必修二立体几何典型例题
必修二立体几何典型例题
【知识要点】
1.空间直线和平面的位置关系：
(１)空间两条直线:
①有公共点：相交，记作:a∩ｂ＝A,其中特殊位置关系:两直线垂直相交．
②无公共点:平行或异面．
平行,记作：a∥b.
异面中特殊位置关系：异面垂直.
(2)空间直线与平面：
①有公共点：直线在平面内或直线与平面相交．
直线在平面内，记作：a?α ．
直线与平面相交,记作:ａ∩α ＝A,其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交．
②无公共点：直线与平面平行,记作:a∥α .
（3)空间两个平面：
①有公共点:相交,记作：α ∩β =l，其中特殊位置关系:两平面垂直相交．
②无公共点：平行，记作：α ∥β ．
2.空间作为推理依据的公理和定理：
(1）四个公理与等角定理：
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理３：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行．
定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.
（2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理:
①判定定理：
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
②性质定理：
如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行.
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行．
如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.
(3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理,得到下面的位置关系图：
【例题分析】
例2 在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,M ,N 分别是AB ,P Ｃ的中点，求证：MN ∥平面P AD ．
【分析】要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化;题目中出现了中点的条件,因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明.
证明:方法一,取ＰD 中点E ,连接AE ，ＮE ．
∵底面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，
∴ＭA ∥ＣD ，.2
1
CD MA = ∵Ｅ是P Ｄ的中点， ∴NE ∥CD ，.2
1
CD NE =
∴ＭA ∥N Ｅ，且M Ａ＝NE ， ∴AEN Ｍ是平行四边形, ∴MN ∥ＡE .
又AE ?平面P AD ,MN ?平面P ＡD ， ∴MN ∥平面P AD ．
方法二取CD 中点F ,连接ＭF ，ＮF ． ∵MF ∥AD ,NF ∥PD ,
∴平面MN Ｆ∥平面ＰAD , ∴MN ∥平面P AD .
【评述】关于直线和平面平行的问题,可归纳如下方法： （１)证明线线平行:
ａ∥c ，b ∥ｃ，
a ∥α，a ?β α∥β a ⊥α,
b ⊥α
α∩β＝ｂ
γ ∩α=a ,γ ∩β＝ｂ
?ａ∥b
?ａ∥b
?ａ∥ｂ
?a ∥b
(2)a ∩α=?
a ∥ｂ
α∥β
ｂ?α,a ?α ａ?β
?a ∥α
?a ∥α
?a ∥α
（3)证明面面平行：
α∩β=?
ａ∥β，b ∥β a ⊥α,ａ⊥β
α∥γ ，β∥γ
a ,
b ?α,ａ∩b =A
?α∥β ?α∥β
?α∥β ?α∥β
例３在直三棱柱ABC－A1B1Ｃ1中，AA1=AC,AＢ⊥AC，求证：A1C⊥BC1.
【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化,因此设法证明A１C垂直于经过BC1的平面即可.
证明:连接ＡC1．
∵ABC-Ａ1B1Ｃ1是直三棱柱,
∴AA1⊥平面ＡBC，
∴AB⊥AA1.
又AB⊥AＣ,
∴AB⊥平面A１ACC1,
∴A1C⊥A B．①
又AA１＝AＣ，
∴侧面Ａ1ACC1是正方形,
∴A1C⊥AC1.②
由①，②得Ａ1Ｃ⊥平面ＡＢC1，
∴Ａ１Ｃ⊥BC１．
【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的．如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“AB⊥ＡC”都要将其向“线面垂直”进行转化．例4在三棱锥P-ABＣ中，平面PＡB⊥平面AＢC,AB⊥BC,AP⊥ＰB，求证：平面ＰAC⊥平面PBＣ.
【分析】要证明“面面垂直”,可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又可以通过“线线垂直”进行转化．
证明:
∵平面P AB⊥平面ABC,平面P AＢ∩平面ABC=ＡＢ,且AB⊥BC,
∴BC⊥平面P AB，
∴ＡP⊥BＣ．
又AP⊥PＢ,
∴AP⊥平面PBC,
又A Ｐ?平面P A Ｃ,
∴平面P AC ⊥平面P ＢC .
【评述】关于直线和平面垂直的问题,可归纳如下方法: a ⊥c ，b ∥c ,
a ⊥α
b ?α
?a ⊥b
?a ⊥ｂ
a ⊥m ,a ⊥ｎ ａ∥
b ，b ⊥α
α∥β,a ⊥β
α⊥β，α∩β＝l m ，n ?α,m ∩n =A
a ?β，a ⊥l
?a ⊥α
?a ⊥α ?ａ⊥α ?ａ⊥α
ａ⊥β，a ?α
?α⊥β
例5 如图,在斜三棱柱AB Ｃ－A 1B 1C 1中,侧面Ａ1AB Ｂ1是菱形,且垂直于底面A ＢＣ，∠A 1ＡＢ=６0°，E ，F 分别是ＡＢ1，ＢC 的中点.
(Ⅰ)求证：直线ＥF ∥平面A １A ＣC 1；
(Ⅱ）在线段ＡＢ上确定一点G ,使平面EF Ｇ⊥平面ABC ，并给出证明. 证明：(Ⅰ)连接Ａ1Ｃ，Ａ1E .
∵侧面A 1AB Ｂ１是菱形， E 是A Ｂ1的中点， ∴E 也是A 1Ｂ的中点，
又F 是BC 的中点,∴EF ∥A １C ．
∵A １C ?平面A 1ＡCC 1,ＥF ?平面A 1ＡCC 1, ∴直线EF ∥平面A 1ＡCC 1. （2)解：当
3
1
=GA BG 时,平面EFG ⊥平面AB Ｃ,证明如下: 连接E Ｇ,ＦG ．
∵侧面A 1A ＢB 1是菱形，且∠A １A Ｂ＝6０°，∴△A １ＡB 是等边三角形． ∵E 是Ａ1B 的中点，
3
1
=GA BG ,∴ＥG ⊥AB . ∵平面A 1ABB 1⊥平面ABC ,且平面A 1AB Ｂ１∩平面ＡＢC =AB , ∴EG ⊥平面ＡBC ．
又E Ｇ?平面ＥFG ,∴平面EFG ⊥平面ABC .
例6 如图，正三棱柱ＡＢＣ－A 1B 1C 1中,Ｅ是AC 的中点．
(Ⅰ）求证：平面BEC 1⊥平面ACC 1A １;(Ⅱ)求证:A Ｂ1∥平面BE Ｃ１． 【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质,适当添加辅助线帮助思考.
证明:(Ⅰ)∵ＡBC -A 1B １Ｃ1是正三棱柱,∴AA 1⊥平面AB Ｃ, ∴BE ⊥AA 1．
∵△ＡBC 是正三角形，E 是A Ｃ的中点,∴BE ⊥AC ,∴BE ⊥平面AC Ｃ1A １，又ＢE ?平面BEC 1，
∴平面B ＥＣ1⊥平面AC Ｃ１A 1．
（Ⅱ）证明:连接B 1C ，设BC 1∩B 1C =D ．
∵B ＣC 1Ｂ１是矩形，D 是B 1Ｃ的中点, ∴DE ∥AB 1. 又DE ?平面ＢEC 1,A Ｂ1?平面ＢEC 1, ∴A Ｂ1∥平面BEC 1．
例７ 在四棱锥Ｐ－ABCD 中，平面P A Ｄ⊥平面A ＢCD ,ＡB ∥ＤC ,△P AD 是等边三角形,已知BD ＝2A Ｄ＝８，542==DC AB .
(Ⅰ）设Ｍ是P Ｃ上的一点，证明：平面ＭBD ⊥平面P A Ｄ； (Ⅱ)求四棱锥P -ＡBC Ｄ的体积.
【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析,如从M 是PC 上的动点分析知，ＭB ,MD 随点M 的变动而运动，因此可考虑平面M ＢD 内“不动”的直线BD 是否垂直平面P ＡD .
证明:(Ⅰ）在△A ＢD 中,
由于AD ＝4，ＢD =8,54=AB ,
所以AD 2+B Ｄ2＝AB 2. 故AD ⊥BD .
又平面P AD ⊥平面AB ＣＤ,平面P ＡD ∩平面A ＢC Ｄ＝AD ，B Ｄ?平面AB ＣＤ， 所以ＢD ⊥平面P AD ，
又B Ｄ?平面ＭBD ，故平面MB Ｄ⊥平面ＰA Ｄ．
(Ⅱ)解：过P 作P Ｏ⊥ＡＤ交ＡD 于Ｏ，
由于平面ＰAD ⊥平面ＡBCD ,所以PO ⊥平面ABCD ． 因此ＰO 为四棱锥P -ABCD 的高,
又△ＰＡD 是边长为4的等边三角形.因此.3242
3
=?=
PO 在底面四边形A ＢC Ｄ中，ＡB ∥DC ，AB ＝2D Ｃ，
所以四边形ABCD 是梯形，在Rt △AD Ｂ中,斜边A Ｂ边上的高为55
85
484=?，即为梯形A ＢC Ｄ的高，
所以四边形ABCD 的面积为.2455
82
5452=?+=
S 故
.31632243
1
=??=-ABCD P V
练习
一、选择题:
1.已知m ，n 是两条不同直线,α ,β ,γ 是三个不同平面,下列命题中正确的是( ) （A)若m ∥α ，ｎ∥α ,则m ∥ｎ?(Ｂ）若m ⊥α ，n ⊥α ，则ｍ∥n (C ）若α ⊥γ ,β ⊥γ ,则α ∥β ?(D)若m ∥α ,ｍ∥β ，则α ∥β
2.已知直线m ，n 和平面α ,β ,且m ⊥n ，ｍ⊥α ,α ⊥β ,则( ) (A)n ⊥β ?(B)n ∥β ,或n ?β (Ｃ)n ⊥α ?(D)n ∥α ，或n ?α
３.设a ，b 是两条直线，α 、β 是两个平面,则a ⊥ｂ的一个充分条件是（ ) (A ）a ⊥α ，ｂ∥β ,α ⊥β ?(Ｂ)a ⊥α ，b ⊥β ，α ∥β （C)a ?α ，ｂ⊥β ，α ∥β ?(Ｄ)a ?α ，ｂ∥β ,α ⊥β
4.设直线ｍ与平面α 相交但不垂直,则下列说法中正确的是( ） (A ）在平面α 内有且只有一条直线与直线m 垂直 (B)过直线ｍ有且只有一个平面与平面α 垂直 (C)与直线ｍ垂直的直线不可能与平面α 平行 (D ）与直线m 平行的平面不可能与平面α 垂直 二、填空题:
5.在三棱锥P －ABC 中，6=
=PB PA ，平面P AB ⊥平面ABC ，P A ⊥P Ｂ，A Ｂ⊥BC ,∠BAC
＝3０°,则PC =_＿__＿_．
6．在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1Ｄ1中,当底面AB ＣＤ满足条件＿_____时，有A 1C ⊥B 1D 1．(只要求写出一种条件即可)
７.设α ，β 是两个不同的平面，ｍ,n 是平面α ,β 之外的两条不同直线，给出四个论断: ①ｍ⊥ｎ ②α ⊥β ③ｎ⊥β ④ｍ⊥α
以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出正确的一个命题______.
８.已知平面α ⊥平面β ，α ∩β =l ,点Ａ∈α ,A ?ｌ,直线AB ∥l ,直线AC ⊥l ,直线m ∥α ,m ∥β ,给出下列四种位置：①A Ｂ∥m ；②AC ⊥m ；③ＡＢ∥β ；④ＡC ⊥β ， 上述四种位置关系中，不一定成立的结论的序号是＿_＿_＿_. 三、解答题：
９．如图,三棱锥P －ＡBC 的三个侧面均为边长是1的等边三角形,M ，Ｎ分别为P A ,BC 的中点.
（Ⅰ）求MN 的长;
（Ⅱ）求证：ＰＡ⊥BC .
10．如图,在四面体ABCD 中,C Ｂ＝CD ,A Ｄ⊥ＢD ,且E 、F 分别是ＡB 、ＢD 的中点.求证：
（Ⅰ)直线EF ∥平面ACD ； （Ⅱ)平面ＥFC ⊥平面BCD ．
11．如图,平面ＡB ＥＦ⊥平面A ＢC Ｄ,四边形ABEF 与AB ＣD 都是直角梯形,∠BAD ＝∠Ｆ
AB =９０°,BC ∥ＡD ，AF BE AF BE AD BC 2
1
,//,21==
,G ，
H 分别为F A ,FD 的中点.
（Ⅰ)证明：四边形BCHG 是平行四边形；
(Ⅱ)Ｃ,Ｄ，Ｆ，Ｅ四点是否共面？为什么? (Ⅲ)设ＡB =B Ｅ,证明:平面ＡＤE ⊥平面ＣDE ．
专题七 立体几何参考答案
练习
一、选择题:
1．B ２．D ３.Ｃ ４．B 二、填空题:
5．10 6．AC ⊥ＢD (或能得出此结论的其他条件)
7．②、③、④?①；或①、③、④?② 8.④ 三、解答题：
9．(Ⅰ）解：连接MB ,MC .
∵三棱锥P -ＡBC 的三个侧面均为边长是1的等边三角形,
∴2
3
=
=MC MB ，且底面△ABC 也是边长为1的等边三角形. ∵N 为BC 的中点，∴ＭN ⊥ＢＣ. 在Rt △MNB 中，?=
-=
2
222BN MB MN (Ⅱ)证明:∵M 是P A 的中点， ∴P A ⊥MB ,同理ＰA ⊥M Ｃ.
∵M Ｂ∩ＭC ＝M ，∴ＰA ⊥平面MB Ｃ, 又BC ?平面ＭB Ｃ,∴P A ⊥B Ｃ.
10．证明：（Ⅰ)∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点,
∴E Ｆ是△ABD 的中位线，∴EF ∥ＡD ．
又EF ?平面A ＣD ，AD ?平面ACD ，∴直线E Ｆ∥平面A ＣD ．
(Ⅱ)∵E Ｆ∥AD ，AD ⊥BD ,∴EF ⊥BD .
∵CB =C Ｄ,F 是BD 的中点,∴C Ｆ⊥B Ｄ. ∵CF ∩E Ｆ＝F ,∴ＢD ⊥平面ＣEF .
∵B Ｄ?平面B ＣD ，∴平面EF Ｃ⊥平面BCD ．
11.(Ⅰ）由题意知，ＦG =GA ，F Ｈ＝HD ，∴ＧH ∥AD ,,2
1
AD GH =
又ＢC ∥AD ，AD BC 2
1
=
,∴GH ∥ＢC ,G Ｈ＝BC ， ∴四边形ＢCHG 是平行四边形．
(Ⅱ)Ｃ,D ,F ，E 四点共面.理由如下: 由ＢＥ∥AF ，AF BF 2
1
=
，G 是F Ａ的中点， 得ＢE ∥FG ，且ＢE ＝FG .∴EF ∥BG .
由(Ⅰ)知ＢG ∥CH ，∴EF ∥CH ,故EC ，FH 共面,又点D 在直线F Ｈ上， 所以C ，Ｄ，F ,E 四点共面． (Ⅲ)连结EG ,
由AB ＝ＢE ,ＢE ∥AG ,ＢE ＝AG 及∠BAG ＝９0°，知A ＢE Ｇ是正方形, 故ＢG ⊥ＥＡ.
由题设知F Ａ,ＡD ,ＡＢ两两垂直，故ＡＤ⊥平面F AB Ｅ，∴B Ｇ⊥AD ． ∴ＢG ⊥平面EA Ｄ,∴BG ⊥ED . 又ED ∩ＥA =E ,∴BG ⊥平面A ＤＦ.
由（Ⅰ)知CH ∥BG ,∴C Ｈ⊥平面ADE ．
由(Ⅱ）知F ∈平面CD Ｅ,故C Ｈ?平面ＣDE ，得平面AD Ｅ⊥平面ＣD Ｅ.