2013年绵阳中学自主招生数学试题

2013年绵阳中学自主招生数学试题

一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（ ） A.2322()x y y y x y -=-

B.424(2)(2)(2)x x x x -=+-+

C.21

1(1)x x x x x

--=--

D.21(2)(1)(3)a a a --=--

2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <， 所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫 做（ ）

A.换元法

B.配方法

C.数形结合法

D.分类讨论法 3、已知实数x 满足2211

4

x x x x

++-=，则14x -的值是（ ）

A.-2

B.1

C.-1或2

D.-2或1

4、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数k

y x =的图像还必过点（ ） A. (-1,6)

B.(1,-6)

C.(-2,-3)

D.(2,12)

5、现规定一种新的运算：“*”：*()m n m n m n -=+，那么51

*22

＝（ ）

A.

5

4

B.5

C.3

D.9 6、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝（ ） A.180° B.150° C.160° D.170°

7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ） A.不增不减 B.增加4％ C.减少4％ D.减少2％ 8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且3

θ=，则角θ所对的弦长等于（ ）

A.8

B.10

C.82

D.16

9、一支长为13cm 的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子。

A.13cm

B.410cm

C.12cm

D.153cm

10、如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm,4cm 的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A 的位置变化为

12A A A →→，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边21A C 与桌面所成

的角恰好等于BAC ∠，则A 翻滚到2A 位置时共走过的路程为（ ）

A.82cm

B.8πcm

C.229cm

D. 4πcm

11、一辆汽车从甲地开往乙地，开始以正常速度匀速行驶，但行至途中汽车出了故障，只好停下修车，修好后，为了按时到达乙地，司机加快了行驶速度并匀速行驶。下面是汽车行驶路程S(千米)关于时间t(小时)的函数图象，那么能大致反映汽车行驶情况的图像是（ ）

A B C D

12、由绵阳出发到成都的某一次列车，运行途中须停靠的车站依次是：绵阳→罗江→黄许→德阳→广汉→清白江→新都→成都.那么要为这次列车制作的车票一共有（ ） A.7种 B.8种 C.56种 D.28种 二. 填空题（共6个小题，每个小题4分，共24分。将你所得答案填在答卷上）

13、根据图中的抛物线可以判断：

当x ________时，y 随x 的增大而减小； 当x ________时，y 有最小值。 14、函数2

2

2

x y x x +=

+-中，自变量x 的取值范围是__________. 15、如图，在圆O 中，直径10AB C D =，，是上半圆AB 上的两个动 点。弦AC 与BD 交于点E ，则··AE AC BE BD +＝____________. 16、下图是用火柴棍摆放的1个、2个、3个……六边形，那么摆100

个六边形，需要火柴棍______根。

17、在平面直角坐标系中，平行四边形四个顶点中，有三个顶点坐标分别是（-2，5），（-3，-1），

（1，-1），若另外一个顶点在第二象限，则另外一个顶点的坐标是_______________. 18、参加保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表。某人在汽

车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽修理费是________元.

汽车修理费x 元 赔偿率

0x <<500 60％ 500x ≤<1000

70％

1000x ≤<3000

80％ ……

……

三.解答题（共7个小题，满分78分，将解题过程写在答卷上）

19、（10分）先化简，再求值：32

221052422

x x x x x x x x --÷+

+--+-， 其中2022(tan 45cos30)21

x =-++?-?-.

20、（10分）在ABC ?中，1

90,2

C AC BC ∠=?=

.以BC 为底作等腰直角BCD ?，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥.

21、(10分)绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍。拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的90％而拆除旧校舍则超过了计划的10％，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积。 （1）求原计划拆、建面积各是多少平方米？

（2）若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿

化，可绿化多少平方米？

22、（10分）已知直线y x a =+与y 轴的负半轴交于点A ，直线28y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，:7:8AO CO =（O 是坐标原点），两条直线交于点P .

（1）求a 的值及点P 的坐标；

（2）求四边形AOBP 的面积S .

23、（12分）如图：已知AB 是圆O 的直径，BC 是圆O 的弦，圆O 的割线DEF 垂直于AB 于点G ，

交BC 于点,.H DC DH =

（1）求证：DC 是圆O 的切线；

（2）请你再添加一个条件，可使结论2·BH BG BO =成立,说明理由。 （3）在满足以上所有的条件下，10,8.AB EF ==求sin A ∠的值。

24、（12分）如图，菱形ABCD 的边长为12cm ，A ∠＝60?，点P 从点A 出发沿线路AB BD →做

匀速运动，点Q 从点D 同时出发沿线路DC CB BA →→做匀速运动.

（1）已知点,P Q 运动的速度分别为2cm/秒和2.5cm/秒，经过12秒后，P Q 、分别到达M N 、 两点，试判断AMN ?的形状，并说明理由；

（2）如果（1）中的点P Q 、有分别从M N 、同时沿原路返回，点P 的速度不变，点Q 的速度改为v cm/秒，经过3秒后，P Q 、分别到达E F 、两点，若BEF ?与题（1）中的

AMN ?相似，试求v 的值.

25、（14分）在ABC ?中，90,,C AC BC ∠=?的长分别是,b a ，且cot cos B AB A =?.

（1）求证：2b a =；

（2）若b ＝2，抛物线2()y m x b a =-+与直线4y x =+交于点11(,)M x y 和点22(,)N x y ，且

MON ?的面积为6（O 是坐标原点）.求m 的值；