重庆大学矩阵论大作业

“矩阵论”课程研究报告

科目：矩阵理论及其应用教师：曾理

姓名：学号：

专业：机械工程类别：学术型硕士上课时间：2016 年9 月至2016 年12 月

考生成绩：

阅卷评语：

重庆大学研究生院

桥式微位移放大机构静态输出位移及放大比分析

（重庆大学机械工程学院，重庆, 400044）

摘要：根据桥式微位移放大机构的结构全对称性，建立了桥式微位移放大机构四分之一数学模型。采用矩阵法建立了桥式放大机构的柔度矩阵，推导出了桥式放大机构的X、Y向输出位移及位移放大比公式，理论求解与ANSYS仿真结果进行对比误差均在10%以内。分析了桥式微位移放大机构关键参数对其静态输出位移及放大比的影响。为桥式微位移放大机构的理论分析、研究、设计奠定了基础。

关键词：桥式放大机构；矩阵法；柔度矩阵；位移放大比

Analysis of Static Output Displacement and Amplification Ratio of

Bridge-type Micro-displacement Amplifier

Shen Zhonglei

(College of Mechanical Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044, China)

Abstarct：Based on the full symmetry of bridge micro-displacement amplifying mechanism, a quarter of mathematical model of bridge micro-displacement amplifying mechanism is established. The flexibility matrix of bridge amplifying mechanism is established by using matrix method. The output displacement and displacement magnification ratio formula of bridge amplifying mechanism is deduced. The comparison error between theoretical solution and ANSYS simulation result is less than 10%. The influence of the key parameters of bridge micro-displacement amplifier on its static output displacement and amplification ratio is analyzed. Which lays the foundation for the theoretical analysis, research and design of bridge micro-displacement amplifying mechanism. Keywords：Bridge-type amplifying mechanism；Matrix method；Flexibility matrix；Amplification Ratio

0 前言

微/纳米级定位平台是用于微电子制造、光学精密工程、航空航天及生物医疗等领域的精密定位技术[1-2]。其工作原理是采用压电陶瓷驱动器驱动，并利用金属结构及其材料的自身弹性形变实现微位移的放大与传递，克服了传统刚性平台的机械间隙、机械摩擦等缺陷[3]。其中大行程（mm级）是精密定位平台的一个关键性指标。桥式放大机构常用于以压电陶瓷驱动器驱动的定位平台以进行位移放大，而其输出位移，即位移放大比又是定位平台的一个重要的技术指标之一，其在一定程度上决定了精密定位平台的位移行程和工作范围，因此有必要对其特性进行详细的仿真分析。本文采用矩阵法建立了直梁型柔性铰链的柔度矩阵，并推导出位移放大机构的输出位移及位移放大比公式，理论求解结果与ANSYS仿真结果进行对比以验证理论建模的正确性。最后，根据理论建模结果分析桥式微位移放大机构关键设计参数对其输出位移及放大比的影响。以便为今后对桥式微位移放大的设计、研究奠定基础。

1 方法简述

1.1 桥式放大机构原理

由于PZT的微位移输出量非常小，一般为几十um，为了实现定位系统的mm级的大行程，需将PZT的位移量进行放大。目前，对于微位移放大机构，国内外学者也进行了大量的研究。目前，应用最广泛的放大机构是杠杆放大机构及桥式放大机构。桥式放大机构由于结构紧凑且具有较大的放大比。被广泛的研究与并应用于高精度结构紧凑的柔性微传动机构中。桥式放大机构结构及其工作原理如图2.1所示。

图2.1 桥式放大原理

1.2 理论建模

桥式机构的放大原理如图2.11所示，当左右端面分别受作用力F和F

时，可实现Y向放大后的微位移输出，且其微位移输出与位移输入成比例关系。

图1.1 直梁型柔性铰链参数示意图 表1-1 直梁型柔性铰链参数表

桥式放大

几何参数 l 1 /mm l 2 /mm t 1 /mm t 2 /mm b /mm 数值

4

20

0.8

2.0

8

由弹性梁理论可知，柔性铰链的静力学特性都可以使用柔度矩阵来表示（其逆矩阵为刚度矩阵），图1.２所示的柔性铰链柔度矩阵可以表述[4-5]。

????????

???

??

??

?????????????

?????????

?--++=3113

1211311

3213

121

1

3

211

1

1331312

11

1

31311

1

120

600120600000000604006000400

0000Ebt l Ebt l t Eb l t Eb l bt Gk l t Eb l Gbt l t Eb l Ebt l Gbt l Ebt l Ebt

l C h (1.1) 式中：h C 为柔性铰链在局部坐标系中的柔度矩阵；E 为材料的弹性模量；G 为材料的切变模量；1l 为柔性铰链的长度；b 为柔性铰链的宽度；1t 为柔性铰链的厚度；2k 取决于1/t b 的比值．对于图１所示的桥式放大机构，仅需考虑其水平面

方向上的柔度，即:

???

???

?????????????

?+

=3

113

121312

11

1

3131111260640

0Ebt l Ebt l Ebt l Gbt l Ebt l Ebt l C h

(1.2) 由于微位移放大机构采用全对称结构，因而我 们可以选取其四分之一模型来分析，见图３

结合坐标变换理论，可以推导出微位移放大机构的四分之一模型的柔度矩阵为

?

??

???

????

?????????

?

--=3113

12

1311231213112126666Ebt l Ebt l l Ebt l t Ebt l l N F

Ebt l t E D C (1.3) 式中：

3112

22116Ebt l t t l D +=；3

121212-3Ebt l l t l E ）（+= 3

121212-3Ebt l l t l F ）（+=

；132221211113927162t Eb l l l l l Gbt l N ）（+++= 由公式F C X ?=，其中T y x X ],,[γ???=;],,[z y x M F F F =；2/2t F M x z =，可以推导出桥式放大机构沿X 向，Y 向的输出位移计算公式及位移放大比公式：

x F Ebt t t l x 3

12

22

11)

9(+=? (1.4) x F Ebt l l l t y 31

21212)

3(3+-=? (1.5)

22

212129)3(3t t l l t x y

R amp ++-=??=

(1.6) 2 实验数据和结果

2.1 理论位移与仿真结果对比结果

柔性机构的工作原理是依靠柔性板簧的弹性变形实现，因此对材料的性能要

求较高，选择材料时一般考虑其弹性模量、抗拉强度及屈服强度三个力学特性，柔性机构材料的选择，不仅要求要有较大的弹性模量，满足较强恢复能力要求，还应有较大的抗拉强度及屈服强度，防止柔性板簧被拉断及产生不可恢复的塑性变形。本设计中，采用抗拉强度与屈服强度较小的镁合金材料，具体参数如表3.1所示。

E (弹性模量)/

GPa

μ(泊松比) ρ(材料密度)/（kg/mm 3）

错误！未指定书签。(屈

服极限)/ MPa

45

0.35

1800

193

驱动力x F 是根据所选压电陶瓷标称参数进行选择的，此处选取N F x 500=用于验证采用矩阵建立的桥式放大机构位移和放大比数学模型，并与有限元软件ANSYS 仿真结果进行对比，有限元仿真结果如图3.1所示。

（a ）X 向输出位移 （b ）Y 向输出位移

图2.1 有限元仿真结果

项目 um x /?

um y /?

amp R

理论值 39.757 416.667 10.48 仿真值

41.922

441.82

10.54

2.2 关键参数对输出位移及放大比的影响

根据第一章节采用矩阵法推导出的X 向位移输出公式（1.4）可知，微位移放大机构X 向输出位移对于桥式结构而言只与1l ,1t ,2t ,b 有关，根据图2.2可看出，对桥式微位移放大机构X 向输出位移影响较大的是2t ，随着2t 增加，X 向的位移增加较快，这与实际情况相符，证明了理论建模的正确性。

图2.2 桥式放大机构关键参数对X 向输出位移影响

根据第一章节采用矩阵法推导出的Y 向位移输出公式（1.5）可知，微位移放大机构Y 向输出位移对于桥式结构而言与1l ,2l 1t ,2t ,b 有关，根据图2.3可看出，对桥式微位移放大机构Y 向输出位移影响较大的是b ，随着b 增加，Y 向的位移减少较快，这与实际情况相符，证明了理论建模的正确性。

图2.3 桥式放大机构关键参数对Y 向输出位移影响

根据第一章节采用矩阵法推导出的位移放大比公式（1.6）可知，微位移放大机构放大比对于桥式结构而言只与1l ,1t ,2t 有关，根据图2.4可看出，对桥式微位移放大机构放大比影响较大的是2t ，随着2t 增加，桥式微位移放大机构放大比降低较快，最后趋于稳定，这与实际情况相符，证明了理论建模的正确性。

图2.4 桥式放大机构关键参数对放大比影响

3 结果分析与说明

通过表3.2计算结果可知，理论计算值与有限元仿真值结果基本相近，两者在X方向上输出位移x?误差为.05%

6，放

6，在Y方向上输出位移y?误差为.04%

大比误差为.6%

0。X、Y方向的输出位移误差是由于在理论建模中，为了简化分析而忽略了柔性铰链的伸长量，并且假设除柔性铰链之外，桥式放大机构的其它部分为刚性。最后，根据理论建模结果分析桥式微位移放大机构关键设计参数对其输出位移及放大比的影响，通过分析，这与实际情况相符，验证了理论建模的正确性。

参考资料

[1] 叶果. 面向生物工程的精密定位机构及其动力学特性研究[D]. 中国矿业大学, 201

1.

[2] Chu C L, Fan S H. A novel long-travel piezoelectric-driven linear nanopositioning

stage[J]. Precision Engineering, 2006, 30(1):85-95.

[3] 林超, 俞松松, 程凯,等. 微/纳米定位平台的动态特性分析与试验[J]. 浙江大学学报

工学版, 2012, 46(8):1375-1381.

[4] 李威, 叶果, 王禹桥,等. 一种桥式微位移放大机构的性能研究[J]. 中国矿业大学学

报, 2011, 40(2):310-314.

[5] Koseki Y, Tanikawa T, Koyachi N, et al. Kinematic analysis of translational 3-D

OF micro parallel mechanism using matrix method[C]// Ieee/rsj International Con

ference on Intelligent Robots and Systems. IEEE, 2000:786 - 792.

附录

（1）静态位移及放大比求解

clc

clear all

l1=4;l2=20;t1=0.8;t2=2.0;b=8;fx=50;E=45;

Dx=(l1*(t1^2+9*t2^2)*fx)/(E*b*t1^3)

Dy=-(3*t2*(l1^2+3*l1*l2)*fx)/(E*b*t1^3) Ramp=(3*t2*(l1+3*l2))/(t1^2+9*t2^2)

（2）桥式机构关键参数对X向输出位移影响clc

clf

clear all

l1=0:1:10;l2=20;t1=0.8;t2=2.0;b=8;fx=50;E=45; Dx=(l1*(t1.^2+9*t2.^2)*fx)./(E*b*t1.^3);

plot(l1,Dx,'k-*','MarkerSize',10,'LineWidth',2) hold on

l1=4;t1=0:1:10;

Dx=(l1*(t1.^2+9*t2.^2)*fx)./(E*b*t1.^3);

plot(t1,Dx,'k-o','MarkerSize',10,'LineWidth',2) hold on

t1=0.8;t2=0:1:10;

Dx=(l1*(t1.^2+9*t2.^2)*fx)./(E*b*t1.^3);

plot(t2,Dx,'k-p','MarkerSize',10,'LineWidth',2); hold on

t2=2.0;b=0:1:10;

Dx=(l1*(t1.^2+9*t2.^2)*fx)./(E*b*t1.^3);

plot(b,Dx,'k-s','MarkerSize',10,'LineWidth',2) hold off

legend('l1','t1','t2','b','Location','best')

xlabel('桥式放大机构关键参数数值/mm') ylabel('X向输出位移/um')

shg

（3）桥式机构关键参数对Y向输出位移影响clc

clf

clear all

l1=0:1:10;l2=20;t1=0.8;t2=2.0;b=8;fx=50;E=45; Dy=(3*t2*(l1.^2+3*l1*l2)*fx)./(E*b*t1.^3) plot(l1,Dy,'k-*','MarkerSize',10,'LineWidth',1.5) hold on

l1=4;l2=0:1:10;t1=0.8;t2=2.0;b=8;fx=50;E=45; Dy=(3*t2*(l1.^2+3*l1*l2)*fx)./(E*b*t1.^3) plot(l2,Dy,'k-x','MarkerSize',10,'LineWidth',1.5) hold on

l1=4;l2=20;t1=0:1:10;t2=2.0;b=8;fx=50;E=45; Dy=(3*t2*(l1.^2+3*l1*l2)*fx)./(E*b*t1.^3) plot(t1,Dy,'k-o','MarkerSize',10,'LineWidth',1.5) hold on

l1=4;l2=20;t1=0.8;t2=0:1:10;b=8;fx=50;E=45; Dy=(3*t2*(l1.^2+3*l1*l2)*fx)./(E*b*t1.^3) plot(t2,Dy,'k-p','MarkerSize',10,'LineWidth',1.5) hold on

l1=4;l2=20;t1=0.8;t2=2.0;b=0:1:10;fx=50;E=45; Dy=(3*t2*(l1.^2+3*l1*l2)*fx)./(E*b*t1.^3) plot(b,Dy,'k-s','MarkerSize',10,'LineWidth',1.5) hold on

legend('l1','l2','t1','t2','b','Location','best')

xlabel('桥式放大机构关键参数数值/mm') ylabel('Y向输出位移/um')

shg

（4）桥式机构关键参数放大比的影响

clc

clf

clear all

l1=0:0.5:10;l2=20;t1=0.8;t2=2.0;b=8;fx=50;E=45; Ramp=(3*t2*(l1+3*l2))./(t1.^2+9*t2.^2)

plot(l1,Ramp,'k-*','MarkerSize',10,'LineWidth',1.5) hold on

l1=4;l2=0:0.5:10;t1=0.8;t2=2.0;b=8;fx=50;E=45; Ramp=(3*t2*(l1+3*l2))./(t1.^2+9*t2.^2)

plot(l2,Ramp,'k-o','MarkerSize',10,'LineWidth',1.5) hold on

l1=4;l2=20;t1=0:0.5:10;t2=2.0;b=8;fx=50;E=45; Ramp=(3*t2*(l1+3*l2))./(t1.^2+9*t2.^2)

plot(t1,Ramp,'k-s','MarkerSize',10,'LineWidth',1.5) hold on

l1=4;l2=20;t1=0.8;t2=0.5:0.5:10;b=8;fx=50;E=45; Ramp=(3*t2*(l1+3*l2))./(t1.^2+9*t2.^2)

plot(t2,Ramp,'k-p','MarkerSize',10,'LineWidth',1.5) hold on

legend('l1','l2','t1','t2','Location','best')

xlabel('桥式放大机构关键参数数值/mm') ylabel('放大比Ramp')

shg