医用物理学作业答案
第三章 流体的运动
3-5水的粗细不均匀的水平管中作稳定流动，已知在截面S 1处的压强为110Pa ，流速为0.2m/s ，在截面S 2处的压强为5Pa ，求S 2处的流速（摩擦不计）。 解：根据液体的连续性方程，在水平管中适合的方程：
=+
21121ρυP 2
2221ρυ+P
代入数据得：
22323100.12152.0100.121110υ????=???+
得 )/(5.02s m =υ 答：S 2处的流速为0.5m/s 。
3-6水在截面不同的水平管中作稳定流动，出口处的截面积为最细处的3倍，若出口处的流速为2m/s ，问最细处的压强为多少？若在此最细处开个小孔，水会不会流出来？
解：将水视为理想液体，并作稳定流动。设管的最细处的压强为P 1，流速为v 1，高度为h 1，截面积为S 1；而上述各物理量在出口处分别用P 2、v 2、h 2和S 2表示。对最细处和出口处应用柏努利方程得：
=++
121121gh P ρρυ222221gh P ρρυ++
由于在水平管中，h 1=h 2
=+
21121ρυP 2
2221ρυ+P
从题知：S 2=3S 1
根据液体的连续性方程： S 1υ1 = S 2υ2
∴ 212112213/3/υυυ===S S S S V 又 Pa P P 5
0210013.1?==
∴
222
201)3(2121υρρυ-+
=P P
=2
204ρυ-P
=2
35210410013.1??-? Pa 5
10085.0?=
显然最细处的压强为Pa 5
10085.0?小于大气压，若在此最细处开个小孔,水不会流出来。 3-7在水管的某一点，水的流速为2 cm/s ，其压强高出大气压104 Pa,沿水管到另一点高度比第一点降低了1m ，如果在第2点处水管的横截面积是第一点处的二分之一，试求第二点处的压强高出大气压强多少？
解：已知：
s m s cm /102/22
1-?==υ, a p p p 40110+=, m h 11=, 2/1/12=s s , 02=h ,
x p p +=02
水可看作不可压缩的流体，根据连续性方程有：2211v s v s =，故2
1
12s v s v ==21v 又根据伯努利方程可得：
22212112
1
21v p gh v p ρρρ+=++
故有：2101214
042
12110v x p gh v p ?++=+++ρρρ
12
142310gh v x ρρ+-=
110101)102(10123103
2234???+????-=-
=2×104 pa
3-8一直立圆柱形容器，高0.2m ，直径0.2m ，顶部开启，底部有一面积为10-4m 2的小孔，水以每秒1.4×10-4m 3的快慢由水管自上面放入容器中。问容器水面可上升的高度？若达到该高度时不
再放水，求容器的水流尽需多少时间。
解：如图，设某一时刻容器中水平距底面为h,此时，如图作一流线经过1，2两点。由柏努利方程得：
2
2
2221112
121v gh P v gh P ρρρρ++=+
+由连续性原理得：Q v S v S ==2211 因1，2点与大气相通，故021P P P == 又由题知，21S S >>，求2v 时可认为01≈v ， 代入柏努利方程易得：gh v 22≈
当从上注水时，当Q gh S v S ==2222时，水面稳定，不
升不降。此时：)(1.0)
10(8.92)104.1(22
42
42220m gS Q h =???==-- 停止注水后，水面开始下降，设下降速度为1v ，故：
gh S S v S S dt dh v 21
2212
1==-
=
dt S S gh dh
122=-，两边积分得：??=-
t
h dt S S gh dh
01200
2 t S S
g h 1
2022=，)(2.118.91
.02104/1.014.324/24
2022
021
1s g h S d g h S S t =??===-π 答：（略）。
3-10用皮托管插入流水中测水流速度，设管中的水柱高度分别为3510m -?和2
5.410m -?，求水流速度。
解：由皮托管原理
2
12
v g h ρρ=? 2229.8 4.9100.98(/)v g h m s -=?=???=
3-11一条半径为3mm 的小动脉被一硬斑部分阻塞，此狭窄段的有效半径为2mm ，血流平均速度为50cm/s ，试求：
（1） 未变窄处的血流平均速度；
（2） 会不会发生湍流； （3） 狭窄处的血流动压强。
解：(1)设血液在未变窄处和狭窄段的横截面积和流速分别为S 1、υ1和S 2、υ2。根据连续性方程：
S 1υ1=S 2υ2
222121υπυπr r =
代入数据
5.0)102()103(2
3123--?=?πυπ 求得
)/(22.01s m =υ
(2)将3
3
/1005.1m kg ?=ρ，S Pa ??=-3
10.30η，s m /5.0=υ，m r 2102-?=代入公
式Re vr
ρη
=
得： 33
3
1.05100.5210Re 35010003.010vr ρη---????===
(3)柏努利方程
=++
121121gh P ρρυ222221gh P ρρυ++
狭窄处的血流动压为：
232211
1.05100.5131()22
v Pa ρ=???= 答：(1)未变窄处的血流平均速度为0.22m/s(2)不会发生湍流;(3)狭窄处的血流动压强为131Pa. 3-12 20℃的水在半径为1×10-2m 的水平圆管流动，如果在管轴的流速为0.1m.s -1，则由于粘滞
性，水沿管子流动10m 后，压强降落了多少？
解：由泊肃叶定理知，流体在水平圆管中流动时，流速随半径的变化关系为：
)(4222r R L
P R v -=η?
在管轴处，r=0， L
P R v η44?=轴
)(40)
101(1.010100.1442
234
a P R L v P =?????==
--η轴? 3-13设某人的心输出量为0.83×10-4 m 3/s,体循环的总压强差为12.0kPa,试求此人体循环的总流阻（即总外周阻力）是多少N·S/m 5.
解：根据泊肃叶定律：P
Q R
?=
4854
1.210 1.4410()0.8310
P R N s m Q --??===???? 答：总流阻（即总外周阻力）是8
5
1.4410()N s m -???
3-14设橄榄油的粘滞系数为0.18Pa·s ，流过管长为0.5m 、半径为1cm 的管子时两端压强差为2.0×104N/m 2，求其体积流量。
解：根据泊肃叶定律：48P R P
Q R L
πη??== 将=η0.18Pa·s ，l = 0.5m ，R = 1.0×102m , ?P = 2.0×104N/m 2代入，可求得
4244
433.14(1.010)2108.710(/)880.180.5
R P Q m s L πη--?????===???
答：其体积流量为8.7×10-4cm 3/s.
3-15假设排尿时尿从计示压强为40mmHg 的膀胱经过尿道口排出，已知尿道长为4cm ，体积流量为21cm 3/s ，尿的粘滞系数为6.9×10-4 Pa·S,求尿道的有效.体积流量为21cm 3/s ，尿的粘滞系数为6.9×10-4 Pa·S,求尿道的有效直径.
解：根据泊肃叶定律：
48P R P
Q R L
πη??== 642
4
1345882110 6.910410 2.710 403.14 1.0110760
Q L R m P ηπ----??????===?????
0.7R mm = ∴ 直径 d =2R =1.4mm 答：尿道的有效直径为1.4mm 。
3-16设血液的粘度为水的5倍，如以1
72cm s -?的平均速度通过主动脉，试用临界雷诺数为1000来计算其产生湍流时的半径。已知水的粘度为4
6.910Pa s -??。 解：Re vr ρη
=
血液密度为33
1.0510kg m -?? 433
Re 1000 6.9105 4.610()1.05100.72
r m v ηρ--???===??? 3-17一个红细胞可以近似的认为是一个半径为2.0×10-6m 的小球。它的密度是1.09×103kg/m 3。试计算它在重力作用下在37℃的血液中沉淀1cm 所需的时间。假设血浆的η=1.2×10-3 Pa·s ，密度为1.04×103 kg/m 3。如果利用一台加速度g r 5
2
10=ω的超速离心机，问沉淀同样距离所需的时间又是多少？
解：已知：r=2.0×10-6m ，=ρ 1.09×103kg/m 3，='ρ 1.04×103 kg/m 3，=η 1.2×10-3 Pa·S ，在重力作用下红细胞在血浆中沉降的收尾速度为：
g r T 2)(92
ρρηυ'-=
8.9)102)(1004.11009.1(102.1922
6333
???-???=
--
s m /106.37-?=
以这个速度沉降1厘米所需时间为：
S t 4
7
108.2106.301.0?=?=
-
当用超速离心机来分离时红细胞沉淀的收尾速度为：
R r T 22)(92
ωρρηυ'-=
5
2633310
8.9)102)(1004.11009.1(102.192????-???=
--
=s m /106.32
-?
以这个速度沉降1厘米所需时间为：
S t 28.0106.301
.07
=?=
-
答：红细胞在重力作用下在37℃的血液中沉淀1cm 所需的时间为2.8×104秒。假设血浆的
η=1.2×10-3 Pa·S ，密度为1.04×103 kg/m 3，如果利用一台加速度g r 5
210=ω的超速离心机，沉淀
同样距离所需的时间是0.28秒。
第七章 液体的表面现象
7-14吹一个直径为10cm 的肥皂泡，设肥皂泡的表面力系数1
3
1040--??=m N α。求吹此肥皂泡所作的功，以及泡外的压强差。
解：不计使气体压缩对气体所做的功，吹肥皂泡所做的功全部转化为肥皂泡的表面能。
)(108.210.014.32104023232J d S A --?=????=?==παα
泡外的压强差为 )(2.32
/10.0104042/413
--?=??==
?m N d P α 答：略。
7-15一U 型玻璃管的两竖直管的直径分别为1mm 和3mm 。试求两管水面的高度差（水的表面力系数1
3
1073--??=m N α）。
解：如图，因水与玻璃的接触角为0 rad 。 由附加压强公式知：
1012r P P α-
=，2
022r P P α-= 故：1
22122r r h g P P α
αρ-=
?=- )(102)2
/103107322/10110732(8.9101)22(12
3
333312m r r g h -----?=???-????=-=?ααρ 答：略。
7-16在半径为0.30r mm =的毛细管中注入水，在管的下端形成一半径 3.0R mm =的水滴，求管中水柱的高度。
解：在毛细管中靠近弯曲液面的水中一点的压强为102P P r
α
=-，在管的下端的水滴中一点的压强为202P P R
α
=+
，且有21P P gh ρ-=。由上面三式可得 32333
2112731011()() 5.4610()109.80.310310
h m g r R αρ----??=+=+=???? 7-17有一毛细管长20L cm =，直径 1.5d mm =，水平地浸在水银中，其中空气全部留在管中，如果管子浸在深度10h cm =处，问：管中空气柱的长度1L 是多少？（设大大气压强
076P cmHg =，已知水银表面力系数10.49N m α-=?，与玻璃的接触角θπ=）。
解：因为水银与玻璃的接触角为θπ=，所以水银在玻璃管中形成凹液面，如图所示
所以 2A B P P r
α
=-
010B P P cmHg =+ 35
20.4976
8685.020.7510 1.0110
A P cmHg -?=-
?=?? 由表面浸入水银下的过程中，毛细管中的空气满足理想气体状态方程，且温度不变，故有
01A P L P L = 117.9L cm =
第九章 静电场
9-5． 在真空中有板面积为S ，间距为d 的两平行带电板（d 远小于板的线度）分别带电量+q 与
－q 。有人说两板之间的作用力22
d
q k F =；又有人说因为qE F =，S q E 00εεσ==，所以
S
q F 02
ε=。试问这两种说法对吗？为什么？F 应为多少？ 解答：这两种说法都不对。
第一种说法的错误是本题不能直接应用库仑定律。因为d 远小于板的线度，两带电平板不能
看成点电荷，所以22
d
q k F ≠。
对于第二种说法应用qE F =，是可以的，关键是如何理解公式中的E 。在qE F =中，E 是电荷q 所在处的场强。第二种说法中的错误是把合场强S
q E 00εεσ==
看成了一个带电板在另一个带电板处的场强。正确的做法是带电量为+q 的A 板上的电荷q 在另一块板（B 板）处产生
的场强是S q
02ε，则B 板上的电荷－q 所受的电场力S
q S q
q qE F 02
022εε-
=-=-=。或者对于某一带电量为q 0的检验电荷，由于两板之间的场强为S
q
E 00εεσ==
，则在两板之间检验电荷所受的电场力S
q q S q
q E q F 0000
0εε=== 9-7． 试求无限长均匀带电直线外一点（距直线R 远）的场强，设电荷线密度为λ。（应用场强叠加原理）
解：选坐标如图所示。
因为带电直线无限长，且电荷分布是均匀的，由
于对称性其电场强度E 应沿垂直于该直线的方向。
取电荷元dy dq λ=，它在P 点产生的场强dE 的大小
为)(441
22020y R dy r dq dE +==
πελπε
矢量dE 在X 轴上的分量为 θcos ?=dE dE x 所以P 点的合场强为
220
0cos 1d cos d d 4()2x x E E E E y R y R
λθλ
θπεπε+∞+∞
+∞
-∞
-∞
-∞
====
=+???
E 的方向与带电直线垂直，λ>0时，E 指向外，λ<0时，E 指向带电直线。 （ 如何求解
?∞
+∞-+y y R d )(cos 22θ
：
因为θtan R y =，则θθd sec d 2
R y =，
θθ222222sec )tan 1(R R y R =+=+，
当y =－∞时，2
π
θ-
=；当y = +∞时，2
π
θ+
=
所以R
R y y R 2d cos d )(cos 2/2/22==+??+-∞
+∞-θθθππ ） 9-8一长为L 的均匀带电直线,电荷线密度为λ。求在直线延长线上与直线近端相距R 处P 点的电势与场强。
解：根据题意，运用场强迭加原理，得场强：
)1
1(
2
2
L R R k l dl
k
l dq k
dE E L
R R
+-====??
?+λλ
据电势迭加原理得电势：
R L R k l dl k r dq k U L R R +===??
+ln
λλ
9-11有一均匀带电的球壳，其、外半径分别是a 与b ，体电荷密度为ρ。试求从中心到球壳外各区域的场强。
解：以r 为半径作与带电球壳同心的球面为高斯面。可在各区域写出高斯定理
20
cos 4S
q
E ds E r θπε=?=
??
故20
14q
E r πε=
? 当r a <，0q =，0E = 当a r b <<，3
34()3
q r a πρ=
-，332
0()3E r a r ρε=- 当r b >，3
34()3
q b a πρ=
-，332
0()3E b a r ρε=-
场强的方向沿r ，0ρ>则背离球心；0ρ<则指向球心。
答：略。
9－12在真空中有一无限大均匀带电圆柱体，半径为R ，体电荷密度为＋ρ。另有一与其轴线平行的无限大均匀带电平面，面电荷密度为＋σ。今有A 、B 两点分别距圆柱体轴线为a 与b （a
A B A
U U E dl θ-=
?
，但式中的场强E 由带电圆柱体与带电平面的电场叠加而成。
因为0
2E σ
ε=
平面；方向由B A →（垂直于带电平面）； 无线长均匀带电圆柱体电场分布利用高斯定理求解：
作以r 为半径，L 为高，与圆柱体同轴的封闭圆柱面为高斯面，则有：
cos cos 02cos
2
cos 02S
E ds E dS E dS
E dS
E rL
π
θπ=
??+???????
??????侧面
底面
侧面
＝
＝
当r R <时，
2i q r L πρ=??∑ 所以 02in E r ρε= 当r R >时，
2
i
q R
L πρ=??∑ 所以 201
2out
R E r
ρε=
场强的方向均沿径向指向外
故
2
00002220cos 0 ()()1 ()()22221 [()ln ()]
22B
A B A
R b
in out a
R
R
b a R U U E E dr
E E dr E E dr
R r dr dr
r b
R a R b a R
ρσρσ
εεεερρσε-==-+-=-+-=-+--?????平面圆柱体平面平面（－） 答：略。
9-14证明在距离电偶极子中心等距离对称之三点上，其电势的代数和为零。 解：电偶极子所激发电场中的点a 的电势 2
.cos a p U k
r
θ
=
则 2
.cos L p U k
r
θ
= 2
.cos(120)
R p U k
r θ+= 2
.cos(240)
F p U k
r θ+=
故 2
[cos cos(120)cos(240)]0L R F p
U U U U k r θθθ=++=++++= 证毕。