b -=+-； （5） 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+； （6） 等差数列：求和=(首项+末项)×项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+（项数-1）×公差 （8）123456799111111111?= （去8数，重点记忆） 711131001??=（三个常用质数的乘积，重点记忆） （9）101ab abab ?= 10101ab ababab ?= 7、用拆项法求分数和（2） 例题4、用拆项法求 ) 2)((1 k n k n n ++型分数和类： 1、3 211??+4 321??+…+ 50 49481?? 2、1 231??+ 2 341??+ 3 451??+…+ 98 991001?? 3、6 421??+ 8 641??+…+ 100 98961?? 4、5311 ??- 7531 ??- 9 751 ??-…- 99 97951?? 5、6 1+ + 24 1+ 60 1120 1+ + 210 184 1 例题5、用拆项法求 ) 2)((k 2k n k n n ++型分数和类： 1、 5 314??+ 7 534 ??+…+ 97 95934??+99 97954?? 2、3 212??+ 4 322??+…+ 100 99982?? 3、3 212??- 4322 ??- 5 432 ??-…- 100 99982?? 例题（6）用拆项法求 ) 3)(2)((1 k n k n k n n +++型分数和类 1、4 3211???+ 5 4321 ???+…+ 20 1918171 ??? 2、24 1+ 120 1+ 360 1+ 840 1+ 630 1 例题7、用拆项法求 ) 3)(2)((3k n k n k n n k +++型分数和类 1、4 3213???+ 5 4323 ???+ 6 5433???+…+20 1918173 ??? 2、4 3215???+ 5 4327???+ 6 5439???+…+ 20 19181737 ??? 例题8、用拆项法求复合型分数和类 1、 2 1+ 3 22?+ 4 323?? 2、 2 1+ 3 22?+ 4 323??+ 5 4324???+ 6 54325 ???? 3、3 1+ 5 34?+ 7 536??+ 9 7538???+ 11 975310 ???? + 11 97531 ???? 4、2 1+ 6 5+ 12 11+ 20 19+ 42 41+ 56 55+…+ 9702 9701+ 9900 9899 5、+ 6 524 23+ 60 59+ 120 119+ 210 209+ 84 83 分数计算一一裂项法 【知识要点】 正确、迅速、灵活、合理地进行整数、小数、分数四则混合运算，是小学生须掌握的技能、技巧之一，计算时必须做到： 1、拿到一题，首先要全面审题，确定运算顺序，这是运算的根本。 2、然后要全面观察题目的结构、特征，分析题中数与数的关系，灵活运算各种定律、性质使 计算简便，这是运算的灵魂。 3、计算时要做到一步一回头，也就是及时检验，这是使你终生受益的习惯。【自主练习】 111 1 1 1_ -11 1 11 2 3 3 4 4 5r T 5 6 6 77 8十十?… 12 2 3 49 50 1111 +?-?++ 1995 19961996 19972007 20082008 ?丄?丄丄 12 20 30 42 56 72 90 7 13 21 31 43 57 73 91 —十-------- 十------- r ------------ r ----------- ~1~------ 十 ------- r ----------- 6 12 20 30 42 56 72 90 二 1 」… J 1 4 4 7 7 10 97 100 1111 1 1 ----- + ------- + ------- + -------- + --------- + --------- 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15 11 31 5丄7丄9丄 3 15 35 63 99 2.2.2 ..???丄 21 77 165 1677 1 7 9 11 13 15 1 — 3 1 2 20 30 42 56 小结：求若干个分数之和的计算题，一般可以用通分的办法，但有些计算题，可以 采用裂项的办法，即运用以下这些公式巧妙求出整个算式的和，称为裂项法。 1 9 11 1 3 15 --- ----- -------- "T - ---------- ---- -------- ~T~ ------------- 4 20 30 42 56六年级分数巧算裂项拆分
小学六年级奥数教案—03分数运算技巧
最新分数裂项法解分数计算
六年级上册数学一课一练-分数四则混合运算(分数计算中的技巧)人教版
分数拆分(裂项法)
六年级数学专题练习：分数的运算技巧
奥数裂项法(含答案)
第讲：分数拆项法
分数计算方法
六年级数学思维训练——分数裂项
例谈分数拆项技巧
六年级分数-裂项法
分数乘除法计算方法总结
分数裂项
7、用拆项法求分数和(2)
六年分数计算裂项法