大牛很通俗地介绍《信号与系统》
大牛很通俗地介绍《信号与系统》
第一课什么是卷积卷积有什么用什么是傅利叶变换什么是拉普拉斯变换
引子
很多朋友和我一样，工科电子类专业，学了一堆信号方面的课，什么都没学懂，背了公式考了试，然后毕业了。
先说"卷积有什么用"这个问题。(有人抢答，"卷积"是为了学习"信号与系统"这门课的后续章节而存在的。我大吼一声，把他拖出去枪毙！)
讲一个故事:
张三刚刚应聘到了一个电子产品公司做测试人员，他没有学过"信号与系统"这门课程。一天，他拿到了一个产品，开发人员告诉他，产品有一个输入端，有一个输出端，有限的输入信号只会产生有限的输出。
然后，经理让张三测试当输入sin(t)(t<1秒)信号的时候(有信号发生器)，该产品输出什么样的波形。张三照做了，花了一个波形图。
"很好！"经理说。然后经理给了张三一叠A4纸:"这里有几千种信号，都用公式说明了，输入信号的持续时间也是确定的。你分别测试以下我们产品的输出波形是什么吧！"
这下张三懵了，他在心理想"上帝，帮帮我把，我怎么画出这些波形图呢?"
于是上帝出现了:"张三，你只要做一次测试，就能用数学的方法，画出所有输入波形对应的输出波形"。
上帝接着说:"给产品一个脉冲信号，能量是1焦耳，输出的波形图画出来！"
张三照办了，"然后呢?"
上帝又说，"对于某个输入波形，你想象把它微分成无数个小的脉冲，输入给产品，叠加出来的结果就是你的输出波形。你可以想象这些小脉冲排着队进入你的产品，每个产生一个小的输出，你画出时序图的时候，输入信号的波形好像是反过来进入系统的。"
张三领悟了:"哦，输出的结果就积分出来啦！感谢上帝。这个方法叫什么名字呢?"
上帝说:"叫卷积！"
从此，张三的工作轻松多了。每次经理让他测试一些信号的输出结果，张三都只需要在A4纸上做微积分就是提交任务了！
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张三愉快地工作着，直到有一天，平静的生活被打破。
经理拿来了一个小的电子设备，接到示波器上面，对张三说:"看，这个小设备产生的波形根本没法用一个简单的函数来说明，而且，它连续不断的发出信号！不过幸好，这个连续信号是每隔一段时间就重复一次的。张三，你来测试以下，连到我们的设备上，会产生什么输出波形！"
张三摆摆手:"输入信号是无限时长的，难道我要测试无限长的时间才能得到一个稳定的，重复的波形输出吗?"
经理怒了:"反正你给我搞定，否则炒鱿鱼！"
张三心想:"这次输入信号连公式都给出出来，一个很混乱的波形；时间又是无限长的，卷积也不行了，怎么办呢?"
及时地，上帝又出现了:"把混乱的时间域信号映射到另外一个数学域上面，计算完成以后再映射回来"
"宇宙的每一个原子都在旋转和震荡，你可以把时间信号看成若干个震荡叠加的效果，也就是若干个可以确定的，有固定频率特性的东西。"
"我给你一个数学函数f，时间域无限的输入信号在f域有限的。时间域波形混乱的输入信号在f域是整齐的容易看清楚的。这样你就可以计算了"
"同时，时间域的卷积在f域是简单的相乘关系，我可以证明给你看看"
"计算完有限的程序以后，取f(-1)反变换回时间域，你就得到了一个输出波形，剩下的就是你的数学计算了！"
张三谢过了上帝，保住了他的工作。后来他知道了，f域的变换有一个名字，叫做傅利叶，什么什么......
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再后来，公司开发了一种新的电子产品，输出信号是无限时间长度的。这次，张三开始学拉普拉斯了......
后记:
不是我们学的不好，是因为教材不好，老师讲的也不好。
很欣赏Google的面试题:用3句话像老太太讲清楚什么是数据库。这样的命题非常好，因为没有深入的理解一个命题，没有仔细的思考一个东西的设计哲学，我们就会陷入细节的泥沼:背公式，数学推导，积分，做题；而没有时间来回答"为什么要这样"。做大学老师的做不到"把厚书读薄"这一点，讲不出哲学层面的道理，一味背书和翻讲ppt，做着枯燥的数学证明，然后责怪"现在的学生一代不如一代"，有什么意义吗?
第二课到底什么是频率什么是系统?
这一篇，我展开的说一下傅立叶变换F。注意，傅立叶变换的名字F可以表示频率的概念(freqence)，也可以包括其他任何概念，因为它只是一个概念模型，为了解决计算的问题而构造出来的(例如时域无限长的输入信号，怎么得到输出信号)。我们把傅立叶变换看一个C语言的函数，信号的输出输出问题看为IO的问题，然后任何难以求解的x->y的问题都可以用x->f(x)->f-1(x)->y来得到。
1.到底什么是频率?
一个基本的假设:任何信息都具有频率方面的特性，音频信号的声音高低，光的频谱，电子震荡的周期，等等，我们抽象出一个件谐振动的概念，数学名称就叫做频率。想象在x-y平面上有一个原子围绕原点做半径为1匀速圆周运动，把x轴想象成时间，那么该圆周运动在y轴上的投影就是一个sin(t)的波形。相信中学生都能理解这个。
那么，不同的频率模型其实就对应了不同的圆周运动速度。圆周运动的速度越快，sin(t)的波形越窄。频率的缩放有两种模式
(a)老式的收音机都是用磁带作为音乐介质的，当我们快放的时候，我们会感觉歌唱的声音变得怪怪的，调子很高，那是因为"圆周运动"的速度增倍了，每一个声音分量的sin(t)输出变成了sin(nt)。
(b)在CD/计算机上面快放或满放感觉歌手快唱或者慢唱，不会出现音调变高的现象：因为
快放的时候采用了时域采样的方法，丢弃了一些波形，但是承载了信息的输出波形不会有宽窄的变化；满放时相反，时域信号填充拉长就可以了。
2.F变换得到的结果有负数/复数部分，有什么物理意义吗?
解释:F变换是个数学工具，不具有直接的物理意义，负数/复数的存在只是为了计算的完整性。
3.信号与系统这们课的基本主旨是什么?
对于通信和电子类的学生来说，很多情况下我们的工作是设计或者OSI七层模型当中的物理层技术，这种技术的复杂性首先在于你必须确立传输介质的电气特性，通常不同传输介质对于不同频率段的信号有不同的处理能力。以太网线处理基带信号，广域网光线传出高频调制信号，移动通信，2G和3G分别需要有不同的载频特性。那么这些介质(空气，电线，光纤等)对于某种频率的输入是否能够在传输了一定的距离之后得到基本不变的输入呢?那么我们就要建立介质的频率相应数学模型。同时，知道了介质的频率特性，如何设计在它上面传输的信号才能大到理论上的最大传输速率?----这就是信号与系统这们课带领我们进入的一个世界。
当然，信号与系统的应用不止这些，和香农的信息理论挂钩，它还可以用于信息处理(声音，图像)，模式识别，智能控制等领域。如果说，计算机专业的课程是数据表达的逻辑模型，那么信号与系统建立的就是更底层的，代表了某种物理意义的数学模型。数据结构的知识能解决逻辑信息的编码和纠错，而信号的知识能帮我们设计出码流的物理载体(如果接受到的信号波形是混乱的，那我依据什么来判断这个是1还是0?逻辑上的纠错就失去了意义)。在工业控制领域，计算机的应用前提是各种数模转换，那么各种物理现象产生的连续模拟信号(温度，电阻，大小，压力，速度等)如何被一个特定设备转换为有意义的数字信号，首先我们就要设计一个可用的数学转换模型。
4.如何设计系统?
设计物理上的系统函数(连续的或离散的状态)，有输入，有输出，而中间的处理过程和具体的物理实现相关，不是这们课关心的重点(电子电路设计?)。信号与系统归根到底就是为了特定的需求来设计一个系统函数。设计出系统函数的前提是把输入和输出都用函数来表示(例如sin(t))。分析的方法就是把一个复杂的信号分解为若干个简单的信号累加，具体的过程就是一大堆微积分的东西，具体的数学运算不是这门课的中心思想。
那么系统有那些种类呢?
(a)按功能分类:调制解调(信号抽样和重构)，叠加，滤波，功放，相位调整，信号时钟同步，负反馈锁相环，以及若干子系统组成的一个更为复杂的系统----你可以画出系统流程图，是不是很接近编写程序的逻辑流程图?确实在符号的空间里它们没有区别。还有就是离散状态的数字信号处理(后续课程)。
(b)按系统类别划分，无状态系统，有限状态机，线性系统等。而物理层的连续系统函数，是一种复杂的线性系统。
5.最好的教材?
符号系统的核心是集合论，不是微积分，没有集合论构造出来的系统，实现用到的微积分便毫无意义----你甚至不知道运算了半天到底是要作什么。以计算机的观点来学习信号与系统，最好的教材之一就是<
符合人类的思维习惯。国内的教材通篇都是数学推导，就是不肯说这些推导是为了什么目的来做的，用来得到什么，建设什么，防止什么；不去从认识论和需求上讨论，通篇都是看不出目的的方法论，本末倒置了。
第三课抽样定理是干什么的
1.举个例子，打电话的时候，电话机发出的信号是PAM脉冲调幅，在电话线路上传的不是话音，而是话音通过信道编码转换后的脉冲序列，在收端恢复语音波形。那么对于连续的说话人语音信号，如何转化成为一些列脉冲才能保证基本不失真，可以传输呢?很明显，我们想到的就是取样，每隔M毫秒对话音采样一次看看电信号振幅，把振幅转换为脉冲编码，传输出去，在收端按某种规则重新生成语言。
那么，问题来了，每M毫秒采样一次，M多小是足够的?在收端怎么才能恢复语言波形呢?
对于第一个问题，我们考虑，语音信号是个时间频率信号(所以对应的F变换就表示时间频率)把语音信号分解为若干个不同频率的单音混合体(周期函数的复利叶级数展开，非周期的区间函数，可以看成补齐以后的周期信号展开，效果一样)，对于最高频率的信号分量，如果抽样方式能否保证恢复这个分量，那么其他的低频率分量也就能通过抽样的方式使得信息得以保存。如果人的声音高频限制在3000Hz，那么高频分量我们看成sin(3000t)，这个sin函数要通过抽样保存信息，可以看为:对于一个周期，波峰采样一次，波谷采样一次，也就是采样频率是最高频率分量的2倍(奈奎斯特抽样定理)，我们就可以通过采样信号无损的表示原始的模拟连续信号。这两个信号一一对应，互相等价。
对于第二个问题，在收端，怎么从脉冲序列(梳装波形)恢复模拟的连续信号呢?首先，我们已经肯定了在频率域上面的脉冲序列已经包含了全部信息，但是原始信息只在某一个频率以下存在，怎么做?我们让输入脉冲信号I通过一个设备X，输出信号为原始的语音O，那么I(*)X=O，这里(*)表示卷积。时域的特性不好分析，那么在频率域F(I)*F(X)=F(O)相乘关系，这下就很明显了，只要F(X)是一个理想的，低通滤波器就可以了(在F域画出来就是一个方框)，它在时间域是一个钟型函数(由于包含时间轴的负数部分，所以实际中不存在)，做出这样的一个信号处理设备，我们就可以通过输入的脉冲序列得到几乎理想的原始的语音。在实际应用中，我们的抽样频率通常是奈奎斯特频率再多一点，3k赫兹的语音信号，抽样标准是8k赫兹。
2.再举一个例子，对于数字图像，抽样定理对应于图片的分辨率----抽样密度越大，图片的分辨率越高，也就越清晰。如果我们的抽样频率不够，信息就会发生混叠----网上有一幅图片，近视眼戴眼镜看到的是爱因斯坦，摘掉眼睛看到的是梦露----因为不带眼睛，分辨率不够(抽样频率太低)，高频分量失真被混入了低频分量，才造成了一个视觉陷阱。在这里，图像的F变化，对应的是空间频率。
话说回来了，直接在信道上传原始语音信号不好吗?模拟信号没有抗干扰能力，没有纠错能力，抽样得到的信号，有了数字特性，传输性能更佳。
什么信号不能理想抽样?时域有跳变，频域无穷宽，例如方波信号。如果用有限带宽的抽样信号表示它，相当于复利叶级数取了部分和，而这个部分和在恢复原始信号的时候，在不可导的点上面会有毛刺，也叫吉布斯现象。
3.为什么傅立叶想出了这么一个级数来?这个源于西方哲学和科学的基本思想:正交分析方法。例如研究一个立体形状，我们使用x,y,z三个互相正交的轴:任何一个轴在其他轴上面的投影都是0。这样的话，一个物体的3视图就可以完全表达它的形状。同理，信号怎么分解和分析呢?用互相正交的三角函数分量的无限和：这就是傅立叶的贡献。
入门第四课傅立叶变换的复数小波
说的广义一点，"复数"是一个"概念"，不是一种客观存在。
什么是"概念"?一张纸有几个面?两个，这里"面"是一个概念，一个主观对客观存在的认知，就像"大"和"小"的概念一样，只对人的意识有意义，对客观存在本身没有意义(康德:纯粹理性的批判)。把纸条的两边转一下相连接，变成"莫比乌斯圈"，这个纸条就只剩下一个"面"了。概念是对客观世界的加工，反映到意识中的东西。
数的概念是这样被推广的:什么数x使得x^2=-1?实数轴显然不行，(-1)*(-1)=1。那么如果存在一个抽象空间，它既包括真实世界的实数，也能包括想象出来的x^2=-1，那么我们称这个想象空间为"复数域"。那么实数的运算法则就是复数域的一个特例。为什么1*(-1)=-1?+-符号在复数域里面代表方向，-1就是"向后，转!"这样的命令，一个1在圆周运动180度以后变成了-1，这里，直线的数轴和圆周旋转，在复数的空间里面被统一了。
因此，(-1)*(-1)=1可以解释为"向后转"+"向后转"=回到原地。那么复数域如何表示x^2=-1呢?很简单，"向左转"，"向左转"两次相当于"向后转"。由于单轴的实数域(直线)不包含这样的元素，所以复数域必须由两个正交的数轴表示--平面。很明显，我们可以得到复数域乘法的一个特性，就是结果的绝对值为两个复数绝对值相乘，旋转的角度=两个复数的旋转角度相加。高中时代我们就学习了迪莫弗定理。为什么有这样的乘法性质?不是因为复数域恰好具有这样的乘法性质(性质决定认识)，而是发明复数域的人就是根据这样的需求去弄出了这么一个复数域(认识决定性质)，是一种主观唯心主义的研究方法。为了构造x^2=-1，我们必须考虑把乘法看为两个元素构成的集合:乘积和角度旋转。
因为三角函数可以看为圆周运动的一种投影，所以，在复数域，三角函数和乘法运算(指数)被统一了。我们从实数域的傅立叶级数展开入手，立刻可以得到形式更简单的，复数域的，和实数域一一对应的傅立叶复数级数。因为复数域形式简单，所以研究起来方便----虽然自然界不存在复数，但是由于和实数域的级数一一对应，我们做个反映射就能得到有物理意义的结果。
那么傅立叶变换，那个令人难以理解的转换公式是什么含义呢?我们可以看一下它和复数域傅立叶级数的关系。什么是微积分，就是先微分，再积分，傅立叶级数已经作了无限微分了，对应无数个离散的频率分量冲击信号的和。傅立叶变换要解决非周期信号的分析问题，想象这个非周期信号也是一个周期信号:只是周期为无穷大，各频率分量无穷小而已(否则积分的结果就是无穷)。那么我们看到傅立叶级数，每个分量常数的求解过程，积分的区间就是从T变成了正负无穷大。而由于每个频率分量的常数无穷小，那么让每个分量都去除以f，就得到有值的数----所以周期函数的傅立叶变换对应一堆脉冲函数。同理，各个频率分量之间无限的接近，因为f很小，级数中的f，2f，3f之间几乎是挨着的，最后挨到了一起，和卷积一样，这个复数频率空间的级数求和最终可以变成一个积分式：傅立叶级数变成了傅立叶变换。注意有个概念的变化：离散的频率，每个频率都有一个"权"值，而连续的F域，每个频率的加权值都是无穷小(面积=0)，只有一个频率范围内的"频谱"才对应一定的能量积分。频率点变成了频谱的线。
因此傅立叶变换求出来的是一个通常是一个连续函数，是复数频率域上面的可以画出图像的东西?那个根号2Pai又是什么?它只是为了保证正变换反变换回来以后，信号不变。我们可以让正变换除以2，让反变换除以Pi，怎么都行。慢点，怎么有"负数"的部分，还是那句话，是数轴的方向对应复数轴的旋转，或者对应三角函数的相位分量，这样说就很好理解了。有什么好处?我们忽略相位，只研究"振幅"因素，就能看到实数频率域内的频率特性了。
我们从实数(三角函数分解)->复数(e和Pi)->复数变换(F)->复数反变换(F-1)->复数(取幅度分量)->实数，看起来很复杂，但是这个工具使得，单从实数域无法解决的频率分析问题，变得可以解决了。两者之间的关系是:傅立叶级数中的频率幅度分量是a1-an,b1-bn，这些离散的数表示频率特性，每个数都是积分的结果。而傅立叶变换的结果是一个连续函数:对于f域每个取值点a1-aN(N=无穷)，它的值都是原始的时域函数和一个三角函数(表示成了复数)积分的结果----这个求解和级数的表示形式是一样的。不过是把N个离散的积分式子统一为了一个通用的，连续的积分式子。
复频域，大家都说画不出来，但是我来画一下！因为不是一个图能够表示清楚的。我用纯中文来说:
1.画一个x,y轴组成的平面，以原点为中心画一个圆(r=1)。再画一条竖直线:(直线方程x=2)，把它看成是一块挡板。
2.想象，有一个原子，从(1,0)点出发，沿着这个圆作逆时针匀速圆周运动。想象太阳光从x轴的复数方向射向x轴的正数方向，那么这个原子运动在挡板(x=2)上面的投影，就是一个简协震动。
3.再修改一下，x=2对应的不是一个挡板，而是一个打印机的出纸口，那么，原子运动的过程就在白纸上画下了一条连续的sin(t)曲线!
上面3条说明了什么呢?三角函数和圆周运动是一一对应的。如果我想要sin(t+x)，或者cos(t)这种形式，我只需要让原子的起始位置改变一下就可以了：也就是级坐标的向量，半径不变，相位改变。
傅立叶级数的实数展开形式，每一个频率分量都表示为AnCos(nt)+BnSin(nt)，我们可以证明，这个式子可以变成sqr(An^2+Bn^2)sin(nt+x)这样的单个三角函数形式，那么：实数值对(An,Bn)，就对应了二维平面上面的一个点，相位x对应这个点的相位。实数和复数之间的一一对应关系便建立起来了，因此实数频率唯一对应某个复数频率，我们就可以用复数来方便的研究实数的运算：把三角运算变成指数和乘法加法运算。
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但是，F变换仍然是有限制的(输入函数的表示必须满足狄义赫立条件等)，为了更广泛的使用"域"变换的思想来表示一种"广义"的频率信息，我们就发明出了拉普拉斯变换，它的连续形式对应F变换，离散形式就成了Z变换。离散信号呢?离散周期函数的F级数，项数有限，离散非周期函数(看为周期延拓以后仍然是离散周期函数)，离散F级数，仍然项数有限。离散的F变换，很容易理解----连续信号通过一个周期采样滤波器，也就是频率域和一堆脉冲相乘。时域取样对应频域周期延拓。为什么?反过来容易理解了，时域的周期延拓对应频率域的一堆脉冲。
两者的区别：FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分(由于实际应用，通常只做单边Laplace变换，即积分从零开始)具体地，在Fourier积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在laplace 变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。
而Z变换，简单地说，就是离散信号(也可以叫做序列)的Laplace变换，可由抽样信号的Laplace变换导出。ZT[f(n)]=从n为负无穷到正无穷对[f(n)Z^(-n)]求和。Z域的物理意义:由于值被离散了，所以输入输出的过程和花费的物理时间已经没有了必然的关系(t只对连续信号有意义)，所以频域的考察变得及其简单起来，我们把(1,-1,1,-1,1,-1)这样的基本
序列看成是数字频率最高的序列，他的数字频率是1Hz(数字角频率2Pi)，其他的数字序列频率都是N分之1Hz，频率分解的结果就是0-2Pi角频率当中的若干个值的集合，也是一堆离散的数。由于时频都是离散的，所以在做变换的时候，不需要写出冲击函数的因子离散傅立叶变换到快速傅立叶变换----由于离散傅立叶变换的次数是O(N^2)，于是我们考虑把离散序列分解成两两一组进行离散傅立叶变换，变换的计算复杂度就下降到了O(NlogN)，再把计算的结果累加O(N)，这就大大降低了计算复杂度。
再说一个高级话题:小波。在实际的工程应用中，前面所说的这些变换大部分都已经被小波变换代替了。
什么是小波？先说什么是波：傅立叶级数里面的分量，sin/cos函数就是波，sin(t)/cos(t)经过幅度的放缩和频率的收紧，变成了一系列的波的求和，一致收敛于原始函数。注意傅立叶级数求和的收敛性是对于整个数轴而言的，严格的。不过前面我们说了，实际应用FFT 的时候，我们只需要关注部分信号的傅立叶变换然后求出一个整体和就可以了，那么对于函数的部分分量，我们只需要保证这个用来充当砖块的"波函数"，在某个区间(用窗函数来滤波)内符合那几个可积分和收敛的定义就可以了，因此傅立叶变换的"波"因子，就可以不使用三角函数，而是使用一系列从某些基本函数构造出来的函数族，只要这个基本函数符合那些收敛和正交的条件就可以了。怎么构造这样的基本函数呢？sin(t)被加了方形窗以后，映射到频域是一堆无穷的散列脉冲，所以不能再用三角函数了。我们要得到频率域收敛性好的函数族，能覆盖频率域的低端部分。说的远一点，如果是取数字信号的小波变换，那么基础小波要保证数字角频率是最大的2Pi。利用小波进行离频谱分析的方法，不是像傅立叶级数那样求出所有的频率分量，也不是向傅立叶变换那样看频谱特性，而是做某种滤波，看看在某种数字角频率的波峰值大概是多少。可以根据实际需要得到如干个数字序列。
我们采用(0,f),(f,2f),(2f,4f)这样的倍频关系来考察函数族的频率特性，那么对应的时间波形就是倍数扩展(且包含调制---所以才有频谱搬移)的一系列函数族。频域是窗函数的基本函数，时域就是钟形函数。当然其他类型的小波，虽然频率域不是窗函数，但是仍然可用：因为小波积分求出来的变换，是一个值，例如(0,f)里包含的总能量值，(f,2f)里面包含的总能量值。所以即使频域的分割不是用长方形而是其他的图形，对于结果来说影响不大。同时，这个频率域的值，它的分辨率密度和时域小波基函数的时间分辨率是冲突的(时域紧频域宽，时域宽频域紧)，所以设计的时候受到海森堡测不准原理的制约。Jpeg2000压缩就是小波：因为时频都是局部的，变换结果是数值点而不是向量，所以，计算复杂度从FFT的O(NlgN)下降到了O(N)，性能非常好。
用中文说了这么多，基本的思想已经表达清楚了，为了"研究方便"，从实数傅立叶级数展开，到创造了复数域的傅立叶级数展开，再到傅立叶变换，再扩展到拉式变换，再为了时频都离散的情况简化为Z变换，全部都用一根主线联系起来了
(精品)信号与系统课后习题与解答第一章
1-1 分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？ 图1-1 图1-2
解 信号分类如下： ??? ?? ? ????--???--））（散（例见图数字：幅值、时间均离））（连续（例见图抽样：时间离散，幅值离散））（连续（例见图量化：幅值离散，时间））（续（例见图模拟：幅值、时间均连连续信号d 21c 21b 21a 21图1-1所示信号分别为 （a ）连续信号（模拟信号）； （b ）连续（量化）信号； （c ）离散信号，数字信号； （d ）离散信号； （e ）离散信号，数字信号； （f ）离散信号，数字信号。 1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号？（重复1-1题所示问） （1）)sin(t e at ω-； （2）nT e -； （3）)cos(πn ； （4）为任意值）（00)sin(ωωn ； （5）2 21??? ??。 解 由1-1题的分析可知： （1）连续信号； （2）离散信号； （3）离散信号，数字信号； （4）离散信号； （5）离散信号。 1-3 分别求下列各周期信号的周期T ： （1）)30t (cos )10t (cos -； （2）j10t e ； （3）2)]8t (5sin [； （4）[]为整数）（n )T nT t (u )nT t (u )1(0 n n ∑∞ =-----。 解 判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号，需要考察各 分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为非周期信号。 （1）对于分量cos (10t )其周期5T 1π=；对于分量cos (30t )，其周期15 T 2π=。由于 5π
信号与系统第二章
2.1 引言 连续时间系统处理连续时间信号，通常用微分方程来描述这类系统，也就是系统的输入输出之间通过他们时间函数及其对时间t的各阶导数的线性组合联系起来。 输入与输出只用一个高阶的微分方程相联系，而且不研究内部其他信号的变化，这种描述系统的方法称为输入——输出法。 此处的分析方法有很多，其中时域分析法不通过任何变换，直接求微分方程，这种方法直观，物理概念清楚，是学习各类变换域分析方法的基础。系统时域分析法包含两方面内容，一是微分方程的求解，另一是已知系统单位冲激响应，将冲激响应与输入激励信号进行卷积，求出系统的输出响应。其中第一种方法在高等数学中有详细的解释，在这里主要是解释其物理含义，并建立零输入响应和零状态响应两个重要的基本概念。虽然卷积只能用于系统的零状态响应，但他的物理概念明确。。。。。。。。。。。主要的是卷积是时域和频域之间的纽带，通过它把变换域分析赋以清晰的物理概念。 2.2 微分方程的建立与求解
激励信号为e(t)，系统响应为r(t)。 由时域经典解法，方程式的完全解由两部分组成：齐次解与特解。齐次解解法： 代入： 化简为： 特征根为：
所以微分方程的齐次解为： 其中常数A由初始条件决定。 如果有重根，即： a1相应于重根部分有k项： 特解解法：特解rp(t)的函数形式与激励函数有关，将激励e(t)代入方程式，求特解方程的待定系数，即可给出特解。 完全解： 一般需要给出初始条件才能求解系数
因此可以求出常数A a值构成的矩阵称为范德蒙德矩阵. 齐次解表示系统的自由响应，特征根表示系统的“固有频率”，特解称为系统的强迫响应，强迫响应只与激励函数的形式有关。 r(t) = rh(t) + rp(t) 2.3 起始点的跳变从0-到0+
信号与系统第六章题目汇编
《信号与系统》第六章试题汇编 1. 已知一因果连续LTI 系统的微分方程为 )(2)(')(3)('4)("t x t x t y t y t y +=++ 试求： （1）系统的H(s)，零极图，系统的稳定性； （2）画出模拟框图； （3）(0)'(0)1y y --==，2()()t x t e u t -=时，求()(0)y t t >； （4）当激励()()2()x t u t u t =-+时，求()()y t t -∞<<∞。 2. 已知一因果连续LTI 系统的微分方程为 22()7()10()()d d d y t y t y t x t d t d t d t ++= 试求： （1）画出系统的结构框图； （2）若(0)'(0)1y y --==，输入信号()()x t tu t =，试求系统的零输入响应与零状态响应，并指出自由响应与强迫响应。 3. 某一个二阶连续时间LTI 系统，已知其系统函数的极点分别为11p =-，22p =，其零点13z =。假设该系统对阶跃信号()u t 的响应为()s t ，且有并满足以下关系： lim ()3t s t →+∞ =。试求： （1）系统()H s ，并判断该系统因果性和稳定性； （2）该系统的阶跃响应()s t 。 （3）该系统对符号函数sgn()t 的响应。 4. 已知一LTI 系统，输入()x t 的拉氏变换为2()2 s X s s +=-，且当0t >时，()0x t =，这时输出221()()()33 t t y t e u t e u t -=--+，试求： （1）系统函数()H s ； （2）系统的单位冲激响应()h t ； （3）当输入3()t x t e =时，求()y t 。 5. 某一因果连续时间LTI 系统的微分方程为： ()3()2()()3()y t y t y t x t x t ''''++=+ 试求： （1）系统函数、单位冲激响应和判断系统稳定性；
信号与系统课后习题答案—第1章
第1章 习题答案 1－1 题1－1图所示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？ 解： ① 连续信号：图（a ）、（c ）、（d ）； ② 离散信号：图（b ）； ③ 周期信号：图（d ）； ④ 非周期信号：图（a ）、（b ）、（c ）； ⑤有始信号：图（a ）、（b ）、（c ）。 1－2 已知某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=|f(t)|，试判定该系统是否为线性时不变系统。 解： 设T 为此系统的运算子，由已知条件可知： y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，以下分别判定此系统的线性和时不变性。 ① 线性 1）可加性 不失一般性，设f(t)=f 1(t)+f 2(t)，则 y 1(t)=T[f 1(t)]=|f 1(t)|，y 2(t)=T[f 2(t)]=|f 2(t)|，y(t)=T[f(t)]=T[f 1(t)+f 2(t)]=|f 1(t)+f 2(t)|，而 |f 1(t)|＋|f 2(t)|≠|f 1(t)+f 2(t)| 即在f 1(t)→y 1(t)、f 2(t)→y 2(t)前提下，不存在f 1(t)＋f 2(t)→y 1(t)＋y 2(t)，因此系统不具备可加性。 由此，即足以判定此系统为一非线性系统，而不需在判定系统是否具备齐次性特性。 2）齐次性 由已知条件，y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则T[af(t)]=|af(t)|≠a|f(t)|=ay(t) （其中a 为任一常数） 即在f(t)→y(t)前提下，不存在af(t)→ay(t),此系统不具备齐次性，由此亦可判定此系统为一非线性系统。 ② 时不变特性 由已知条件y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则y(t-t 0)=T[f(t-t 0)]=|f(t-t 0)|， 即由f(t)→y(t)，可推出f(t-t 0)→y(t-t 0)，因此，此系统具备时不变特性。 依据上述①、②两点，可判定此系统为一非线性时不变系统。 1－3 判定下列方程所表示系统的性质： )()()]([)()(3)(2)(2)()()2()()(3)(2)()()()()() (2''''''''0t f t y t y d t f t y t ty t y c t f t f t y t y t y b dx x f dt t df t y a t =+=++-+=+++=? 解：（a ）① 线性 1）可加性 由 ?+=t dx x f dt t df t y 0)()()(可得?????→+=→+=??t t t y t f dx x f dt t df t y t y t f dx x f dt t df t y 01122011111)()()()()()()()()()(即即 则 ???+++=+++=+t t t dx x f x f t f t f dt d dx x f dt t df dx x f dt t df t y t y 0212102201121)]()([)]()([)()()()()()( 即在)()()()()()()()(21212211t y t y t f t f t y t f t y t f ＋＋前提下，有、→→→，因此系统具备可加性。 2）齐次性 由)()(t y t f →即?+=t dx x f dt t df t y 0)()()(，设a 为任一常数，可得 )(])()([)()()]([)]([000t ay dx x f dt t df a dx x f a dt t df a dx x af t af dt d t t t =+=+=+??? 即)()(t ay t af →，因此，此系统亦具备齐次性。 由上述1）、2）两点，可判定此系统为一线性系统。
信号与系统第二章答案
2-1 绘出下列各时间函数的波形图。 （1）1()(1)f t tu t =- （2） 2()[()(1)](1) f t t u t u t u t =--+- （3）3()(1)[()(1)]f t t u t u t =---- （4）4()[(2)(3)]f t t u t u t =--- （5）5()(2)[(2)(3)]f t t u t u t =---- （6）6()()2(1)(2)f t u t u t u t =--+- 解： 2-5 已知()f t 波形如图题2-5所示，试画出下列信号的波形图。 t
图 题2-5 （3）3()(36) f t f t =+ （5）51 1()3 6f t f t ??= -- ? ?? 解： t t 2-6 已知()f t 波形如图题2-6所示，试画出下列信号的波形图。 图 题2-6 （4）4()(2)(2)f t f t u t =-- （6）6()(1)[()(2)]f t f t u t u t =--- 解： 2-7 计算下列各式。 （1） 0()() f t t t δ+ （2）00()()d f t t t t t δ∞ -∞ +-? （3）2 4 e (3)d t t t δ-+? （4）0 e sin (1)d t t t t δ∞ -+? （5） d [ e ()] d t t t δ- （6）0()()d f t t t t δ∞ -∞ -? （7）0()()d f t t t t δ∞ -∞ -? （8）00()d 2t t t u t t δ∞ -∞ ??-- ?? ? ? （9）00()(2)d t t u t t t δ∞ -∞ --? （10）(e )(2)d t t t t δ∞ -∞ ++? （11）(sin )d 6t t t t δ∞ -∞ π? ?+- ???? （12） j 0e [()()]d t t t t t Ωδδ∞ --∞ --? 解：(1) 原式0()()f t t δ=
信号与系统第一章答案
1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5） )2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。 1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。 1-5 判别下列各序列是否为周期性的。如果是，确定其周期。 （2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+= 解： 1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。 （1）)()1(t t f ε- （2）)1()1(--t t f ε （5） )21(t f - （6）)25.0(-t f （7）dt t df ) ( （8）dx x f t ?∞-)( 解：各信号波形为
信号与系统第四章练习题
第四章 连续时间系统的复频域分析 一、试写出几个常用信号的拉式变换 二、求下列函数（1）（2）的单边拉式变换（3）（4）的反变换。 1）t e t t f 21)1()(-+==2)2(3++s s 2）t e t t f 222)(-==3)2(2 +s 3）3524)(23+++=s s s s F 4）5 2)(24++=s s s s F 三、已知函数)4()()(--=t A t A t f εε，求)22(-t f 的拉式变换。 四、求图中各信号的拉式变换 五、已知某系统的输入-输出关系，其系统方程为 )(3)(')(2)('3)(''t f t f t y t y t y +=++各激励)()(t t f ε=，初始状态1)0(=-y ， 2)0('=-y ，试求系统的响应)(t y 。
六、图a 所示的电路，激励为)(t u s ，求零状态响应)(t u c 。设（1） )(5)(3t e t u t s ε-=， （2）)(2cos 5)(t t t u s ε=。 七、)(t f 如图中所示，试求： 1）)(t f 的拉式变换； 2）利用拉式变换性质，求的拉式变换和)12()12 1(--t f t f 八、已知如图所示零状态电路，求电压)(t u 。 图a RC 电路
九、已知系统函数1216732)(23++++= s s s s s H 试画出系统的并联模拟框图和级联模拟框图。 十、若描述LTI 系统的微分方程为)()(')('2)(''t f t f t y t y +=+，并已知1)0(=y ，2)0('=y ，激励信号)(t f 如图所示，试求系统的响应)(t y
第1章 信号与系统
第一章信号与系统 本章学习要求 （1）了解信号与系统的基本概念；信号的不同类型与特点；系统的类型与特点； （2）熟悉离散时间信号的基本表示方法； （3）掌握正弦序列周期性的定义和判断； （4）深刻理解能量信号、功率信号的定义和判断； （5）掌握信号的基本运算（变换）方法； （6）深刻理解冲激信号、阶跃信号的定义、特点及相互关系；理解冲激函数的广义函数定义；掌握冲激函数的基本性质；冲激函数的微积分； （7）熟悉系统的数学模型和描述方法 （8）了解系统的基本分析方法；掌握系统的基本特性及其判断 本章重点 （1）离散时间信号的表示； （2）离散周期序列的判断、周期的计算； （3）能量信号的定义、判断；功率信号的定义、判断； （4）信号的加法、乘法；信号的反转、平移；信号的尺度变换； （5）阶跃函数的极限定义、冲激函数的极限定义；阶跃函数与冲激函数的关系； （6）冲激函数的广义函数定义；冲激函数的导数与积分；冲激函数的性质； （7）连续系统和离散系统的数学模型；系统的表示方法； （8）线性时不变系统的基本特性；线性、时不变性的判断。 1.1 绪言 什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一起？信号、系统能不能相互独立而存在？ 一、信号的概念 1. 消息(message): 人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。 2. 信息(information): 通常把消息中有意义的内容称为信息。 本课程中对“信息”和“消息”两词不加严格区分。 3. 信号(signal): 信号是信息的载体。通过信号传递信息。
为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转换成便于传输和处理的信号,由此再次说明“信号是信息的载体，信息是信号的内涵”。 信号我们并不陌生，如刚才铃声—声信号，表示该上课了；十字路口的红绿灯—光信号，指挥交通；电视机天线接受的电视信息—电信号；广告牌上的文字、图象信号等等。 二、系统的概念 信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。一般而言，系统(system)是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。 如手机（可以用手机举例）、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起。 系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号，如图1所示。 图1 从系统的角度出发，系统理论包括系统的分析与综合两个方面。简单地说，系统分析是对已知的系统做各种特性的分析；系统综合又称系统的设计或实现，它是指根据需要去设计构成满足性能要求的系统。 通常，系统分析是针对已有的系统，系统综合往往意味着做出新系统。显然，前者属于认识世界的问题，后者则是改造世界的问题，且是人们追求的最终目的。一般来说，系统分析是系统综合的基础，只有精于分析，才能善于综合。本课程主要侧重于系统分析。 三、信号与系统概念无处不在 信息科学已渗透到所有现代自然科学和社会科学领域，因此可以说信号与系统在当今社会无处不在，大致列举的应用领域如下： ?工业监控、生产调度、质量分析、资源遥感、地震预报 ?人工智能、高效农业、交通监控 ?宇宙探测、军事侦察、武器技术、安全报警、指挥系统 ?经济预测、财务统计、市场信息、股市分析 ?电子出版、新闻传媒、影视制作 ?远程教育、远程医疗、远程会议 ?虚拟仪器、虚拟手术 如对于通讯： ?古老通讯方式：烽火、旗语、信号灯 ?近代通讯方式：电报、电话、无线通讯
郑君里信号与系统习题第四章
例4-1 求下列函数的拉氏变换 拉氏变换有单边和双边拉氏变换,为了区别起见,本书以 表示 单边拉氏变换,以 表示 双边拉氏变换.若文字中未作说明,则 指单边拉氏变换.单边拉氏变换只研究 的时间函数,因此,它和傅里叶变换 之间有一些差异,例如在时移定理,微分定理和初值定理等方面.本例只讨论时移 定理.请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用。 例4-2 求三角脉冲函数 如图4-2（a ）所示的象函数 和傅里叶变换类似，求拉氏变换的时，往往要借助基本信号的拉氏变换和拉氏变换的性质，这比按拉氏变换的定义式积分简单，为比较起见，本例用多种方法求解。 方法一：按定义式求解 方法二：利用线性叠加和时移性质求解 方法三：利用微分性质求解 方法四：利用卷积性质求解 方法一：按定义式求解 ()() 1-=t tu t f ()s F ()t f ()s F B ()t f 0≥t ()()[]()()()[]s e s s t u t u t L t tu L s F -??? ??+=-+--=-=1111112()t f ()?????<<-<<=其它 02t 1 21t 0 t t t f ()() ( ) () 2 22222221101010102 1011 1 2221112112s s s s s s s st st st st st st st e s e s e s e s e s s e s e s dt te dt e dt e s e s t dt e t dt te dt e t f s F -------------∞--=-++-+--=-++??? ??-=-+==? ??? ?? --- --
信号与系统作业作业1第二章答案
第二章 作业答案 2–1 已知描述某LTI 连续系统的微分方程和系统的初始状态如下，试求此系统的零输入响应。 (１))()(2)(2)(3)(t e t e t y t y t y +'=+'+'' 2)0(=-y ，1)0(-='-y 解: 根据微分方程,可知特征方程为: 0)2)(1(0232=++?=++λλλλ 所以，其特征根为： 1, 221-=-=λλ 所以,零输入响应可设为:0)(221≥+=--t e C e C t y t t zi 又因为 ???=-=??? ?-=--='=+=--31 12)0(2)0(2 1 2121C C C C y C C y 所以,03)(2≥-=--t e e t y t t zi (2))(2)()(6)(5)(t e t e t y t y t y -'=+'+'' ?1)0()0(=='--y y 。 解: 根据微分方程，可知特征方程为： 0)3)(2(0652=++?=++λλλλ 所以，其特征根为： 3, 221-=-=λλ 所以,零输入响应可设为:0)(3221≥+=--t e C e C t y t t zi
又因为 ???-==??? ?=--='=+=--3 4 132)0(1)0(21 2121C C C C y C C y 所以,034)(32≥-=--t e e t y t t zi 2–２ 某L ＴI 连续系统的微分方程为)(3)()(2)(3)(t e t e t y t y t y +'=+'+'' 已知1)0(=-y ,2)0(='-y ,试求： （1） 系统的零输入响应)(t y zi ; （2） 输入)()(t t e ε=时，系统的零状态响应)(t y zs 和全响应)(t y 。 解： （1）根据微分方程,可知特征方程为： 0)2)(1(0232=++?=++λλλλ 所以，其特征根为: 1, 221-=-=λλ 所以，零输入响应可设为：0)(221≥+=--t e C e C t y t t zi 又因为 ???=-=??? ?=--='=+=--43 22)0(1)0(2 12121C C C C y C C y 所以,034)(2≥-=--t e e t y t t zi ? （2) 可设零状态响应为:0)(221>++=--t p e C e C t y t x t x zs 其中p 为特解，由激励信号和系统方程确定。 因为)()(t t e ε= 所以，p 为常数,根据系统方程可知，23=p 。 于是，零状态响应可设为为：02 3)(221>++=--t e C e C t y t x t x zs 将上式代入原方程中,比较方程两边的系数，可得到
信号与系统第四章习题
一 填空（20） 1. 已知的频谱在)(1t f ),(11ωω?的区间内不为0，的频谱函数在)2(2f ),(22ωω?区 间内不为0，且12ωω>现对信号进行理想取样，则奈亏斯特取样率为 )(*)(21t f t f 3. 非周期连续信号的频谱是 的。 2. 已知一信号x(t)的频谱)(ωj X 的带宽为1ω，则的频谱的带宽为 )2(2t x 4. 求付氏变换1? 8．设为一带限信号，其截至频率)(t f rad/s 8=m ω。现对取样，则不发生混叠时的最大间隔 )4(t f =max T 5 求付氏变换 ?)(,t δ 9. 设为一带限信号，最高频率是100Hz,若对下列信号进行时域取样，求最小取样频率 )(t f )3(t f ?t 06. 求付氏变换cos ω 10设为一带限信号，最高频率是100Hz,若对下列信号进行时域取样，求最小取样频率 )(t f )(2t f ?t 07. 求付氏变换sin ω 12设为一带限信号，最高频率是100Hz,若对下列信号进行时域取样，求最小取样频率 )(t f )()(2t f t f + 13从信号频谱的连续性和离散性来考虑，周期信号的频谱是 。 14．连续周期信号)6cos(3)2cos()(t t t f ππ+=的傅立叶级数 =n a =n b 11设为一带限信号，最高频率是100Hz,若对下列信号进行时域取样，求最小取样频率 )(t f )2(*)(t f t f 二 选择题 1．对信号f (t ) = cos (πt +30°) +2sin(4πt +45°)，当取样间隔 T 至多为何值时，f (t )就能唯一地由均匀取样样本f (kT ) (k = 0，1，2，···)确定。 (A) 0.25 s (B) 0.5s (C) 1s (D) 2s
第二章1信号与系统,课后答案
第二章 2、1 已知描述系统得微分方程与初始状态如下，试求其零输入相应（1）y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t), y(0-)=1, y’(0-)=-1 解：微分方程对应得特征方程为λ2+5λ+6=0 其特征根为λ1=-2，λ2=-3,系统得零输入响应可写为 y zi (t)=C1e-2t+C2e-3t 又(0-)=y(0-)=1, ()=()=-1,则有 1=+ -1=-2-3 由以上两式联立，解得=2=-1 即系统得零输入响应为(t)=2-,t (2) 微分方程得特征方程为 其特征根系统得零输入响应可写为 又()=()=-2,则有 )= 以上两式联立，解得 因此系统得零输入响应为， (3) 微分方程对应得特征方程为
其特征根为=-1，系统得零输入响应可写为 又)=()=则有)=，()=-=1 以上两式联立，解得 因此系统得零输入响应为 , (4) 微分方程对应得特征方程为 其特征根为系统得零输入响应可写为 又)=()=则有)=()==0 因此系统得零输入响应为 (5) 微分方程对应得特征方程为
其特征根为, 系统得零输入响应可写为 + 又)=()= 则有 )= () = 以上三式联立，解得 ， 因此系统得零输入响应为 ,t 2、2已知描述系统得微分方程与初始态度如下，试求其 (1) 输入则方程右端不含冲激函数项，则f(t)及其导数在t=0处均不发生跃变，即 (2) 将代入微分方程，有 ○1
由于方程右端含有项，则，设 (t)+ ○2 其中不含及其导数项。 对○2式两边从-到t积分，得 (t)+b+○3 其中(t)，而(t)=(故不含及其导数项。 同理，对○3式两边从-到t积分，得 ○4 其中及其导数项。 将○2○3○4式代入○1式，整理得 a(t)+(8a+6b+c)+ 比较上式两端及其各阶导数前得系数，有 a=1 6a+b=0 8a+6b+c=0 以上三式联立，解得 a=1,b=-6,c=28 对○2○3两式两端从积分，得
信号与系统第一章答案
1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)(（3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε=（5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε=（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε=
（5）) f= r t ) (sin (t （7）) t = (k f kε ( 2 ) （10）) f kε k = (k + - ( ( ] )1 1[ )
1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f
（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6 sin()(--=k k k k f εεπ
北京交通大学信号与系统第四章典型例题
第四章 典型例题 【例4-1-1】写出下图所示周期矩形脉冲信号的Fourier 级数。 A T 0 -T 0 t ) (~t x ? ??? ??2 /τO 2/τ- 周期矩形信号 分析： 周期矩形信号)(~t x 是实信号，其在一个周期[T 0/2，T 0/2]的定义为 ???>≤=2/ 02/ )(~ττt t A t x 满足Dirichlet 条件，可分别用指数形式和三角形式Fourier 级数表示。 解： 根据Fourier 级数系数C n 的计算公式，有 t t x T C t n T T n d e )(~ 1000j 2/2/0ω--?=== --? t A T t n d e 10j 2/2 /0ωττ 2/2/j 000e )j (ττωω=-=--t t t n n T A 2/)2/sin(00τωτωτTn n A =)2 (Sa 00τωτn T A = 故周期矩形信号)(~t x 的指数形式Fourier 级数表示式为 t n n t n n n n T A C t x 00j 00j e )2(Sa )(e )(~ωωτωτ∑∑∞ -∞ =∞-∞=== 利用欧拉公式 2 e e )cos(00j j 0t n t n t n ωωω-+= 可由指数形式Fourier 级数写出三角形式的Fourier 级数，其为 ()t n n T A T A t x n 0001 0cos )2(Sa )2()(~ωτωττ∑ ∞ =+= 结论： 实偶对称的周期矩形信号)(~t x 中只含有余弦信号分量。 【例4-1-2】写出下图所示周期三角波信号的Fourier 级数。 A -A 1 0.5 -1 t ) (~t x ? ??? ??-0.5 -2 2 周期三角波信号 分析： 周期矩形信号)(~ t x 是实信号，其在一个周期 [1/2，3/2]的表达式为
信号与系统课后习题答案
1-1 试分别指出以下波形是属于哪种信号 题图1-1 1-2 试写出题1-1图中信号的函数表达式。 1-3 已知信号)(1t x 与)(2t x 波形如题图1-3中所示，试作出下列各信号的波形图，并 加以标注。 题图1-3 ⑴ )2(1-t x ⑵ )1(1t x - ⑶ )22(1+t x ⑷ )3(2+t x ⑸ )22 (2-t x ⑹ )21(2t x - ⑺ )(1t x )(2t x - ⑻ )1(1t x -)1(2-t x ⑼ )2 2(1t x -)4(2+t x 1-4 已知信号)(1n x 与)(2n x 波形如题图1-4中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以 标注。 题图1-4 ⑴ )12(1+n x ⑵ )4(1n x - ⑶ )2 (1n x ⑷ )2(2n x - ⑸ )2(2+n x ⑹ )1()2(22--++n x n x ⑺)2(1+n x )21(2n x - ⑻ )1(1n x -)4(2+n x ⑼ )1(1-n x )3(2-n x 1-5 已知信号)25(t x -的波形如题图1-5所示，试作出信号)(t x 的波形图，并加以标注。 题图1-5 1-6 试画出下列信号的波形图： ⑴ )8sin()sin()(t t t x ΩΩ= ⑵ )8sin()]sin(2 1 1[)(t t t x ΩΩ+ =
⑶ )8sin()]sin(1[)(t t t x ΩΩ+= ⑷ )2sin(1)(t t t x = 1-7 试画出下列信号的波形图： ⑴ )(1)(t u e t x t -+= ⑵ )]2()1([10cos )(---=-t u t u t e t x t π ⑶ )()2()(t u e t x t --= ⑷ )()() 1(t u e t x t --= ⑸ )9()(2 -=t u t x ⑹ )4()(2 -=t t x δ 1-8试求出以下复变函数的模与幅角，并画出模与幅角的波形图。 ⑴ )1(1)(2Ω-Ω= Ωj e j X ⑵ )(1 )(Ω-Ω-Ω =Ωj j e e j X ⑶ Ω -Ω---=Ωj j e e j X 11)(4 ⑷ 21 )(+Ω=Ωj j X 1-9 已知信号)]()([sin )(π--=t u t u t t x ，求出下列信号，并画出它们的波形图。 ⑴ )() ()(221t x dt t x d t x += ⑵ ττd x t x t ?∞-=)()(2 1-10 试作出下列波形的奇分量、偶分量和非零区间上的平均分量与交流分量。 题图1-10 1-11 试求下列积分： ⑴ ?∞ ∞--dt t t t x )()(0δ ⑵ ? ∞ ∞ ---dt t t u t t )2()(00δ ⑶ ? ∞ ∞---dt t t t e t j )]()([0δδω ⑷ ?∞ ∞--dt t t )2(sin π δ ⑸ ? ∞ ∞ --++dt t t t )1()2(3δ ⑹ ? --11 2)4(dt t δ 1-12试求下列积分： ⑴ ? ∞ -'-=t d t x ττδτ)()1()(1 ⑵ ?∞ --=t d t x ττδτ)()1()(2 ⑶ ? ∞ ---= t d u u t x ττττ)]1()([)(3
第一章 信号与系统
第一章 信号与系统 一、单项选择题 X1.1（北京航空航天大学2000年考研题）试确定下列信号的周期： （1）?? ? ? ?+ =34cos 3)(πt t x ； （A ）π2 （B ）π （C ）2π （D ）π 2 （2）??? ??+-??? ??+??? ??=62 cos 28sin 4cos 2)(ππ ππk k k k x （A ）8 （B ）16 （C ）2 （D ）4 X1.2（东南大学2000年考研题）下列信号中属于功率信号的是 。 （A ）)(cos t t ε （B ）)(t e t ε- （C ）)(t te t ε- （D ）t e - X1.3（北京航空航天大学2000年考研题）设f (t )=0，t <3，试确定下列信号为0的t 值： （1）f (1-t )+ f (2-t ) ； （A ）t >-2或 t >-1 （B ）t =1和t =2 （C ）t >-1 （D ）t >-2 （2）f (1-t ) f (2-t ) ； （A ）t >-2或 t >-1 （B ）t =1和t =2 （C ）t >-1 （D ）t >-2 （3）?? ? ??3t f ； （A ）t >3 （B ）t =0 （C ）t <9 （D ）t =3 X1.4（浙江大学2002年考研题）下列表达式中正确的是 。 （A ）)()2(t t δδ= （B ）)(21 )2(t t δδ= （C ）)(2)2(t t δδ= （D ）)2(2 1 )(2t t δδ= X1.5（哈尔滨工业大学2002年考研题）某连续时间系统的输入f (t )和输出y (t )满足 )1()()(--=t f t f t y ，则该系统为 。 （A ）因果、时变、非线性 （B ）非因果、时不变、非线性 （C ）非因果、时变、线性 （D ）因果、时不变、非线性 X1.6（东南大学2001年考研题）微分方程)10()(2)(3)(+=+'+''t f t y t y t y 所描述的
信号与系统第二章
2.1引言 连续时间系统处理通常用微分方程描述的连续时间信号，即系统的输入和输出通过其时间函数及其导数与时间t连接。 输入和输出仅通过一个高阶微分方程连接，并且未研究其他内部信号的变化。这种描述系统的方法称为输入输出方法。 这里有很多分析方法，其中时域分析方法无需任何变换即可直接求解微分方程。该方法直观，物理概念清晰，是学习各种变换域分析方法的基础。系统时域分析方法包括两个方面：一是求解微分方程。另一种方法是通过将脉冲响应与输入激励信号进行卷积来获得系统的输出响应。第一种方法在高等数学中有详细的解释。在此主要说明其物理含义并建立两个重要的基本概念：零输入响应和零状态响应。尽管卷积只能用于系统的零状态响应，但其物理概念很清楚……主要是卷积是时域和频域之间的链接，通过该链接变换域分析给出了明确的物理概念。 2.2微分方程的建立与求解 激励信号为e（T），系统响应为R（T）。 该方程的完整解包括两部分：齐次解和特殊解。 均质溶液法： 插： 简化如下： 特征根如下 因此，微分方程的齐次解为：
常数a由初始条件确定。 如果存在多个根，则为： A1的K项对应于重根部分 特殊解：特殊解RP（T）的函数形式与激励函数有关。可以通过将激励e（T）代入方程并找到特殊解方程的待定系数来获得特殊解。 完整的解决方案： 通常，需要给出初始条件来求解系数 因此，可以得到常数a A值矩阵称为Vandermonde矩阵 齐次解表示系统的自由响应，特征值表示系统的“固有频率”，特殊解称为系统的强制响应。强制响应仅与激励函数的形式有关。 r（t）= rh（t）+ rp（t） 2.3起点从0-跳到0+ 在系统分析中，响应间隔定义为添加激励信号e（T）后系统的状态变化间隔。通常，激励e（T）从T = 0的时间开始加上，因此系统的响应间隔设置为0 + <= T <无限 这组状态称为系统的初始状态（称为0状态）。它包含所有“过去”信息以计算将来的响应。在添加激励信号e（T）后，由于激励的影响，状态组可能会从0-变为0 +。a的值由响应间隔中t = 0 +处的一组状态确定 因此，这组状态称为初始状态（称为0 +状态，也称为“派生的起始状态”）
信号与系统 刘树棠 第二版 中文答案 第2章
Charpt 2 2.21 计算下列各对信号的卷积y[n]=x[n]*h[n]: (a): ][][][][n u n h n u n x n n βα==}βα≠ ∑∑∑--===-==++==-k n n n k n k k n k n k n u n u n u k n h k x n h n x n y ] [][][)(][][][][*][][1 10 αβαββαββ α (c):x[n]=],4[)21 (--n u n h[n]=]2[4n u n - y[n]=x[n]*h[n]=∑ ∞ -∞=-+---k k n k k n u k u ]2[4]4[)21( 所以1)n<6时 y[n]=∑∞+=-=-=-4 34)(8*9481181 44)21(k n n k n k 2)n ∑∞ -=---=-=≥22 ) 81(98*44)21(,6n k n n k n k 时 2.22 对以下各波形求单位冲激相应为h(t)的LTI 系统对输入x(t)的响应y(t),并概略画 出结果。 (a) )()(t u e t x t α-= )()(t u e t h t β-= (分别 在βα≠和βα=下完成) y(t)=x(t)*h(t)=??>=------t t t t t d e e d e e 0 0)() () 0(τττ βαβτβατ 当) (1)(,)(t u e e t y t t ββααββα-----=≠时
当)()(,t u te t y t αβα-==时 (c)x(t)和h(t)如图P2.22(a)所示。 )(*)()(*)()(t x t h t h t x t y == when t<1 y(t)=0; when )) cos(1(2 )sin(2)(,311 0t d t y t t ππ ττ+= =<≤?- when ?-+-==<≤23 ) 1))(cos(2 ()sin(2)(,53t t d t y t ππ ττ
信号与系统第二章
系统： 系统一词来源于英文system的音译，即若干部分相互联系、相互作用，形成的具有某些功能的整体。 中国著名学者钱学森认为：系统是由相互作用相互依赖的若干组成部分结合而成的，具有特定功能的有机整体，而且这个有机整体又是它从属的更大系统的组成部分。 信息与系统： 信号与系统是电子信息类本科生的专业课，学生应熟练地掌握本课程所讲述的基本概念、基本理论和基本分析方法，并利用这些经典理论分析、解释和计算信号、系统及其相互之间约束关系的问题。 教学纲要： ①信号与系统的基本知识；②连续信号与系统的时域分析；③信号与系统的变换域分析；④离散信号与系统时域分析；⑤系统函数； ⑥信号与系统的状态变量分析。 开课院校： 清华大学，解放军炮兵学院，解放军电子工程学院，北京航空航天大学，北京理工大学，北京交通大学，北京工业大学，电子科技大学，北京邮电大学，南京航空航天大学，北京协和医学院，西安电子科技大学，北京大学，华南理工大学，武汉大学，中国传媒大学，北京师范大学，华北电力大学，北京信息科技大学，中国石油大学，中国地质大学，中国科学院大学，中国航天科工集团第二研究院，厦门大学，华侨大学，福州大学，南京农业大学，安徽理工大学，安徽工
业大学，安徽医科大学，安徽工程大学，兰州大学，西北师范大学，暨南大学，深圳大学，广东工业大学，南方医科大学，河北科技大学，广西师范大学，燕山大学，郑州轻工业学院，河南工业大学，黄淮学院，郑州机电工程研究所，解放军信息工程大学，哈尔滨工业大学，哈尔滨理工大学，东北大学，东北大学秦皇岛分校，东北石油大学，黑龙江八一农垦大学，牡丹江师范学院，武汉大学，武汉工程大学，中国地质大学，华中师范大学，湖北大学，江汉大学，湖北师范大学，武汉邮电科学研究院，湖南大学，吉林大学，东北电力大学，南昌大学，南昌航空大学，华东交通大学，华东理工大学，江西理工大学，江西科技师范学院，沈阳化工大学，沈阳工业大学，沈阳航空航天大学，沈阳理工大学，大连交通大学，大连海事大学，大连工业大学，大连大学，内蒙古大学，内蒙古工业大学，宁夏大学，山东大学，青岛理工大学，烟台大学，山西大学，中北大学，陕西师范大学，华东理工大学，上海大学，上海海事大学，上海师范大学，中国科学院上海应用物理研究所，中科院上海微系统与信息技术研究所，上海技术物理研究所，上海航天技术研究院，四川理工大学，南开大学，天津大学，南京大学，重庆理工大学，西南大学，重庆大学，云南民族大学，云南大学，昆明理工大学，合肥工业大学，杭州电子科技大学,郑州商学院，辽宁大学等。