中考专题归纳猜想型问题
中考专题归纳猜想型问题
一、中考专题诠释
归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
二、解题策略和解法精讲
归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。
三、中考考点精讲
考点一：猜想数式规律
通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1 （2014?菏泽）下面是一个某种规律排列的数阵：
根据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n－2个数是（用含n的代数式表示）
思路分析：观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n－1行的数据的个数，再加上n－2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可．
考点二：猜想图形规律
根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。
例2 （2014?仙桃）将相同的矩形卡片，按如图方式摆放在一个直角上，每个矩形卡片长为2，宽为1，依此类推，摆放2014个时，实线部分长为．
思路分析：根据图形得出实线部分长度的变化规律，进而求出答案． 考点三：猜想坐标变化规律 例3 （2014?莱芜）如图在坐标系中放置一菱形OABC ，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC 沿x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B 的落点依次为
123B B B ，， ，…，则2014B 的坐标为 ．
思路分析：连接AC ，根据条件可以求出AC ，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2014=335×6+4，因此点B 4向右平移1340（即335×4）即可到达点2014B ，根据点4B 的坐标就
可求出点
2014
B 4
的坐标．
考点四：猜想数量关系
数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。 例4 （2014?临沂）【问题情境】
如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是BC 边上的一点，E 是CD 边的中点，AE 平分∠DAM ．
【探究展示】
（1）证明：AM=AD+MC ；
（2）AM=DE+BM 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】
（3）若四边形ABCD 是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．
思路分析：（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE 、BC 交于点N ，如图1（1），易证△ADE ≌△NCE ，从而有AD=CN ，只需证明AM=NM 即可．
（2）作FA ⊥AE 交CB 的延长线于点F ，易证AM=FM ，只需证明FB=DE 即可；要证FB=DE ，只需证明它们所在的两个三角形全等即可．
（3）在图2（1）中，仿照（1）中的证明思路即可证到AM=AD+MC 仍然成立；在图2（2）中，采用反证法，并仿照（2）中的证明思路即可证到AM=DE+BM 不成立．
考点五：猜想变化情况
随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。
例 5 （2014?聊城）如图，在x 轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点
1234n A A A A A ?，，，，， 分别过这些点做
x 轴的垂线与反比例函数
y=1
x
的图象相交于点1234n P P P P P ?，，，， ； 作
211132224333111n n n n P B A P P B A P P B A P P B A P ---⊥⊥⊥?⊥，，，
， ；垂足分别为
12341n B B B B B -?，，，，， ；
连接1223341n n PP P P P P P P -?，，，， ； 得到一组11222333411n n n Rt PB P Rt P B P Rt P B P Rt P B P --?，，，
， ， 则
11n n n Rt P B P -- 的面积为 ．
思路分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到
112Rt PB P 的面积=
12 ×a ×（112a a -），223
Rt P B P 的面积=1
2
×a ×（
1123a a -），334Rt P B P 的面积=12 ×a ×（11
34a a
-），由此得出
11n n n P B P --例6 (2014?滨2919;+220149
20149
9991999?+?个个= 2229919910010;+==计算的结果都是10的整数次幂，且这个指数的大小与被开方数中每个数中9的个数相同，即可得出规律． 四、中考真题演练 一、选择题
1．（2014?临沂）请你计算：（1－x ）（1+x ），（1－x ）（21x x ++ ），…，
猜想（1－x ）（21n x x x +++?+ ）的结果是（ ）
A ． 11n x +-
B ．11
n x ++
C ． 1n x -
D ．1n x +
2
… 的有理数的位置记为（ ）
A ．52（，）
B ．5（，3）
C ．2（6，）
D ．（6，5）
3．（2014?济南）现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列
0S ，将其
中的每个数换成该数在
0S 中出现的次数，可得到一个新序列S 1
，例如序列0S ：
（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S 1：（2，2，1，2，2），若0S 可
以为任意序列，则下面的序列可作为
1S 的是（
）
A ．（1，2，1，2，2）
B ．（2，2，2，3，3）
C ．（1，1，2，2，3）
D ．（1，2，1，1，2）
4．（2013?重庆）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1棵棋子，第②个图形一共有6棵棋子，第③个图形一共有16棵棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（ ）
A ．51
B ．70
C ．76
D ．81
5．（2014?威海）如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OA 1C 1，Rt △22OA C ，Rt △
33
OA C ，Rt △
44
OA C …的斜边都在坐标轴上，
11223344AOC A OC A OC A OC ∠=∠=∠=∠ =…=30°．若点A 1
的坐标为
（3，0），1
22334OA OC OA OC OA OC ===，， …，
则依此规律，点2014A 的纵坐标为（ ） A ．0
B ．2013
3332
-?（
）
C ．2014
23（）
D ．2013
3332
?（
）
6（2014?荆州）如图，在第1个△A 1BC 中，∠B=30°，A 1B=CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长1CA 到
2A ，使121A A A D = ，得到第2个12A A D ；
在边2A D
上任取一点E ，延长
123A A A 到 ，
使232A A A E = ，得到第3个23A A E ，…按此做法继续下去，则第n 个三角形中以
n A 为顶点的内角度数是（
）
A ．1?752n ?（）
B ．11?652n -?（）
C ． 11?752n -?（）
D ．1?852
n
?（）
二．填空题
7．（2014?台州）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：
则第n 次运算的结果
n y ．
8.（2014?牡丹江）如图，是由一些点组成的图形，按此规律，在第n 个图形中，
点的个数为 ．
9．（2014?德州）如图，抛物线2y x = 在第一象限内经过的整数点（横坐标、
纵坐标都为整数的点）依次为
123n A A A A ?，， ，…．将抛物线2y x =沿直
线L ：y=x 向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件： ①抛物线的顶点
123n M M M M ?，，， ，…都在直线L ：y=x 上；
②抛物线依次经过点
123n A A A A ?，，，…．
则顶点
2014M 的坐标为 ．
10．（2014?东营）将自然数按以下规律排列：
表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1）对应，数5与（1，3）对应，数14与（3，4）对应，根据这一规律，数2014对应的有序数对为
11.（2014?泰安）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△
11AB C 的位置，点B 、O 分别落在点B 11C 、 处，点B
1
在x 轴上，再将△AB 1C 1
绕点
1B 顺时针旋转到112A B C 的位置，点2C 在
x 轴上，将
112A B C 绕
点2C 顺时针旋转到222A B C 的位置，点2A 在x 轴上，依次进行下去…．若
点A （5
3
，0），B （0，4），则点2014B 的横坐标为 ．
12．（2014?贵阳）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm ，AD 为BC 边上的高．动点P 从点A 出发，沿A →D 方向以2cm/s 的速度向点D 运动．设△
ABP 的面积为1S ，矩形PDFE 的面积为2S ，运动时间为t 秒（0＜t ＜8），则t= 秒时，
122S S .
13．（2014?本溪）如图，已知∠AOB=90°，点A 绕点O 顺时针旋转后的对应点
1A
落在射线OB 上，点A 绕点A 1顺时针旋转后的对应点A 2落在射线OB 上，点A 绕点
2
A 顺时针旋转后的对应点A 3落在射线O
B 上，…，连接
123AA AA AA ，， …，依次作法，则∠1n n AA A + 等于 度．（用含n 的
代数式表示，n 为正整数）．
14．（2014?贵港）已知点
1122233341n n n A a a A a a A a a A a a +?（，），（，），（，），（，） （n 为正
整数）都在一次函数y=x+3的图象上．若1
2a = ，则2014a = .
15．（2014?天水）如图，一段抛物线y=－x （x －1）（0≤x ≤1）记为1m ，它与x 轴交点为O 、1A ，顶点为1P ；将1m 绕点A 1旋转180°得2m ，交x 轴于点
2A ，顶点为2P ；将
m 2绕点
2A 旋转
180°得m 3，交x 轴于点
3A ，顶点为
3P ，…，如此进行下去，直至得10m ，顶点为10P ，则10P 的坐标为 ．
16．（2014?绥化）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1，1），B （－1，1），C （－1，－2），D （1，－2），把一根长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A 处，并按A →B →C →D →A …的规律紧绕在四边形ABCD 的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是 ．
17
．（2014?龙岩）如
图，∠AOB=60°，123O O O ，， …是∠AOB 平分线上的点，其中
12
OO =，若
123
O O O ，， …分别以为圆心作圆，使得
123O O O ，， …均与∠AOB 的两边相切，且相邻两圆相外切，则2014O
的面积是 ．
18.（2014?日照）如图，已知△ABC 的面积是12，点E 、I 分别在边AB 、AC 上，在BC 边上依次作了n 个全等的小正方形DEFG ，GFMN ，…，KHIJ ，则每个小正方形的边长为 .
19.（2014?铜仁）一列数：0，－1，3，－6，10，－15，21，…，按此规律第n 个数 . 三．解答题
20．（2014?金华）一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接．
（1）若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？ （2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？
21．（2014?常德）已知：2
2211213-=- ；2222
43214311
5
2-+--+-=； .
计算：222222
654321
654321
-+-+-=-+-+- ；
猜想：
()()()2
2
2
2
2
2
22216543212222126543[()]()()()[]()()()
21n n n n +-++?+-+-+-+-++?+-+-+- .
22.（2014?日照）下面是按照一定规律排列的一列数： 第1个数：
11122??-+- ???
； 第2个数：()()2311111113234????
---??-+?+?+ ? ? ? ? ???????
第3个数：()()()()2345
1111111111+1423456????????
-----??-+?+?+??+ ? ? ? ? ? ? ? ? ???????????
…
依此规律，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是. 23．（2014?佛山）（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）] （2）如图2，在?ABCD 中，对角线焦点为O ，1111A B C D 、、、 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，A 2、B 2、C 2、D 2分别是1111OA OB OC OD 、、、 的中点，…，以此类推．
若?ABCD 的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l ； （3）借助图形3反映的规律，猜猜l 可能是多少？
24.（2014?北京）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P （－y+1，x+1）叫做点P ′伴随点．已知点1A 的伴随点为2A ，点A 2的伴随点为3A ，点A 3的伴随点为4A ，…，
这样依次得到点123n A A A A ?，，，，，…．若点1A 的坐标为（3，1），则点3A 的坐标为 ，
方，则a ，b 应满足的条件为 ．
25.（2014?衡阳）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 0的坐标为（1，0），将线段0OM 绕原点O 逆时针方向旋转45°，再将其延长到1M ，使得
100M M OM ⊥，得到线段1OM ；又将线段1OM 绕原点O 逆时针方向旋转45°，
再将其延长到2M ，使得211M M OM ⊥，得到线段2OM ；如此下去，得到线段
345OM OM OM ，，，…
专题七 归纳猜想型问题
【重点考点例析】
考点一：猜想数式规律 例1.
解：前（n －1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n －1）=n （n －1），
所以，第n （n 是整数，且n ≥3）行从左到右数第n －2个数的被开方数是n （n －1）+n －2=2
2n
- ，
考点二：猜想图形规律 例2.
解：由图形可得出：摆放一个矩形实线长为3，
摆放2个矩形实线长为5，摆放3个矩形实线长为8， 摆放4个矩形实线长为10，摆放5个矩形实线长为13， 即第偶数个矩形实线部分在前一个的基础上加2， 第奇数个矩形实线部分在前一个的基础上加3，
∵摆放2014个时，相等于在第1个的基础上加1007个2，1006个3， ∴摆放2014个时，实线部分长为：3+1007×2+1006×3=5035． 故答案为：5035． 补充其他方法：
第①个图实线部分长 3
第②个图实线部分长 3+2
第③个图实线部分长 3+2+3
第④个图实线部分长 3+2+3+2
第⑤个图实线部分长 3+2+3+2+3
第⑥个图实线部分长 3+2+3+2+3+2 …
从上述规律可以看到，对于第n 个图形，
当n 为奇数时，第n 个图形实线部分长度为1
2
（3+2）（n －1）+3；
当n 为偶数时，第n 个图形实线部分长度为1
2
（3+2）n ，则第n 个图形共有三角形
5+3n －1=3n+4个；故答案为：3n+4. 考点三：猜想坐标变化规律 例3
解：连接AC ，
如图所示．
∵四边形OABC 是菱形， ∴OA=AB=BC=OC ． ∵∠ABC=90°，
∴△ABC 是等边三角形． ∴AC=AB ． ∴AC=OA ． ∵OA=1， ∴AC=1．
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示． 由图可知：每翻转6次，图形向右平移4． ∵2014=335×6+4，
∴点4B 向右平移1340（即335×4）到点2014B ． ∵4B 的坐标为（2，0）， ∴2014B 的坐标为（2+1340，0），
∴
2014
B
的坐标为（1342，0）．
考点四：猜想数量关系
解：（1）证明：延长AE、BC交于点N，如图1（1），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠ENC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠ENC=∠MAE．
∴MA=MN．
在△ADE和△NCE中，
DAE CNE
AED NEC
DE CE
∠∠
∠∠
?
?
?
?
?
＝
＝
＝
∴△ADE≌△NCE（AAS）．
∴AD=NC．
∴MA=MN=NC+MC
=AD+MC．
（2）AM=DE+BM成立．
证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1（2）所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°．
∴∠FAB=90°－∠BAE=∠DAE．
在△ABF和△ADE中，
90
FAB EAD
AB AD
ABF D
∠∠
?
?
?
?∠∠?
?
＝
＝
＝＝
∴△ABF≌△ADE（ASA）．
∴BF=DE，∠F=∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE．
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠FAB
=∠FAM．
∴∠F=∠FAM．
∴AM=FM．
∴AM=FB+BM=DE+BM．
（3）①结论AM=AD+MC仍然成立．
证明：延长AE、BC交于点P，如图2（1），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠EPC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠EPC=∠MAE．
∴MA=MP．
在△ADE和△PCE中，
DAE CPE
AED PEC
DE CE
∠∠
∠∠
?
?
?
?
?
＝
＝
＝
∴△ADE≌△PCE（AAS）．
∴AD=PC．
∴MA=MP=PC+MC
=AD+MC．
②结论AM=DE+BM不成立．
证明：假设AM=DE+BM成立．
过点A作AQ⊥AE，交CB的延长线于点Q，如图2（2）所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB∥DC．
∵AQ⊥AE，
∴∠QAE=90°．
∴∠QAB=90°－∠BAE=∠DAE．
∴∠Q=90°－∠QAB
=90°－∠DAE
=∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE．
∵∠QAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠QAB
=∠QAM．
∴∠Q=∠QAM．
∴AM=QM．
∴AM=QB+BM．
∵AM=DE+BM，
∴QB=DE．
在△ABQ和△ADE中，
90?
QAB EAD
ABQ D
BQ DE
?
?
?
?
?
∠∠
∠∠?
＝
＝＝
＝
∴△ABQ≌△ADE（AAS）．
∴AB=AD．
与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立．
∴AM=DE+BM不成立．
考点五：猜想变化情况
解：
1122321
n n
OA A A A A A A a
--
===?==设，
∵x=a时，y=
1
a，∴P1的坐标为（a，
1
a），
112Rt PB P 的面223Rt P B P 的面334Rt P B P 的面，
11n n n P B P -- 的考点六：猜想数字求和2919+2201420149
20149
999199910?+?=个个
【备考真题过关】 一、选择题 1．答案：A 2．答案：C 3．答案：D 4．答案：C 5．答案：D 6．答案：C
二、填空题 7. 答案：
)21(21
nx
n x -+
8. 答案：2
2n +
9．答案：（4027，4027） 10．答案：（45，12） 11．答案：10070 12. 答案：6
13．答案：8090
2
n
-． 14．答案：6041 15．答案：（10.5，－0.25） 16．答案：（－1，－1） 17. 答案：4026
3
π
三、解答题
20．答案：解：（1）1张长方形餐桌的四周可坐4+2=6人， 2张长方形餐桌的四周可坐4×2+2=10
人， 3张长方形餐桌的四周可坐4×3+2=14人， …
n 张长方形餐桌的四周可坐4n+2人；
所以4张长方形餐桌的四周可
坐4×4+2=18人， 8张长方形
餐桌的四周可坐4×8+2=34人． （2）设这样的餐桌需要x 张，由题意得 4x+2=90 解得x=22
答：这样的餐桌需要22张． 21. 答案：解：已知
分子为n 个1相加，结果等于n ；
=n （2n+3） ∴猜想
()()()2
2
2
2
2
2
22216543212222126543[()]()()()[]()()()
21n n n n +-++?+-+-+-+-++?+-+-+-=
()
23n
n n +
=123
n +． 22.解：第1个数：
11122??-+- ???
； 第2个数：()()23
11111113234????
---??-+?+?+ ? ? ? ? ???????
； 第3个数：()()()()2345
1111111111+1423456????????
-----??-+?+?+??+ ? ? ? ? ? ? ? ? ???????????
； …
∴第n 个数为()()()2321
1111111111 (14234212)
n n n -??????----??-+?+++=- ????? ? ???+?????????? ， ∴第10个数、第11个数、第12个数、第13个数分别为－95113
,,,2212267
----，
其中最大的数为9
22
-－，即第10个数最大．
23.答案：解：
（1）已知：在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，
求证：DE ∥BC 且DE=1
2
BC ，
证明：如图，延长DE 至F ，使EF=DE ， ∵E 是AC 的中点， ∴AE=CE ，
在△ADE 和△CFE 中，DE EF AED CEF AE CE ?
∠??
∠??＝＝＝ ，
∴△ADE ≌△CFE （SAS ），
∴AD=CF （全等三角形对应边相等），
∠A=∠ECF （全等三角形对应角相等）， ∴AD ∥
CF ，
∵点D 是AB 的中点， ∴AD=BD ，
∴BD=CF 且BD ∥CF ，
∴四边形BCFD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴DF ∥BC 且DF=BC
（平行四边形的对边平行且相等），
（2）∵A 1、B 1、C 1、D 1分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，
…，
24.答案：解：∵1A 的坐标为（3，1），
∴2A （0，4），3A （－3，1），4A （0，－2），5A （3，1）， …，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ∵2014÷4=503余2，
∴点2014A 的坐标与A 2的坐标相同，为（0，4）； ∵点1A 的坐标为（a ，b ），
∴2345A b 1a 1A a b 2A b 1a 1A a b -++--+--+（，），（，），（，），（，）
， …，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ∵对于任意的正整数n ，点n A 均在x 轴上方， ∴10
10a a +??
-+?＞＞，20
b b -+???＞＞， 解得－1＜a ＜1，0＜b ＜2．
故答案为：（－3，1），（0，4）；－1＜a ＜1且0＜b ＜2． 25.答案：解：∵点M 0的坐标为（1，0）， ∴0OM =1，
∵线段0OM 绕原点O 逆时针方
向旋转45°，100M M OM ⊥， ∴01OM M 是等腰直角三角形，
…，
OM 故答案为：1007
2．
中考专题复习动点问题教学设计
中考专题复习《动点问题》教学设计 【学情分析】动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论【教学目标】知识与技能：1、利用特殊三角形的性质和定理解决动点问题；2、分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动）；3、结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据。过程与方法：1、利用分类讨论的方法分析并解决问题；2、数形结合、方程思想的运用。情感态度价值观：通过动手操作、合作交流，探索证明等活动，培养学生的团队合作精神，激发学生学习数学的兴趣。【教学重点】根据动点中的移动距离，找出等量列方程。【教学难点】1、两点同时运动时的距离变化；2、运动题型中的分类讨论【教学方法】教师引导、自主思考【教学过程】一、动点问题的近况：1、动态几何图形中的点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以
及分析问题和解决问题的能力. 动态几何特点－－－－问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。本节课重点来探究动态几何中的第一种类型----动点问题。所谓动点问题：是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放新题目。2、三年中考概况；近年来运动问题是以三角形或四边形为背景，用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题．这类题的特点是：图形中的某些元素(如点、线段、角等)或整个图形按某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中相互依存，相互制约．3、解题策略和方法：“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。解决动点问题的关键是“动中求静”.动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段
归纳猜想型测试题及答案
2014年中考数学二轮复习精品资料 归纳猜想型问题 一、中考专题诠释 归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲 归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。 由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲 考点一：猜想数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 例1 （2013?巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是． 思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n． 解：第八项为-27a8=-128a8． 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 对应训练 1．（2013?株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．1．（-2）n-1x n 考点二：猜想图形规律 根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。 例2 （2013?牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是． 思路分析：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1
中考专题复习《动点问题》教学设计
中考专题复习《动点问题》教学设计【学情分析】 动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论 【教学目标】 知识与技能： 1、利用特殊三角形的性质和定理解决动点问题； 2、分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动）； 3、结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据。 过程与方法： 1、利用分类讨论的方法分析并解决问题； 2、数形结合、方程思想的运用。
情感态度价值观：通过动手操作、合作交流，探索证明等活动，培养学生的团队合作精神，激发学生学习数学的兴趣。 【教学重点】 根据动点中的移动距离，找出等量列方程。 【教学难点】 1、两点同时运动时的距离变化； 2、运动题型中的分类讨论 【教学方法】教师引导、自主思考 【教学过程】 一、动点问题的近况： 1、动态几何 图形中的点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 动态几何特点－－－－问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析
过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。本节课重点来探究动态几何中的第一种类型----动点问题。所谓动点问题：是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放新题目。 2、三年中考概况； 近年来运动问题是以三角形或四边形为背景，用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题．这类题的特点是：图形中的某些元素(如点、线段、角等)或整个图形按某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中相互依存，相互制约． 3、解题策略和方法： “动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。解决动点问题的关键是“动中求静”.动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、
中考数学动点问题十大题型
1、如图，已知ABC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中 AB AC △中，10 点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △ 与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速 度为多少时，能够使BPD △全等？ △与CQP （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？
2、直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段 运动，364y x =-+A B 、P Q 、O A Q OA
速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动． （1）直接写出两点的坐标； （2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式； （3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标． P O B A A B 、Q t OPQ △S S t 485S P O P Q 、、M
3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
(完整版)中考数学动点问题专题讲解
动点及动图形的专题复习教案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.
最新中考数学复习专题《几何图形中的动点问题》
运动型问题 第17课时 几何图形中的动点问题 (58分) 一、选择题(每题6分，共18分) 1．[·安徽]如图6－1－1，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △ PAB ＝S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为( D )13A. B. C.5 D. 2934241 图6－1－1 第1题答图 【解析】 令点P 到AB 的距离为h ，由S △PAB ＝S 矩形ABCD ，得×5h ＝×5131213 ×3，解得h ＝2，动点P 在EF 上运动，如答图，作点B 关于EF 的对称点B ′，BB ′＝4，连结AB ′交EF 于点P ，此时PA ＋PB 最小，根据勾股定理求得最小值为＝，选D. 52＋42412．如图6－1－2，在矩形ABCD 中，AB ＝2a ，AD ＝a ，矩 形边上一动点P 沿A →B →C →D 的路径移动．设点P 经 过的路径长为x ，PD 2＝y ，则下列能大致反映y 与x 的 函数关系的图象是 ( D )【解析】 ①当0≤x ≤2a 时，∵PD 2＝AD 2＋AP 2，AP ＝ x ，∴y ＝x 2＋a 2；② 图6－1－2
当2a ＜x ≤3a 时，CP ＝2a ＋a －x ＝3a －x ，∵PD 2＝CD 2＋CP 2，∴y ＝(3a －x )2＋(2a )2＝x 2－6ax ＋13a 2；③当3a ＜x ≤5a 时，PD ＝2a ＋a ＋2a －x ＝5a －x ， ∴PD 2＝y ＝(5a －x )2，y ＝∴能大致反映y {x 2＋a 2（0≤x ≤2a ），x 2－6ax ＋13a 2（2a 专题七归纳猜想型问题 一、中考专题诠释 归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲 归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。 由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲 考点一：猜想数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 例1 （2013?巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是． 思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n． 解：第八项为-27a8=-128a8． 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 对应训练 1．（2013?株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．1．（-2）n-1x n 考点二：猜想图形规律 根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。 例2 （2013?牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是． 思路分析：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1个；第3个图形共有三角形5+3×3-1个；第4个图形共有三角形5+3×4-1个；…；则第n 个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个； x A O Q P B y 动点问题题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 图（3） A B C O E F A B C O D 图（1） A B O E F C 图（2） y M C D 2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((< 2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析 汇编 专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD上以cm/s 的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）． （2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． （4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN 上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围． 【答案】解：（1）t－2。 （2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE 上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=。 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=。 （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况： ①当2＜t＜4时，如图（3）a所示。 DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t。 ∵MN∥BC，∴△AFM∽△ABC。∴FM：BC = AM：AC=1：2，即FM：AM=BC：AC=1：2。 ∴FM=AM=t． 动点问题 题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。) 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 3 1、( 2009年齐齐哈尔市) 直线y x 6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发, 4 同时到达A点，运动停止?点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单 位长度，点P沿路线O T B T A运动. (1)直接写出A、B两点的坐标； (2)设点Q的运动时间为t秒，△ OPQ的面积为S,求出S与t之间 的函数关系式； 「48 (3)当S 时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的5 坐标. 提示：第(2)问按点P到拐点B所有时间分段分类； 第(3)问是分类讨论：已知三定点OP、Q，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同 分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、(2009年衡阳市) 如图，AB是O O的直径，弦BC=2cm / ABC=60). (1) 求O O的直径； (2) 若D是AB延长线上一点，连结CD当BD长为多少时，CD与O O相切； (3) 若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC t(S)(0 ::: t ::: 2)，连结EF,当t为何值时，△ BEF为直角三角形. 注意：第(图问按直角位置分类讨论 O 图(2) D A 中考专题复习——动点问题 【学情分析】 动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论 【教学目标】 知识与技能： 1、利用特殊三角形的性质和定理解决动点问题； 2、分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动）； 3、结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据。 过程与方法： 1、利用分类讨论的方法分析并解决问题； 2、数形结合、方程思想的运用。 情感态度价值观：通过动手操作、合作交流，探索证明等活动，培养学生的团队合作精神，激发学生学习数学的兴趣。 【教学重点】 根据动点中的移动距离，找出等量列方程。 【教学难点】 1、两点同时运动时的距离变化； 2、运动题型中的分类讨论 【教学方法】教师引导、自主思考 【教学过程】 一、动点问题的近况： 1、动态几何 图形中的点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 动态几何特点－－－－问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。本节课重点来探究动态几何中的第一种类型----动点问题。所谓动点问题：是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放新题目。 中考数学二轮复习精品资料 归纳猜想型问题 一、中考专题诠释 归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲 归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。 由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲 考点一：猜想数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 例1 （2013?巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是． 思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n． 解：第八项为-27a8=-128a8． 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 对应训练 1．（2013?株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．1．（-2）n-1x n 考点二：猜想图形规律 根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。 例2 （2013?牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是． 思路分析：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1 图 B E 图B 图动点问题题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1、直线3 64 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((< 中考动点型问题专题 一、中考专题诠释 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. “动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。 二、解题策略和解法精讲 解决动点问题的关键是“动中求静”. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 三、中考考点精讲 考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像） 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1 （2015?兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半 径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（） A．B．C．D． 思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论． 解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则： （1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）； （2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）． 综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2）， 这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B 符合要求． 故选B． 点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择． 对应训练 1．（2015?白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（） A．B．C．D． 图 B 图 B 图动点问题 题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间 的函数关系式； （3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的 平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((< 动点问题（讲义） 一、知识点睛 动点问题操作规程： 1. 研究______________． 2. 分析运动过程，分段，定范围． 根据起点、终点，确定_____________． 根据状态转折点确定_______________；常见状态转折点有拐点、碰撞点等． 3. 分析_____________、表达、建等式． 画出符合题意的图形，表达线段长，根据_____________建等式求解，结合范围验证结果． 二、精讲精练 1. 如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，∠B =60°．从初始时刻开始，点P ，Q 同时从点A 出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A →C →B 的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿 A → B → C → D 的方向运动，当点Q 运动到点D 时，P ，Q 两点同时停止运动．设P ，Q 运动x 秒时，△APQ 与△ABC 重叠部分的面积为y 平方厘米，解答下列问题： （1）点P ，Q 从出发到相遇所用时间是____________秒； （2）在点P ，Q 运动的过程中，当△APQ 是等边三角形时，x 的值为__________________； （3）求y 与x 之间的函数关系式． 2. 如图，已知△ABC 中，AB =AC =10厘米，BC =8厘米，点D 为AB 的中点． A B C D （1）点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A 运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C提前4秒出发，点P以原来的运动速度从点B出发，都沿△ABC 的三边逆时针运动，当点Q首次回到点C时停止运动．设△CQP的面积为S，点Q运动的时间为t，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．（这里规定：线段是面积为0的三角形） 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发，沿CA以每秒1个单位长度的速 度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原速度沿AC返回；点Q从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．伴随着P，Q的运动，DE始终保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交 最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总 近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题． 最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）. 我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。 数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。 （1）去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。 （2）科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。 （3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。 （4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最 2012年中考复习二轮材料 归纳猜想型问题 一． 专题诠释 归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二． 解题策略和解法精讲 归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。 由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三． 考点精讲 考点一：猜想数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 例1．（2011云南曲靖）将一列整式按某种规律排成x ，﹣2x 2，4x 3，﹣8x 4，16x 5… 则排在第六个位置的整式为 ． 【分析】符号的规律：n 为奇数时，单项式为正号，n 为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第n 个对应的系数的绝对值是2n ﹣1．指数的规律：第n 个对应的指数是n ． 【解答】根据分析的规律，得：第六个位置的整式为：﹣26x 6=﹣32x 6． 故答案为：﹣32x 6． 【评注】此题考查的知识点是单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 例2．（2011山东济宁）观察下面的变形规律： 211? ＝1－12； 321?＝12－31；431 ?＝3 1－41；…… 解答下面的问题： （1）若n 为正整数，请你猜想) 1(1 +n n ＝ ； （2）证明你猜想的结论； （3）求和：211?＋321?＋431?＋…＋2010 20091 ? . 【分析】（1）根据ij a 的定义规则，可知234a =，223a =，526a =，537a =．则有 ()()232252530a a a a -+-=．专题七归纳猜想型问题MicrosoftWord文档分析
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