高考数学不等式练习题及答案解析

高考数学不等式练习题及答案解析：
一、选择题
1.已知定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f (x) f (x 4) ，且当 x 2 时， f (x) 单调递增，
如果 x1 x2 4 且 (x1 2)(x2 2) 0 ，则 f (x1) f (x2 ) 的值 （
）
A、恒大于 0 B、恒小于 0 C、可能为 0 D、可正可负
2.已知函数 f (x) x x3 , x1 、 x2 、 x3 R ,且 x1 x2 0 ， x2 x3 0 ， x3 x1 0 ，
则 f (x1 ) f (x2 ) f (x3 ) 的值
（）
A、一定大于零
B、一定小于零
C、等于零
D、正负都有
3.设 M x, y y x2 2bx 1 ， P x, y y 2ax b， S a,bM P ，
则 S 的面积是 （ ）
A. 1
B.
C. 4
D. 4
4.设
f (x) 是 (x2
1 )6 2x 展开式的中间项，若
f (x) mx 在区间
2, 2
数 m 的取值范围是（
）
2
上恒成立，则实
A． 0,
B．

5 4
,

C．

5 4
,5
D． 5,
5.若不等式
x2
logm
x
0
在

0,
1 2

内恒成立,则实数
m
的取值范围是
1 m1 A. 16
0m 1
B.
16
0m 1
C.
4
m 1 D. 16
()
6.已知实数 x，y 满足 3x2+2y2=6x，则 x2+y2 的最大值是( )
9 A、 2
B、4
C、5
D、2
7.若 0 < a，b，c < 1，并且 a + b + c = 2，则 a 2 + b 2 + c 2 的取值范围是（ ）
4 （A）[ 3 ，+ ∞ )
4 （B）[ 3 ，2 ]
4 （C）[ 3 ，2 )
4 （D）( 3 ，2 )

8.不等式 1 log2 x > 1 – log 2 x 的解是（
（A）x ≥ 2
（B）x > 1
） （C）1 < x < 8
（D）x > 2
sin cos
sin 2
9.设 a = f (
2
)，b = f ( sin cos )，c = f ( sin cos )，其中 f ( x ) = log sin θ x，
θ∈( 0， 2 )，那么（ （A）a ≤ c ≤ b
） （B）b ≤ c ≤ a
（C）c ≤ b ≤ a
（D）a ≤ b ≤ c
11
1
10.S = 1 + 2 + 3 + … + 1000000 ，则 S 的整数部分是（ ）
（A）1997
（B）1998
（C）1999
（D）2000
11n 11.设 a > b > c，n∈N，且 a b + b c ≥ a c 恒成立，则 n 的最大值为（ ）
（A）2
（B）3
（C）4
（D）5
1 12.使不等式 2 x – a > arccos x 的解是– 2 < x ≤ 1 的实数 a 的值是（ ）
（A）1 – 2
2 2 （B） 2 – 3
2 5 （C） 2 – 6
1 （D） 2 – π
13.若不等式 a b m4 a2 b2 对所有正实数 a，b 都成立，则 m 的最小值是（ ）
3
3
A. 2 B. 2 2 C. 2 4 D. 4
5
xi R, xi 0(i 1,2,3,4,5)
14.设
xi
i 1
1 ，则 ma x
x1 x2 , x2 x3 , x3 x4
, x4 x5
的最小值等于
（）
1 A． 4
1 B． 3
1 C． 6
1 D． 4
15.已知 x, y, z 满足方程 x2 ( y 2)2 (z 2)2 2 ，则 x2 y2 z2 的最大值是
A．4 2
B．2 3
C． 3 2
D． 2
16. 若 直 线 y kx 1 与 圆 x2 y 2 kx my 4 0 交 于 M , N 两 点 , 且 M , N 关 于 直 线

kkxx

y2 my
0
0
x y 0 对称,动点 P a,b 在不等式组 y 0
表示的平面区域内部及边界上运动，则
w b2 a 1 的取值范围是
（）
A．[2,) B． (,2] C．[2,2] D． (,2] [2,)
17.已知
x
0,
y
0
，且
2 x
1 y
1
，若
x
2y
m2
2m 恒成立，则实数 m
的取值范围
是( )
A． m 4或 m 2 B． m 2或 m 4 C． 2 m 4 D． 4 m 2
18.关于 x 的不等式 cos x lg(9 x2) cos x lg(9 x2) 的解集为
（）
A． (3, 2 2) (2 2,3)
(2 2, ) ( , 2 2)
B．
22
C． (2 2, 2 2)
D． (3,3)
19. 已 知 满 足 条 件
的点
构成的平面区域的面积为 ，满足条件
的点
构成的平面区域的面积为 ，其中 、 分别表示不大于 、
的最大整数，例如 （）
，
， 则 与 的关系
A．
B.
C.
D.
20. 已 知 满 足 条 件
的点
构成的平面区域的面积为 ，满足条件
的点
构成的平面区域的面积为 ，（其中 、 分别表示不大于 、
的最大整数），则点
一定在
（）
A．直线
左上方的区域内
B．直线
上
C．直线
右下方的区域内
D．直线
左下方的区域内
0
21.根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点 O 沿正东偏北（
2）
方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但 的大小以及何时改变方向不定. 如
右图. 假定机器人行走速度为 10 米/分钟，设机器人行走 2 分钟时的可能落点区域为 S，则

北
S 可以用不等式组表示为（
0 x 20 A. 0 y 20
x2 y2 400 x0 y0
C.
）
x2 y2 400 B. x y 20
x y 20 x 20 y 20
D.
y
P. (x, y)
东
O
x(m)
0
22.根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点 O 沿正东偏北（
2）
方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但 的大小以及何时改变方向不定. 如
右图. 假定机器人行走速度为 10 米/分钟，设机器人行走 2 分钟时的可能落点区域为 S，则 S 的面积（单位：平方米）等于（ ）
A. 100
B. 100 200
C. 400 100
D. 200
北
y
P. (x, y)
东
O
x(m)
23.定义：若存在常数 ，使得对定义域 D 内的任意两个不同的实数 ， 均有
成立，则称函数
在定义域 D 上满足利普希茨条件．对于函
数
满足利普希茨条件、则常数 k 的最小值应是
A．2 B．1 C． D．
24.如果直线 y＝kx＋1 与圆
交于 M、N 两点，且 M、N 关于直线
x＋y＝0 对称，则不等式组：
表示的平面区域的面积是（ ）

A．
B．
25. 给出下列四个命题：
①若
C．1 ；
D．2
②“a<2”是函数“
无零点”的充分不必要条件；
③若向量 p=e1+e2，其中 e1，e2 是两个单位向量，则|p|的取值范围是[0，2]；
④命题“若 lgx>lgy，则 x>y”的逆命题.
其中正确的命题是
（）
A．①②
B．①③
C．③④
D．①②③
26.已知点（x, y）构成的平面区域如图（阴影部分）所示， 区域内取得最大值优解有无数多个，则 m 的值为
A．
B．
C．
D．
（m 为常数），在平面
27. 若 A．2
28.2
C．4
B．3 D．2
29. 如果正数
满足
A、
，且等号成立时
B、
，且等号成立时
C、
，且等号成立时
的最大值为
C．4
D．5
，那么 的取值唯一 的取值唯一 的取值不唯一
（）

D、
，且等号成立时
的取值不唯一
30. 设 变 量 （）
最小值为
A.9
B.4
31.设两个向量
C.3 和
D.2
其中
为实数.若
则
的取值范围是
()
A.
B.
C.
D.
32.某厂生产甲产品每千克需用原料 和原料 分别为 ，生产乙产品每千克需用原料
和原料 分别为
千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为
元，月初一次性够进
本月用原料 各 千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总 额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 千克， 千克，月利润总
额为 元，那么，用于求使总利润
最大的数学模型中，约束条件为
（A） 33.若
（B） 且
（C） ，则
（D） 的最小值是
（A）
（B）3 （C）2 （D）
34.若
且
则
的最小值为（ ）
（A）
（B）
35. 对任意实数 x,不等式
（C）
（D）
恒成立，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.

二、填空题
36.已知函数 y f x是定义在 R 上的偶函数，当 x ＜0 时， f x 是单调递增的，则不等
式 f x 1 ＞ f 1 2x 的解集是_________________________.
37.已知集合 A x x2 ax x a ，集合 B x1 log2 x 1 2 ，若 A B ，则实数
a 的取值范围是________________________.
38.设 A {x 1 x 2}, B {x f (x) m 3}，若 f (x) x2 1, A B ，则 m 的取值范
围是___
__
39.已知 x 0, y 0 ，且 x y xy ，则 u x 4 y 的取值范围是_____________.
xy0
2x y 2

y0
40.若不等式组 x y a 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则 a 的取值范围
是
．
41.不等式 loga x2 2x 3 1 在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是_________________.
42. 下 列 四 个 命 题 中 : ① a b 2
ab
②
sin2
x
4 sin2
x
4
③设
x, y
都是正整数,若
1 x
9 y
1 ,则 x
y
的最小值为
12④若
x2
,
y2
,则
x
y
2
其中所有真命题的序号是___________________.
a b 1 43.已知 x, y 是正数, a, b 是正常数,且 x y , x y 的最小值为______________.
44.已知 a,b, a b 成等差数列, a,b, ab 成等比数列,且 0 logm ab 1,则 m 的取值范围是
______.
45.已知 a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=9, 则 ax+by+cz 的最大值为 三、解答题 46.（本小题满分 12 分）
已知数列{an }和{bn }中， a1 t(t 0), a2 t 2 .当x t时, 函数 f (x)
1 3
(an1
an )x3
(an
an1 )x(n
2)
取得极值。

（1）求数列{an } 的通项公式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）若点 Pn (1, bn ), 过函数g(x) ln(1 x 2 )图象上的点 (an , g(an )) 的切线始终与 OPn
1 t 2时,不等式 1
1
1
1n
2n 2 2
平行（O 是坐标原点）。求证：当 2
b1 b2
bn
对任意
n N 都成立。
47.（本题满分 14 分）
已知实数 c 0 ，曲线 C : y x 与直线 l : y x c 的交点为 P (异于原点 O )，在曲线 C 上
取一点 P1(x1, y1) ，过点 P1 作 P1Q1 平行于 x 轴，交直线 l 于点 Q1 ，过点 Q1 作 Q1P2 平行于 y 轴，
交曲线 C 于点 P2 (x2 , y2 ) ，接着过点 P2 作 P2Q2 平行于 x 轴，交直线 l 于点 Q2 ，过点 Q2 作
Q2P3 平 行 于 y 轴 ， 交 曲 线 C 于 点 P3 (x3, y3 ) ， 如 此 下 去 ， 可 以 得 到 点 P4 (x4 , y4 ) ，
P5 (x5, y5 ) ，…, Pn (xn , yn ) ,… . 设点 P 的坐标为 (a, a ) ， x1 b, (0 b a) . （Ⅰ）试用 c 表示 a ，并证明 a 1 ；
（Ⅱ）试证明 x2 x1 ，且 xn a （ n N* ）；
c
（Ⅲ）当
0,
b
1 2
时，求证：
x2 x1 x3
x3 x2 x4
xn1 xn 2
xn2
2
（ n N* ）.
f (x) 1 ln x
48.已知函数
x.
(a, a 1)
（Ⅰ）若函数在区间
2 其中 a >0，上存在极值，求实数 a 的取值范围；
f (x) k
（Ⅱ）如果当 x 1时，不等式
x 1 恒成立，求实数 k 的取值范围；
（Ⅲ）求证(n 1)！ (n 1)en2(n N) .
49.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部 分），这两栏的面积之和为 18000cm2,四周空白的宽度为 10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为 5cm，怎样确定广告的 高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？

1 50.已知函数 f（x）=logax（a>0，且 a≠1），x∈［0，+∞）.若 x1，x2∈［0，+∞），判断 2
x1 x2 ［f（x1）+f（x2）］与 f（ 2 ）的大小，并加以证明.
ax2 51.解关于 x 的不等式 ax 1 ＞x，（a∈R）.
52.二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0) 对一切 x R 都有 f (2 x) f (2 x) ，解不等式
f
log
1
(
x
2
2
x
12)
f
log
1
(2
x
2
2
x 85)
53.解关于 x 的不等式：
loga (ax2)
loga2 (a2x)
1 2
(a 0 且 a 1)
54.已知不等式
2(2a 3) cos(
) 4
sin
6 cos
2sin 2
3a 6
对于
0,
2

恒
成立，求 a 的取值范围。
55.设函数 f x 的定义域为 R, 当 x＜0 时, f x ＞1, 且对于任意的实数 x, y R , 有
f
x y
f
x f
y 成立.
又数列an 满足 a1
f 0 ,
且
f an1
1 f (2 an )
nN*
(1)求证: f x 是 R 上的减函数；
(2)求 a2007 的值；
(1 1 )(1 1 )(1 1 )
(3)若不等式 a1
a2
an ≥k · 2n 1 对一切 n N* 均成立, 求 k 的最大
值.

参考答案
一、选择题 1.B 2.B 3.B 4.D 5.A 6.B
错误原因：忽视了条件中 x 的取值范围而导致出错。
7.C 8.B 9.D 10.B 11.C 12.B 13.C 14.B 提示：
ma x x1 x2 , x2 x3 , x3 x4 , x4 x5 ma x x1 x2 , x1 x4 , x1 x5

1( 5 3 i1
xi
x4 )
1 3
取
x1
x3
x5
1 3
,
x2
x4
0
则
ma
x x1
x2 ,
x2
x3 ,
x3
x4 ,
x4
x5
1 3
15.C
16.D
17.D
18.B
19.D
20.A
21.B
22.B
23.答案：C
24.答案：A
25.答案:B
26.答案:B
27.答案:B

28.答案:C 29.答案：A
解析：解 1：∵正数
满足
当且仅当 a=b=2 时，“=”成立；又 4=
成立；综上得
，且等号成立时
解 2：取
得 时取等号，故选 A。
30.答案：C 31.答案：A
解析：由
，∴ 4=
，即
，
，∴ c+d≥4，当且仅当 c=d=2 时，“=” 的取值都为 2，选 A。 ，从而淘汰 B、D；又∵当且仅当
可得
，
设
代入方程组可得
消去 化简得
令
代入上式得
，再化简得
可得
再 解不
等式得 32.答案：C
因而
解得
.故选 A
解析：某厂生产甲产品每千克需用原料 和原料 分别为 ，生产乙产品每千克需用原
料 和原料 分别为
千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为
元，月初一次性
够进本月用原料 各 千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利 润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 千克， 千克，月利
润总额为 元，那么，用于求使总利润
最大的数学模型中，约束条件为

，选 C.
33.答案：A 解析：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝12＋（b－c）2 取等号，故选 A 34.答案：D
12，当且仅当 b＝c 时
解析：若
且
所以
，
∴
，则(
35.答案：C 二、填空题（ 小题，每小题 分）
36. ,0 2,
37. 1, 3
38. (2, 4)
39. 9,
)≥
，选 D.
0 a 1或a 4
40.
3
1 41.[ 2 ，1）
42.④
43. a b 2 ab
44.（8，+∞） 45.3 三、解答题（ 小题，每小题 分）
46.解析：（1）由 f '(x) 0得(an1 an ) t(an an1 ), (n 2)
即{an1 an }是首项为 t 2 t, 公比为 t 的等比数列。 … … … … 2 分
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当 t 1时， an1 an (t 2 t)t n1 t n1 t n …… a2 a1 t 2 t.an t n ……5 分

当 t 1时, 代入f (x) 可知，函灵敏为常量函灵敏 f (x) 0 ，常量函数没有极值，不符合题
意；
bn
（2）证明：由
g'(an )得bn
2an 1 a2n
1
2t n t 2n
.
1 1 (t n 1 )
bn 2
tn
…………8 分
1 t 2,当 1 t 1时,数列{ 1 }
2
2
bn 为递减数列，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
1 t 2,数列{ 1 } bn 为递增数列
t 1 或2时 1
当2
bn 取得最在值。
1 bn
1 (2n 2
1 2n
)
…………10 分
1 b1
1 b2
1 bn
1 [(2 22 2
2n ) 1 2
1 2n
]
2n 1 (1 2n ) 2n 1 2
1 2n
2n
n
22
2
2
…………12 分
47.解析：（Ⅰ）点 P 的坐标 (a,
分
y x c a ) 满足方程组 y x ，所以
a a c , ……………1
a 1 1 4c
a 1 (1 2c 1 4c)
解得：
2 ，故 2
， ……………………… 2 分
a 1 (1 2c 1 4c) 1
因为 c 0 ，所以故1 2c 1 4c 2 ，故 2
. ………3 分
（Ⅱ）由已知 P1(b, b) ， Q1( b c, b) ， P2 ( b c, b c) ，
即： x1 b , x2 b c ，
…………………………… 4 分
所以 x2 x1 b c b b a a b ( a b)( a b 1)

因为 0 b a , a 1 ，所以 x2 x1 .
……………………………… 5 分
下面用数学归纳法证明 xn a （ n N* ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
○1 当 n 1 时， x1 b a 成立；
○2 假设当 n k 时，有 xk a 成立，（ k N* ）
则当 n k 1时， xk1 yk c , ( xk 0)
………………………………… 6 分
所以 xk1 xk c xk a a a
…………………………… 7 分
所以当 n k 1时命题也成立，
综上所述由○1 ，○2 知 xn a （ n N* ）成立.………………………………… 8 分
(注：此问答题如：只是由图可知，而不作严格证明，得分一律不超过 2 分)
1
（Ⅲ）当 c
0 时，
2
b
a
1
，
xk 1
yk
xk
(1 k n,
k, n N* )，…………9
分
1
( 1 )2
( 1 )n1
( 1 )n1
所以 xn
x2 n1
x2 n2
x1 2
b 2
.………………………………10 分
1
因为
b
1 2
，所以当
k
1 时，由（Ⅱ）知
xk 2
x3

1 2
4
，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
1
1
24 4 2
所以有 xk2
.……………………………………………………………12 分
( 1 )k
( 1 )k1
又因为 xk1 xk b 2 b 2 0 ， (xn xn1) (x3 x2 ) (x2 x1) xn x1
所以
1 2
b
x1
x2
故有：
xn
a
1
，
xn
x1
1
1 2
1 2
，…………………13
分
x2 x1 x3 x2
x3
x4

xn1 xn xn2
4
n
2 (xk1 xk )
k 1
4
2 (xn1 x1)
42 2
….14 分
48.解析：（Ⅰ）因为
f (x) 1 ln x x，
x >0，则
f
( x)
ln x x2
，
（1 分）

当 0 x 1时， f (x) 0 ；当 x 1时， f (x) 0 .
所以 f (x) 在（0，1）上单调递增；在 (1, ) 上单调递减，
所以函数 f (x) 在 x 1 处取得极大值.
（1 分）
因为函数
f
(x)
(a, a
在区间
1) 2
（其中 a
0 ）上存在极值，
a 1,
所以
a
1 2
1,
1 a 1
解得 2
.
（2 分）
f (x) k , (x 1)(1 ln x) k, g(x) (x 1)(1 ln x) ,
（Ⅱ）不等式
x 1 即为
x
记
x
所以
g(x)
(x
1)(1 ln
x) x (x
x2
1)(1
ln
x)
x
ln x2
x
令
h(x)
x
ln
x
，则
h( x)
1
1 x
，
（1 分） （1 分）
x 1， h(x) 0,
h(x) 在1, )上单调递增，
h(x) min
h(1)
1
0 ，从而
g(x)
0
，
（1 分）
故 g(x) 在1, )上也单调递增，
所以
g(
x) min
g(1)
2
，所以
k
2
.
（1 分） （1 分）
f (x) 2 ,
ln x x 1 1 2 1 2
（Ⅲ）又（Ⅱ）知：
x 1 恒成立，即
x 1 x 1 x ， （1 分）
ln n(n 1) 1 2
令 x n(n 1) ，则
n(n 1) ，
ln(1 2) 1 2
所以
1 2 ，
（1 分）
ln(2 3) 1 2 23 ，

ln(3 4) 1 2 34 ，
ln n(n 1) 1 2
n(n 1) ，
叠加得：
（1 分）
ln
1
22
33
n2
(n
1)
n
2
1 1 2
2
1
3
1 n(n
1)

n 2(1 1 ) n 2 1 n 2
n 1
n 1
.
（2 分）
则1 22 32 n2 (n 1) en2 ，
所以(n 1)！ (n 1)en2(n N) .
（1 分）
49.解法 1：设矩形栏目的高为 a cm，宽为 b cm，则 ab=9000.
①
广告的高为 a+20，宽为 2b+25，其中 a＞0，b＞0.
广告的面积 S＝(a+20)(2b+25)
＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b
≥18500+2 25a ? 40b =18500+ 1000 ab 24500 .
5a 当且仅当 25a＝40b 时等号成立，此时 b= 8 ,代入①式得 a=120，从而 b=75.
即当 a=120，b=75 时,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小.
y 25 , 解法 2：设广告的高为宽分别为 x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为 x－20， 2 其中
x＞20，y＞25
y 25 18000
18000 25,
两栏面积之和为 2(x－20) 2
,由此得 y= x 20
18000 25 18000 25 广告的面积 S=xy=x( x 20 )＝ x 20 x,
360000 25(x 20) 18500. 整理得 S= x 20

360000 25(x 20) 18500 24500 . 因为 x－20＞0，所以 S≥2 x 20
360000 25(x 20)
当且仅当 x 20
时等号成立，
18000 此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得 x=140，代入 y= x 20 +25,得 y＝175，
即当 x=140，y＝175 时，S 取得最小值 24500， 故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小.
50.解析：f（x1）+f（x2）=logax1+logax2=logax1·x2
x1 x2 ∵x1>0，x2>0，∴x1·x2≤（ 2 ）2（当且仅当 x1=x2 时取“=”号）
x1 x2
1
x1 x2
当 a>1 时，loga（x1·x2）≤loga（ 2 ）2，∴ 2 logax1x2≤loga 2
1
x1 x2
即 2 ［f（x1）+f（x2）］≤f（ 2 ）（当且仅当 x1=x2 时取“=”号）
x1 x2
1
x1 x2
当 01
x1 x2
即 2 ［f（x1）+f（x2）］≥f（ 2 ）（当且仅当 x1=x2 时取“=”号）
ax2
ax2
x
51.解析：由 ax 1 ＞x 得 ax 1 -x＞0 即 ax 1 ＞0（2 分）
此不等式与 x（ax-1）＞0 同解.（3 分）
x＞0
x＜0
①若 a＜0，则
或
ax-1＞0 ax-1＜0
得：
x x

0 1
a
或
x x

0 1
a
1
1
即 无解 或 a ＜x＜0. ∴解集为（ a ，0）.（4 分）
②若 a=0，则-x＞0 x＜0，∴解集为（-∞，0）.（6 分）

x＞0
x＜0
③若 a＞0，则
或
ax-1＞0 ax-1＜0
得
x x

0 1
a
或
x x

0 1
a
1
1
即：x＞ a 或 x＜0，∴解集为（-∞，0）∪（ a ，+∞）（9 分）
1 综上所述：①当 a＜0 时，不等式的解集是（ a ，0）
②当 a=0 时，不等式的解集是（-∞，0）
1 ③当 a＞0 时，不等式的解集是（-∞，0）∪（ a ，+∞）（10 分）
52.解析：∵
log
1 2
(x2
x
1 2
)
log
1 2
( x
1 2
)2
1 4

2
，
log
1 2
(2x2
x
5) 8
log
1 2
2( x
1)2 4
1 2

1 ，
又 f（x）在 ( ，2 ] 上递增，
由原不等式，得：
log
1 2
(x2
x
1) 2
log
1 2
(2x2
x
5) 8
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

x
2
x
1 2
0
2x 2 x 5 0
8

x
2
x
1 2
2x2
x
5 8
1 14 x 1 14
4
4
1
53.解析：原不等式等价于：
2 log a
x
1 2
2
log a
x
1 2
①当
log a
x
1 2
时，原不等式可化为：
1
2 log a
x
1 2
2
log
a
x
1 2
，解得：
log a
x
1 3
，故
1 2
log a
x
1 3
；

②当
2
log a
x
1 2
1
时，原不等式可化为：
2log a
x
1 2
2
log a
x
1 2
，解得：
log a
x
1，故 1
log a
x
1 2
；
③当
log a
x
2
时，原不等式可化为：
1 2log a
x
1 2
2
log a
x
1 2
，解得：
log a
x
1 3
，故无解。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
综上可知：
1
log a
x
1 3
，
1 x3a
3a x 1
∴当 a 1 时，原不等式的解为 a
；当 0 a 1时，原不等式的解为
a
cos( )
54.解析：设 sin cos x ，则
4
2 x, 2
sin 2 x2 1,
x 1,
2
(2a 3)x 6 2(x2 1) 3a 6
从而原不等式可化为：
x
2x2 2ax 3x 6 3a 4 0, 2x(x 2 a) 3(x 2 a) 0
即
x
x
x
，
(2
x
3)

x
2 x
a

0
x 1, 2 (1)
原不等式等价于不等式（1）
x 1, 2 , 2x 3 0
x 2 a 0
（1）不等式恒成立等价于 x
x 1,
2 恒成立。
从而只要
a
(
x
2 x
)max
(x 1,
2 ) 。
又容易知道
f
(x)
x
2 x
在
1,
2
(x
上递减，
2 x )max
3 (x 1,
2 ) 。
所以 a 3。

55.解析: (1)由题设, 令 x= 1, y=0, 可得 f( 1)=f( 1)f(0), ∴ f(0)=1. 故 a1=f(0)=1 当 x＞0 时, x＜0, ∴ f( x)＞1, 且 1=f(0)=f(x)f( x), 故得 0＜f(x)＜1 从而可得 f(x)＞0, x∈R 设 x1, x2∈R, 且 x1＜x2, 则 x2 x1＞0, 故 f(x2 x1)＜1, f(x1)＞0 从而 f(x1) f(x2)=f(x1) f(x1+x2 x1)=f(x1) f(x1)f(x2 x1)=f(x1)[1 f(x2
x1)]＞0 即 f(x1)＞f(x2), ∴函数 f(x)在 R 上是减函数.
1 (2)由 f(an+1)= f (2 an ) , 得 f(an+1)f(
2 an)=1, 即 f(an+1 an 2)=f(0)
由 f(x)的单调性, 故 an+1 an 2=0 即 an+1 an=2 (n∈N*) 因此, {an}是首项是 1, 公差为 2 的等差数列, 从而 an=2n 1, ∴ a2007=4013
(1 1 )(1 1 )(1 1 )
a1
a2
an
(3)设 g(n)=
2n 1
, 则 g(n)＞0, 且 k≤g(n)对 n∈N*恒成立.
(1 1 ) 2n 1
g(n 1)
an 1
由 g(n)
2n 3
2(n 1) 4(n 1)2 1 ＞1, 即 g(n+1)＞g(n),
2 ∴ g(n)在 N*上为单调递增函数, 故 g(n)≥g(1)= 3 3
2
2
因此, k≤ 3 3 , 即 k 的最大值为 3 3