新初中数学二次函数易错题汇编附答案

新初中数学二次函数易错题汇编附答案

一、选择题

1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；

0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )

A ．①②

B ．①②③

C ． ①③④

D ． ①②④

【答案】D 【解析】 【分析】

根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b

x a

=-

>得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以

0a b c -+>；由对称轴1

23

b x a =-

=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.

【详解】

①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b

x a

=-

>得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确. ②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确.

③由对称轴1

23

b x a =-

=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为

23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】

本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。

2．如图是函数223(04)y x x x =--≤≤的图象，直线//l x 轴且过点(0,)m ，将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是（ ）

A ．m 1≥

B ．0m ≤

C ．01m ≤≤

D ．m 1≥或0m ≤

【答案】C 【解析】 【分析】

找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M 的范围可知. 【详解】

解：如图1所示，当t 等于0时， ∵2

(1)4y x =--， ∴顶点坐标为(1,4)-， 当0x =时，3y =-， ∴(0,3)A -， 当4x =时，5y =， ∴(4,5)C ， ∴当0m =时，

(4,5)D -，

∴此时最大值为0，最小值为5-； 如图2所示，当1m =时， 此时最小值为4-，最大值为1． 综上所述：01m ≤≤， 故选：C ．

【点睛】

此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m 的值为解题关键．

3．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，则下列4个结论：①abc ＜0；②2a +b ＝0；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】D 【解析】 【分析】

根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定解答． 【详解】

①由抛物线的对称轴可知：﹣＞0，

∴ab ＜0，

∵抛物线与y 轴的交点在正半轴上， ∴c ＞0，

∴abc ＜0，故①正确； ②∵﹣

＝1，

∴b ＝﹣2a ，

∴2a +b ＝0，故②正确．

③∵（0，c ）关于直线x ＝1的对称点为（2，c ）， 而x ＝0时，y ＝c ＞0， ∴x ＝2时，y ＝c ＞0， ∴y ＝4a +2b +c ＞0，故③正确； ④由图象可知：△＞0， ∴b 2﹣4ac ＞0，故②正确； 故选：D ． 【点睛】

本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，属于中考常考题型．

4．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数

b

y x

=

在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】 【分析】

直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】

∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下， ∴a ＜0，

∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0，

∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧， ∴a ，b 同号， ∴b ＜0，

∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限， 反比例函数y=b

x

图象分布在第二、四象限， 故选D ． 【点睛】

此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．

5．函数25y ax bx =++(0)a ≠，当1x =与7x =时函数值相等，则8x =时，函数值等于( ) A ．5 B ．52

-

C ．

52

D ．－5

【答案】A 【解析】 【分析】

根据二次函数的对称性，求得函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴，进而判断与8x =的函数值相等时x 的值，由此可得结果． 【详解】

∵函数25y ax bx =++(0)a ≠，当1x =与7x =时函数值相等，

∴函数2

5y ax bx =++(0)a ≠的对称轴为：17

42

x +=

=， ∴8x =与0x =的函数值相等，

∴当8x =时，250055y ax bx a b =++=?+?+=， 即8x =时，函数值等于5， 故选：A ． 【点睛】

本题主要考查二次函数的图象和对称性．掌握二次函数的对称性和对称轴的求法，是解题的关键．

6．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5

C ．﹣4≤t ＜0

D ．t ≥﹣4

【答案】B 【解析】 【分析】

先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】

解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ，

关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4，

∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】

本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．

7．若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．例如：P （1，0）、Q （2，﹣2）都是“整点”．抛物线y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2（m ＞0）与x 轴交于点A 、B 两点，若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有

七个整点，则m 的取值范围是（ ）

A ．1

2

≤m ＜1 B ．

1

2

＜m ≤1 C ．1＜m ≤2 D ．1＜m ＜2

【答案】B 【解析】 【分析】

画出图象，利用图象可得m 的取值范围

【详解】

∵y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2＝m （x ﹣2）2﹣2且m ＞0，

∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x ＝2． 由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意．

①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意． 将（1，﹣1）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到﹣1＝m ﹣4m +4m ﹣2．解得m ＝1． 此时抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x +2．

由y ＝0得x 2﹣4x +2＝0．解得121

20.622 3.42

x x ==-

≈+≈，． ∴x 轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意．

则当m ＝1时，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意．

∴m ≤1．【注：m 的值越大，抛物线的开口越小，m 的值越小，抛物线的开口越大】

答案图1（m ＝1时） 答案图2（ m ＝时）

②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意． 此时x 轴上的点 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意． 将（0，0）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到0＝0﹣4m +0﹣2．解得m ＝12

． 此时抛物线解析式为y ＝

12x 2

﹣2x ． 当x ＝1时，得13

121122

y =?-?=-<-．∴点（1，﹣1）符合题意．

当x ＝3时，得13

923122

y =

?-?=-<-.∴点（3，﹣1）符合题意．

综上可知：当m ＝

1

2

时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣2）、（2，﹣1）都符合题意，共有9个整点符合题意， ∴m ＝1

2不符合题． ∴m ＞

12

． 综合①②可得：当1

2

＜m ≤1时，该函数的图象与x 轴所围成的区域（含边界）内有七个整点， 故选：B ． 【点睛】

考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，画出图象，数形结合是解题的关键.

8．如图，矩形ABCD 的周长是28cm ，且AB 比BC 长2cm ．若点P 从点A 出发，以

1/cm s 的速度沿A D C →→方向匀速运动，同时点Q 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿A B C →→方向匀速运动，当一个点到达点C 时，另一个点也随之停止运动．若设运动

时间为()t s ，APQ V 的面积为(

)2

cm

S ，则()2

cm S 与()t s 之间的函数图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A 【解析】 【分析】

先根据条件求出AB 、AD 的长，当0≤t≤4时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图1，计算S 与t 的关系式，分析图像可排除选项B 、C ；当4＜t≤6时，Q 在边BC 上，P 在边AD 上，如图2，计算S 与t 的关系式，分析图像即可排除选项D ，从而得结论．

【详解】

解：由题意得2228AB BC +=，2AB BC =+， 可解得8AB =，6BC =，即6AD =，

①当0≤t≤4时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图1，

S △APQ =

211

222

AP AQ t t t ==g g ， 图像是开口向上的抛物线，故选项B 、C 不正确； ②当4＜t≤6时，Q 在边BC 上，P 在边AD 上，如图2，

S △APQ =

11

8422

AP AB t t =?=g ， 图像是一条线段，故选项D 不正确； 故选：A ． 【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P 和Q 的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S 与t 的函数关系式．

9．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是（ ）

A ．16

B ．15

C ．12

D ．11

【答案】B 【解析】 【分析】

过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值． 【详解】

解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ， ∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°， ∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ， ∴△FEH ∽△EBA ， ∴

,HF HE EF

AE AB BE

== G Q 为

BE 的中点，

1

,2

FE GE BE ∴==

∴

1

,2

HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==

∴HF 1

,4,2

x EH =

= ,DH AE x ∴==

CEF DHFC CED EHF S S S S ???∴=+-

11111(8)8(4)422222x x x x =++?--?? 2

141644

x x x x =+--- 2

116,4

x x =

-+ ∴当

1

2

124

x -=-

=? 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=?-+= 故选：B ．

【点睛】

本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．

10．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）

A．5B．4

5

3

C．3 D．4

【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】

过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，

∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，

∴BF∥DE∥CM．

∵OD=AD=3，DE⊥OA，

∴OE=EA=1

2

OA=2．

由勾股定理得：5

设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，

∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．

∴BF OF CM AM

DE OE DE AE

==

，

x2x

22

55

-

，，解得：

)

52x

5

BF?x CM

22-

==

，．

∴BF+CM=5． 故选A ．

11．抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点为(﹣1，3)，与x 轴的交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为( ) ①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m ＜n ； ②c ＝a+3； ③a+b+c ＜0；

④方程ax 2+bx+c ＝3有两个相等的实数根．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C 【解析】

试题分析：由抛物线与x 轴有两个交点，可知b 2-4ac ＞0，所以①错误；

由抛物线的顶点为D （-1，2），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，所以②正确； 由抛物线的顶点为D （-1，2），可知a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线x=2b a

-=-1，可得b=2a ，因此a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；

由于当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确． 故选C ．

考点：二次函数的图像与性质

12．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =.下列结论：①0abc >；②20a b +=；③930a b c ++<；④若12310,,,23y y ????

-

- ? ?????

是抛物线上两点，则12y y >.其中正确的结论有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】B 【解析】 【分析】

由抛物线开口方向得到a ＜0，根据对称轴得到b=-2a ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得到c ＞0，则可对①进行判断；由b=-2a 可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=3时，y=0，于是可对③进行判断；通过二次函数的增减性可对④进行判断． 【详解】

解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，

∵抛物线的对称轴为直线12b

x a

=-= ，∴b=-2a ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，

∴c ＞0，

∴abc ＜0，所以①错误； ∵b=-2a ，

∴2a+b=0，所以②正确；

∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=3时，y=0，

∴930a b c ++=，所以③错误；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向下， ∴当x 1<时，y 随x 的增大而增大 ∵103132

-

<-< 点13,2y ??

- ???

到对称轴的距离比点210,3y ??

- ???

对称轴的距离近， ∴y 1>y 2，所以④正确．

故选B ． 【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开

口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac ＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．

13．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结

论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③1

3

＜a＜

2

3

；④b＞c．其中含所有正确结论的选项是

（）

A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④

【答案】B

【解析】

【分析】

根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称性得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（-1，0）可得到a、b、c 之间的关系，从而对④作判断；从图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间可以判断c的大小得出③的正误．

【详解】

①∵函数开口方向向上，

∴a＞0；

∵对称轴在y轴右侧

∴ab异号，

∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，

∴c＜0，

∴abc＞0，

故①正确；

②∵图象与x轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1，

∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），

∴当x=2时，y＜0，

∴4a+2b+c＜0，

故②错误；

③∵图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间， ∴-2＜c ＜-1

∵-12b

a ， ∴b=-2a ，

∵函数图象经过（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴c=-3a ， ∴-2＜-3a ＜-1， ∴

13＜a ＜2

3

；故③正确 ④∵函数图象经过（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴b-c=a ， ∵a ＞0，

∴b-c ＞0，即b ＞c ； 故④正确； 故选B ． 【点睛】

主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．

14．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：

给出以下结论：（1）二次函数y ＝ax 2+bx +c 有最小值，最小值为﹣3；（2）当﹣

1

2

＜x ＜2时，y ＜0；（3）已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在函数的图象上，则当﹣1＜x 1＜0，3＜x 2＜4时，y 1＞y 2．上述结论中正确的结论个数为（ ） A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

【答案】B 【解析】 【分析】

根据表格的数据，以及二次函数的性质，即可对每个选项进行判断. 【详解】

解：（1）函数的对称轴为：x ＝1，最小值为﹣4，故错误，不符合题意；

（2）从表格可以看出，当﹣1

2

＜x＜2时，y＜0，符合题意；

（3）﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4时，x2离对称轴远，故错误，不符合题意；

故选择：B．

【点睛】

本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

15．下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝2

ax+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的大致图象．正确的（）

A．B．C．

D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而得到结论．

【详解】

令ax2+（a+c）x+c=ax+c，

解得，x1=0，x2=-c

a

，

∴二次函数y=ax2+（a+c）x+c与一次函数y=ax+c的交点为（0，c），（?c

a

，0），

选项A中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，故选项A不符题意，

选项B中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y=ax+c中a＞0，c＜0，两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B不符题意，

选项C中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项D符合题意，

选项D中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y=ax+c中a＞0，c＜0，故选项C不符题意，

故选：D．

【点睛】

考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

16．下列函数（1）y=x（2）y=2x﹣1 （3）y=1

x

（4）y=2﹣3x（5）y=x2﹣1中，是一次

函数的有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B

【解析】

【分析】

分别利用一次函数、二次函数和反比例函数的定义分析得出即可．

【详解】

解：（1）y=x是一次函数，符合题意；

（2）y=2x﹣1是一次函数，符合题意；

（3）y=1

x

是反比例函数，不符合题意；

（4）y=2﹣3x是一次函数，符合题意；

（5）y=x2﹣1是二次函数，不符合题意；

故是一次函数的有3个．

故选：B．

【点睛】

此题考查一次函数、二次函数和反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．

17．在同一直角坐标系中，反比例函数图像与二次函数图像的交点的个数至少有() A．0B．1C．2D．3

【答案】B

【解析】

【分析】

根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数．

【详解】

若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y轴是对称轴；反比例函数的图象在第一，三象限，故两个函数的交点只有一个，在第三象限．同理，若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y轴是对称轴；反比例函数的图象在第二，四象限，故两个函数的交点只有一个，在第四象限．

故答案为：B．

【点睛】

本题考查了二次函数和反比例函数的图象问题，掌握二次函数和反比例函数的图象性质是解题的关键．

18．平移抛物线2:L y x =得到抛物线L '，使得抛物线L '的顶点关于原点对称的点仍在抛物线L '上，下列的平移中，不能得到满足条件的抛物线L '的是（ ） A ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向左平移

3

2个单位，再向下平移92

个单位 D ．向左平移3个单位，再向下平移9个单位 【答案】D 【解析】 【分析】

通过各个选项的平移分别得到相应的函数关系式，再判断原点是否在该抛物线上即可． 【详解】

解：由A 选项可得L '为：2(1)2y x =--，

则顶点为（1，-2），顶点（1，-2）关于原点的对称点为（-1，2）， 当x ＝-1时，y ＝2，则对称点在该函数图像上，故A 选项不符合题意； 由B 选项可得L '为：2(1)2y x =+-，

则顶点为（-1，-2），顶点（-1，-2）关于原点的对称点为（1，2）， 当x ＝1时，y ＝2，则对称点在该函数图像上，故B 选项不符合题意； 由C 选项可得L '为：2

3

9()2

2

y x =+-， 则顶点为（-32，-92），顶点（-32，-92

）关于原点的对称点为（32，9

2）， 当x ＝

3

2时，y ＝92

，则对称点在该函数图像上，故C 选项不符合题意； 由D 选项可得L '为：2

(3)9y x =+-，

则顶点为（-3，-9），顶点（-3，-9）关于原点的对称点为（3，9），

当x ＝3时，y ＝27≠9，则对称点不在该函数图像上，故D 选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】

本题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解决本题的关键．

19．如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，其中﹣2＜x 1＜﹣1，0＜x 2＜1．下列结论： ①4a ﹣2b+c ＜0；②2a ﹣b ＜0；③abc ＜0；④b 2+8a ＜4ac ． 其中正确的结论有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C 【解析】 【分析】

首先根据抛物线的开口方向可得到a ＜0，抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0，而抛物线与x 轴的交点中，﹣2＜x 1＜﹣1、0＜x 2＜1说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x =﹣2b a

＞﹣1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断 【详解】

由图知：抛物线的开口向下，则a ＜0；抛物线的对称轴x=﹣2b

a

＞﹣1，且c ＞0； ①由图可得：当x=﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b+c ＜0，故①正确；

②已知x=﹣

2b

a

＞﹣1，且a ＜0，所以2a ﹣b ＜0，故②正确； ③抛物线对称轴位于y 轴的左侧，则a 、b 同号，又c ＞0，故abc ＞0，所以③不正确； ④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：2

44ac b a

＞

2，由于a ＜0，所以4ac ﹣b2＜8a ，即b 2+8a ＞4ac ，故④正确； 因此正确的结论是①②④． 故选：C ． 【点睛】

本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关

键．

20．在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C 【解析】 【分析】

直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点； 根据二次函数的对称轴在y 左侧，a ，b 同号，对称轴在y 轴右侧a ，b 异号，以及当a 大于0时开口向上，当a 小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y 轴于正半轴，常数项为负，交y 轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案． 【详解】

解：由方程组2y ax bx

y bx a

?=+?=-?得ax 2＝?a ，

∵a ≠0

∴x 2＝?1，该方程无实数根，

故二次函数与一次函数图象无交点，排除B ．

A ：二次函数开口向上，说明a ＞0，对称轴在y 轴右侧，则b ＜0；但是一次函数b 为一次项系数，图象显示从左向右上升，b ＞0，两者矛盾，故A 错；

C ：二次函数开口向上，说明a ＞0，对称轴在y 轴右侧，则b ＜0；b 为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b ＜0，两者相符，故C 正确；

D ：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D 错． 故选C ．

【点睛】

本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．