高中数学复习提升-高考大题规范练2
高考大题规范练(二) 三角函数、解三角形
1．(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π
2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)f (x )的解析式；
(2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得
到y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像的一个对称中心为? ??
??5π12，0，求θ的最小值。
解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π
6。 数据补全如下表：
且函数表达式为f (x )＝5sin ? ?
???2x －π6。
(2)由(1)知f (x )＝5sin ? ?
?
??2x －π6，
得g (x )＝5sin ? ?
?
??2x ＋2θ－π6。
因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z 。 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π
12－θ，k ∈Z 。
由于函数y ＝g (x )的图像关于点?
??
??5π12，0成中心对称，令k π2＋π
12－θ
＝5π12，解得θ＝k π2－π
3，k ∈Z 。
由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π
6。
2．(2015·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，
b ，
c 。已知tan ? ??
??
π4＋A ＝2。 (1)求sin 2A
sin 2A ＋cos 2A
的值；
(2)若B ＝π
4，a ＝3，求△ABC 的面积。
解 (1)由tan ? ??
??π4＋A ＝2，得tan A ＝1
3，
所以sin 2A sin 2A ＋cos 2
A ＝2tan A 2tan A ＋1
＝2
5。 (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝1010，cos A ＝310
10。 又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝b
sin B ，得b ＝35。 由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ?
??
??A ＋π4得sin C ＝25
5。
设△ABC 的面积为S ，则S ＝1
2ab sin C ＝9。
3．(2016·潍坊3月模拟)已知函数f (x )＝sin2ωx －π
6－4sin 2ωx ＋2(ω>0)，其图像与x 轴相邻两个交点的距离为π2。
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若将f (x )的图像向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )的
图像恰好经过点? ????－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在????
??
－π6，7π12上
的单调递增区间。
解 (1)函数f (x )＝sin ? ????2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2＝32sin 2ωx －12cos
2ωx －4×1－cos 2ωx 2＋2＝32sin 2ωx ＋3
2cos 2ωx ＝3sin ? ???
?2ωx ＋π3(ω>0)，
根据函数f (x )的图像与x 轴相邻两个交点的距离为π
2，可得函数f (x )的最小正周期为2×π2＝2π
2ω，得ω＝1。
故函数f (x )＝3sin ?
?
?
??2x ＋π3。
(2)将f (x )的图像向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )＝3sin ????
??2(x ＋m )＋π3＝3sin2x ＋2m ＋π
3的图像，根据g (x )的图像恰好经过点? ??
??－π3，0， 可得3sin ? ????－2π
3＋2m ＋π3＝0， 即sin ? ??
??2m －π3＝0，
所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π
6(k ∈Z )，
因为m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π
6。 此时，g (x )＝3sin ? ?
?
??2x ＋2π3。
令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π
12，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为k π－7π12，k π－π
12，k ∈Z 。
结合x ∈??????－π6，7π12，可得g (x )在????
??－π6，7π12上的单调递增区间为??????－π
6
，－π12和??????5π12，7π12。
4．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝
? ????
22
，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈? ????0，π2。
(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π
3，求x 的值。
解 (1)∵m ＝? ????
22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，且m ⊥n ，
∴m ·n ＝? ??
??
22，－22·(sin x ，cos x ) ＝22sin x －2
2cos x ＝sin ? ????x －π4＝0。
又x ∈? ????0，π2，∴x －π4∈? ????
－π4，π4。 ∴x －π4＝0，即x ＝π4。∴tan x ＝tan π
4＝1。
(2)由(1)和已知得cos π3＝m ·n
|m |·|n |
＝
sin ? ?
?
??x －π4? ????222＋?
????
－222·sin 2x ＋cos 2x
＝sin ? ?
?
??x －π4＝12，
又x －π4∈?
??
??－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12。
5．(2015·杭州一检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 。已知cos 2A ＋3
2＝2cos A 。
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围。 解 (1)根据二倍角公式：cos 2x ＝2cos 2x －1，得 2cos 2A ＋1
2＝2cos A ，即4cos 2A －4cos A ＋1＝0， 所以(2cos A －1)2＝0，所以cos A ＝1