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随机过程部分习题答案
习题 2
2.1 设随机过程X (t) Vt b, t ( 0, ), b 为常数， V ~ N (0,1) ，求 X (t) 的一维概率密度、均值和相关函数。
解因V~ N (0,1) ，所以 EV 0, DV 1， X (t ) Vt b 也服从正态分布，
E[ X (t )] E[Vt b] tEV b b
D[ X (t )] D [Vt b] t 2 DV t 2
所以 X (t ) ~ N (b,t 2 ) ， X (t) 的一维概率密度为
1 (x b) 2
f ( x; t) 2 ( , ) ，t (0, )
e 2 t , x
2 t
均值函数m X (t ) E[ X (t )] b
相关函数R X ( s, t) E[ X (s) X (t)] E[(Vs b)(Vt b)]
E[ stV 2 bsV btV b2 ]
st b2
2.2 设随机变量 Y 具有概率密度 f ( y) ，令 X (t ) e Yt， t 0,Y 0 ，求随机过程X (t ) 的一维概率密度及 EX (t), R X (t1, t2 ) 。
解对于任意 t 0 ，X (t) e Yt是随机变量Y的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法， F ( x; t) P{ X (t) x} P{e Y t x} P{ Yt ln x}
P{ Y ln x
} 1 P{ Y
ln x
} 1 F Y (
ln x
) t t t
对 x 求导得 X (t ) 的一维概率密度
f ( x; t)
ln x 1
0 f Y ( ) ， t
t xt
均值函数m X (t) E[ X (t )] E[ e Y t ] e yt f ( y) dy
相关函数
R X (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] E[e Y t1 e Y t2 ] E[e Y (t1 t2 )] e y( t1 t2 )f ( y)dy
2.3 若从 t
0 开始每隔 1
秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程
2
X (t ) cos( t), t 时刻抛得正面
2t ,
t 时刻抛得反面
试求：（ 1） X (t) 的一维分布函数
1
F ( , x )和
F (1,
) ；
2
x
（2） X (t) 的二维分布函数
F ( 1
,1; x 1 , x 2 ) ；
2
（3） X (t) 的均值 m X (t), m X (1) ，方差 X
2
(t), X 2 (1) 。 解 （ 1） t
1 时， X (1
) 的分布列为
2
2
1
1
X ( )
2
1 1 P
2
2
0, x 0
一维分布函数 F ( 1
1 ,
0 x
1
, x)
2
2
1,
x 1
t 1 时， X
(1) 的分布列为
X (1)
-1
2
P
1 1
2
2
0, x 1
一维分布函数 F (1, x) 1 1 x
2
,
2
1,
x 2
（2）由于 X (
1
)与X (1) 相互独立，所以 ( X ( 1
), X (1)) 的分布列为
2
2
X (1)
-1
2
X (1/ 2)
1 1
4
4
1 1 1
4 4
二维分布函数
（3）m X(t)
m X (1)
2
X (t )
0, x1 0或 x2 1
1
1 , 0 x1 1, 1 x
2 2
,1; x1 , x2 ) 4
F (
1 ,
2 0 x1 1, x2 2或 x1 1, 1 x2 2
2
1, x1 1, x2 2
1
cos( t )
1
2t
1
cos( t) t
2 2 2
1
2 1
cos2 (
1
(2t) 2 [
1
cos( t ) t ] 2
E[ X 2 (t )] [ EX (t )] 2 t)
1 1
2 2 2
cos2 ( t ) 2t 2 cos2 ( t) t 2 t cos( t)
2 4
1
cos2 ( t ) t 2 t cos( t)
4
[
1
cos( t ) t]2
2
X
2 (1) 9
4
2.4 设有随机过程X (t) A cos( t ) B sin( t) ，其中为常数， A, B 是相互独立且服从正态分布 N (0, 2 )的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。
解因 A,B独立， A ~ N(0, 2)，B~ N(0, 2 )
所以， E[ A] E[ B] 0, D[A] D[B]
2
均值m X (t ) E[ X (t )] E[ A cos( t ) B sin( t )]
cos( t)E[ A] sin( t ) E[ B] 0
相关函数
R X (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] E ( A cos( t1 ) B sin( t1 ))( A cos( t 2 ) B sin( t 2 ))
E A2 cos t 1 cos t 2 B 2 sin t1 sin t 2 AB cos t1 sin t2 AB cos t 2 sin t1 cos t1 cos t 2 E[ A2 ] sin t1 sin t2 E[ B2 ]
2 (cos t1 cos t 2 sin t1 sin t2 )
2c os (t1 t2 )
2.5 已知随机过程 X (t) 的均值函数 m X (t ) 和协方差函数 B X (t1 ,t 2 ), (t ) 为普通函数，令
Y (t) X (t) (t) ，求随机过程 Y(t ) 均值和协方差函数。
解均值 m Y (t) E[Y(t)] E[ X (t ) (t )] E[ X (t)] (t) m X (t ) (t )
协方差 C Y (t1 , t2 ) R Y (t1 ,t2 ) m Y (t1 )m Y (t 2 )
E[Y(t1 )Y(t2 )] m Y (t1 )m Y (t 2 )
E ( X (t1 ) (t1 )( X (t 2 ) (t 2 ) [m X (t1 ) (t1 )][ m X (t2 ) (t2 )]
E[ X (t1 ) X (t 2 )] m X (t1 )m X (t 2 ) 其它项都约掉了
R X (t1 ,t 2 ) m X (t1 )m X (t2 )
C X (t1 ,t 2 )
2.6 设随机过程 X (t) Asin( t ) ，其中 A, 是常数，在 ( , ) 上服从均匀分布，令Y(t ) X 2 (t) ，求 R Y (t,t ) 和 R XY (t ,t ) 。
解R Y (t, t ) E[Y(t )Y(t )] E[ X 2 (t) X 2 (t )]
E A2 sin 2 ( t ) A2 sin 2 ( t )
A2 E (1 cos(2 t 2 ))(1 cos(2 t 2 2 ))
4
A2 E 1 cos( 2 t 2 ) cos(2 t 2 2 ) cos(2 t 2 ) cos(2 t 2 2 )
4
而 E[cos(2 t 2 )] 1 cos(2 t 2 ) d 1
sin(2 t 2 ) 0
2 4 同理 E cos(2 t 2 2 ) 0
利用三角积化和差公式
E cos(2 t 2 ) cos(2 t 2 2 )
1
E cos(2 ) cos(4 t 2 4 )
2
1
cos2 2
所以， R Y (t, t ) A2 [1 1
cos 2 ]
4 2
R XY (t, t ) E[ X (t)Y(t )] E[ X (t) X 2 (t )]
E[ A sin( t ) A2 sin 2 ( t )]
A3
E[sin( t )(1 cos(2 t 2 2 ))]
2
A3
E[sin( t ) sin( t ) cos(2 t 2 2 )]
2
A3 E[ 2 sin( t ) sin( t 2 ) sin(3 t 2 3 )] 4
而 E[ 2sin( t )] 1
sin( t )d 0
同理 E[sin( t 2 )] 0, E[sin( 3 t 2 3 )] 0
所以， R XY (t ,t ) 0
2.7 设随机过程X (t) X Yt Zt 2，其中 X , Y, Z 是相互独立的随机变量，且具有均值为零，方差为1，求随机过程X (t) 的协方差函数。
解根据题意， EX EY EZ 0, DX EX 2 DY EY 2 DZ EZ2 1
m X (t) E[ X (t)] E[ X Yt Zt 2 ] EX tEY t 2 EZ 0
C X (t1 ,t2 ) E[ X (t1 ) m X (t1 )][ X (t 2 ) m X (t 2 )]
E[ X (t1 ) X (t 2 )] E[( X Yt1 Zt 12 )( X Yt 2 Zt 22 )]
因 X ,Y, Z 相互独立，均值为零，所以上面交叉乘积项数学期望为零
EX 2 t1t 2 EY 2 t12 t22 EZ 2 1 t1t 2 t12 t22
2.8 设X (t )为实随机过程，x 为任意实数，令
1, X (t) x
Y (t )
X (t) x
0,
证明随机过程Y(t) 的均值函数和相关函数分别为X (t ) 的一维和二维分布函数。
证明m Y (t ) E[Y(t )] 1 P{ X (t ) x} 0 P{ X (t) x}
P{ X (t) x} F X ( x; t )
(Y(t1 ),Y (t2 )) 的取值为 (1,1), (1,0), (0,1), (0,0)
R Y (t1, t2 ) E[ Y(t1 )Y (t2 )] 1 1 P{ X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 }
1 0 P{ X (t1 ) x1, X (t
2 ) x2 }
0 1 P{ X (t1 ) x1 , X (t 2 ) x2 }
0 0 P{ X (t1 ) x1, X (t 2 ) x2}
P{ X (t1 ) x1 , X (t 2 ) x2} F X ( x1 , x2 ; t1 ,t2 )
2.9 设f (t )是一个周期为T 的周期函数，随机变量Y 在（ 0 ， T ）上均匀分布，令X (t ) f (t Y) ，求证随机过程X (t) 满足
E[ X (t) X (t )] 1 T
f (t) f (t )dt T 0
f Y ( y) 1 , y (0,T )
证明 Y 的密度函数为T
0, 其它
E[ X (t ) X (t )] E[ f (t Y) f (t Y)]
f (t y) f (t y) f Y ( y)dy
1 T
f (t y) f (t y)dy
T 0
t y u 1 t T
f (u) f (u )du T t
1 t f (u) f (u )du T t T
1 T
f (u) f (u ) du T 0
2.13 设 { X (t ), t 0} 是正交增量过程，X (0) 0, V 是标准正态随机变量，若对任意的t 0 ，X (t )与V相互独立，令Y (t )X (t) V ，求随机过程 {Y(t), t0} 的协方差函数。
解 因 X (t) 是正交增量过程， V ~ N (0,1) ，所以 E[ X (t)] 0, E[V ] 0, D[V ] 1，
有 m Y
E[Y (t)] E[ X (t ) V ] E[ X (t)] E[V ] 0
C Y (t 1, t 2 ) E[Y(t 1 ) m Y (t 1 )][ Y(t 2 ) m Y (t 2 )]
E[ Y(t 1 )Y(t 2 )] E[( X (t 1 ) V )( X (t 2 ) V )]
E[ X (t 1 ) X (t 2 )] E[V 2]
E[ X (t 1 )V ] E[ X (t 2 )V ]
（因 X (t )与 V 独立， E[ X (t )]
0, E[V ] 0 ）
E[ X (t 1 ) X (t 2 )] E[V 2] X 2
[min( t 1 , t 2 )] 1 （利用正交增量过程的结论）
习题 4
4.1 设质点在区间 [0， 4]的整数点做随机游动，到达 0 点或 4 点后以概率 1 停留在原处，在其它整数点分别以概率 1
向左、向右移动一格或停留在原处， 求质点随机游动的一步和二步
3
转移概率矩阵。 解 转移概率如图
一步概率转移矩阵为
1 0 0 0 0 1 1 1
0 0
3 3 3 1
P 0 1 1 0
3 3 3
1
0 0
1 1 3 3 3
0 0 0 0 1
二步转移概率矩阵为
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 1 1
0 0
1 1 1
0 0
4 2 2 1
3 3 3 3 3 3 9 9 9 9
P (2)
0 1 1 1 0
0 1 1 1 0
1 2 3 2 1
3 3 3 1
3 3 3
1
9
9
9
9 9
0 0
1 1 0 0
1 1 0
1 2 2 4
3 3 3
3 3 3
9 9 9 9
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 0 1
4.2 独 立 地 重 复 抛 掷 一 枚 硬 币 ， 每 次 抛 掷 出 现 正 面 的 概 率 为 p ， 对 于 n 2 ， 令
X n 0,1,2或 3 ，这些值分别对应于第
n-1 次和第 n 次抛掷的结果为（正，正） ，（正，反），
（反，正），（反，反），求马尔可夫链 { X n ,n 0,1,2, } 的一步和二步转移概率矩阵。 解 对应状态为 0
(正，正）， 1
（正，反）， 2 （反，正）， 3
（反，反）
正，正）（正，正）
，
p
P{( 正，反）（正，正）} q
p 00
P{(
} p 01
p
02
P{( 反，正）（正，正）} 0 （不可能事件） p 03
P{( 反，反）（正，正）} 0 （不可能事件）
同理可得下面概率
p
10
P{( 正，正）（正，反）} 0 ， p 11 P{( 正，反）（正，反）} 0
反，正）（正，反）
，
p
P{( 反，反）（正，反）}
q
p
12
P{(
} p 13
p 20
P{( 正，正）（反，正） p ， p 21
P{( 正，反）（反，正）} q
}
p 22
P{( 反，正）（反，正）} 0 ， p 23 P{( 反，反）（反，正）} 0
p
30
P{( 正，正）（反，反）} 0 ， p 31 P{( 正，反）（反，反）} 0
反，正）（反，反）
，
p P{( 反，反）（反，反）}
q
p
32
P{(
} p 33
一步转移概率矩阵为
p q 0
0 0 p q P
p q 0 0 0 0 p q
二步转移概率矩阵为
p q 0 0 p q 0 0 p 2
pq pq q 2
0 0 p q
0 0 p q 2
2
P (2)
p pq pq q p q 0
p q 0
p 2 pq pq q 2
0 0 p q 0 0
p q
p 2
pq pq q 2
4.4 设 { X n , n 1} 为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为
p i
P{ X 0
i}
1 , i 1,2,3,4
4
1 1 1 1 4 4 4 4
1 1 1 1 P
4 4 4 4 1 1 1 3
4 8 4 8 1 1 1 1
4 4 4 4
试证
{
4 X 0
1,1
X 1
4} { 41 X 1 4}
P X 2
P X 2
解 根据条件概率的定义及马尔可夫链的有限维分布的结论定理 4.3，有
P{ X 2 4 X 0
1,1 X 1
4} P{ X
1,1 X 1
4,X 2
4}
P{ X 0 1,1 X 1
4}
P{ X 0
1, X 1 2,X 2 4} P{ X 0 1, X 1 3,X 2 4}
P{X 0
1,X 1
2} P{ X 0
1, X 1
3}
p 1
p 12
p
24 p 1 p 13
p
34
1 1
1 1
1 3 5 444448
p 1
p
12
p 1
p
13
1111
16
4 4 4
4
同理有
P{ X 2
41 X 1
4}
P{1 X 1 4, X 2
4}
P{1
X 1
4}
p{ X 1 2,X 2
4} P{ X 1 3,X 2
4}
P{ X 1
2} p{ X 1 3}
p 1
p 12
p
24
p 2
p 22
p 24
p 3
p 32
p
24
p 4
p 42
p
24
p 1
p 13
p
34
p 2
p 23
p
34
p 3
p 33
p
34
p 4
p 43
p
34
p 1
p
12
p 2
p
22
p 3
p
32
p 4
p
42
p 1 p 13
p 2
p
23
p 3
p
33
p 4
p
43
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 4
4
4 4 4 4
4 8 4 4 4 4 4 4 8 4 4 8 4 4 8 4 4 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 4
4
4
8
4
4
4
4
4
4
4
4
4 4
7
12
128 128
32 19
19
7
8
128 15 60
32 32
{
4
1,1
4}
{
41
4} 所以，
X 0
X 1
P X 2
X 1
P X 2
4.5 设 { X (t ), t T} 为随机过程，且
X 1 X (t 1 ), X 2 X (t 2 ), , X n X (t n ),
为独立同分布随机变量序列，令
Y0 0,Y1 Y(t1 ) X1 ,Y n cY n 1 X n , n 2 试证： {Y n ,n 0} 是马尔可夫链。
证明只要证明{Y n , n 0} 满足无后效性，即
P{ Y n 1 i
n 1
Y
0 0,Y1 i1 , ,Y n i n } P{ Y n 1 i n 1 Y n i n } 即可。
根据题意，Y n X n CY n 1，由此知 Y n是 ( X1 , X 2 , , X n ) 的函数，因为 X 1 , X 2 , , X n , 是相互独立的随机变量，所以，对任意的n，X n 1与Y0,Y1,Y2, ,Y n , 相互独立。从而
P{ Y n 1 i
n 1
Y
0 0,Y1 i 1, ,Y n i n }
P{ Y n 1 CY n i n 1 Ci n Y0 0,Y1 i1 , ,Y n i n } （因Y n i n）
P{ X n 1 i n 1 Ci n Y0 0,Y1 i1 , , Y n i n }
P{ X n 1 i n 1 Ci n } （因 X n 1 与Y0 ,Y1 ,Y2, ,Y n , 独立，条件概率等于无条件概率）
P{ X n 1 Ci n i
n 1
Y
n i n }
P{ Y n 1 i
n 1
Y
n i n }
4.6 已知随机游动的转移概率矩阵为
0.5 0.5 0
P 0 0.5 0.5
0.5 0 0.5
求三步转移概率矩阵P(3)及当初始分布为
P{ X0 1} P{X0 2} 0,P{ X0 3} 1
时，经三步转移后处于状态 3 的概率。
0.5 0.5 0 0.5 0.5 0 0.25 0.5 0.25 解P(2) 0 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5
0.5 0 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0.25 0.25
0.25 0.5 0.25 0.5 0.5 0 0.25 0.375 0.375 P(3) 0.25 0.25 0.5 0 0.5 0.5 0.375 0.25 0.375
0.5 0.25 0.25 0.5 0 0.5 0.375 0.375 0.25
0.25 0.375 0.375
P T (3)0 0 1 0.375 0.25 0.3750.375 0.375 0.25
0.375 0.3750.25
所以， p3 (3) 0.25
4.7 已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下
0.8 0.1 0.1
（1）P T(0) (0.4,0.2,0.4), P 0.1 0.7 0.2
0.2 0.2 0.6
0.7 0.1 0.1 0.1
（2）P T(0) (0.2, 0.2, 0.3, 0.3), P 0.1 0.6 0.2 0.1
0.1 0.1 0.6 0.2
0.1 0.1 0.2 0.6
求下一、二个月的销售状态。
0.8 0.1 0.1
解（ 1）P T(1) P T(0)P0.4 0.2 0.4 0.1 0.7 0.2 0.42 0.26 0.32
0.2 0.2 0.6
0.8 0.1 0.1 0.8 0.1 0.1 0.67 0.17 0.16
（2）
0.1 0.7 0.2 0.1 0.7 0.2 0.19 0.54 0.27
P
0.2 0.2 0.6 0.2 0.2 0.6 0.3 0.28 0.42
0.67 0.17 0.16
P T (2) P T （）
0.4 0.2 0.4 0.19 0.54 0.27 0.426 0.288 0.286
( 0)P 2
0.3 0.28 0.42
0.7 0.1 0.1 0.1
（2）P T(1) P T (0)P 0.2 0.2 0.3 0.3 0.1 0.6 0.2 0.1 0.1 0.1 0.6 0.2 0.1 0.1 0.2 0.6
0.22 0.2 0.3 0.28
0.7 0.1 0.1 0.1 0.7 0.1 0.1 0.1 0.52 0.15 0.17 0.16 （2）
0.1 0.6 0.2 0.1 0.1 0.6 0.2 0.1 0.16 0.4 0.27 0.17
P
0.1 0.1 0.6 0.2 0.1 0.1 0.6 0.2 0.16 0.15 0.43 0.26
0.1 0.1 0.2 0.6 0.1 0.1 0.2 0.6 0.16 0.15 0.27 0.42
0.52 0.15 0.17 0.16 P T
( 2) P T
（2）
0.16 0.4 0.27 0.17 (0)P
(0.2, 0.2, 0.3, 0.3)
0.15 0.43 0.26
0.16
0.16 0.15
0.27 0.42
0.232 0.2 0.298 0.27
4.8 某商品六年共 24 个季度销售记录如下表（状态
1—畅销，状态 2—滞销）
季节 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 销售状态 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 季节 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
销售状态
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
1
以频率估计概率，求（ 1）销售状态的初始分布， （ 2）三步转移概率矩阵及三步转移后的销售状态的分布。
解 状态 1 的个数为 15 个，状态 2 的个数为 9 个 （1）所以，销售状态的初始分布为
P T (0)
15 9 0.625 0.275
24
24
（2）求一步转移概率
状态 1 1 共有 7 个，状态 1 2共有 7 个，
状态 2
1共有 7 个，状态 2 2 共有 2个，
所以， p 11
7 1 , p
12
7 1 ， p 21 7
, p 22
2
14 2
14 2
9
9
一步转移概率矩阵为
1 1
P
2 2
，
7 2
9 9
1
1 1 1 1 1 1 7 1 1 1
2 2
3 13 P (2)
2 2 2 2 2 2 2 9 2 2 2 9
36 36
7 2 7 2 7 1 2 7 7 1 2 2 91 71
9
9
9 9
9 2 9 9
9 2
9 9
162 162
三步转移概率矩阵为
23 13 1
1 P (3)
36 36 2 2
91 71 7 2
162 162 9
9
23 13 7 23 26 389
259 0.6 0.4
72 36 9 72 36 9 648 648 91 71 7 91 71 2 1813 1103 0.62 0.38
324
162 9
324
162 9 2916 2916
三步转移后的销售状态分布为
T (3) T （3）0.625 0.6 0.4
P P (0)P 0.375 0.61 0.39
0.62 0.38
1 4.9 设老鼠在如图所示的迷宫中作随机游动，当它处在某个方格中有k 条通道时，以概率
k 随机通过任一通道，求老鼠作随机游动的状态空间、转移概率矩阵。
解状态空间为I {1,2,3, ,9}
转移概率矩阵为
0 1 0 0
1
0 1
0 0
2 2
1 1
0 0
2 2
0010
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1
1
0 2 2
1 1 1
0 0
3 3 3
0 0 0 1 0
习题 6
6.1 设有随机过程X (t ) cos( t ) ，其中0 为常数，是在区间 (0,2 ) 上服从均匀分布的随机变量，问X (t) 是否为平稳过程。
解 E[ X (t)] E[cos( t )] 2 )
1
d 0 cos( t
0 2
R X (t, t ) E[ X (t)X (t )] E[cos( t ) cos( t )]
2 1
cos( t ) cos( t ) d
0 2
1 2
[cos cos(2 t
2 )]d
4 0
1
， 与 t 无关
cos
2
1
2
E X (t )
R X (0)
2
所以 X (t ) 是平稳过程。
6.2 设有随机过程 X (t) Acos(
t) ，其中 A 是均值为零、方差为
2
的正态随机变量，求：
（ 1） X (1)和
X ( 1
) 的概率密
度； 4
（ 2） X (t) 是否为平稳过程。
解 （ 1）因正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量，对任意
t ， X (t) 服从正态分布。
X (1)
A, X (1)
2
A ，
4
2
E[ X (1)] E[ A] 0, D[ X (1)] D[ A] DA
2
E[ X (1
)]
2
A] 0,D[X(1
)]
2
A]
1 2
E[ D [ DA
4
2
4 2
2
2
所以 X (1) 的概率密度为
x 2
1
e
2
2
x
f (1; x)
，
2
X ( 1
) 的概率密度为
4
x
2
f (
1
; x)
1 2
x
e ，
4
（2） R X (t ,t
)
E[ A cos( t ) Acos( t
)]
cos( t) cos( t
)E[ A 2 ]
2
cos( t) cos( t
) ，与 t 有关
所以， X (t ) 不是平稳过程。
6.3 设有随机过程
X (t) Acos( t ) ，其中 A 是服从瑞利分布的随机变量， 其概率密度
x
x 2
为
f (x)
2
exp{
2 2
},
x 0
0,
x 0
是在 (0,2 ) 上服从均匀分布且与 A 相互独立的随机变量，
为常数，问 X (t) 是否为平
稳过程。
解 先求出瑞利分布
A 的数学期望和 A 2 的数学期望，
EA
x
x
exp{
x 2
2 } dx
x exp{
x 2
x 2 2
)
2 2
0 2
2 } d (
2
xd exp{
x 2
2 2
}
x exp{ x 2
2
}
exp{ x 2
2
2 2 }dx
1
x 2 2
1
x
2
exp{
2 } dx
2
e 2 2
dx 2
2
2
2
2
2
2
EA 2
x 2
x
exp{
x 2
2 2
x 2
exp{
x 2
x 2
2
)
2
2 2 } dx
2 2
2
} d (
2
2
令 y
x 2 2 2 2 ye y dy 2 2
2 0
E[ X (t )] E[ Acos( t
)]
EA E[cos( t
)]
2
cos(
t
) 1
0 d
2
2
R X (t, t
) E[ X (t ) X (t
)] E[ A cos( t
) Acos( t
)]
EA 2 E[cos( t
) A cos( t
)]
2
2
1
E[cos( ) cos(2 t 2 )]
2
)] 1
2
2
)
cos(2
t
2 d
[cos(
2
2
cos( )
与 t 无关
E X (t ) 2
R X (0) 2
所以， X (t ) 是平稳过程。
6.4 设有随机过程 X (t)
f (t ) ，其中 f ( x) 是周期为 T 的实值连续函数，
是在（ 0，
T ）上服从均匀分布的随机变量，证明 X (t ) 是平稳过程并求相关函数 R X ( ) 。
解 E[ X (t)] T f (t
1
d 令 t
1 t
T
1 T
)
y
f ( y)dy
T
f ( y)dy ，为常数
T
T t
1
R X (t, t
)
E[ X (t)X (t
)] T ) f (t
d
f (t
)
T
1
1
t T
)dy
T f ( y) f ( y )dy ， 与 t 无关 T
t f ( y) f ( y
T
1
E X (t ) 2
R X (0) T
2
( y) dy
f
T 0 所以， X (t ) 是平稳过程。
R X ( )
1 T
)dy
T
f ( y) f ( y
6.5 设 X (t )和 Y (t ) 是平稳过程，且相互独立，求 Z (t) X (t )Y (t) 的相关函数， Z (t ) 是否
为平稳过程。
解 因 X (t)和 Y(t ) 是平稳过程，它们的均值是常数、相关函数与 t 无关是 的函数，又相互
独立。
所以， E[ Z (t)]
E[ X (t )Y(t )] E[ X (t)] E[Y (t)] m X m Y
是常数
R Z (t,t ) E[ X (t )Y (t )X (t
)Y (t
)]
E[ X (t )X (t ) Y (t )Y(t
)]
E[ X (t) X (t
) E[Y(t )Y(t
)]
R X ( )R Y ( )
与 t 无关
E Z (t)
2
R X (0)R Y (0)
R Z (0)
所以， Z (t ) 是平稳过程。
6.13 设正态随机过程具有均值为零，相关函数为
R X ( )
6e 2 ，求给定 t 时的随机变量
X (t ), X (t 1), X (t 2), X (t 3) 的协方差矩阵。
解 因 X (t) 是正态过程， 且均值为零， 相关函数 R X ( ) 6e 2
与 t 无关，所以 X (t ) 是平稳
过程，则对任意给定的
t ， ( X (t), X (t 1), X (t 2), X (t 3)) 服从正态分布，
Cov ( X (t), X (t )) C X (t , t
)
R X (t, t
) m X 2
R X ( ) 6e 2
，
0,1,2,3
1 所以， C X (t, t)
R X (0) 6 ， C X (t ,t 1) R X (1) 6e 2
，
3
C X (t, t 2)
R X (2) 6e 1 ， C X (t ,t 3) R X (3) 6e 2 同理 Cov ( X (t
1), X (t
)) C X (t 1,t
)
1
R X (t 1,t
) m X
2
R X (
1)
6e 2
，
0,1,2,3
所以，
1
1
6e 1
C X (t 1,t )
6e 2 ，C X (t 1, t 1) 6 ，C X (t 1, t 2)
6e 2 ，C X (t 1,t
3)
2
Cov( X (t 2), X (t
)) C X (t 2,t
) 6e
2
，
0,1,2,3
1 ，
1
1 C X (t 2,t )
6e
2, t
1)
6e 2 ，
C X
(t 2,t 2) 6 ，
2,t
3) 6e 2
C X (t
C X (t
3
Cov( X (t 3), X (t
)) C X (t 3, t )
6e
2 ，
0,1,2,3
3
1
C X (t 3,t ) 6e
2 ，
3,t 1)
6e 1
，
(t 3,t 2)
6e 2
，C
X (t 3, t 3) 6
C X (t C X
所以协方差矩阵为
C X (t ,t )
C X (t ,t 1) C X (t, t 2) C X (t, t 3) C X (t 1, t) C X (t 1,t 1) C X (t 1, t 2) C X (t 1, t 3)
C X (t 2,t ) C X (t 2,t 1) C X (t 2, t 2)
C X (t 2, t 3) C X (t 3,t) C X (t 3,t 1) C X (t 3, t 2)
C X (t 3, t 3)
6
6e
6e
6e
1 2 1 3 2
6e
6
6e
6e
1 2 1 2 1
6e
6e
6
6e
1 1
2 1 2
6e
6e
6e
6
3 2 1 1 2
6.15
设随机过程 X (t ) a cos( t
) 和 Y (t ) bsin( t
) 是单独且联合平稳随机过
程，其中 a,b, 为常数， 是在 (0, ) 上服从均匀分布的随机变量，求
R XY ( ) 和 R YX ( ) 。
解 R XY ( ) E[ X (t )Y (t )]
E[a cos( t )b sin( t
)]
ab
E[sin sin(2 t
2 )]
2
ab [sin
sin(2 t
2 )] 1
d
2
ab
sin
2
因 R XY ( ) R YX ( )
所以 R YX ( )
R XY ( )
ab
sin(
)
ab
sin(
)
2
2
习题 7
7.2 设平稳过程 X (t) 的相关函数 R X ( )
e a ，求 X (t ) 的谱密度。
解S X ()
R X ( )e j
d
a
e j
d
e
e ( a j ) d
e (a j ) d
1 e ( a j ) 0
a 1 e (a j )
0 a j
j
1
1
2a
a
j
a
j
a 2
2
7.3 设有平稳过程 X (t) a cos(
t
) ，其中 a,
0 为常数， 是在 (
, ) 上服从均匀
分布的随机变量，求 X (t ) 的谱密度。
1 ( , ) 解 的概率密度为
f ( )
2 ,
0, 其它
R X ( ) E[ X (t) X (t )] E[ a cos(
0 t )a cos( 0t
)]
a 2
cos(
t
) cos( 0 t
) 1 d
2
a 2 [cos
cos(2
t
2 )] d
4
a 2 cos 0 2
S X ( ) R X ( )e j d a 2 cos 0 e j d
2
a2 [e j
e j 0 ]e j d
4
a2 [e j ( 0 ) e j ( 0 )]d
4
a2
[ 2 ( 0 ) 2 ( 0 )]
4
7.4 已知平稳过程的相关函数R X ( ) 4e cos( ) cos(3 ) ，求谱密度S X( ) 。解 S X( ) R X ( )e j d [4e cos( ) cos(3 )]e j d
2e [ e j e j ] e j d 2e [ e j e j ]e j d cos(3 )e j d
0 2[e[1 j ( )] e[1 j ( )] ]d 2[ e [1 j ( )] e [1 j ( )] ]d
cos(3 )e j d
2[ 1 1 ] 2[ 1 1 ]
) 1 j ( j ( ) 1 j (
1 j ( ) 1 )
[ ( 3 ) ( 3 )]
4[1 ( 1 1
) 2
]
[ ( 3 ) ( 3 )] ) 2 1 (
7.6 当平稳过程通过如图所示的系统时，证明输出 Y(t) 的谱密度为S Y ( ) 2S X ( )(1 cos( T))。
证明R Y( ) E[Y(t )Y (t )] E X (t) X (t T )( X (t ) X (t T))
E[ X (t )X (t ) X (t T )X (t T ) X (t )X (t T ) X (t T )X (t )] 2R X( ) R X( T ) R X ( T )
S Y( ) R Y ( )e j d [2R X( ) R X( T) R X( T )] e j d 2S X( ) R X ( T ) e j d R X ( T )e j d
2S X ( ) S X ( )e j T S X ( )e j T
2S X ( )[1 cos T ]
7.7 已知平稳过程X (t )的谱密度为S X( ) c2 , 0 2 0
，求相关函数0, 其它
R X( )。
解R X() 1 S X ( )e j d 1
2 c 2 cos d 0
2
c 2 sin 2 0 0 c 2 [sin 2 0 sin 0 ]
7.8 设有平稳过程X (t) a cos( t ) ，其中 a 为常数，是在 (0,2 ) 上服从均匀分布的随机变量，是分布密度满足 f ( ) f ( ) 的随机变量，且与相互独立，求证 X (t) 的谱密度为 S X ( ) a 2 f ( ) 。
证明设 f ( , ) 是和的联合分布密度，因和相互独立，所以
f ( , ) 1
f ( ) ，, 0 2 2
R X( ) E[ X (t)X (t )] E[ a cos( t )a cos( t )] a2 cos( t ) cos( t ) f ( , )d d
a2
f ( )d 2 cos( t ) cos( t )d
2 0
a2
f ( )d 2 1
) cos(2 t 2 )] d
2
[cos( 0 2
a2
f ( ) cos( )d
2
a2
f ( ) cos( )d j f ( ) sin( )d 2
最新随机过程考试试题及答案详解1
随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(；
中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案
（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。 （3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程， 且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？ 解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-
随机过程试题带答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平）？050.=α解：这是单个正态总体),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0μ-=已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ，计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值.052.2)27(025.0=t 由于，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语 052.2>T 2622.2>成绩为85分.二、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录:借出图书数 k 0 1 2 3 4 5 6≥7频数 f 8 16 17 10 6 2 1 0试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? （取显著性水平） 050.=α解：由极大似然估计得.2?==x λ在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则有估计 }{k X P ==i p ? ,7,0,!2}{?2===-k k e k X P k =0?p 三、某公司在为期10年内的年利润表如下： 年份 1 2 3 4 5 6 7 8910利润 1.89 2.19 2.06 2.31 2.26 2.39 2.61 2.58 2.82 2.9 通过管线敷设技术，不仅可以解决有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？ 解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p 2016随机过程（A ）解答 1、（15分）设随机过程V t U t X +?=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数； 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解： 由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +?=)(也服从正态分布， 且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==?+=?+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==?+=+=+ 故： (1) )(t X 的一维概率密度函数为：()2 22218(1) (),x t t t f x e x --- += -∞≤≤∞ (2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为： {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =?=?+??+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =?++??+=?++?+ 协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-?=+ （3）相关系数： (,)s t ρρ== == )(t X 的二维概率密度函数为： 2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e ρ????-----?? +????-++???????? = 2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的 平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解： 到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。 将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为： 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤?=? <≤? 在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值： 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=??? 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1 《随机过程期末考试卷》 1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 ___________ 。 2?设随机过程X(t)二Acos(「t+「),-：：vt<：：其中「为正常数，A和门是相互独立的随机变量，且A和“服从在区间10,1 1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。 3?强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为_ 的同一指数分布。 4?设「W n ,n 一1是与泊松过程：X(t),t - 0?对应的一个等待时间序列，则W n服从分布。5?袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回， r 对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3’如果t时取得红球，则这个随机过 e t, 如果t时取得白球 程的状态空间__________ 。 6 ?设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p j)，n步转移矩阵P(n)=8(；))，二者之间的关系为。 7?设汉.，n -0?为马氏链，状态空间I，初始概率P i二P(X。二i)，绝对概率 P j(n)二P^X n二j?，n步转移概率p j n)，三者之间的关系为_____________ 。 8 .设｛X(t),t 一0｝是泊松过程，且对于任意t2t^ 0则 P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = _______ t 9?更新方程K t二H t ? .°K t-s dF s解的一般形式为__________________ 。10?记二-EX n,对一切a 一0,当t—一：时，M t+a -M t > ____________ 3.设］X n,n — 0?为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数n—0,仁I 通信原理试卷(A ) 02.12.22 一 填空题：（每个空0.5分，共15分） 1. 基带传输系统的总误码率依赖于信号峰值 和噪声均方根值 之比。 2. 调制信道对信号的干扰分为乘性干扰 和加性干扰 两种。 3. 若线形系统的输入过程()t i ξ是高斯型的，则输出()t o ξ是高斯 型的。 4. 通断键控信号（OOK ）的基本的解调方法有非相干解调（包络检波法） 及相干解调（同步检测法） 。 5. 随参信道的传输媒质的三个特点分别为对信号的耗衰随时间而变 、 传输的时延随时间而变、多径 传播 。 6. 根据乘性干扰对信道的影响，可把调制信道分为恒参信道 和随参信道 两大类。 7. 包络检波法的系统误码率取决于系统输入信噪比 和归一化门限值 。 8. 起伏噪声又可分为 热噪声、散弹噪声 及宇宙噪声 。 9. 数字基带信号()t S 的功率谱密度()ωS P 可能包括两部分即连续谱 和离散谱 。 10. 二进制振幅键控信号的产生方法有两种，分别为 模拟幅度调制法和键控法 。 11. 模拟信号是利用 抽样、量化 和编码 来实现其数字传输的。 12. 模拟信号数字传输系统的主要功能模块是 A/D 、数字传输系统和D/A 。 13. 设一分组码（110110）；则它的码长是 6 ，码重是 4 ，该分组码与另一分组码（100011）的码距是 3 。 二 判断题：（正确划“√”，错误划“ ×”；每题0.5分，共5分） 1. 码元传输速率与信息传输速率在数值上是相等的。（ ×） 2. 一般说来，通过键控法得到二进制移频建控信号（2FSK ）的相位（n ?、n θ）与序列n 无关。（√ ） 3. 任何一个采用线性调制的频带传输系统，总可以由一个等效的基带传输系统所替代。（ √） 4. 白噪声是根据其概率密度函数的特点定义的。（ ×） 5. 基带传输系统的总误码率与判决门限电平有关。（√ ） 6. 对于受到高斯白噪声干扰的连续信道， B 与N S 可以互换。（× ） 7. 恒参信道对信号传输的影响是变化极其缓慢的，因此，可以认为它等效于一个时变的线性网络。（× ） 8. 对于受到高斯白噪声干扰的连续信道，若增加信道带宽B ，则信道容量C 无限制地增加。（× ） 9. 小信噪比时，调频系统抗噪声性能将比调幅系统优越，且其优越程度将随传输带宽的增加而增加。（ ×） 10. 一种编码的检错和纠错能力与该编码的最小码距的大小有直接关系。（ √） 三 选择题：（每题1分，共10分） a) 一个随机过程是平稳随机过程的充分必要条件是 B 。 （A ） 随机过程的数学期望与时间无关，且其相关函数与时间间隔无关； （B ） 随机过程的数学期望与时间无关，且其相关函数仅与时间间隔有关； （C ） 随机过程的数学期望与时间有关，且其相关函数与时间间隔无关； （D ） 随机过程的数学期望与时间有关，且其相关函数与时间间隔有关； b) 下列属于线性调制的是 C 。 （A ） 相移键控； （B ）频移键控； （C ）振幅键控； （D ）角度调制。 c) 采用同步解调残留边带信号时，只要残留边带滤波器的截止特性在载频处具有 C 特性，就能够准确地 恢复所需的基带信号。 （A ）互补 （B ）对称 （C ）互补对称 （D ）没有特殊要求 通信原理期末考试试题及答案 一、填空题（总分24 ，共 12 小题，每空 1 分） 1、数字通信系统的有效性用传输频带利用率衡量，可靠性用差错率衡量。 2、模拟信号是指信号的参量可连续取值的信号，数字信号是指信号的参量可离 散取值的信号。 3、广义平均随机过程的数学期望、方差与时间无关，自相关函数只与时间间隔有 关。 4、一个均值为零方差为n2的窄带平稳高斯过程，其包络的一维分布服从瑞利分布， 相位的一维分布服从均匀分布。 5 、当无信号时，加性噪声是否存在？是乘性噪声是否存在？否。 6 、信道容量是指：信道传输信息的速率的最大值，香农公式可表示为： C B log 2 (1S ) 。 N 7、设调制信号为 f（t）载波为cos c t，则抑制载波双边带调幅信号的时域表达式为 f (t) cos c t，频域表达式为1 [ F ( c ) F ( c )]。2 8、对最高频率为 f H的调制信号 m （t ）分别进行 AM 、DSB 、SSB 调制，相应已调 信号的带宽分别为2f H、2f H、 f H。 9、设系统带宽为W ，则该系统无码间干扰时最高传码率为2W波特。 10 、PSK 是用码元载波的相位来传输信息， DSP 是用前后码元载波的相位差来传 输信息，它可克服PSK 的相位模糊缺点。 11 、在数字通信中，产生误码的因素有两个：一是由传输特性不良引起的码间串 扰，二是传输中叠加的加性噪声。 12 、非均匀量化的对数压缩特性采用折线近似时， A 律对数压缩特性采用13折线 近似，律对数压缩特性采用15折线近似。 二、简答题（总分18 ，共 4 小题） 1 、随参信道传输媒质的特点？（ 3 分） 答：对信号的衰耗随时间变化、传输的时延随时间变化、多径传播 2、简述脉冲编码调制的主要过程。(6 分) 抽样是把时间连续、幅值连续的信号变换为时间离散，幅值连续的脉冲信号；量化是 把时间离散、幅值连续的脉冲信号变换为幅值离散、时间离散的多电平脉冲信号；编 码是把幅值、时间均离散的多电平脉冲信号用一组数字序列表示。 3 、简单叙述眼图和系统性能之间的关系？（ 6 分） 最佳抽样时刻对应眼睛张开最大时刻；对定时误差的灵敏度有眼图斜边的斜率决定；图的阴影区的垂直高度，表示信号幅度畸变范围；图中央横轴位置对应判决门 限电平；抽样时刻上，上下阴影区的间隔距离之半为噪声容限。 4、简述低通抽样定理。（ 3 分） 一个频带限制在（ 0，f H）内的时间连续信号m(t) ，如果以T 1 2 f H的时间 间隔对它进行等间隔抽样，则m(t) 将被所得到的抽样值完全确定 2 、设信息序列为 100000000001100001 ，试编为 AMI 码和 HDB 3 码（第一个非零码编 为 +1 ），并画出相应波形。（6 分） 100000000001100001 AMI+10000000000-1+10000-1 HDB3 +1 0 0 0+V-B 0 0-V 0 0+1-1+B 0 0+V-1 +1 0 0 0+1-1 0 0-1 0 0+1-1+1 0 0+1-1 AMI HDB3 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意0 12 ≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 6 18}4)3(|6)5({-===e X X P 15 3 2 6 2 3 2 92! 23 ! 2)23(! 23 }2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=? ?? ==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 6 6 2 18! 26 }2)3()5({}4)3(|6)5({--== =-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ????? ? ?? ? ????? ??? ?=434 10313131 04341 1)(P ，则167)2(12 =P ，16 1}2,2,1{210= ===X X X P ???????? ? ????? ????=48 3148 1348 436133616367164167165)1()2(2 P P 16 7)2(12= P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 4 2++= ωωω ωS ，则)(t X 的均方值 = 212 1- 222 22 2 11221)2(2 221 1 1 22 )(+??-+?? = +- += ωωωωωS τ τ τ--- = e e R X 2 12 1)(2 北京工业大学2007-2008学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试题 标准答案（仅供参考） 一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布 ),(254σN ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下： 54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.=α）？ 解：按题意，要检验的假设是 54:0=μH ，因2σ未知，故用-t 检验法，由05.0=α，查t 分布表得临界 值2622290250.)(.=t ，由样本值算得 382514654.,.==t x 因为26222. 1255804101145701312680122222222 9 2 2 .)()(==++++++++= -=∑ =i i i i np np f χ 查表得919160502 9.).(=χ 因为9191612552..<=χ, 所以接受0H ，认为X 服从 等概率分布. 三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米） 求y 关于x 的一元线性回归方程，并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α， 计算结果保留三位小数. 346.9,857.16==y x 根据计算结果可得： （1） 回归方程：X Y 1845.0244.6+=∧ ?????? ???? ??? =??-?=-=====??-==?-=244.61845.01187142.6571??1845.0857.454906.83?906.8342.65118717.1186857.4541187 124442x b y a S S b S S xx xy xy xx 于是得 随机过程复习题(含答 案) 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为 ),,(4 12141， ???? ?? ?? ?????? ??? ?=434 10313131 043 411)(P ，则167)2(12=P ，16 1 }2,2,1{210= ===X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2 期末随机过程试题及答 案 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 第一章 随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。 解： 1o 当0cos 0t ω=，02 t k π ωπ=+ ，即0112t k πω??= + ??? （k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2o 当0cos 0t ω≠，02 t k π ωπ≠+ ，即0112t k πω?? ≠ + ??? （k z ∈）时， ()~01X N Q ，，()0E X ∴=，()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===????. ()[]()22 000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===????. ()()20~0cos X t N t ω∴，. 则( )2202cos x t f x t ω- = ；. 2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 ()cos 2t X t t π?=??，出现正面，出现反面 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 12。试确定()X t 的一维分布函数12F x ?? ???；和()1F x ；，以及二维分布函数12112 F x x ?? ?? ? ，；， 。 00 11101222 11 期末随机过程试题及标准答案
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