必修二第五章曲线运动 知识点归纳与重点题型总结
高中物理必修二第五章
曲线运动 知识点归纳与重点题型总结
一、曲线运动的基本概念中几个关键问题
① 曲线运动的速度方向：曲线切线的方向。
② 曲线运动的性质：曲线运动一定是变速运动，即曲线运动的加速度a ≠0。
③ 物体做曲线运动的条件：物体所受合外力方向与它的速度方向不在同一直线上。
④ 做曲线运动的物体所受合外力的方向指向曲线弯曲的一侧。
【例1】如图5-11所示，物体在恒力F 作用下沿曲线从A 运动到B ，这时突然使它所受
力反向，大小不变，即由F 变为－F ．在此力作用下，物体以后
A ．物体不可能沿曲线Ba 运动
B ．物体不可能沿直线Bb 运动
C ．物体不可能沿曲线Bc 运动
D ．物体不可能沿原曲线返回到A 点
【例2】关于曲线运动性质的说法正确的是( )
A ．变速运动一定是曲线运动
B ．曲线运动一定是变速运动
C ．曲线运动一定是变加速运动
D ．曲线运动一定是加速度不变的匀变速运动
二、运动的合成与分解
①合成和分解的基本概念。
(1)合运动与分运动的关系：
①分运动具有独立性。
②分运动与合运动具有等时性。
③分运动与合运动具有等效性。
④合运动运动通常就是我们所观察到的实际运动。
(2)运动的合成与分解包括位移、速度、加速度的合成与分解，遵循平行四边形定则。
(3)几个结论：
①两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。
②两个直线运动的合运动，不一定是直线运动(如平抛运动)。
③两个匀变速直线运动的合运动，一定是匀变速运动，但不一定是直线运动。
②船过河模型
(1)若使过河路径最短，小船要垂直于河岸过河，应将船头偏向上游，如图甲所示，此时过
河时间： θ
sin 1v d v d t ==合 (2)若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图乙所示，此时过河时间1
v d t =(d 为河宽)。因为在垂直于河岸方向上，位移是一定的，船头按这样的方向，在垂直于河岸方
向上的速度最大。
图5-11
【例1】一条河宽100m ，水流速度为3m ／s ，一条小船在静水中的速度为5m ／s ，关于船过河的过程，下列说法正确的是( )
A ．船过河的最短时间是20s
B ．船要垂直河岸过河需用25s 的时间
C ．船不可能垂直河岸过河
D ．只要不改变船的行驶方向，船过河一定走一条直线
③绳端问题
绳子末端运动速度的分解，按运动的实际效果进行可以方便我们的研
究。 例如在右图中，用绳子通过定滑轮拉物体船，当以速度v 匀速
拉绳子时，求船的速度。
船的运动(即绳的末端的运动)可看作两个分运动的合成：
a)沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度等于左端绳子伸长的速度。即为v ； b)垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长。这样就可以求得船的速度为 cos v , 当船向左移动，α将逐渐变大，船速逐渐变大。虽然匀速拉绳子，但物体A 却在做变速运动。
【例2】如图5－1示，在河岸上用细绳拉船，为了使船匀速靠岸，拉绳的速度必须是（ ）
A ．加速拉
B ．减速拉
C ．匀速拉
D ．先加速后减速拉
④平抛运动
1．运动性质
a)水平方向：以初速度v 0做匀速直线运动．
b)竖直方向：以加速度a=g 做初速度为零的匀变速直线运动，即自由落体运动． c)在水平方向和竖直方向的两个分运动同时存在，互不影响，具有独立性．
d)平抛运动是匀变速曲线运动．
【例3】物体在平抛运动的过程中，在相等的时间内，下列物理量相等的是( )
A ．速度的增量
B ．加速度
C ．位移
D ．平均速度
【例4】正在水平匀速飞行的飞机，每隔1秒钟释放一个小球，先后共释放5个．不计阻力则( )
A ．这5个球在空中排成一条直线
B ．这5个球在空中处在同一抛物线上
C ．在空中，第1、2两球间的距离保持不变
D ．相邻两球的落地点间距离相等
【例5】对于平抛运动，下列条件中可确定物体初速度的是（ ）
A ．已知水平位移
B ．已知下落高度
C. 已知物体的位移 D ．已知落地速度的大小
2．平抛运动的规律
图5-1
以抛出点为坐标原点，以初速度v 0方向为x 正方向，竖直向下为y 正方向，如右图所
示，则有：
分速度 gt v v v
y x ==,0 合速度0
222tan ,v gt t g v v o =
+=θ 分位移221,gt y vt x == 合位移22y x s +=
★ 注意：合位移方向与合速度方向不一致。
3．平抛运动的特点
a)平抛运动是匀变速曲线运动，故相等的时间内速度的变化量相等．由△v=gt ，速度的变化必沿竖直方向。
b)物体由一定高度做平抛运动，其运动时间由下落高度决定，与初速度无关．由公式
221gt h =可得g
h t 2= 。
三、圆周运动
1．基本公式及概念
1）向心力：
定义：做圆周运动的物体所受的指向圆心的力，是效果力。
方向：向心力总是沿半径指向圆心，大小保持不变，是变力。
★匀速圆周运动的向心力，就是物体所受的合外力。
★向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分力 ★匀速圆周运动：物体做匀速圆周运动时受到的外力的合力就是向心力，向心力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，这是物体做匀速圆周运动的条件。
★变速圆周运动：在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心．合外力沿半径方向的分力(或所有外力沿半径方向的分力的矢量和)提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向．合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。
【例1】下列关于圆周运动的叙述中正确的是（ ）
A ．做匀速圆周运动的物体的合外力一定指向圆心
B ．做圆周运动的物体，其加速度可以不指向圆心
C ．做圆周运动的物体，其加速度一定指向圆心
D ．做圆周运动的物体，只要所受合外力不指向圆心，其速度方向就不与合外力垂直
【例2】在一个水平转台上放有A 、B 、C 三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同．A 的质量为2m ，B 、C 各为m ．A 、B 离转轴均为r ，C 为2r ．则（ ）
A ．若A 、
B 、
C 三物体随转台一起转动未发生滑动，A 、C 的向心加速度比B 大
B ．若A 、B 、
C 三物体随转台一起转动未发生滑动，B 所受的静摩擦力最小
C ．当转台转速增加时，C 最先发生滑动
D ．当转台转速继续增加时，A 比B 先滑动
【例3】如图5－2－11，细线吊着一个小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动．关于小球的受力情况，正确的是( )
A ．重力、绳子的拉力、向心力
B ．重力、绳的拉力
C ．重力
D ．以上说法均
2）运动参量： 线速度：T R t
x v /2π== 角速度：T t /2/π?ω==
周期(T) 频率(f) f
T 1= 向心加速度：r T
r r v a 222)2(πω=== 向心力：r T
m r m r mv ma F 222)2(/πω==== 【例1】如图5-2-1所示的传动装置中，A 、B 两轮同轴转动．A 、B 、C 三轮的半径大小的关系是R A =R C =2R B ．当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、
三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少？
2．竖直平面内的圆周运动问题的分析方法
竖直平面内的圆周运动，是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况。在最高点和最低点，合外力就是向心力。
（1）如右图所示为没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况： ①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力。
即 r
v m mg 20= 式中的v 0小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度gr v =0
②能过最高点的条件：v>v 0，此时绳对球产生拉力F
③不能过最高点的条件：v （2）有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动的情况： 图5-2-11 图 5-2-1 图 5-2-3 ①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度v0＝0 ②右图中(a)所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力的情况： 当0 当v＝gr，F N =0。 当v>gr时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大． ③右图(b)所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况与硬杆对小球的弹力类似。 3．对火车转弯问题的分析方法 在火车转弯处，如果内、外轨一样高，外侧轨道作用在外侧轮缘上的弹力F′指向圆心，使火车产生向心加速度，由于火车的质量和速度都相当大，所需向心力也非常大，则外轨很容易损坏，所以应使外轨高于内轨．如右图所示，这时支持力N不再与重力G平衡，它们的合力指向圆心．如果外轨超出内轨高度适当，可以使重力G 与支持力的合力，刚好等于火车所需的向心力． 另外，锥摆的向心力情况与火车相似。 4．离心运动 ①做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是 想沿着切线方向运动，只足由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动，如下图所示． ②当产生向心力的合外力消失，F=0，物体便沿所在位置的切线方向飞}II去，如右图A所 示． ③当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当具有的向心力，，即合外 力不足提供所需的向心力的情况下，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动．如右图B所示． 船 v d t = m in ，θ sin d x = 船 v v = θtan 第五章 曲线运动知识点总结 §5-1 曲线运动 & 运动的合成与分解 一、曲线运动 1.定义：物体运动轨迹是曲线的运动。 2.条件：运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上。 3.特点：①方向：某点瞬时速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向。 ②运动类型：变速运动（速度方向不断变化）。 ③F 合≠0，一定有加速度a 。 ④F 合方向一定指向曲线凹侧。 ⑤F 合可以分解成水平和竖直的两个力。 4.运动描述——蜡块运动 二、运动的合成与分解 1.合运动与分运动的关系：等时性、独立性、等效性、矢量性。 2.互成角度的两个分运动的合运动的判断： ①两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。 ②速度方向不在同一直线上的两个分运动，一个是匀速直线运动，一个是匀变速直线运动，其合运动是匀变速曲线运动，a 合为分运动的加速度。 ③两初速度为0的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动。 ④两个初速度不为0的匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动。当两个分运动的初速度的和速度方向与这两个分运动的和加速度在同一直线上时，合运动是匀变速直线运动，否则即为曲线运动。 三、有关“曲线运动”的两大题型 （一）小船过河问题 模型一：过河时间t 最短： 模型二： 直接位移x 最短： 当v 水 α 模型三：间接位移x 最短： （二）绳杆问题(连带运动问题) 1、实质：合运动的识别与合运动的分解。 2、关键：①物体的实际运动是合速度，分速度的方向要按实际运动效果确定；②沿绳（或杆）方向的分速度大小相等。 模型四：如图甲，绳子一头连着物体B ，一头拉小船A ，这时船的运动方向不沿绳子。 甲 乙 处理方法：如图乙，把小船的速度v A 沿绳方向和垂直于绳的方向分解为v 1和v 2，v 1就是拉绳的速度，v A 就是小船的实际速度。 §5-2 平抛运动 & 类平抛运动 一、抛体运动 1.定义：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力的作用，它的运动即为抛体运动。 2.条件：①物体具有初速度；②运动过程中只受G 。 二、平抛运动 1.定义：如果物体运动的初速度是沿水平方向的，这个运动就叫做平抛运动。 2.条件：①物体具有水平方向的加速度；②运动过程中只受G 。 3.处理方法：平抛运动可以看作两个分运动的合运动：一个是水平方向的匀速直线运动，一个是竖直方向的自由落体运动。 4.规律： A v 水 v 船 θ 当v 水>v 船时，L v v d x 船 水== θcos min ， θ sin 船v d t =，水船v v =θcos θ θsin ) cos -(min 船船水v L v v s = θ v 船 d 数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位 置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010年各省参加高考的考生人数。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 14131211 ，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明： ① {}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列 实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值 (1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 例：画出数列12+=n a n 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1 (1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 例：已知数列}{n a 的前n 项和322+=n s n ，求数列}{n a 的通项公式 曲线运动知识点总结(MYX) 一、曲线运动 1、所有物体得运动从轨迹得不同可以分为两大类:直线运动与曲线运动。 2、曲线运动得产生条件:合外力方向与速度方向不共线(≠0°,≠180°) 性质:变速运动 3、曲线运动得速度方向:某点得瞬时速度方向就就是轨迹上该点得切线方向。 4、曲线运动一定收到合外力,“拐弯必受力,”合外力方向:指向轨迹得凹侧。 若合外力方向与速度方向夹角为θ,特点:当0°＜θ＜90°,速度增大; 当0°＜θ＜180°,速度增大; 当θ=90°,速度大小不变。 5、曲线运动加速度:与合外力同向,切向加速度改变速度大小;径向加速度改变速度方向。 6、关于运动得合成与分解 (1)合运动与分运动 定义:如果物体同时参与了几个运动,那么物体实际发生得运动就叫做那几个运动得合运动。那几个运动叫做这个实际运动得分运动. 特征:①等时性;②独立性;③等效性;④同一性。 (2)运动得合成与分解得几种情况: ①两个任意角度得匀速直线运动得合运动为匀速直线运动。 ②一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动得合运动为匀变速运动,当二者共线时轨迹为直线,不共线时轨迹为曲线。 ③两个匀变速直线运动合成时,当合速度与合加速度共线时,合运动为匀变速直线运动;当合速度与合加速度不共线时,合运动为曲线运动。 二、小船过河问题 1、渡河时间最少:无论船速与水速谁大谁小,均就是船头与河岸垂直,渡河时间,合速度方向沿得方向。 2、位移最小: ①若,船头偏向上游,使得合速度垂直于河岸,船头偏上上游得角度为,最小位移为。 ②若,则无论船得航向如何,总就是被水冲向下游,则当船速与合速度垂直时渡河位移最小,船头偏向上游得角度为,过河最小位移为。 三、抛体运动 1、平抛运动定义:将物体以一定得初速度沿水平方向抛出,且物体只在重力作用下(不计空气阻力)所做得运动,叫做平抛运动。平抛运动得性质就是匀变速曲线运动,加速度为g。 类平抛:物体受恒力作用,且初速度与恒力垂直,物体做类平抛运动。 2、平抛运动可分解为水平方向得匀速直线运动与竖直方向得初速度为零得匀加速直线运动(自由落体)。 水平方向(x) 竖直方向(y) ①速度合速度: ②位移合位移: ※3、重要结论: ①时间得三种求法: ,在空中飞行时间由高度决定。 ②,落地速度与与h有关。 ③,末速度偏角为位移偏角正切值得2倍, 得反向延长线平分水平位移。 4、斜抛运动定义:将物体以一定得初速度沿与水平方向成一定角度抛出,且物体只在重力作用下(不计空气阻力)所做得运动,叫做斜抛运动。它得受力情况与平抛完全相同,即在水平方向上不受力,加速度为0;在竖直方向上只受重力,加速度为g。 速度: 位移: 时间: 水平射程: 当时,x最大。 四、圆周运动 第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 1. 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 1.3.元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2. 集合间的基本关系 2.1.子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B(或B ?A)． 2.2.真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ，A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B. 两集合相等：A ＝B ?? ??? ? A ? B ，A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性． 2.4.空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}． 3. 集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A∩B ，即A∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B}． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可 知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练] 高中物理必修2第五章曲线运动知识点总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第五章 曲线运动知识点总结 §5-1 曲线运动 & 运动的合成与分解 一、曲线运动 1.定义：物体运动轨迹是曲线的运动。 2.条件：运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上。 3.特点：①方向：某点瞬时速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向。 ②运动类型：变速运动（速度方向不断变化）。 ③F 合≠0，一定有加速度a 。 ④F 合方向一定指向曲线凹侧。 ⑤F 合可以分解成水平和竖直的两个力。 4.运动描述——蜡块运动 二、运动的合成与分解 1.合运动与分运动的关系：等时性、独立性、等效性、矢量性。 2.互成角度的两个分运动的合运动的判断： ①两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。 ②速度方向不在同一直线上的两个分运动，一个是匀速直线运动，一个是匀变速直线运动，其合运动是匀变速曲线运动，a 合为分运动的加速度。 ③两初速度为0的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动。 ④两个初速度不为0的匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动。当两个分运动的初速度的和速度方向与这两个分运动的和加速度在同一直线上时，合运动是匀变速直线运动，否则即为曲线运动。 三、有关“曲线运动”的两大题型 （一）小船过河问题 船v d t =m in ，θ sin d x = 水 船 v v = θtan 模型一：过河时间t 最短： 模型二：直接位移x 最短： 模型三：间接位移x 最短： （二）绳杆问题(连带运动问题) 1、实质：合运动的识别与合运动的分解。 2、关键：①物体的实际运动是合速度，分速度的方向要按实际运动效果确定；②沿绳（或杆）方向的分速度大小相等。 模型四：如图甲，绳子一头连着物体B ，一头拉小船A ，这时船的运动方向不沿绳子。 当v 水 集合基础知识及题型归纳总结 1、集合概念与特征： 例：1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 例：下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）36 11,,,,0.5242 -这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2、元素与集合、集合与集合间的关系 元素集合的关系：∈?或 集合与集合的关系=?或 例：下列式子中，正确的是（ ） A ．R R ∈+ B ．{}Z x x x Z ∈≤?-,0| C ．空集是任何集合的真子集 D ．{}φφ∈ 3、集合的子集：（必须会写出一个集合的所有子集） 例：若集合}8,7,6{=A ，则满足A B A =?的集合B 的个数是 4、集合的运算:(交集、并集、补集) 例1：已知全集}{5,4,3,2,1,0=U ,集合}{5,3,0=M ,}{5,4,1=N ,则=N C M U I 例2：已知 {}{}=|3217,|2A x x B x x -<-≤=< （1）求A ∩B ； （2）求（C U A ）∪B 例3：已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围 例4：某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人 例5：方程组? ??=-=+9122y x y x 的解集是（ ） A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5- 高中物理必修二知识点总结：第五章曲线运动（人教版）这一章是在前边几章的学习基础之上，研究一种更为复杂的运动方式：曲线运动。这也是运动学中更为重要的一部分内容，本章的重难点就在于抛体运动、圆周运动。 考试的要求： Ⅰ、对所学知识要知道其含义，并能在有关的问题中识别并直接运用，相当于课程标准中的“了解”和“认识”。 Ⅱ、能够理解所学知识的确切含义以及和其他知识的联系，能够解释，在实际问题的分析、综合、推理、和判断等过程中加以运用，相当于课程标准的“理解”，“应用”。 要求Ⅱ：曲线运动、抛体运动、圆周运动。 知识构建： 新知归纳： 一、曲线运动 ●曲线运动 1、定义：物体的运动轨迹不是直线的运动称为曲线运动。 2．物体做曲线运动的条件 (1）当物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上时，这个合力总能产生一个改变速度方向的效果，物体就一定做曲线运动。 （2）当物体做曲线运动时，它的合力所产生的加速度的方向与速度方向也不在同一直线上。 （3）物体的运动状态是由其受力条件及初始运动状态共同确定的． 2、曲线运动的特点:质点在某一点的速度方向，就是通过该点的曲线的切线方向.质点的速度方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。 物体运动的性质由加速度决定（加速度为零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度 变化时物体做变加速运动）。 3、曲线运动的速度方向 （1）在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线切线的方向。 （2）曲线运动的速度方向时刻改变，无论速度的大小变或不变，运动的速度总是变化的，故曲线运动是一种变速运动。 4、曲线运动的轨迹:作曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指向的一方弯曲，若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向，如平抛运动的轨迹向下弯曲，圆周运动的轨迹总是向圆心弯曲等。 ●曲线运动常见的类型： （1）a=0：匀速直线运动或静止。 （2）a 恒定：性质为匀变速运动，分为：①v 、a 同向，匀加速直线运动；②v 、a 反向，匀减速直线运动；③v 、a 成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v 、a 之间，和速度v 的方向相切，方向逐渐向a 的方向接近，但不可能达到。） （3）a 变化：性质为变加速运动。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。 二、质点在平面内的运动 ●合运动和分运动 当物体实际发生的运动较复杂时，我们可将其等效为同时参与几个简单的运动，前者——实际发生的运动称作合运动，后者则称作物体实际运动的分运动． ●运动的合成和分解 已知分运动求合运动，叫做运动的合成；已知合运动求分运动，叫做运动的分解，这种双向的等效操作过程，是研究复杂运动的重要万法． 1、合运动与分运动的关系:等时性；独立性；等效性。 2、运动的合成与分解的法则:平行四边形定则 3、分解原则:根据运动的实际效果分解，物体的实际运动为合运动。 其运动规律为： （1）水平方向：a x =0，v x =v 0，x=v 0t 。 （2）竖直方向：a y =g ，v y =gt ，y=gt 2/2。 （3）合运动：a=g ，22y x t v v v +=，22y x s +=。v t 与v 0方向夹角为θ，tan θ=gt/v 0，s 与x 方向夹角为α，tan α=gt/2v 0. 平抛运动中飞行时间仅由抛出点与落地点的竖直高度来决定，即g h t 2= ，与v 0无关。水平射程s=v 0g h 2. ●运动的合成和分解的应用 （1）进行运动的合成与分解，就是对描述运动的各物理量如位移、速度、加速度等矢量用平行四边形定则求和或求差．运动的合成与分解遵循如下原理： 第四章曲线运动 第一模块：曲线运动、运动的合成和分解 『夯实基础知识』 ■考点一、曲线运动 1、定义：运动轨迹为曲线的运动。 2、物体做曲线运动的方向： 做曲线运动的物体，速度方向始终在轨迹的切线方向上，即某一点的瞬时速度的方向，就是通过该点的曲线的切线方向。 3、曲线运动的性质 由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。 由于曲线运动速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的加速度必不为零，所受到的合外力必不为零。 4、物体做曲线运动的条件 （1）物体做一般曲线运动的条件 物体所受合外力（加速度）的方向与物体的速度方向不在一条直线上。 （2）物体做平抛运动的条件 物体只受重力，初速度方向为水平方向。 可推广为物体做类平抛运动的条件：物体受到的恒力方向与物体的初速度方向垂直。 （3）物体做圆周运动的条件 物体受到的合外力大小不变，方向始终垂直于物体的速度方向，且合外力方向始终在同一个平面内（即在物体圆周运动的轨道平面内） 总之，做曲线运动的物体所受的合外力一定指向曲线的凹侧。 5、分类 ⑴匀变速曲线运动：物体在恒力作用下所做的曲线运动，如平抛运动。 ⑵非匀变速曲线运动：物体在变力(大小变、方向变或两者均变)作用下所做的曲线运动，如圆周运动。 ■考点二、运动的合成与分解 1、运动的合成：从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则。运动合成重点是判断合运动和分运动，一般地，物体的实际运动就是合运动。 2、运动的分解：求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解。 3、合运动与分运动的关系： ⑴运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）； ⑵等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等 ⑶独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，物体在任何一个方向的运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的运动是否存在而受到影响。 高中物理必修二第五章 曲线运动知识点总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 曲线运动知识点总结（MYX） 一、曲线运动 1、所有物体的运动从轨迹的不同可以分为两大类：直线运动和曲线运动。 2、曲线运动的产生条件：合外力方向与速度方向不共线（≠0°，≠180°） 性质：变速运动 3、曲线运动的速度方向：某点的瞬时速度方向就是轨迹上该点的切线方向。 4、曲线运动一定收到合外力，“拐弯必受力，”合外力方向：指向轨迹的凹侧。 若合外力方向与速度方向夹角为θ，特点：当0°＜θ＜90°，速度增大； 当0°＜θ＜180°，速度增大； 当θ=90°，速度大小不变。 5、曲线运动加速度：与合外力同向，切向加速度改变速度大小；径向加速度改变速度方向。 6、关于运动的合成与分解 （1）合运动与分运动 定义：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就叫做那几个运动的合运动。那几个运动叫做这个实际运动的分运动． 特征：①等时性；②独立性；③等效性；④同一性。 （2）运动的合成与分解的几种情况： ①两个任意角度的匀速直线运动的合运动为匀速直线运动。 ②一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动为匀变速运动，当二者共线时轨迹为直线，不共线时轨迹为曲线。 ③两个匀变速直线运动合成时，当合速度与合加速度共线时，合运动为匀变速直线运动；当合速度与合加速度不共线时，合运动为曲线运动。 二、小船过河问题 1、渡河时间最少：无论船速与水速谁大谁小，均是船头与河岸垂直，渡河时间min d t v =船 ，合速度方向沿v 合的方向。 2、位移最小： ①若v v >船水，船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，船头偏上上游的角度为cos v v θ= 水船 ， 最小位移为 min l d =。 ②若v v <船水，则无论船的航向如何，总是被水冲向下游，则当船速与合速度垂直时渡河位移最小，船头偏向上游的角度为cos v v θ=船水 ，过河最小位移为min cos v d l d v θ==水船 。 三、抛体运动 1、平抛运动定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，且物体只在重力作用下（不计空气阻力）所做的运动，叫做平抛运动。平抛运动的性质是匀变速曲线运动，加速度为g 。 类平抛：物体受恒力作用，且初速度与恒力垂直，物体做类平抛运动。 2、平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的初速度为零的匀加速直线运动（自由落体）。 水平方向（x ） 竖直方向（y ） ①速度 0x v v = y v gt = 合速度：t v = ②位移 0x v t = 2 12 y gt = 合位移： x = 0tan 2y gt x v α== ※3、重要结论： ①时间的三种求法：0y v x t v g === ，在空中飞行时间由高度决定。 ②t v =0v 和h 有关。 ③tan 2tan θ?=，末速度偏角为位移偏角正切值的2倍， t v 的反向延长线平分水平位移。 y x gt tan θv v v = = x 一元一次不等式与一元一次不等式组 一、不等式 考点一、不等式的概念 不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。不等号包括 . 题型一 会判断不等式 下列代数式属于不等式的有 . ① -x≥5 ② 2x -y ＜0 ③ 2 + 5 ≥ 3 ④ -3＜0 ⑤ x=3 ? x 2 + xy + y 2 ⑦ x≠5 ⑧ x 2 - 3x + 2＞0 ⑨x + y ≥ 0 题型二 会列不等式 根据下列要求列出不等式 ①.a ②.m 的 5 倍不大于 3 可表示为 . ③.x 与 17 的和比它的 2 倍小可表示为 . ④.x 和 y 的差是正数可表示为 . ⑤. x 的3 5 与 12 的差最少是 6 可表示为 . 考点二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向不变，则这个数是正数. 基本训练：若 a ＞b ，ac ＞bc ，则 c 0. 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向改变，则这个数是负数。 基本训练：若 a ＞b ，ac ＜bc ，则 c 0. 4、如果不等式两边同乘以 0，那么不等号变成等号，不等式变成等式。 练习:1、指出下列各题中不等式的变形依据 ①.由 3a>2 得 a> 2 理 3 由： . ②. 由 a+7>0 得 a>-7 理 由： -1 . 5 ③.由-5a<1 得 a> 理 由：. ④.由 4a>3a+1 得 a>1 理 由：. 2、若x＞y，则下列式子错误的是（） A.x-3＞y-3 B.x ＞ y 3 3 3、判断正误 ①. 若a＞b，b＜c 则a＞c. （） ②.若a＞b，则ac＞bc. （） ③.若ac2＞bc2，则a＞b. （） ④.若a＞b，则ac2＞bc2. （） ⑤.若 a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1） C. x+3＞y+3 D.-3x＞-3y （） ?. 若a＞b，若c 是个自然数，则ac＞bc. （） 考点三、不等式解和解集 1、不等式的解：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 练习：1、判断下列说法正确的是（） A.x=2 是不等式x+3＜2 的解 B.x =3 是不等式3x＜7 的解。 C.不等式3x＜7 的解是x＜2 D.x=3 是不等式3x≥9的解 2.下列说法错误的是（） A.不等式 x＜2 的正整数解只有一个 B.-2 是不等式 2x-1＜0 的一个解 C. 不等式-3x＞9 的解集是 x＞-3 D.不等式 x＜10 的整数解有无数个 2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 题型一会求不等式的解集 练习：1、不等式x-8＞3x-5 的解集是. 2、不等式x≤4的非负整数解是. 3、不等式2x-3≤0的解集为. 题型二知道不等式的解集求字母的取值范围 2、如果不等式（a-1）x＜（a-1）的解集是x＜1，那么a 的取值范围是. x＜ 1 曲线运动 考点梳理： 一.曲线运动 1.运动性质————变速运动，具有加速度 2.速度方向————沿曲线一点的切线方向 3.质点做曲线运动的条件 （1）从动力学看，物体所受合力方向跟物体的速度不再同一直线上，合力指向轨迹的凹侧。 （2）从运动学看，物体加速度方向跟物体的速度方向不共线 例题：如图5-1-5在恒力F 作用下沿曲线从A 运动到B ，这时突然使它受的力反向，而大小不变，即由F 变为－F ，在此力作用下，关于物体以后的运动情况的下列说法中正确的是（ ） A ．物体不可能沿曲线Ba 运动 B ．物体不可能沿直线Bb 运动 C ．物体不可能沿曲线Bc 运动 D ．物体不可能沿原曲线由B 返回A 2、图5-1-6簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a 、b 是轨迹上的两点。若带电粒子在运动中只受 电场力作用，根据此图可作出正确判断的是（ ） A ． 带电粒子所带电荷的符号； B ． 带电粒子在a 、b 两点的受力方向； C ． 带电粒子在a 、b 两点的速度何处较大； D ． 带电粒子在a 、b 两点的电势能何处较大。 二.运动的合成与分解 1.合运动和分运动:当物体同时参与几个运动时,其实际运动就叫做这几个运动的合运动,这几个运动叫做实际运动的分运动. 2.运动的合成与分解 (1)已知分运动(速度v 、加速度a 、位移s)求合运动(速度v 、加速度a 、位移s),叫做运动的合成. (2)已知合运动(速度v 、加速度a 、位移s)求分运动(速度v 、加速度a 、位移s),叫做运动的分解. (3)运动的合成与分解遵循平行四边形定则. 3.合运动与分运动的关系 (1)等时性:合运动和分运动进行的时间相等. (2)独立性:一个物体同时参与几个分运动,各分运动独立进行,各自产生效果. (3)等效性:整体的合运动是各分运动决定的总效果,它替代所有的分运动. 三.平抛运动 1.定义:水平抛出的物体只在重力作用下的运动. 2.性质:是加速度为重力加速度g 的匀变速曲线运动,轨迹是抛 3.平抛运动的研究方法 (1)平抛运动的两个分运动:水平方向是匀速直线运动,竖直方 向是自由落体运动. (2)平抛运动的速度 图5-1-5 s 曲线运动知识点总结（MYX ） 一、曲线运动 1、所有物体的运动从轨迹的不同可以分为两大类：直线运动和曲线运动。 2、曲线运动的产生条件：合外力方向与速度方向不共线（≠0°，≠180°） 性质：变速运动 3、曲线运动的速度方向：某点的瞬时速度方向就是轨迹上该点的切线方向。 4、曲线运动一定收到合外力，“拐弯必受力，”合外力方向：指向轨迹的凹侧。 若合外力方向与速度方向夹角为θ，特点：当0°＜θ＜90°，速度增大； 当0°＜θ＜180°，速度增大； 当θ=90°，速度大小不变。 5、曲线运动加速度：与合外力同向，切向加速度改变速度大小；径向加速度改变速度方向。 6、关于运动的合成与分解 （1）合运动与分运动 定义：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就叫做那几个运动的合运动。那几个运动叫做这个实际运动的分运动． 特征：① 等时性；② 独立性；③ 等效性；④ 同一性。 （2）运动的合成与分解的几种情况： ①两个任意角度的匀速直线运动的合运动为匀速直线运动。 ②一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动为匀变速运动，当二者共线时轨迹为直线，不共线时轨迹为曲线。 ③两个匀变速直线运动合成时，当合速度与合加速度共线时，合运动为匀变速直线运动；当合速度与合加速度不共线时，合运动为曲线运动。 二、小船过河问题 1、渡河时间最少：无论船速与水速谁大谁小，均是船头与河岸垂直，渡河时间min d t v = 船 ，合速度方向沿v 合的方向。 2、位移最小： ①若v v >船水，船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，船头偏上上游的角度为cos v v θ= 水船 ，最小位移为 min l d =。 ②若v v <船水，则无论船的航向如何，总是被水冲向下游，则当船速与合速度垂直时渡河位移最小，船头 偏向上游的角度为cos v v θ=船水，过河最小位移为min cos v d l d v θ==水船 。 三、抛体运动 1、平抛运动定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，且物体只在重力作用下（不计空气阻力）所做的运动，叫做平抛运动。平抛运动的性质是匀变速曲线运动，加速度为g 。 类平抛：物体受恒力作用，且初速度与恒力垂直，物体做类平抛运动。 2、平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的初速度为零的匀加速直线运动（自由落体）。 水平方向（x ） 竖直方向（y ） y gt tan θv = = 集合知识点总结 Prepared on 22 November 2020 辅导讲义：集合与常用逻辑用语 1、集合：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 集合的常用表示法：列举法、描述法。 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性。 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为 A ? B ，或B ?A ，读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”。 即：若A a ∈则B a ∈，那么称集合A 称为集合B 的子集 注：空集是任何集合的子集。 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ?B 或B ?A ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作 U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作 B A ?（读作“A 交B ”），即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 B A ?=A B ?，B A ?B B A A ???，。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作 B A ?（读作“A 并B ”），即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 B A ?=A B ?，?A B A ?，?B B A ?。 8、元素与集合的关系：有属于和不属于两种，集合与集合间的关系，用包含、真包含 曲线运动知识点总结 一、曲线运动 1、所有物体的运动从轨迹的不同可以分为两大类：直线运动和曲线运动。 2、曲线运动的产生条件：合外力方向与速度方向不共线（≠0°，≠180°） 性质：变速运动 3、曲线运动的速度方向：某点的瞬时速度方向就是轨迹上该点的切线方向。 4、曲线运动一定收到合外力，“拐弯必受力，”合外力方向：指向轨迹的凹侧。 若合外力方向与速度方向夹角为θ，特点：当0°＜θ＜90°，速度增大； 当0°＜θ＜180°，速度增大； 当θ=90°，速度大小不变。 5、曲线运动加速度：与合外力同向，切向加速度改变速度大小；径向加速度改变速度方向。 6、关于运动的合成与分解 （1）合运动与分运动 定义：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就叫做那几个运动的合运动。那几个运动叫做这个实际运动的分运动． 特征：① 等时性；② 独立性；③ 等效性；④ 同一性。 （2）运动的合成与分解的几种情况： ①两个任意角度的匀速直线运动的合运动为匀速直线运动。 ②一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动为匀变速运动，当二者共线时轨迹为直线，不共线时轨迹为曲线。 ③两个匀变速直线运动合成时，当合速度与合加速度共线时，合运动为匀变速直线运动；当合速度与合加速度不共线时，合运动为曲线运动。 二、小船过河问题 1、渡河时间最少：无论船速与水速谁大谁小，均是船头与河岸垂直，渡河时间min d t v =船 ，合速度方向沿v 合的方向。 2、位移最小： ①若v v >船水，船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，船头偏上上游的角度为cos v v θ= 水船 ，最小位移为 min l d =。 ②若v v <船水，则无论船的航向如何，总是被水冲向下游，则当船速与合速度垂直时渡河位移最小，船头偏向上游的角度为cos v v θ= 船水 ，过河最小位移为min cos v d l d v θ= =水船 。 三、抛体运动 1、平抛运动定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，且物体只在重力作用下（不计空气阻力）所做的运动，叫做平抛运动。平抛运动的性质是匀变速曲线运动，加速度为g 。 类平抛：物体受恒力作用，且初速度与恒力垂直，物体做类平抛运动。 2、平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的初速度为零的匀加速直线运动（自由落体）。 水平方向（x ） 竖直方向（y ） ①速度 0x v v = y v gt = 合速度：t v = ②位移 0x v t = 2 12 y gt = 合位移： x = 0tan 2y gt x v α== ※3、重要结论： y x 0 gt tan θv v v == P 蜡块的位置 v v x v y 涉及的公式： 2 2y x v v v += x y v v = θtan θ v v 水 v 船 θ 船 v d t = m in ，θ sin d x = 水 船 v v = θtan d 第五章 曲线运动知识点总结 §5-1 曲线运动 & 运动的合成与分解 一、曲线运动 1.定义：物体运动轨迹是曲线的运动。 2.条件：运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上。 3.特点：①方向：某点瞬时速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向。 ②运动类型：变速运动（速度方向不断变化）。 ③F 合≠0，一定有加速度a 。 ④F 合方向一定指向曲线凹侧。 ⑤F 合可以分解成水平和竖直的两个力。 4.运动描述——蜡块运动 二、运动的合成与分解 1.合运动与分运动的关系：等时性、独立性、等效性、矢量性。 2.互成角度的两个分运动的合运动的判断： ①两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。 ②速度方向不在同一直线上的两个分运动，一个是匀速直线运动，一个是匀变速直线运动，其合运动是匀变速曲线运动，a 合为分运动的加速度。 ③两初速度为0的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动。 ④两个初速度不为0的匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动。当两个分运动的初速度的和速度方向与这两个分运动的和加速度在同一直线上时，合运动是匀变速直线运动，否则即为曲线运动。 三、有关“曲线运动”的两大题型 （一）小船过河问题 模型一：过河时间t 最短： 模型二：直接位移x 最短： d v v 水 v 船 θ 当v 水 集合 一．【课标要求】 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。 预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体 三．【要点精讲】 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或 者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R 。 2．集合的包含关系： （1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ； （2）简单性质：1）A ?A ；2）Φ?A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集： （1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； （2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 4．交集与并集：高中物理必修2第五章曲线运动知识点总结
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