2020年中考数学专题复习和训练：新定义题型例谈
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2020年中考数学专题复习和训练:
新定义题型例谈
班级： 姓名：
编制：赵化中学 郑宗平
专题透析：
“新定义”题型主要是指题型中嵌入了新概念、新符号、新运算等，要求结合书本知识，根据“定义”的规则加以运算、推理等以求问题得以解决；这类题在新课改、新课标下的各类数学测试中经常出现，也是近年来中考的热点题型，填空、选择和解答题均有涉及；“新定义”题型注意两点：其一.读懂“定义规则”，找准切入点；其二.经过运算、推理进行迁移解决问题
典例精析：
例1.我们把分子为1的分数叫做理想分数，如,,,111
234
L 任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如()=+;=+;=+;=1111111111
236341245209L ；根据对上述式子的观察思
考：如果理想分数111
n a b
=+（n 是不小于2的正整数），那么a b += (用含n 的式
本题可以视为“规律性的题型中的定义”，主要是根据定义（本题是“理想分数”）计算推理发现规律，从实例规律迁移解决问题.
追踪练习：
1.我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1,3,9,19,33,… 就是一个数列；如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做这个等差数列的公差．如2,4,6,8,10就是一个等差数列，它的公差为2；如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1,3,9,19,33, …，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2,6,10,14,…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1,3,9,19,33,，…是一个二阶等差数列；那么，请问二阶等差数列1,3,7,13,，… 的第五个数应是 ___ ．
2.若x 是不等于1的实数，我们把
11x -称为x 的差倒数，如2的差倒数是1
112
=--，1-的差倒数为()11112=--，现已知11
x 3
=-，2x 是1x 的差倒数，3x 是2x 的差倒数，4x 是3x 的差
倒数，…，依次类推，则 2020x = . 例2.我们把
a b c d
称作二阶行列式，规定它的运算法则为
a b
ad bc c d
=-，比如：
23
2534245
=?-?=-，如果有
23x 01
x
->，则x 的取值范围为 .
分析：
根据二阶行列式规定的运算法则可知：()2x 3x 10--?> ，解得：x 1>；∴故应填：x 1>. 点评：
本题可以视为“运算建模题型中定义”，主要是根据定义所规定的运算法则进行运算推理来解决问题；这类题可以串联起数学的多个知识点，是中考中出现频率比较高的一种题型. 追踪练习：
1.对于点(),x y 的一次操作变换()(),
,1p x y x y x y =+-，且规定()()(),,n 1n 1p x y P P x y -=（n 为大于1的整数）；如()(),,1p 1231=-，()()()(),,(.),2111p 12P 12P 3124==-=，(),3p 12= ((,))(,)(,)122P p 12p 2462==-，则(,)2019p 11-= （ ）
A.(),100902-
B.(),101002-
C.(),100902
D.()
101002， 2.对于正数x ，如果规定()1f x 1x =
+，例如：()11
f 4145
==+，114f 145
14
??
=
= ???+;根据上面的规定计算()()()()111f 2019f 2018f 2f 1f f f 220182019??????
++++++++ ? ? ???????
L L 的值为 ，
()()()()111f 2020f 2019f 2f 1f f f 220192020??????
++++++++ ? ? ???????
L L 的值为 .
二阶行列式运算法则”，计算填空：
= ； ⑵.
x 3x 2x 4x 3
+---= ；⑶.
2x x 26x 2
x
-=+，则x = .
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4.若定义()a,b ☆()m,n am bn =+
，则
?? ?
= .
5.对于两个不相等的实数a,b ，定义一种新的运算如下，(a a b a b a b +=+-332+=()654 的值.
6.我们定义
a b
ad bc c d
=-，比如：()121623663
6
-=-?-?=--=-整数，且满足1x 13y 5
<< ，求x 2y -的值.
作,垂足为
在Rt ⊿OEA 中，AE
tan AOE ∠=
,则AE OE tan AOB =∠= ()b'b'0=> .解得：b'= 本题可以视为“探索题型中的新定义”，主要是根据定义计算推理论证，这类题一般要在定义的前提下进行匪类讨论，往往和存在性问题交融在一起.
追踪练习：
1.若平面直角坐标系中，两点关于过原点的一条直线成轴对称，则这两点就是互为镜面点， 这条直线叫镜面直线，如(),A 23）和(),B 32是以x y =为镜面直线的镜面点． ⑴.若(),M 41和(),N 14--是一对镜面点，则镜面直线为 . ⑵.若以y =为镜面直线，则(),E 20-的镜面点为 ．
2.如图，A,B 是⊙O 上的两个顶点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A,B 重合），我们称APB ∠是
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3.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．
如图1，PH PJ ,PG PI ==
的准内点．
⑴.如图2,AFD ∠与DEC ∠的角平分线相交于点P ．求证：点P 是四边形ABCD 的准内点． ⑵.分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）
⑶.判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”． ①任意凸四边形一定存在准内点．（ ） ②任意凸四边形一定只有一个准内点．（ ）
③若点P 是四边形ABCD 的准内点，则PA PB PC PD +=+或PA PC PB PD +=+（ ）.
例4. 对于实数a b 、，定义运算某“*”：()()
22
a a
b a b a b ab b a b ?-≥?=?-，
所以2
424428=-?=*.若12x x 、是一元二次方程2x 5x 60-+=的两个根，则
*12x x = .
分析：
∵12x x 、是一元二次方程2
x 5x 60-+=的两个根 ∴()()x 2x 30--= 解得：x 3= 或x 2=
①.当12x 3,x 2== 时，1x *2x =2
3233-?=； ②.当12x 2,x 3== 时，1x *2x =2
2333?-=-. 故应填：3或3-.
，本题的结论是开放的，常常要根据条件分类讨论，结，这类题容易漏解.
a ☆
b ()()
-?>≠?=?≤≠??b b a a b,a 0a a b,a 0 ；比如2☆3-==3
128，计算[2☆()-4]×
()-2]= .
2.在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点()111P x ,y 和()222P x ,y 的“非常距离”，给出以下概念： 若1212x x y y -≥- ，则点1P 和点2P 的“非常距离”距离为12x x -；.
若12
12x x y y -<- ，则点1P 和点2P 的“非常距离”距离为12y y -.
例如：点()1P 1,
2和()2P 3,5。因为1325-<-，点1P 和2P 的“非常距离”距离为253-=.
也就是图1中线段1P Q 与线段2P Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线1P Q 与垂直于x 轴的直线2P Q 交点）.
⑴.已知点1A ,02??
- ???
,B 为y 轴上的一动点. ①.若点A 和点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件点B 的坐标； ②.直接写出点A 和点B 的“非常距离”的最小值.
⑵.已知C 是直线
3y x 34
=+的一个动点. ①.如图2，点D 的坐标是()0,1，求点C 和点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标； ②.如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 和点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 与点C 的坐标 .
33图2
图1
图1
图4图3图2
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例5.先阅读材料，再根据解答：
对于一个关于x 的代数式A ,若存在一个系数为正数关于x 的单项式F ,使
?A F
2x
的结果是所有系数均为整数的整式，则称单项式F 为代数式A 的“整系单项式” ，例如：
当==321A ,F 2x x 时，由于
?
=321
2x x 12x ，故32x 是2
1x 的整系单项式； 当==521A ,F 6x x 时，由于
?=52
216x x 3x 2x ，故56x 是21x 的整系单项式； 当=-=234A 3,F x 2x 3 时，由于
??- ???
=-243x 332x 2x 12x ，故24x 3
是-332x 的整系单项式； 当=-=4
3A 3,F 8x 2x 时，由于
?
?- ???=-43238x 32x 12x 6x 2x ，故48x 是-332x
的整系单项式；
显然，当代数式A 存在整系单项式F 时，F 有无数个，现把次数最低，系数最小的整系单项式F 记为()F A ,例如：????=-=
? ????
?3
22134F 2x ,F 3x 2x 3x . 阅读以上材料并解决下列问题： ⑴.判断：当=1A x
时，=3
F 2x A 的整系单项式（填“是”或“不是”）； ⑵.当=
-2
A 2x
时，()F A = ; ⑶.解方程：()+-=
-?
?-- ??
?F x 14
112x 2F 12
x . 分析：本题的⑴根据?A F 2x 可计算判断；⑵问求()F A 不但要使?A F
2x
是整系单项式，而且要使
其“次数最低，系数最小”，所以要进行逆推，即222F 1x 4x F 2x x ??-? ?????=-? ???
,要使结果“次数最低，系数最小”,则2
F x = ；⑶问仿照⑵问逆推出()21F x 12x,F 12x x ??+=-= ??
? ，然
后再解分式方程. 略解：
⑴.是；⑵.2x ；
⑶.∵()21F x 12x,F 12x x ??+=-
= ??? ∴原方程改写为2
2x 4
12x 22x 2-=-- 整理得：2
x 2
1x 1x 1
-=-- 解得x 1= 经检验x 1=是原方程的增根，所以原方程无解.
点评：
本题可以视为“阅读材料中的新定义”，这类题是要读懂定义的规则，按规则办事；本题通过数学建模串联起分式的混合运算和解方式方程，其中计算()F A 本题的难点，要根据
?A F
2x
和“次数最低，系数最小的整系单项式”的要求进行逆推；本题的阅读量大，有些显得抽象，由于本
卷信息多，要在有限的时间内完成，对大部分学生有一定的挑战性！
追踪练习： 1. 阅读材料
我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形.
我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识； 请解决以下问题：
如图，我们把满足AB AD,CB CD ==且AB BC =的四边形ABCD 叫做“筝形”； ⑴.写出筝形的两个性质（定义除外）； ⑵.写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明.
2.阅读下面的材料：
备用图2
备用图1备用图3
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我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数111(0)y k x b k =+≠的图象为直线1l ，一次函数222(0)y k x b k =+≠的图象为直线2l ，若12k k =，且12b b ≠，我们就称直线1l 与直线2l
解答下面的问题：
⑴.求过点(1,4)P 且与已知直线21y x =--平行的直线l 的函数表达式,并画出直线l 的图象；
⑵.设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ，如果直线m ：
(0)y kx t t =+>与直线l 平行且交x 轴于点C ，求出⊿ABC 的面积S 关于t 的函数表达式.
巩固练习： 一.选择题： 1.概念：
()()()()f a,b b,a ,g m,n m,n ==--，例如：()()()()f 2,33,2,g 1,41,4=--=，则
()g f 5,6-????等于
（ ）
A.(),65-
B.(),56--
C.(),65-
D.(),56- 2.设{}min ,a b 表示、a b 这两个数中的最小值，如{}min ,111-=-，{}min ,322=，则关于x 的一次函数{}min ,y x 2x 1=-可以表示为 （ ）
A.y x =
B.y 2x 1=-
C.,,x x 1y 2x 1x 1
-≥? D.,
,x x 1y 2x 1x 1>?=?-≤?
3.历史上，数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示，例如x 1=-时，多项式()2f x x 3x 5=+-的值记为()f 1-，那么()f 1-等于 （ ）
A.7-
B.9-
C.3-
D.1-
4.小刚用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数为3,6,9,12,L 称为三角形数；类似的，图2中棋子围成正方形，其颗数为4,5,12,16,L 称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是 （ ）
A.2014
B.2016
C.2018
D.2020 5.若定义抛物线满足()()
2
2n 11
y x x n n 1n n 1+=-
+++（n 0≠的自然数）；若该抛物线与x 轴交于
n n A ,B ，用n S 表示这n n A ,B 两点间的距离，则1232020S S S S ++++L = （ ）
A.20172018
B.20182019
C.20192020
D.20202021
6.定义[]a,b,c 为函数=++2
y ax bx c 的特征数，下面给出特征数为[]---2m,1m,1m 的函数
的一些结论：
①.当=-m 3时，函数图象的顶点坐标是??
???
18,33； ②.当>m 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于3
2
； ③.当
1
x 4
时，y 随x 的增大而减小； ④.当≠m 0时，函数图象经过同一个点.其中正确的结论有 （ ）
A.①②③④
B.①②④
C.①③④
D.②④ 7.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是 （ ） A.,,123 B. ,,11,,11,,128.若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如：796就是一个“中高数”．若十位上数字为7，则从3、4、5、6、8、9中任选两数，与7组成“中高数”的概率是 （ ）
A.
1 B.
2 C. 2 D.
3 二.填空题：
10.我们规定：一个n 边形（n 为整数，≥n 4）的最短对角线与最长对角线长度的比值，叫做这个n 边形的“特征值”，记为n λ，那么6λ = .
11.若规定:??????===??????L L 234356325436543
C ,C ,C ,121231234
,观察上面的计算过程，
寻找规律并计算=610
C .
12.对于实数p,q ，我们假如用符号{}min p,q 表示p,q 两数中较小的数，如{}min 1,21=,
{}min 2,33--=-,若(){
}
2
2min x 1,x 1+=,则x.= .
36124812
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13.若规定用符号
[]m 表示实数m 的整数部分，例如：??=????
2
03 ，[]=3.143，
的值为 .
14.规定：[]x 表示不大于x 的最大整数，()x 表示不小于x 的最小整数，[)x 表示最接近x 的整数（x n 0.5≠+，n 为整数），例如：[]()[)2.32, 2.33,2.32=== ；则下列说法正确的是 .（写出所有正确说法的序号） ①.当x 1.7=时，[]()[)x x x 6++=； ②.当x 2.1=-时，[]()[)x x x 7++=-；
③.方程[]()[)4x 3x x 11++=的解为1x 1.5<<；
④.当1x 1-<< 时，函数[]()y x x x =++的图象与正比例函数y 4x =图象有两个交点. 15.定义一种运算符号
，其规则为=-22M
N M N ,若已知=7a 13，则a 的值为 .
16.定义运算a ☆b =()-a 1b ，下列给出了关于这种运算的几点结论：
①.2☆()-2=6；②.a ☆b =b ☆a ；③.若+=a b 0。则（a ☆b ）+（b ☆a ）=2ab ； ④.若a ☆b =0，则=a 0 .
其中正确结论序号是 ．（填序号） 17.若,,,=-
=-=-12312
111
a 1a 1a 1m a a L ；则2020a 的值为 （用含m 的式子表示），. 18.若记()==
+22x y f x 1x ，其中()f 1表示当=x 1时y 的值，即()==+2
2
11
f 12
11，??
???
1f 2 表示当=1x 2时y 的值，即??
?
????== ?????
+ ???
L 2
2
1112f ,25112；则()()()????++++ ? ?????11f 1f 2f f 3f 23 ()()????
+++++ ? ?????
L 11f 2020f f 2021f 20202021 =
． 19.P 是⊿ABC 的边AB 上的动点（P 异于A,B ）,过点P 的直线截⊿ABC 截得的三角形与⊿ABC 相似，我们不妨称这种直线为过P 的⊿ABC 的相似线，简记为()x P l （x 为自然数 ）.
⑴.如图，∠=∠=∠o
A 90,
B
C ；当=BP 2PA 时，()1P l ，()2P l 都是过点P 的⊿ABC 的相似线（其中⊥1l BC ,2l ∥AC ）.此外， 还有 条；
∠=∠=o o
C 90,B 30,当
BP
BA
= 时，截得三角形 面积为⊿ABC 面积的1
.
点的直角距离，记作()12d P ,P ；若()000P x ,y 是一定点，()Q x,y 是直线=+y kx b 上一动点，称()0d P ,Q 的最小值为0P 到直线=+y kx b 的直角距离；令()-0P 2,3 ,O 为坐标原点。则：
⑴. ()0d O,P = ; ⑵.()-P a,3到直线=+y x 1的直角距离为6，则a = .
三.解答题：
23.规定○是一种新的运算符号，且a ○b =+?-+2a a b a 2，例如：2○3=+?-+222322 =10.请你根据上面的规定试求： ①.-2○1的值； ②.1○3○5的值.
24.规定=-a b ad bc c d ，比如：=?-?=-=-12142346234；-+=-2253x 5
32x 3
，试求
-211x 5的值.
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25.平面直角坐标系中．过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积的“数值”相等，则这个点叫做和谐点．例如．图中过点P 分別作x 轴，y 轴的垂线．与坐标轴围成矩形OAPB 的周长与面积的“数值”相等，则点P 是和谐点. ⑴.判断点()M 1,2，()N 4,4）是否为和谐点，并说明理由； ⑵.若和谐点()-P a,12在直线=-+y x b （b 为常数）上， 求a,b 的值．
26.如图，在平面直角坐标系中，已知点()A 2,3、()B 6,3 ,连接AB ;如果点P 在直线=-y x 1上，且点P 到直线AB 的距离小于1，那么点P 是线段AB 的“临近点”.
⑴.判断点??
???75C ,22是否是线段AB 的“临近点”
⑵.若点()Q m,n 是线段AB 的“临近点”，求m 的取值范围.
27若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则成这两个二次函数为“同簇二次函数”. ⑴.请写出两个同簇二次函数； ⑵.已知关于x 的二次函数=-++2
21y 2x
4mx 2m 1和=++22y ax bx 5；
其中1y 经过()A 1,1;若+12y y 为1y 的同簇二次函数，求函数2y 的表达式，并求当≤≤0x 3时，y 的最大值.
28.如图，概念：若双曲线()=
>k
y k 0x
与他的意图一条对称轴=y x 相交于A,B 两点，则线段AB 的长度为双曲线()=
>k
y k 0x
的对径. ⑴.求双曲线=
1
y x 的对径； ⑵.若双曲线()=>k
y k 0x
的对径为k 的值；
⑶.仿照上述概念，概念双曲线()= y k 0x 的对径. 29.如图，概念：在直角三角形中，锐角α的领边与对边的比叫做角α的余切，记作cot α ，即图中= AC cot BC α ，根据上述角的余切的概念，解答下列问题： ⑴.o cot 30 = ； ⑵.如果，已知= 3 tan A 4 ，其中∠A 为锐角，试求cot A 的值. 30.在学习锐角三角函数中，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化；类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，假如我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）.如图①在⊿ABC 中，=AB AC ,顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BC AB ==底边腰.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题： ⑴. o sad60 = . ⑵.对于< o 0A 180，∠A 的正对值sadA 的取值范围是 . ⑶.如图②，已知=3 sin A 5 ，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值. A C B C 图② 图① x 赵中2020中考数学专题复习和训练 第 15页（共 16页） 第 16页 （共 16页） 31.如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． ⑴.三角形有______条面积等分线，平行四边形有______条面积等分线； ⑵.如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； ⑶.如图②，四边形ABCD 中,AB 与CD 不平行，≠AB CD ,且S ⊿ABC 32.给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形. ⑴.在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形； ⑵.如图，将⊿ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60°得到⊿DBE ，连AD,DC,CE ,已知 ∠=o DCE 30. ①.求证：⊿BCE 是等边三角形； ②.求证：+=2 2 2 DC BC AC ,即四边形ABCD 33.联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念. 概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三机型的准外心. 举例;如图1 ，若=PA PB ,则点P 为⊿ABC 的准外心. 应用：如图 . CD 为等边⊿ABC 的高，准外心P 在高CD 上，且=1PD AB 2，求∠APB 的度数. 探究：已知⊿ABC 为直角三角形，斜边=BC 5,=AB 3,准外心P 在AC 上，试探究PA 的长. 34.在平面直角坐标系xOy 中的某圆上，有弦MN ,取MN 的中点P ,我们规定P 到某点（直线 ）的距离叫做“弦中距”，用符号中d 表示，以()-W 3,0 半径为2的圆上。 ⑴.已知弦MN 的长度为2. ①.如图1，MN ∥x 轴时，直接写出到原点O 的中d 的长度； ②.如果MN 在圆上运动，在图2中画出示意图，并直接写出 原点 O 的中d 的取值范围； ⑵.已知()-M 5,0，点N 为⊙W 上的一动点，有直线=-y x 2 ，求到直线中d 的的最大值. 35.阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”；例如，点()M 1,3 的特征线有：=x 1，=y 4 ，=+ y x 2， =-+y x 4. 问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ,点B 在第一象限，A,C 分别在x 轴 和y 轴上，抛物线() = -+21 y x m n 4 经过B,C 两点，顶点D 在正方形内部. ⑴.直接写出点()D m,n 的所有特征线； ⑵.若点D 有一条特征线=+y x 1 ，求此抛物线的解析式； ⑶.点P 是AB 边上除点A 外的任意一点，连接OP ，将⊿OAP 沿OP 折叠，点A 落在A'的位置；当点A 在平行于坐标轴的D 点的特征线上时，满足⑵中条件的抛物线象下平移多少距离， 其顶点落在OP 上 2020.4.25. A 图① A 图② 图②图① 新定义型专题 （一）专题诠释 所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力 （二）解题策略和解法精讲 “新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移． 的差倒数是 111(1)2 =--． 已知a 1＝－1 3，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2009＝ ． 考点二：运算题型中的新定义 例2.对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下，*0a b a b a b = +（＞）﹣，如： 3*2= =6*（5*4）= ． 例3.我们定义ab ad bc cd =-，例如23 45 =2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x ，y 均为整数，且满足1＜ 14x y ＜3，则x+y 的值是 ． 考点三：探索题型中的新定义 例4.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图 1，PH=PJ ，PI=PG ，则点P 就是四边形ABCD 的准内点． （1）如图2，∠AFD 与∠DEC 的角平分线FP ，EP 相交于点P ．求证：点P 是四边形ABCD 的准内点． （2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明） （3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”． ①任意凸四边形一定存在准内点．（ ） ②任意凸四边形一定只有一个准内点．（ ） ③若P 是任意凸四边形ABCD 的准内点，则PA+PB=PC+PD 或PA+PC=PB+PD ．（ ） 考点四：阅读材料题型中的新定义 阅读材料 我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物； 比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形； 中考数学压轴题解题技巧 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第22题和23题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第22题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y ＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第23题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想： 纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。 2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想： 直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。 3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想： 分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。 4、综合多个知识点，运用等价转换思想： 任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几 最新的2019中考新定义题 1.在平面直角坐标系xOy 中的某圆上，有弦MN ，取MN 的中点P ，我们规定:点P 到某点（直线）的距离叫 做“弦中距”，用符号“d 中”表示. 以(3,0)W -为圆心，半径为2的圆上. （1）已知弦MN 长度为2. ①如图1：当MN ∥x 轴时，直接写出到原点O 的d 中的长度； ②如果MN 在圆上运动时，在图2中画出示意图，并直接写出到点O 的d 中的取值范围. （2）已知点(5,0)M -,点N 为⊙W 上的一动点，有直线2y x =-，求到直线2y x =-的d 中 的最大值. 2.1所示，若点P 是 抛物线14 y =PH PF =M 的距离之和的最小 值为d ，称d 4y x = 的关联距离；当24d ≤≤时，称点M 为抛物线21 4 y x =的关联点. （1）在点1(20)M ， ，2(12)M ，，3(45)M ，，4(04)M -，中，抛物线21 4 y x =的关联点是______ ； （2）如图2，在矩形ABCD 中，点(1)A t ， ，点(13)A t +，C ( t . ①若t =4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线2 14 y x =的关联距离d 的取值范围； ②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线2 14 y x = 的关联点，则t 的取值范围是__________. 3.对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y （x ≠0），将它的纵坐标y 与横坐标x 的比 y x 称为点Q 的“理想值”，记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”2 21 Q L = =--. （1）①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_________； ②如图，C ，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值” Q L 的取值范围是 . （2）点D 在直线+3y x =上，⊙D 的半径为1，点Q 在⊙D 上运动时都有 0≤L Q ，求点D 的横坐标D x 的取值范围； （3）(2,)M m （m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点，当0≤L Q ≤ 中考数学创新型与新定义型压轴题解析 近年来，各地中考数学试题不断呈现出新颖、灵活的特征，特别是在压轴题中，更富有挑战性和创新理念。 本节例举两例，分析在解决此类问题过程中的思路与方法。 一、几何综合探究类阅读理解问题 【例题1】如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形。 （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB = AD , CB = CD , 问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，四边形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，AC⊥BD。 试证明：AB2 + CD2 = AD2 + BC2； （3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE、BG、GE。 已知AC = 4 , AB = 5 , 求GE 的长。 【解析】 （1）四边形ABCD 是垂美四边形。 理由如下： ∵AB = AD , ∴点A 在线段BD 的垂直平分线上， ∵CB = CD , ∴点C 在线段BD 的垂直平分线上， ∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD 是垂美四边形；（2）如图1， ∵AC⊥BD， ∴∠AOD = ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = 90°， 由勾股定理得： AB2 + CD2 = AO2 + BO2 + DO2 + CO2 = AD2 + BC2，（3）如图3，连接CG、BE， ∵∠CAG = ∠BAE = 90°， ∴∠CAG + ∠BAC = ∠BAE + ∠BAC，即∠GAB = ∠CAE，在△GAB 和△CAE 中， AG = AC , ∠GAB = ∠CAE，AB = AE， ∴△GAB ≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG = ∠AEC，又∠AEC + ∠AME = 90°， ∴∠ABG + ∠AME = 90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB 是垂美四边形， 由（2）得，CG2 + BE2 = CB2 + GE2， 2019-2020年中考数学专题复习新定义问题【专题点拨】 新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题，其解题步骤一般都可分为以下几步：1.阅读定义或概念，并理解；2.总结信息，建立数模； 3.解决数模，回顾检查．“新概念”试题，其设计新颖，构思独特，思维容量大，既能考查学生的阅读、分析、推理、概括等能力，又能考查学生知识迁移的能力和数学素养，同时还兼具了区分选拔的功能 . 【解题策略】 具体分析新颖问题→弄清问题题意→向已知知识点转化→利用相关联知识查验→转化问题思路解决 【典例解析】 类型一：规律题型中的新定义 例题1：（2015?永州，第10题3分）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（） A．[x]=x（x为整数） B．0≤x﹣[x]＜1 C．[x+y]≤[x]+[y]D．[n+x]=n+[x]（n为整数） 【解析】：根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算 【解答】：解：A、∵[x]为不超过x的最大整数， ∴当x是整数时，[x]=x，成立； B、∵[x]为不超过x的最大整数，∴0≤x﹣[x]＜1，成立； C、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，∵﹣9＞﹣10， ∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]， ∴[x+y]≤[x]+[y]不成立， D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立； 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义．新定义解题是近几年中考常考的题型． 一、中考数学压轴题 1．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ． （1）当BP ＝ 时，△MBP ～△DCP ； （2）当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，求BP 的长； （3）设⊙P 的半径为x ，请直接写出正方形ABCD 中恰好有两个顶点在圆内的x 的取值范围． 2．如图，已知抛物线()2 y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点， 直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值； （3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知抛物线217 22 2 y x mx m 的顶点为点C ． （1）求证：不论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点； （2）若抛物线的对称轴为直线3x =，求m 的值和C 点坐标； （3）如图，直线1y x =-与（2）中的抛物线并于A B 、两点，并与它的对称轴交于点D ， 直线x k =交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．求当k 为何值时，以C D M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形． 4．如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AD=16，BC=21，CD=13． （1）求直线AD 和BC 之间的距离； （2）动点P 从点B 出发，沿射线BC 以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长度的速度运动，点P 、Q 同时出发，当点Q 运动到点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．试求当t 为何值时，以P 、Q 、D 、C 为顶点的四边形为平行四边形？ （3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使△PQD 为等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t 值，若不存在，请说明理由． 5．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=?，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ， AF CD ⊥，垂足为F ． （1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由； （2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)； （3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由； ②若1 2,(33)2 ADH a S == +，求sin GAB ∠的值． 6．问题提出 （1）如图①，在ABC 中，2,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积． 问题探究 第一部分 讲解部分 （一）专题诠释 所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力 （二）解题策略和解法精讲 “新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法； 2的差倒数是 1112=--，－1的差倒数是111(1)2 =--．已知a 1＝－13，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2009＝ ． 【分析】：理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可． 【解】：解：根据差倒数定义可得：21113 114 13 a a = ==-+， 3211 43 114 a a = ==-- 43111 1143 a a = ==---． 显然每三个循环一次，又2009÷3＝669余2，故a 2009和a 2的值相等． 【评注】：此类题型要严格根据定义做，这也是近几年出现的新类型题之一，同时注意分析循环的规律． 考点二：运算题型中的新定义 例2.（2011毕节地区，18，3分）对于两个不相等的实数a 、b ， 定义一种新的运算如下， *0 a b a b a b = +（＞）﹣，如：3*2== 那么6*（5*4）= ． 【分析】：本题需先根据已知条件求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果． 【解】：∵ *0a b a b a b = +（＞）﹣， ∴=3， ∴6*（5*4）=6*3， 小康老师中考数学专题复习--新定义型问题 一、中考专题诠释 所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力。近几年日照命题情况来看，该类题型为必考型，一般一道选择或填空再加一道答题，占12到18分。 二、解题策略和解法精讲 “新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移． 三、中考典例剖析 考点一：规律题型中的新定义 例1 （2013?湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题： sin30°=1 2 ，cos30°= 3 2 ，则sin230°+cos230°= ；① sin45°= 2 2 ，cos45°= 2 2 ，则sin245°+cos245°= ；② sin60°= 3 2 ，cos60°= 1 2 ，则sin260°+cos260°=．③ … 观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=．④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想； （2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=3 5 ，求cosA． 1．（2013?绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题： （1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明： 2 3 AO AD =；（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足 2 3 AO AD =，试判断O 是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC 的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究BCHG AGH S S 四边形的最大值． 考点二：运算题型中的新定义 例2 （2013?河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a-b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-6+1==-5。（1）求（-2）⊕3的值； （2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来． 压轴题——新定义 1.在平面直角坐标系xOy中，对于两点A，B，给出如下定义：以线段AB为边的正方形称为点A，B的“确 定正方形”． 如右图为点A，B 的“确定正方形”的示意图．（1）如果点M的坐标为（0，1），点N的坐标为（3，1） 的“确定正方形”的面积为_____________； （2）已知点O的坐标为（0，0），点C为直线y x b =+ C的“确定正方形”的面积最小，且最小面积为2时，求 （3）已知点E在以边长为2 标轴平行，对角线交点为P（m，0），点F在直线y x =- 所有点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2 范围． 2.在平面直角坐标系中，过一点分别作x轴，y轴的垂线，如果由这点、原点及两个垂足为顶点的矩形的周 长与面积相等，那么称这个点是平面直角坐标系中的“巧点”．例如，图1中过点P（4，4）分別作x 轴，y轴的垂线，垂足为A，B，矩形OAPB的周长为16，面积也为16，周长与面积相等，所以点P是巧点．请根据以上材料回答下列问题： 图1 （1）已知点C（1，3），D（-4，-4），E（5， 10 3 -），其中是平面直角坐标系中的巧点的是________； （2）已知巧点M（m，10）（m＞0）在双曲线=k y x （k为常数）上，求m，k的值；（3）已知点N为巧点，且在直线y＝x+3上，求所有满足条件的N点坐标． 3.在平面直角坐标系xOy 中，点P 和图形W 的“中点形”的定义如下：对于图形W 上的任意一点Q ，连结PQ ，取PQ 的中点，由所以这些中点所组成的图形，叫做点P 和图形W 的“中点形”． 已知C （-2，2），D （1，2），E （1，0），F （-2，0）． （1）若点O 和线段CD 的“中点形”为图形G ，则在点1(1,1)H -，2(0,1)H ，3(2,1)H 中，在图形G 上的 点是； （2）已知点A （2，0），请通过画图说明点A 和四边形CDEF 的“中点形”是否为四边形？若是， 写出四边形各顶点的坐标，若不是，说明理由； （3）点B 为直线y =2x 上一点，记点B 和四边形CDEF 的中点形为图形M ，若图形M 与四边形 CDEF 有公共点，直接写出点B 的横坐标b 的取值范围． 4.对于一次函数b kx y +=）（0≠k ，我们称函数[]=m y ???>--≤+） （） （m x b kx m x b kx 为它的m 分函数（其中m 为 常数）． 例如，23+=x y 的4分函数为：当4≤x 时，[]234+=x y ；当4>x 时，[]234--=x y ． （1）如果1+=x y 的－1分函数为[]1-y ， ①当4=x 时，[]=-1y —————— ；当[]31-=-y 时，=x ——————． ②求双曲线x y 2 = 与[]1-y 的图象的交点坐标； （2）如果2+-=x y 的0分函数为[] 0y ， 正比例函数）（0≠=k kx y 与2+-=x y 的0分函数[]0y 的图象无交点时，直接写出k 的取值范围． 新定义型专题 第一部分 讲解部分 （一）专题诠释 所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力 （二）解题策略和解法精讲 “新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移． （三）考点精讲 考点一：规律题型中的新定义 例1.（2009山东枣庄，18，4分）定义：a 是不为1的有理数，我们把 1 1a -称为a 的差倒数．如：2的差倒数是 1 112 =--，－1的差倒数是 111(1)2=--．已知a 1＝－13，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2009＝ ． 【分析】：理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可． 【解】：解：根据差倒数定义可得：21113 114 13 a a = ==-+， 3211 43 114a a = ==-- 43111 1143 a a = ==---． 显然每三个循环一次，又2009÷3＝669余2，故a 2009和a 2的值相等． 【评注】：此类题型要严格根据定义做，这也是近几年出现的新类型题之一，同时注意分析循环的规律． 考点二：运算题型中的新定义 例2.（2011毕节地区，18，3分）对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下， *0a b a b a b a b += +（＞） ﹣，如：323*2532+==﹣， 那么6*（5*4）= ． 【分析】：本题需先根据已知条件求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果． 【解】：∵*0a b a b a b a b += +（＞） ﹣， 一、选择题 1、(2018北京昌平区初一第一学期期末) 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b = ab 2 + a .如：1☆3=1×32 +1=10. 则（-2）☆3的值为 A ．10 B ．-15 C. -16 D ．-20 答案：D 二、填空题 3、（2018北京西城区七年级第一学期期末附加题）1．用“△”定义新运算：对于任意有理数a ，b ，当 a ≤ b 时，都有2a b a b ?=；当a ＞b 时，都有2a b ab ?=．那么， 2△6 = ， 2 ()3 -△(3)-= ． 答案：24，-6 4．（2018北京海淀区第二学期练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦． 阿基米德折弦定理：如图1， AB 和BC 组成圆的折弦，AB BC >，M 是弧ABC 的中点， MF AB ⊥于F ，则AF FB BC =+． 如图2，△ABC 中，60ABC ∠=?，8AB =，6BC =，D 是AB 上一点，1BD =，作D E A B ⊥交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则EAC ∠=________°． 答案60 5、(2018北京交大附中初一第一学期期末)如图,在平面内，两条直线l 1，l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p 、q 分别是点M 到直线l 1，l 2的距离，则称(p ，q )为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有______个． 三、解答题 图2 图1 E A 6、（2018北京平谷区初一第一学期期末）阅读材料：规定一种新的运算：a c =b ad bc d -．例 如： 1214-23=-2.34 ××= （1）按照这个规定，请你计算 562 4 的值． （2）按照这个规定，当 52 12 2 4 2=-+-x x 时求x 的值． 答案（1）5 62 4 =20-12=8 (2) （2）由 5 2 122 4 2=-+-x x 得 522422 1 =++-)()(x x ...............................................................4 解得，x = 1 (5) 7、（2018北京海淀区七年级第一学期期末）对于任意四个有理数a ，b ，c ，d ，可以组成两个有理数对（a ，b ）与（c ，d ）.我们规定： （a ，b ）★（c ，d ）=bc －ad . 例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2． 根据上述规定解决下列问题： （1）有理数对（2，－3）★（3，－2）= ; （2）若有理数对（－3，2x －1）★（1，x +1）=7，则x = ; （3）当满足等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数时，求整数k 的值． 答案. 解：（1）﹣5……………………..２分 （2）1 ……………………..４分 （3）∵等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数 ∴（2x ﹣1）k ﹣（﹣3）（x ﹢k ）=5﹢2k ∴（2k ﹢3）x =5 2020中考数学冲刺专题12新定义 【考点1】明确条件、原理、方法得出结论 【例1】（2019?房山区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和C e ，给出如下定义：若C e 上存在点A ， 使得30APC ∠=?，则称P 为C e 的半角关联点． 当O e 的半径为1时， （1）在点1 (2 D ，1)2-，(2,0) E ， F 中，O e 的半角关联点是 ； （2）直线:2l y =-交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，若直线l 上的点(,)P m n 是O e 的半角关联点，求m 的取值范围． 【变式1-1】（2018?平谷区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和M e ，给出如下定义：若M e 上存 在两个点A ，B ，使2AB PM =，则称点P 为M e 的“美好点”． （1）当M e 半径为2，点M 和点O 重合时，1点1(2,0)P -，2(1,1)P ，3(2,2)P 中，O e 的“美好点”是 ；2点P 为直线y x b =+上一动点，点P 为O e 的“美好点”，求b 的取值范围； （2）点M 为直线y x =上一动点，以2为半径作M e ，点P 为直线4y =上一动点，点P 为M e 的“美好点”，求点M 的横坐标m 的取值范围． 【考点2】运用类比、归纳、分类讨论等解决问题 【例2】（2018?东城区二模）研究发现，抛物线214 y x =上的点到点(0,1)F 的距离与到直线:1l y =-的距离 相等．如图1所示，若点P 是抛物线2 14 y x = 上任意一点，PH l ⊥于点H ，则PF PH =． 基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线214y x = 的关联距离；当24d 剟 时，称点M 为抛物线21 4 y x =的关联点． （1）在点1(2,0)M ，2(1,2)M ，3(4,5)M ，4(0,4)M -中，抛物线2 14 y x =的关联点是 ； （2）如图2，在矩形ABCD 中，点(,1)A t ，点(1,3)C t + ①若4t =，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线2 14 y x =的关联距离d 的取值范围； ②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线2 14 y x = 的关联点，则t 的取值范围是 ． 中考数学压轴题辅导（十大类型） 目录 动点型问题 (3) 几何图形的变换（平秱、旋转、翻折） (6) 相似不三角函数问题9 三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等） (13) 不四边形有关的二次函数问题 (16) 刜中数学中的最值问题 (19) 定值的问题 (22) 存在性问题（如：平行、垂直，动点，面积等） (25) 不圆有关的二次函数综合题... .. (29) 其它（如新定义型题、面积问题等） (33) 参考答案 (36) 中考数学压轴题辅导（十大类型） 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方 法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再迚行图形的研究，求点的坐标戒研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。 几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件迚行计算，然后有动点（戒动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系迚行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，戒探索两个三角形满足什么条件相似等，戒探究线段乊间的数量、位置关系等，戒探索面积乊间满足一定关系时求 x 的值等，戒直线（圆） 不圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量乊间的 等量关系（即列出含有 x、y 的方程），变形写成 y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在刜中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量 的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千 变万化，但少丌了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出 x 的值。 解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点不数即坐标乊间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数不方程思想。以直线戒抛物线知识为载体，列（解）方程戒方程组求其解 析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件戒结论的多变性迚行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识戒方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巡： 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题戒几个“难点”一个时间上 的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空 万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。 二是解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，丌是问题；如果第一小问丌会解，切忌丌可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要巟整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是丌要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。 三是解数学压轴题一般可以分为三个步骤。认真审题，理解题意、探究解题思路、正确 解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重 新定义问题 【专题点拨】新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题，其解题步骤一般都可分为以下几步：1. 阅读定义或概念，并理解；2. 总结信息，建立数模；3. 解决数模，回顾检查．“新概念”试题，其设计新颖，构思独特，思维容量大，既能考查学生的阅读、分析、推理、概括等能力，又能考查学生知识迁移的能力和数学素养，同时还兼具了区分选拔的功能. 【解题策略】具体分析新颖问题→弄清问题题意→向已知知识点转化→利用相关联知识查验→转化问题思路解决 【典例解析】 类型一：规律题型中的新定义 例题1：（2015?永州，第10 题3 分）定义[x] 为不超过x 的最大整数，如[3.6]=3 ，[0.6]=0 ，[ ﹣3.6]= ﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（） A．[x]=x （x 为整数）B ．0≤x﹣[x] <1 C．[x+y] ≤[x]+[y] D．[n+x]=n+[x] （n为整数） 【解析】：根据“定义[x] 为不超过x 的最大整数”进行计算 【解答】：解：A、∵ [x] 为不超过x 的最大整数， ∴当x 是整数时，[x]=x ，成立； B、∵ [x] 为不超过x 的最大整数，∴ 0≤x﹣[x] < 1，成立； C、例如，[ ﹣5.4 ﹣3.2]=[ ﹣8.6]= ﹣9，[ ﹣5.4]+[ ﹣3.2]= ﹣6+（﹣4）=﹣10，∵﹣9> ﹣10， ∴[ ﹣5.4 ﹣3.2] >[ ﹣5.4]+[ ﹣3.2] ， ∴ [x+y] ≤[x]+[y] 不成立， D、[n+x]=n+[x] （n 为整数），成立；故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义．新定义解题是近几年中考常考的题型． 中考阅读理解类新定义类题型专项 姓名_______________ [代数类] 1．（本题10分）设A 是含有根式的代数式，若存在另一个不恒等于零的代数式B ，使乘积AB 不含根式，则称B 为A 的共扼根式。 （1 ）设A ，写出它的一个共轭根式：B =； （2）对于（1）中的A 和B ，计算：2211 A B A B +++ 2. 将关于x 的一元二次方程02=++q px x 变形为q px x --=2，就可将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知 012=--x x ，可用“降次法”求得134--x x 的值是 3. 下表是六年级学生小林的学期成绩单，由于不小心蘸上了墨水，他的数学平时成绩看不 到，小林去问了数学课代表，课代表说他也不知道小林的平时成绩，但他说：“我知道老师核算学期总成绩的方法，就是期中成绩与平时成绩各占30%，而期末成绩占40%.”小林核对了语文成绩：77%3070%4080%3080=?+?+?，完全正确，他再核对了英语成绩，同样如课代表所说，那么按上述方法核算的话，小林的数学平时成绩是 分. [几何类] 4．我们把四边形两条对角线中点的连线段称为“奇异中位线”。现有两个全等三角形，边长分别为3cm 、4cm 、5cm 。将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的“奇异中位线”的长不为0，那么“奇异中位线”的长是cm 。 5. 当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时，我们称此两圆的位置 关系为“内相交”.如果⊙1O 、⊙2O 半径分别3和1，且两圆“内相交”，那么两圆的圆心距d 的取值范围是. 6．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在 Rt △ABC 中，∠C =90°，若Rt △ABC 是“好玩三角形”，则tanA = ． 7．如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，我们把这样的三角形称为“倍边三角形”， 如果一个直角三角形是倍边三角形，那么这个直角三角形的较小的锐角的正切值为． 8．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”， 这条中线称为“有趣中线”.已知Rt △ABC 中，∠C =90°，较短的一条直角边边长为1，如果Rt △ABC 是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于. 9．我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比，如果某一等腰梯形腰长为5，底差等于6，面积为24，则该等腰梯形的纵横比等于； 10.三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心．边长为2的等边三角形的垂心到这个三角形各顶点之间的距离之和为 ___________． 11．将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n 倍得△AB′ C′，即如图①， ∠BAB′＝θ，AB B C AC n AB BC AC '''' ===，我们将这种变换记为[θ，n ] ．如图②，在△DEF 中，∠DFE =90°，将△DEF 绕点D 旋转，作变换[60°,n ]得△DE ′F ′，如果点E 、F 、F ′恰 好在同一直线上，那么n =． 12．我们假设把两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．如果Rt △ABC A B C B′ C ′ D E ′ F ′ F 图① 图② 新定义与阅读理解题 1．（2019自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S=1+2+22+…+22017+22018①， 则2S=2+22+…+22018+22019②， ②–①得2S–S=S=22019–1， ∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019–1. 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1+2+22+…+29=__________； （2）3+32+…+310=__________； （3）求1+a+a2+…+a n的和（a＞0，n是正整数），请写出计算过程． 解：（1）设S=1+2+22+…+29①， 则2S=2+22+…+210②， ②–①得2S–S=S=210–1， ∴S=1+2+22+…+29=210–1； 故答案为：210–1； （2）设S=3+3+32+33+34+…+310①， 则3S=32+33+34+35+…+311②， ②–①得2S=311–1， 所以S= 11 31 2 -， 即3+32+33+34+ (310) 11 31 2 -； 故答案为： 11 31 2 -； （3）设S =1+a +a 2+a 3+a 4+…+a n ①， 则aS =a +a 2+a 3+a 4+…+a n +a n +1②， ②–①得：（a –1）S =a n +1–1， a =1时，不能直接除以a –1，此时原式等于n +1； a ≠1时，a –1才能做分母，所以S =11 1n a a +--， 即1+a +a 2 +a 3 +a 4 +…+a n =11 1 n a a +--. 2．（2019随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m ，n ，我们可将这个两位数记为mn ，易知mn =10m +n ；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc =100a +10b +c ． 【基础训练】 （1）解方程填空： ①若2x +3x =45，则x =__________； ②若7y –8y =26，则y =__________； ③若93t +58t =131t ，则t =__________； 【能力提升】 （2）交换任意一个两位数mn 的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm ，则mn +nm 一定能被__________整除， mn –nm 一定能被__________整除，mn ?nm –mn 一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的 数填空） 【探索发现】 （3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例 【凤凰学习网初中数学第一轮中考复习资料】 新定义型专题 山东省文登市七里汤中学 邓增玉 第一部分 讲解部分 （一）专题诠释 所谓 “新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力 （二）解题策略和解法精讲 “新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移． 2的差倒数是 1112=--，－1的差倒数是111(1)2 =--．已知a 1＝－13，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2009＝ ． 【分析】：理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依 据规律解答即可． 【解】：解：根据差倒数定义可得：21113 114 13 a a = ==-+， 3211 43 114 a a = ==-- 43111 1143 a a = ==---． 显然每三个循环一次，又2009÷3＝669余2，故a 2009和a 2的值相等． 【评注】：此类题型要严格根据定义做，这也是近几年出现的新类型题之一，同时注意分 析循环的规律． 考点二：运算题型中的新定义 例2.（2011毕节地区，18，3分）对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下， *0a b a b = +＞），如：3*232 ==﹣中考数学新定义题型专题复习
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