高数微分方程求解

学习目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程

的通解、特解及微分方程的初始条件等

学习重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件 学习难点：微分方程的通解概念的理解 学习内容：

1、首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。

（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。

解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足

x dx

dy

2= （1） 同时还满足以下条件：

1=x 时，2=y （2）

把（1）式两端积分，得

?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3）

其中C 是任意常数。

把条件（2）代入（3）式，得

1=C ，

由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程：

12+=x y （4）

（2）列车在平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2

/4.0s m -.

问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？

解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函

数)(t s s =满足：

4.02

2-=dt

s

d （5） 此外，还满足条件：

0=t 时，20,0==

=dt

ds

v s （6）

(5)式两端积分一次得：

14.0C t dt

ds

v +-==

（7） 再积分一次得

2122.0C t C t s ++-= （8）

其中21,C C 都是任意常数。

把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得

0 ,2021==C C

把21,C C 的值代入（7）及（8）式得

,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10）

在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：

)(504

.020

s t ==

。 再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程

).(5005020502.02m s =?+?-=

上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。

2、 定义 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。

微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）

是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程

()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-

是四阶微分方程。

一般地，n 阶微分方程的形式是

,0),,',,()(=n y y y x F （11）

其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)

(n y

是必须出现的，而

)1(,,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程

01)(=+n y

中，除)(n y 外，其他变量都没有出现。

如果能从方程（11）中解出最高阶导数，得微分方程

).,,',,()1()(-=n n y y y x f y （12）

以后我们讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且（12）式右端的函数f 在所讨论的范围内连续。

由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足

微分方程的函数，就是说，找出这样的函数 ，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。确切地说，设函数)(x y ?=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，

(),0)](,),('),(,[≡x x x x F n ???

那么函数)(x y ?=就叫做微分方程（11）在区间I 上的解。

例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数（8）和（10）都是微分方程（5）的解。

如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程（1）是一阶的，所以函数（3）是方程（1）的通解。又如，函数（8）是方程的解，它含有两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。

由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。例如，例1中的条件（2），例2中的条件（6），便是这样的条件。

设微分方程中的未知函数为)(x y y =，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是

0x x =时，0y y =，

或写成 00|y y x x ==

其中0x ，0y 都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：

0x x =时，0y y =，0''y y =

或写成 00|y y x x ==，0'|'0y y x x == 其中0x ，0y 和0'y 都是给定的值。上述条件叫做初始条件。

确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是方程（1）满

足条件（2）的特解；（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解。

求微分方程),('y x f y =满足初始条件00|y y x x ==的特解这样一个问题，叫

做一阶微分方程的初值问题，记作

??

?===.|),

,('00

y y y x f y x x （13）

微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。初值问题（13）的几何意

义是求微分方程的通过点),(00y x 的那条积分曲线。二阶微分方程的初值问题

??

?=====00'|',|),

',,(''00

y y y y y y x f y x x x x 的几何意义是求微分方程的通过点),(00y x 且在该点处的切线斜率为0'y 的那条积分曲线。 3、 例题

例1 验证：函数

kt C kt C x sin cos 21+= （14）

是微分方程

02

22=+x k dt

x d （15） 的解。

解 求出所给函数（14）的导数

,cos sin 21kt kC kt kC dt

dx

+-= )sin cos (sin cos 21222122

2kt C kt C k kt C k kt C k dt

x

d +-=--=

把22dt

x

d 及x 的表达式代入方程（15）得 )sin cos (212kt C kt C k +-+)sin cos (212kt C kt C k +0≡

函数（14）及其导数代入方程（15）后成为一个恒等式，因此函数（14）是微分方程（15）的解。

小结：本节讲述了微分方程的基本概念，及一般形式，常微分方程的通解、特解

及微分方程的初始问题

学习目的：熟练掌握可分离变量的微分方程的解法 学习重点：可分离变量的微分方程的解法 学习难点：可分离变量的微分方程的解法 学习内容：

本节开始,我们讨论一阶微分方程

),('y x f y = (1)

的一些解法.

一阶微分方程有时也写成如下的对称形式:

0),(),(=+dy y x Q dx y x P (2)

在方程(2)中,变量x 与y 对称,它既可以看作是以为x 自变量、y 为未知函数的方程

)

,(),(y x Q y x P dx dy -= )0),((≠y x Q , 也可看作是以x 为自变量、y 为未知函数的方程

)

,(),(y x P y x Q dy dx -= )0),((≠y x P ,

在第一节的例1中，我们遇到一阶微分方程

x dx

dy

2=， 或 .2xdx dy = 把上式两端积分就得到这个方程的通解：

C x y +=2。

但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。例如，对于一阶微分方程

22xy dx

dy

= （3） 就不能像上面那样直接两端用积分的方法求出它的通解。原因是方程（3）的右端含有未知函数y 积分

?dx xy 22

求不出来。为我解决这个困难，在方程（3）的两端同时乘以

2y

dx

，使方程（3）变为 xdx y

dy

22=， 这样，变量x 与y 已分离在等式的两端，然后两端积分得

C x y

+=-

21

或 C

x y +-=21

（4）

其中C 是任意常数。

可以验证，函数（4）确实满足一阶微分方程（3），且含有一个任意常数，所以它是方

程（3）的通解。

一般地，如果一个一阶微分方程能写成

dx x f dy y g )()(= （5）

的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy ，另一端只含x 的函数和dx ，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。

假定方程（5）中的函数)(y g 和)(x f 是连续的，设)(x y ?=是方程的解，将它代入（5）

中得到恒等式

.)()(')]([dx x f dx x x g =??

将上式两端积分，并由)(x y ?=引进变量y ，得

??=dx x f dy y g )()(

设)(y G 及)(x F 依次为)(y g 和)(x f 的原函数，于是有

C x F y G +=)()( （6）

因此，方程（5）满足关系式（6）。反之，如果)(x y Φ=是由关系到式（6）所确定的隐函数 ，那么在0)(≠y g 的条件下，)(x y Φ=也是方程（5）的解。事实上，由隐函数的求导法可知，当0)(≠y g 时，

,)

()

()(')(')('y g x f y G x F x ==

Φ 这就表示函数)(x y Φ=满足方程（5）。所以如果已分离变量的方程（5）中)(y g 和)(x f 是连续的，且0)(≠y g ，那么（5）式两端积分后得到的关系式（6），就用隐式给出了方程（5）的解，（6）式就叫做微分方程（5）的隐式解。又由于关系式（6）中含有任意常数，因此（6）式所确定的隐函数是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隐式通解。

例1 求微分方程

xy dx

dy

2= （7） 的通解。

解 方程（7）是可分离变量的，分离变量后得

xdx y

dy

2= 两端积分

,2??=xdx y dy

得 ,ln 12

C x y += 从而 2

11

2x C C x e e e

y ±=±=+。

又因为1C

e ±仍是任意常数，把它记作C 便得到方程（7）的通解

2

x Ce y =。

例2 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断

减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的误变速度与当时未衰变的原子的含量M

成正比。已知0=t 时铀的含量为0M ，求在衰变过程中含量)(t M 随时间变化的规律。

解 铀的衰变速度就是)(t M 对时间t 的导数

dt

dM

。由于铀的衰变速度与其含量成正比，得到微分方程如下

,M dt

dM

λ-= （8） 其中)0(>λλ是常数，叫做衰变系数。λ前的负号是指由于当t 增加时M 单调减少，即

0

dM

的缘故。 由题易知，初始条件为

00|M M t ==

方程（8）是可以分离变量的，分离后得

.dt M dM

λ-= 两端积分 ().??-=dt M

dM

λ 以C ln 表示任意常数，因为0>M ，得

,ln ln C t M +-=λ

即 .t

Ce

M λ-=

是方程（8）的通解。以初始条件代入上式，解得

C Ce M o ==0

故得 .0t e M M λ-= 由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰落减。

小结：本节讲述了一阶微分方程中可分离变量的微分方程，及其解法。

学习目的：熟练掌握齐次微分方程的解法 学习重点：齐次方程的解法 学习难点：齐次方程的解法 学习内容：

1、 齐次方程的形式

如果一阶微分方程

),('y x f y =

中的函数),(y x f 可写成

x

y 的函数，即)(),(x y

y x f ?=，则称这方程为齐次方程。例如

0)()(=-++dy x y dx y x

是齐次方程，因为其可化为

.11x

y x y

y

x y x dx dy -

+

=

-+= 2、 齐次方程

)(),(x

y

y x f ?= （1）

的解法。

作代换 x

y

u =

，则ux y =，于是 .u dx du x dx dy += 从而 )(u u dx

du

x ?=+， x

u u dx du -=)(?， 分离变量得

x dx

u u du =-)(?

两端积分得

??=-x dx

u u du )(?

求出积分后，再用x

y

代替u ，便得所给齐次方程的通解。如上例 u u u dx du x -+=+11 分离变量，得 x dx

u

du u =++2

1)1( 积分后，将u =x

y

代回即得所求通解。

例1 解方程

)ln ln 1('x y y xy -+=。

解 原式可化为

)ln 1(x

y x y dx dy +=， 令u =x

y ，则 u dx du

x dx dy +=， 于是

)ln 1(u u u dx du

x

+=+ 分离变量 x

dx

u u du =ln 两端积分得

C u u ln ln ln ln += Cx u =ln

即 Cx

e

u =。

故方程通解为 Cx xe y =。 3、 练习

1 xy y y x =+2

2' 通解为 C x

y

y +=

ln 2 02)3(22=++-xydy dx y x 通解为 122-=-Cx y x

小结：本节讲述了齐次方程，及其解法

学习目的：掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法；掌握利用变量代换

解微分方程的方法；了解贝努利方程的形式及解法

学习重点：一阶线性微分方程的形式,及解的形式，利用变量代换解微分方程 学习难点：一阶线性微分方程通解的形式，利用变量代换解微分方程 学习内容： 一、线性方程

1、定义 方程

)()(x Q y x P dx

dy

=+ （1）称为一阶线性微分方程。 特点 关于未知函数y 及其导数'y 是一次的。 若0)(≡x Q ，称（1）为齐次的； 若0

)(≠x Q ，称（1）为非齐次的。

如：（1）2

22'x xe xy y -=+ （2）25

)1(1

2'+=+-x x y

y

2、解法

当0)(≡x Q 时，方程（1）为可分离变量的微分方程。 当0)(≠x Q 时，为求其解首先把)(x Q 换为0，即

0)(=+y x P dx

dy

（2） 称为对应于（1）的齐次微分方程，求得其解

?=-dx

x P Ce y )(

为求（1）的解，利用常数变易法，用)(x u 代替C ，即?=-dx

x P e x u y )()(

于是，

)]([')()(x P ue e u dx

dy

dx x P dx x P -?+?=-- 代入（1），得

C dx e x Q u dx

x P +?

=?)()(

故 ))(()()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +??=?

-。 （3）

3、例 求方程

25

)1(1

2'+=+-x x y

y （4）

的通解.

解 这是一个非齐次线性方程。先求对应的齐次方程的通解。

01

2=+-x y dx dy ， 12+=x dx y dy ， C x y ln )1ln(2ln ++=，

2)1(+=x C y （5）

用常数变易法。把C 换成)(x u ，即令

2)1(+=x u y ，

则有 )1(2)1('2+++=x u x u dx

dy

， 代入（1）式中得

2

1)1('+=x u ，

两端积分，得 C x u ++=23

)1(3

2

。

再代入（4）式即得所求方程通解

])1(3

2

[)1(23

2

C x x y +++=。

另解 我们可以直接应用（3）式

))(()()(C dx e x Q e y dx

x P dx x P +??=?-

得到方程的通解，其中，

1

2)(+-=x x P ， 25

)1()(+=x x Q

代入积分同样可得方程通解

])1(3

2

[)1(23

2

C x x y +++=，

此法较为简便，因此，以后的解方程中，可以直接应用（3）式求解。

二、贝努力方程

1、定义

n y x Q y x P dx

dy

)()(=+ )1,0(≠n 称为贝努力方程。 当1,0=n 时，为一阶线性微分方程。 2、解法 两边同除n

y

)()(1x Q y x P dx dy

y n n

=+-- 令n

y z -=1，则有 dx dy y n dx dz n --=)1( )()(11x Q z x P dx

dz

n =+-

而 )()1()()1(x Q n z x P n dx

dz

-=-+ 为一阶线性微分方程，故

))()1(()()1()()1(C dx e x Q n e z dx

x P n dx x P n +?-?=?---。

贝努力方程的解题步骤

（1） 两端同n y n )1(- （2） 代换n y z -=1

（3） 解关于z 的线性微分方程 （4） 还原

例 解方程 63'y x y xy =+ 解 过程略，通解为 53

5

2

5Cx x y

+=

-。 三、利用变量代换解微分方程

例 解方程 )ln (ln 'y x y y xy +=+ 解 令 u xy =，则

dx

dy

x y dx du +=，于是 u x

u

u y dx du ln ln == 解得 Cx

e u =， 即 Cx

e xy =

例 解方程

y

x dx dy +=1

解 过程略，通解为 y

Ce y x =++1。

小结：本节讲述了一阶线性微分方程，及贝努力方程的解法，利用常数变易法，

和变量代换法来解微分方程。

学习目的：掌握全微分方程成立的充要条件，掌握全微分方程的解法，会用观察

法找积分因子

学习重点：全微分方程的解法，观察法找积分因子 学习难点：全微分方程的解法，观察法找积分因子 学习内容：

1、定义 若0),(),(=+dy y x Q dx y x P （1）恰为某一个函数的全微分方程，即存在

某个),(y x u ，使有dy y x Q dx y x P du ),(),(+=，则称（1）为全微分方程。

可以证明 C y x u =),(是（1）式的隐式通解。

2、解法 若),(y x P ，),(y x Q 在单连通域G 内具有一阶连续偏导数，条件

x

Q

y P ??=

?? 是（1）式为全微分方程的充要要条件。 通解为 C dy y x Q dx y x P y x u y

y x

x =+=

??

),(),(),(。

例1 求解 0)33()35(222324=+-+-+dy y xy y x dx y xy x

解 令 =

P 32435y xy x -+，22233y xy y x Q +-=

则

x

Q y xy y P ??=-=??236 此方程为全微分方程。于是

3

3225

20

3243

123 )35(),(y xy y x x dy

y dx y xy x y x u y

x

+-+=+-+=??

通解为 C y xy y x x =+-+33

2253

123

3、积分因子

若

x

Q y P ??≠??，则（1）式不是全微分方程，但若有一个适当函数),(y x μμ=，使（1）式乘以),(y x μ后为全微分方程，称函数),(y x μ为积分因子。

一般积分因子不好求，我们只要求通过观察找到积分因子。 例2 方程0=-xdy ydx 不是全微分方程，但

2

)(y

xdy ydx y x d -= 于是将方程乘以

21y ，则有 02

=-y

xdy

ydx ，

即 0)(=y x d ，从而C y x =为其通解。此时21

y

为其积分因子。 注意 积分因子一般不唯一。

如上述方程，若同乘

xy 1有 0=-y

dy

x dx ， 于是 0)ln (ln =-y x d ，即

C y x =为其通解。

xy

1

也是其积分因子。 小结：本节讲述了全微分方程的解法，用观察法长积分因子，使之满足全微分方

程的充要条件。

学习目的：掌握三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法

学习重点：三种可降阶的高阶微分方程的求法 学习难点：三种可降阶的高阶微分方程的求法 学习内容：

一、)()(x f y n =型

令 z y

n =-)

1(，则原方程可化为

)(x f dx

dz

=， 于是 ?+==-1

)

1()(C

dx x f y

z n

同理 C dx C dx x f y

n ++=??-])([1)

2(

。。。 。。。

n 次积分后可求其通解。

其特点：只含有)

(n y

和x ，不含y 及y 的)1(~1-n 阶导数。

例1 解方程 1

21'''+=

x y

解得 322125

)12(15

1

C x C x C x y ++++= 为其通解。 二、)',(''y x f y = 令 ,'p y = 则 '''p y =，于是可将其化成一阶微分方程。

特点 含有x y y ,',''，不含y 。

例2 0'''2=-+x y xy

解得通解为 213

ln 9

1C x C x y ++=

三、)',(''y y f y =

令 ,'p y = 则 dy

dp p dx dy dy dp dx dp y ===

''， 于是可将其化为一阶微分方程。 特点 不显含x 。 例3 0''''2=+-y y yy

解 化为一阶线性或可分离变量的微分方程，解得通解为

211)1ln(C x C y C +=+。

小结：本节讲述了三种容易降阶的高阶微分方程及其求解方法

学习目的：掌握二阶线性方程解的结构，齐次线性方程的通解，非齐线性方程的

特解及通解的形式。

学习重点：齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。 学习难点：齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。 学习内容：

1、定义：方程22()

()()d y dy

P x Q x y f x dx dx

++= (1) 称为二阶线性微分方程。 当()0f x ≡时称为齐次的，当()0f x ≠时称为非齐次的。 为求解方程（1）需讨论其解的性质

2、解的性质

22()()0d y dy

P x Q x y dx dx

++= （2） 性质1 若12(),()y x y x 是（2）的解，则1122()()y C y x C y x =+也是（2）的解，

其中1C ，2C 为任意常数。

称性质1为解的叠加原理。

但此解未必是通解，若12()3()y x y x =，则1212()(3)()y x C C y x =+，那么

1122()()C y x C y x +何时成为通解？只有当1y 与2y 线性无关时。

线性相关 设12,,,n y y y 是定义在区间I 内的函数，

若存在不全为零的数12,,,n

k k k

使得

11220n n k y k y k y ++

+=

恒成立，则称12,,,n y y y 线性相关。

线性无关 不是线性相关。 如： 221,cos ,sin x x 线性相关， 21,,x x 线性无关。

对两个函数，当它们的比值为常数时，此二函数线性相关。若它们的比值是函数时，

线性无关。

性质2 若12(),()y x y x 是（2）的两个线性无关的特解，那么

1122()()y C y x C y x =+

（1C ，2C 为任意常数）是方程（2）的特解。

此性质称为二阶齐次线性微分方程（2）的通解结构。 如：12cos ,sin y x y x ==是''0y y +=的两个解，又

1

2

y c t g x y =≠常数。因此，12cos sin y C x C x =+为''0y y +=的通解。

又(1)'''0x y xy y --+=的解12,x y x y e ==亦线性无关。 则12x y C x C e =+为其通解。

下面讨论非齐次微分方程（1）的解的性质.称（2）为（1）所对应的齐次方程。 性质3 设*y 是（1）的特解，Y 是（2）的通解，则*y Y y =+是（1）的通解。 如：2

''y y x +=， 12cos sin y C x C x =+为''0y y +=的通解，又2

*2y x =-是特解，则12cos sin y C x C x =+的通解。

性质4 设（5）式中12()()()f x f x f x =+，若12*,*y y 分别是

212()()()d y dy

P x Q x y f x dx dx ++=， 222()()()d y dy

P x Q x y f x dx dx

++= 的特解，则12**y y +为原方程的特解。 称此性质为解的叠加原理。

小结：本节讲述了二阶线性方程解的结构，包括齐次线性方程的通解，非齐线性

方程的特解及通解的形式。

学习目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特

征根的三种情况，通解的三种不同形式。

学习重点：特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形

式。

学习难点：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。 学习内容：

若22()

()0d y dy

P x Q x y dx dx

++= （2）中(),()P x Q x 为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程，而(2)称之为二阶变系数齐次微分方程。

记：'''0y py qy ++= （3）

将rx y e =代入（3）中有2()0rx r pr q e ++=，称2

0r pr q ++=为（3）的特征方程。 设12,r r 为（4）的解。

（1）当12r r ≠即240p q ->时，1

212r x r x

y C e

C e =+为其通解。 （2）当12r r r ==即240p q -=时，

（3）只有一个解rx

y Ce =。 （3）当r i αβ=±即240p q -<时，有()i x y e αβ±=是解。

利用欧拉公式可得实解，故通解为

12(cos sin )x y e C x C x αββ=+。

例 求下列微分方程的通解

1、''2'30y y y --=

2、''2'50y y y -+=

解 过程略。

通解为 （1）312x x y C e C e -=+，

（2）12(cos2sin 2)x y e C x C x =+。 上面结果可扩展到n 阶常系数微分方程。

例 求 (4)2'''5''0y y y -+=。

通解为 1234(cos2sin 2)x y C C x e C x C x =+++。

小结：本节讲述了二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及当

特征根形式不同时，通解具有不同形式。