人教版九年级数学上册《22.1.4 二次函数的图象和性质》 同步练习

22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

一．选择题

1．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）

A．

B．

C．

D．

2．一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A．B．

C．D．

3．点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（）

A．B．4C．﹣D．﹣

4．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）

A．点B坐标为（5，4）B．AB＝AD

C．a＝﹣D．OC?OD＝16

5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：

①abc＞0；

②2a+b＝0；

③3b﹣2c＜0；

④am2+bm≥a+b（m为实数）．

其中正确结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

6．把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y ＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（）

A．﹣4B．0C．2D．6

7．如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，

甲：若b＝5，则点P的个数为0；

乙：若b＝4，则点P的个数为1；

丙：若b＝3，则点P的个数为1．

下列判断正确的是（）

A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对8．已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2 9．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（）

A．y＝﹣x2﹣2B．y＝﹣x2+2C．y＝x2﹣2D．y＝x2+2

10．将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（）

A．y＝2（x﹣6）2B．y＝2（x﹣6）2+4

C．y＝2x2D．y＝2x2+4

二．填空题

11．如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是．

12．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝．

13．我们用符号[x]表示不大于x的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么：（1）当﹣1＜[x]≤2时，x的取值范围是；

（2）当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象上方或图象上，则实数a的范围是．

14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为．

15．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是．三．解答题

16．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．

（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：

x…﹣3﹣﹣2﹣10123…

y…3m﹣10﹣103…

其中，m＝．

（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．

（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．

（4）进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有个实数根；

②方程x2﹣2|x|＝2有个实数根；

③关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是．

17．在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．

（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；

（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．18．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式．

（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（，0）．（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．

19．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．

（1）求a，b的值．

（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．

20．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．

（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；

（2）求a，b的值；

（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．

参考答案

一．选择题

1．C．

2．B．

3．C．

4．D．

5．D．

6．D．

7．C．

8．B．

9．A．

10．C．

二．填空题

11．2．

12．10．

13．﹣≤a≤0．

14．（﹣1010，10102）．

15．y＝x2+3．

三．解答题

16．解：（1）把x＝﹣2代入y＝x2﹣2|x|得y＝0，

即m＝0，

故答案为：0；

（2）如图所示；

（3）由函数图象知：①函数y＝x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；

（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有3个实数根；

②如图，∵y＝x2﹣2|x|的图象与直线y＝2有两个交点，

∴x2﹣2|x|＝2有2个实数根；

③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根，

∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，

故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0．

17．解：（1）由题意y1＝y2＝c，

∴x1＝0，

∵对称轴x＝1，

∴M，N关于x＝1对称，

∴x2＝2，

∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c．

（2）①当x1≥t时，恒成立．

②当x1≤t时，恒不成立．

③当x1＜t．x2＞t时，∵抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，

当x1+x2＝3，且y1＝y2时，对称轴x＝，

∴满足条件的值为：t≤．

18．解：（1）由题意，得到﹣＝3，解得b＝﹣6，

∵函数y1的图象经过（a，﹣6），

∴a2﹣6a+a＝﹣6，

解得a＝2或a＝3，

∴函数y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3．

（2）∵函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，

∴r2+br+a＝0，

∴1++＝0，

即a（）2+b?+1＝0，

∴是方程ax2+bx+1＝0的根，

即函数y2的图象经过点（，0）．

（3）由题意a＞0，∴m＝，n＝，

∵m+n＝0，

∴+＝0，

∴（4a﹣b2）（a+1）＝0，

∵a+1＞0，

∴4a﹣b2＝0，

∴m＝n＝0．

19．解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，解得：；

（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，

把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，

∴y2＝12﹣y1＝6，

∵y1＝y2，且对称轴为x＝2，

∴m＝4﹣5＝﹣1．

20．解：（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下：

∵直线y＝x+m经过点A（1，2），

∴2＝1+m，解得m＝1，

∴直线为y＝x+1，

把x＝2代入y＝x+1得y＝3，

∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；

（2）∵直线y＝x+1经过点B（2，3），直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，

1），点（0，1），A（1，2），B（2，3）在直线上，点（0，1），A（1，2）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点且B、C两点的横坐标相同，

∴抛物线只能经过A、C两点，

把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得，

解得a＝﹣1，b＝2；

（3）由（2）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1，

设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，+q），

∵顶点仍在直线y＝x+1上，

∴+q＝+1，

∴q＝﹣++1，

∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，

∴q＝﹣++1＝﹣（p﹣1）2+，

∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．