(完整版)相似三角形经典模型总结及例题分类
相似三角形经典模型总结
经典模型
【精选例题】 “平行型”
【例1】 如图,111EE FF MM ∥∥,若AE EF FM MB ===,
则1
11
1
1
1
:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形
M 1F 1E 1M E F A B
C
【例2】 如图,AD EF MN BC ∥∥∥,若9AD =,18BC =,::2:3:4AE EM MB =,则
_____EF =,_____MN =
M N A B
C
D E F
【例3】 已知,P 为平行四边形ABCD 对角线,AC 上一点,过点P 的直线与AD ,BC ,CD 的延
长线,AB 的延长线分别相交于点E ,F ,G ,H
求证:
PE PH
PF PG
=
P
H
G
F
E
D
C
B
A
【例4】 已知:在ABC ?中,D 为AB 中点,E 为AC 上一点,且
2AE
EC
=,BE 、CD 相交于点F ,
求
BF
EF
的值
【例5】 已知:在ABC ?中,12AD AB =
,延长BC 到F ,使1
3
CF BC =,连接FD 交AC 于点E 求证:①DE EF = ②2AE CE =
A
B
C
D
F
E
F
E D
C
B
A
【例6】 已知:D ,E 为三角形ABC 中AB 、BC 边上的点,连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ,
::BD DE AB AC =
求证:CEF ?为等腰三角形
F
E
D
C
B
A
【例7】 如图,已知////AB EF CD ,若AB a =,CD b =,EF c =,求证:111
c a b
=+.
F
E D
C
B
A
【例8】 如图,找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系,并证明你的结论.
F
E D
C
B
A
【例9】 如图,四边形ABCD 中,90B D ∠=∠=?,M 是AC 上一点,ME AD ⊥于点E ,MF BC
⊥于点F
求证:
1MF ME
AB CD
+= A
B
C
D
E
F M
【例10】 如图,在ABC ?中,D 是AC 边的中点,过D 作直线EF 交AB 于E ,交BC 的延长线于F
求证:AE BF BE CF ?=?
F
E
D
C B
A
【例11】 如图,在线段AB 上,取一点C ,以AC ,CB 为底在AB 同侧作两个顶角相等的等腰三角形
ADC ?和CEB ?,AE 交CD 于点P ,BD 交CE 于点Q ,
求证:CP CQ =
Q
P
E
D
C B
A
【例12】 阅读并解答问题.
在给定的锐角三角形ABC 中,求作一个正方形DEFG ,使D ,E 落在BC 边上,F ,G 分别落在AC ,AB 边上,作法如下:
第一步:画一个有三个顶点落在ABC ?两边上的正方形''''D E F G 如图, 第二步:连接'BF 并延长交AC 于点F 第三步:过F 点作FE BC ⊥,垂足为点E 第四步:过F 点作FG BC ∥交AB 于点G 第五步:过G 点作GD BC ⊥,垂足为点D 四边形DEFG 即为所求作的正方形
问题:⑴证明上述所作的四边形DEFG 为正方形
⑵在ABC ?
中,如果6BC =+45ABC ∠=?,75BAC ∠=?,求上述正方形DEFG 的边长
G'
F'
E'D'A
B
C
D
E
F
G
“平行旋转型”
图形梳理:
AEF 旋转到AE‘F’
C
B
A
AEF 旋转到AE‘F’
C
B
B
C
AEF 旋转到
AE‘F’
A
B
C
AEF 旋转到AE‘F’
特殊情况:B 、'E 、'F 共线
AEF 旋转到AE‘F’C
B
A
A
B C
E
F E'
F'
AEF 旋转到AE‘F’
C ,'E ,'F 共线
AEF 旋转到AE‘F’
C
B
A
AEF 旋转到AE‘F’
C
B
A
【例13】 已知梯形ABCD ,AD BC ∥,对角线AC 、BD 互相垂直,则
①证明:2
2
2
2
AD BC AB CD +=+
O
A
B C
D
【例14】 当AOD ?,以点O 为旋转中心,逆时针旋转θ度(090θ<<),问上面的结论是否成立,请
说明理由
D
C
B A
O
【例15】 (全国初中数学联赛武汉选拔赛试题)如图,四边形ABCD 和BEFG 均为正方形,求
::AG DF CE =_________.
A
B
E
F G
G
F
E
D
C
B
A
“斜交型”
【例16】 如图,ABC ?中,D 在AB 上,且DE BC ∥交AC 于E ,F 在AD 上,且2
AD AF AB =?,
求证:AEF ACD ??:
F E
D C
B
A
【例17】 如图,等边三角形ABC 中,D ,E 分别在BC ,AB 上,且CE BE =,AD ,CE 相交于M ,
求证:EAM ECA ??:
M E D
C B A
【例18】 如图,四边形ABCD 的对角线相交于点O ,BAC CDB ∠=∠,求证:DAC CBD ∠=∠
O
D
C
B
A
【例19】 如图,设
AB BC CA
AD DE EA
==
,则12∠=∠吗? 21A
B
C
D
E
【例20】 在锐角三角形ABC 中,AD ,CE 分别为BC ,AB 边上的高,ABC ?和BDE ?的面积分别
等于18和2,2DE =,求AC 边上的高
A
B
C
D
E
【例21】 如图,在等边ABC ?的边BC 上取点D ,使2
1
=CD BD ,作CH AD ⊥,H 为垂足,连结BH 。
求证:DBH DAB ∠=∠
【例22】 已知:在正三角形ABC 中,点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点,且BD CE =,直线CD
与AE 相交于点F
求证:①DC AE =,②2
AD DC DF =?
A
B C
D
E
F
“斜交特殊型”(隐含三垂直)
【例23】 已知,如图,ABC ?中,AD BC ⊥于点D ,DE AC ⊥于点E ,DF AB ⊥于点F ,求证:
AEF B ∠=∠
A
B
C
D
E
F
【例24】 已知:如图,CE 是直角三角形斜边AB 上的高,在EC 的延长线上任取一点P ,连结AP ,BG
⊥AP ,垂足为G ,交CE 于D ,求证:DE PE CE ?=2。
G
P
A
B
C
D
E
【例25】 如图,E 、G 、F 、H 分别是矩形ABCD 四条边上的点,EF GH ⊥,若2AB =,3BC =,
则:EF GH 等于( )
A. 2:3
B. 3:2
C. 4:9
D.无法确定
A
B
C
D E F
G H
【例26】 如图,已知:正方形ABCD 中,点M 、N 分别在AB 、BC 上,且BM BN =,BP MC
⊥于点P
求证:DP NP ⊥
P
A
B C
D
M
N
【例27】 如图,Rt ABC ?中,90BAC ∠=?,2AB AC ==,点D 在BC 上运动(不经过B ,C ),过
点D 作45ADE ∠=?,DE 交AC 于E
①图中有无与ABD ?一定相似的三角形,若有,请指出来并加以证明
②设BD x =,AE y =,求y 与x 的函数关系,并写出其定义域; ③若ADE ?恰为等腰三角形,求AE 的长
E
D
C
B
A