专题1二次函数值比较大小
专题1、二次函数值比较大小
例1、二次函数y=－ x 2
，当x 1>x 2>0时，则y 1与y 2的大小关系是_________.
思考：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠ 0）图象上有两点（x 1,y 1）,（x 2,y 2）且x 1 例2、已知二次函数y=253212++-x x 的图象上有三点A （x 1,y 1）B （x 2,y 2）C （x 3,y 3）,且满足3 例3、已知二次函数y=3(x-2)2+m 的图象上有A （3-，y 1），B （2，y 2 ），C （ 5，y 3）三个点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是 . 例4、已知a<－1，点（a －1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为 . 例5、已知二次函数 y=x 2-2x+3 的图象上有两点A （x,y 1）B （x+1,y 2）,试比较y 1,和y 2的大小. 例6、已知方程x 2+mx+n=0的两根为x 1、x 2 （x 1＜x 2），方程x 2+mx+n ﹣1=0的两根为x 3、x 4（x 3 二次函数与几何图形结合 ---探究面积最值问题 〖方法总结〗： 在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下： ①根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长； ②观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解； ③结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。 （2014?达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）． （1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式． （2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标． （3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值． （2014自贡）如图，已知抛物线c x ax y +- =232与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线221-=x y 交于B 、C 两点，其中点C 是直线22 1-=x y 与y 轴的交点，连接AC ． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形； （3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由． （2014黔西南州）（16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上． 专题10二次函数比较大小和二次函数的平移 解题步骤： 假设抛物线过三个点：A （x 函数平移解题技巧：二次函数平移的具体方法如下： 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移” 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 1．若点()()121,,2,A y B y 在抛物线()2 1112 y x =-+-上，则12,y y 的大小关系是___________． 【答案】12y y > 【解析】 【分析】 根据函数的解析式得到函数图象的对称轴，根据函数的性质即可得到答案. 【详解】 ∵()2 1112 y x =- +-， ∴函数图象的对称轴是直线x=-1，开口方向向下， ∵点()()121,,2,A y B y 在抛物线()2 1112 y x =- +-上，且1<2, ∴由对称轴右侧y 随着x 的增大而减小得到12y y >， 故答案为：12y y >. 【点睛】 此题考查二次函数的性质，根据顶点式解析式确定图象的开口方向，对称轴得到增减性，由此判定函数值的大小，正确掌握函数图象的性质是解题的关键. 2．已知A （3，y 1）、B （4，y 2）都在抛物线y=x 2+1上，试比较y 1与y 2的大小：__________． 【答案】y 1＜y 2 【解析】把A（3（y 1（（B（4（y 2（代入抛物线y=x 2+1，可得y 1=10（y 2=17，所以y 1（y 2. 3．点A （2，y 1）、B （3，y 2）在二次函数y ＝﹣x 2﹣2x+c 的图象上，则y 1与y 2的大小关系为y 1_____y 2（填“＞”“＜” 或“＝”）． 【答案】〉 【解析】 【分析】 先根据解析式求出对称轴x=b 2a -=-1,再根据函数开口方向且321>>-，即可比较y 1与y 2的大小. 【详解】 ∵抛物线的对称轴为x=b 2a - =-1，函数开口向下， 一、二次函数线段最值问题 1、平行于x轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、平行于y轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题 1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴 2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标 3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长 4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和） 5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数 6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可 二、二次函数周长最值问题 1、矩形周长最值问题 1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值 2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长 3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值 1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量 2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长 三、二次函数面积最值问题 1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴） 1）首先表示出所需的边长及高 2）利用求面积公式表示出面积 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、不规则图形面积最值问题 1）分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形 2）再分别表示出分割后的几个规则图形面积，求和 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 或1）利用大减小，不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的面积来得到 二次函数最值专项练习60题 1．画出抛物线y=4（x﹣3）2+2的大致图象，写出它的最值和增减性． 2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（2，3）两点，求出此二次函数的解析式；并通过配方法求出此抛物线的对称轴和二次函数的最大值． 3．已知二次函数y=x2﹣x﹣2及实数a＞﹣2，求 （1）函数在一2＜x≤a的最小值； （2）函数在a≤x≤a+2的最小值． 4．已知函数y=x2+2ax+a2﹣1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3，求实数a的值． 5．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理： ∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0 ∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2． 试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值． 6．如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B=30°，若边长AB=x（cm）． （1）写出?ABCD的面积y（cm2）与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围． （2）当x取什么值时，y的值最大？并求最大值． 7．求函数y=2x2﹣ax+1当0≤x≤1时的最小值． 8．已知m，n是关于x的方程x2﹣2ax+a+6=0的两实根，求y=（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值． 9．当﹣1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值．10．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值为1，求m的值． 二次函数最值问题专题资料 名校冲刺班一题80问（最值篇） 01、如图，二次函数212124 y x x =-++与x 轴交于B C 、两点，与y 轴交于D 点，对称轴为直线l . （1）若E 为l 上一动点，求DE BE +的最小值，并求出此时E 点的坐标； （2）若E 为l 上一动点，求DE EC -的最大值，并求出此时E 点的坐标； （3）若K 为直线CD 上一动点，求BK OK +的最小值，并求出此时K 点坐标； （4）若F N 、分别为直线CD 、x 轴上的动点，求DN FN BF ++的最小值，并求出此时F N 、的坐标； （5）若R 为y 轴上一点，满足CR BD ⊥，S T 、为直线CD 上的动点，且满足2ST =，求 RS ST TO ++的最小值，并求出此时tan TOC ∠的值； （6）若M 点从C 点出发，以1个单位每秒的速度运动到y 轴，再以10个单位每秒的速度 沿着y 轴运动到D 点，求从C 点到D 点的最短时间； （7）若一点从O 点出发以1个单位每秒的速度先到达直线BD 上一点Z ，再从Z 到达y 轴 上一点K ，求整个过程的最短时间； （8）E 为对称轴与x 轴的交点，从E 出发以1个单位每秒的速度运动到直线CD 上一点F ， 再从F 运动到y 轴，求整个运动过程的最短时间； （9）如图，Q 为一象限抛物线上一点，过Q 作y 轴平行线交线段CD 于R ，求线段QR 的 最大值； （10）如图，Q 为一象限抛物线上一点，过Q 作QS 垂直于直线CD ，求QS 的最大值； （11）如图，Q 为一象限抛物线上一点，连接BQ 交直线CD 于点R ，求QR BR 的最大值； （12）如图，Q 为一象限抛物线上一点，求DQC 面积的最大值； 必修一二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]-?b a m n 2，时 若- 初三数学二次函数知识点总结 二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小. 当a＞0时,二次函数图像向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口. |a|越大,则二次函数图像的开口越小. 1、决定对称轴位置的因素 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置. 当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜ 0 ）,对称轴在y轴右. 事实上,b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到. 2、决定二次函数图像与y轴交点的因素 常数项c决定二次函数图像与y轴交点. 二次函数图像与y轴交于（0，c) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠， 而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 =++的结构特征： y ax bx c ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。Array 2. 2 =+ y ax c 的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =- 的性质：左加右减。 [教学设计 ] 二次数学的实际运用 ——图形面积的最值问题 【知识与技能】 :通过复习让学生系统性地掌握并认识如何用函数的思想解决几何问题中面积最值问题, 培养其整体性思想。 【过程与方法】 :能通过设置的三个问题, 概括出二次函数解决这类问题的基本思路和基本方法, 并学会用数学问题的结论,分析是否是实际问题的解,掌握类比的数学思想方法。 【情感态度与价值观】 :体会函数建模思想的同时, 体会数学与现实生活的紧密联系, 培养学生认真观察, 不断反思,主动纠错的能力和乐于思考,认真严谨、细心的好习惯。感受多媒体的直观性和愉悦感。 【重点】 :如何利用二次函数的性质解决实际问题——图形面积的最值问题 【难点】 :如何探究在自变量取值范围内求出实际问题的解 【教学过程】 【活动 1】 :导入引言: 二次函数在实际问题中的应用常见类型有抛物线形问题和最值问题。而最值问题考试类型有两类 (1利润最大问题; (2几何图形中的最值问题:面积的最值,用料的最佳方案等,本节课,我们学习如何用二次函数解决实际问题中图形面积的最值问题。 【活动 2】 :师生互动,合作学习 我们来看一道简单的例题 例 1:李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园 ABCD ,用篱笆围成的另外三边总长为 24米,则矩形的长宽分别为多少时,围成的矩形面积最大? 师(让学生思考 :题目中已知量是什么? 未知量是什么?如何理解“矩形面积最大”问题?是什么影响了矩形面积的变化呢?我们一起来看下面的动画演示(通过动画演示,让学生感受量的变化 师:在演示中你们看到了什么?想到了什么?你能列出函数解析式吗? 学生解决:若设矩形一边长为 X ,当 X 在变长时,另一边变短,当 X 变短时,另一边变长,则面积 S 也随之发生了变化;设宽 AB 为 X 米,则长为 24-2X (m 所以面积 S=X(24-2X=-2X2+24X=-2(X-122 +288 师:分析归纳解函数问题的一般步骤是什么? (板书 : 第一步,正确理解题意 , 分析问题中的常量和重量; 第二步,巧设未知数,用未知数表示已知量和未知量,列二次函数解析式表示它们的关系; 第三步,计算,将一般式转化为顶点式,求出数学问题的最值。 师:请问这时解出的数学问题的解是不是实际问题的解,如何检验呢?(在师生共同研讨的过程中找出计算中学生容易犯的错误,分析解答是否符合实际问题 小结:求解完答案后,我们要善于检查,分析,反思数学问题的解是否是实际问题的解。 活动 3:变式训练,巩固应用。 二次函数典型题解题技巧 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: 二次函数典型题解题技巧 (一)有关角 １、已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边），与y 轴 交于点(0C ,3)，过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ,抛物线的顶点为M ，直线5y x =+经过D 、M 两点. （1） 求此抛物线的解析式； （2）连接AM 、AC 、BC ，试比较MAB ∠和ACB ∠的大小，并说明你的理由. 思路点拨:对于第(１）问，需要注意的是CD 和x 轴平行（过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ) 对于第(２)问,比较角的大小 a 、 如果是特殊角，也就是我们能分别计算出这两个角的大小,那么他们之间的大小关系就清楚了 b 、 如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角，那么大小关系就确定了 c 、 如果稍难一点,这两个角转化成某个三角形的两个内角,根据大边对大角来判断角的大小 d 、 除了上述情况外，那只有可能两个角相等,那么证明角相等的方法我们学过什么呢，全等三角形、相似三角形和简单三角函数,从这个题来看,很明显没有全等三角形，剩下的就是相似三角形和简单三角函数了,其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的,都是对应边的比相等 e 、 可能还有人会问，这么想我不习惯,太复杂了,那么我再说一个最简单的方法,如何快速的找出题目的结论问题,在本题中,需要用到的点只有M 、Ｃ、Ａ、B 这四个点,而这四个点的坐标是很容易求出来的，那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来，再用量角器去量这两个角大大小,你就能得出结论了,得出结论以后你再看d 这一条 解:（1)∵CD ∥x 轴且点C(０,３）， ∴设点D 的坐标为(x ，３) . ∵直线y ＝ ｘ+５经过D 点， ∴3= x+５.∴ｘ=－２. 即点D(-２，3) ． 根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M （－1,y ）， 又∵直线ｙ= ｘ+５经过M 点， ∴y =－１＋5,y =4.即M(-1，4). ∴设抛物线的解析式为 2(1)4y a x =++． ∵点C （0,3）在抛物线上,∴ａ=-1． 即抛物线的解析式为 223y x x =--+.…………3分 （２)作BP ⊥AC 于点P,ＭＮ⊥AB 于点N. 由(1）中抛物线 223y x x =--+可得 点A(-3,0)，B(1，０)， ∴ＡB=4，AO ＝C Ｏ=３，A Ｃ＝32． ∴∠PAB ＝４5°. ∵∠ABP=45°，∴P Ａ=PB=22. ∴P Ｃ=A Ｃ－PA ＝2. 在Ｒｔ△BPC 中，tan ∠BCP=PB PC =2． 关于比较一次函数的函数值与二次函数的函数值大小之我见 多力昆·阿布都热西提 2014.6.3 关于比较一次函数的函数值与二次函数的 函数值大小之我见 多力昆·阿布都热西提 在初中数学中，一次函数的图像和二次函数的图像的复杂的和潜在的概念现象大部分的师生分析问题陷入困惑。数学教师对这一点的忽略引起了学生对这个容的探究精神的欠缺。 数学没有明确概念，解决问题一定会受阻，如果概念里模糊，问题与学过知识之间的技术处理一定会失败。我认为，一次函数的图像与二次函数的图像之间的函数值的大小问题应该分层次分析。 下面，我来分析二次函数的图像与一次函数的图像之间存在的模糊问题的看法。 1、在同一个平面直角坐标中，二次函数y 1 = ax2+bx+c和一次函 数y 2 =ax+b的函数值的大小问题 （1）判断二次函数的图像与一次函数的图像的关系，如果二次函 数y 1 = ax2+bx+c的图像与一次函数的图像相交，则函数值相等，即 y 1= y 2 。 由上可得：ax2+bx+c=ax+b。 整理得：ax2+（b-a）x+c-b=0。 检验：Δ=b2—4ac=(b—a)2—4a(c—b) 第一：当Δ>0时，二次函数的图像与一次函数相交于不同的两个点。 设交点的坐标为（x 1，y 1 ），（x 2 ，y 2 ）， 在y= ax2+bx+c中，当a>0（x 1< x 2 ）时，x 1 二次函数最值问题 一．选择题（共8小题） 1．如果多项式P=a2+4a+2014，则P的最小值是（） A．2010 B．2011 C．2012 D．2013 2．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．6 3．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（） A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣3 4．设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．B．18 C．20 D．不存在 5．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（） A．3.125 B．4 C．2 D．0 6．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 7．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（） A．B．2 C．D． 8．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（） A．7 B．7.5 C．8 D．9 二．填空题（共2小题） 9．已知二次函数y=2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是． 10．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2﹣a）和点B（0，﹣3a﹣5）在y轴上， =6．当线段OM最长时，点M的坐标为． 点M在x轴负半轴上，S △ABM 三．解答题（共3小题） 11．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1）， ①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标； ②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m． 二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象． 可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值． 初中数学之二次函数最值问题 一、选择题 1.（2008年山东省潍坊市）若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（） A.有最大值 B..有最大值 C.有最小值 D.有最小值 2.（2008浙江杭州）如图，记抛物线的图象与正半轴的交点为，将线段分成等份．设分点分别为，，，，过每个分点作轴的垂线，分别与抛物线交于点，，…，，再记直角三角形，，…的面积分别为，，…，这样就有，，…；记，当越来越大时，你猜想最接近的常数是（）A．B．C．D． 3．（08绵阳市）二次函数y = ax2 + bx + c的部分对应值如下表： 利用二次函数的图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是（）． A．x＜0或x＞2 B．0＜x＜2 C．x＜－1或x＞3 D．－1＜x ＜3 4．（2008年浙江省嘉兴市）一个函数的图象如图，给出以下结论： ①当时，函数值最大； ②当时，函数随的增大而减小； ③存在，当时，函数值为0． 其中正确的结论是（） A．①②B．①③C．②③D．①②③ 5.(2008 湖北恩施)将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的 小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时,长方体的体积最大（） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6.（2008泰安）如图所示是二次函数的图象在轴上方的一部分，对于这段图象与轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最．接近的值是（） A．4 B．C．D． 7．（2008山东泰 安）函数的图象如 图所示，下列对该 的是（） 函数性质的论断不可能正确 ．．．．． A．该函数的图象是中心对称图形 B．当时，该函数在时取得最小值2 C．在每个象限内，的值随值的增大而减小 D．的值不可能为1 8.若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（） A.有最大值 B..有最大值 C.有最小值 D.有最小值 二、填空题 1.某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元 第四讲 二次函数与最值问题专题讲座 一、考点梳理 考点1：二次函数的解析式 一般式：y=ax 2+bx+c 顶点式：y=a(x+k)2+h 交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2) 考点2：二次函数的图象：抛物线 考点3 二次函数的性质：二次函数图像的开口方向；顶点坐标；对称轴方程；最值. 二、题型透视 （一）、填空题 1、（2010 丽水）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠ACB=90°, AB=AD,AC=4BC,设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ） A 、2252x y = B 、2 25 4x y = C 、252x y = D 、254x y = 2（2010南充）抛物线)0)(3)(1(≠-+=a x x a y 的对称轴是（ ） A 、x=1 B 、x=1- C 、x=3- D 、x=3 3、（2010 荆州）若把函数y=x 的图象用E （x ，x ）记，函数y=2x+1的图象用E （x ，2x+1）记，……则E （x ，122 +-x x ）可以由E （x ，2 x ）怎样平移得到？（ ） A ．向上平移１个单位 B ．向下平移１个单位 C ．向左平移１个单位 D ．向右平移１个单位 4、（2010 咸宁）已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、 B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是 A ．1y ＞2y B ．1y 2y = C ．1y ＜2y D ．不能确定 5（2010 襄樊）若函数22(2)2x x y x ?+=?? ≤ （x>2） ，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是（ ） A B ．4 C 4 D ．4 6、（2010 东营）二次函数c bx ax y ++=2 的图形如图所示，则一次函数ac bx y -=与 c b a y +-= 在同一坐标系内的图象大致为（ ） 7、（2010 荆门）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误．． 的是( ) (A)ab ＜0 （B)ac ＜0 (C)当x ＜2时，y 随x 增大而增大；当x ＞2时，y 随x 增大而减小 二次函数、反比例函数比较大小 一、二次函数的大小比较方法： 1、特殊值代入法： 直接根据题目要求，分别代入具体的数值，再比较大小。 2、利用函数的增减性： 当各点都在对称轴的一侧时，利用函数的增减性进行比较。 3、计算各点到对称轴的距离，结合抛物线的开口方向比较大小：（本法适用于各点在对称轴同侧和异侧的大小比较，尤其是异侧。） （1）当抛物线开口向上时（即a>0时），离对称轴距离越远，函数值越大，反之越小。 当抛物线开口向上与x 轴有两个交点，两点在对称轴的两侧时，若221x x +＞a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＜y 2;若221x x +＜a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＞y 2 【推理：由x 2-(a b 2- )＞a b 2--x 1得x 2+x 1＞a b -得221x x +＞a b 2-；即x 2离对称轴距离较远；由x 2-(a b 2- )＜a b 2--x 1，得x 2+x 1＜a b -，得221x x +＜a b 2-，即x 1离对称轴距离较远.】 （2）当抛物线开口向下时（即a ＜0时），离对称轴距离越远，函数值越小，反之越大。 当抛物线开口向下与x 轴有两个交点，两点在对称轴的两侧时，若221x x +＞a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＞y 2;若221x x +＜a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＜y 2，推理同（1） 4、图象法： 结合具体图象，利用y 轴“上大下小”的特点比较具体各点的函数值的大小。（第一、二象限的函数值总是大于第三、四象限的函数值） 5、移点法： 利用抛物线的对称性将各点转化到对称轴的同一侧，再利用函数的增减性比较大小。 典型中考题（有关二次函数的最值） 屠园实验 周前猛 一、选择题 1． 已知二次函数y=a （x-1）2+b 有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关( ) A. ab D 不能确定 答案：C 2．当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ） A 、- 74 B 、 C 、 2或 D 2或或- 74 答案：C ∵当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4， ∴二次函数在－2≤x≤l 上可能的取值是x=－2或x=1或x=m. 当x=－2时，由 y=-（x-m ）2+m 2+1解得m= - 74 ，2 765 y x 416??=-++ ??? 此时，它在－ 2≤x≤l 的最大值是 65 16 ，与题意不符. 当x=1时，由y=-（x-m ）2+m 2+1解得m=2，此时y=-（x-2）2+5，它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符. 当x= m 时，由 4=-（x-m ）2+m 2+1解得m=当m=它在－ 2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符；当，2≤x≤l 在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符. 综上所述，实数m 的值为2或. 故选C ． 3． 已知0≤x≤ 1 2 ，那么函数y=-2x 2+8x-6的最大值是（ ） A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6 答案：C 解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而 增大．又∵0≤x≤1 2 ，∴当x= 1 2 时，y取最大值，y最大=-2（ 1 2 -2）2+2=-2.5．故选：C． 4、已知关于x的函数. 下列结论： ①存在函数，其图像经过（1,0）点； ②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点； ③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小； ④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。 真确的个数是（） A,1个B、2个 C 3个D、4个 答案：B 分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断； ②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假； ③根据二次函数的增减性，即可作出判断； ④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求 出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断. 解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0， 解得：k=0．运用方程思想； ②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法； ③假，如k=1， b5 -= 2a4 ，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法； ④真，当k=0时，函数无最大、最小值； k≠0时，y最= 22 4ac-b24k+1 =- 4a8k ， ∴当k＞0时，有最小值，最小值为负； 当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想． 二、填空题： 1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB 上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是 专题五 二次函数的最值问题 【要点回顾】 1．二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的最值． 二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a -，无最小值． 2．二次函数最大值或最小值的求法． 第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值． 如：2 y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =； 第二步：讨论： (1)若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论： ①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧； ②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部； ③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。 (2) 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论： ①对称轴02 m n x +≤ ，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧； ②对称轴02m n x +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧； 说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，参考例4。 【例题选讲】 例1求下列函数的最大值或最小值． （1）5322--=x x y ； （2）432 +--=x x y ． 同步练习：已知函数1x 2x 2 1y 2++= （1）写出抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴及最值； （2）求抛物线与x 轴、y 轴的交点； （3）观察图象：x 为何值时，y 随x 的增大而增大； （4）观察图象：当x 为何值时，y>0时，当x 为何值时，y=0；当x 为何值时，y<0。 例2 已知函数2 ,2y x x a =-≤≤，其中2a ≥-，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值． 同步练习：当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 例3当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 同步练习：已知二次函数,322--=x x y （1）x 为何值时0=y ？ （2）x 为何值时0>y ？ （3）x 为何值时0 二次函数典型题解题技巧 （一）有关角 1、已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴 交于点(0C ，3)，过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ，抛物线的顶点为M ，直线5y x =+经过D 、M 两点. （1） 求此抛物线的解析式； （2）连接AM 、AC 、BC ，试比较MAB ∠和ACB ∠的大小，并说明你的理由. 思路点拨：对于第（1）问，需要注意的是CD 和x 轴平行（过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ） 对于第（2）问，比较角的大小 a 、 如果是特殊角，也就是我们能分别计算出这两个角的大小，那么他们之间的大小关系就 清楚了 b 、 如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角，那么大小关系就 确定了 c 、 如果稍难一点，这两个角转化成某个三角形的两个内角，根据大边对大角来判断角的大 小 d 、 除了上述情况外，那只有可能两个角相等，那么证明角相等的方法我们学过什么呢，全 等三角形、相似三角形和简单三角函数，从这个题来看，很明显没有全等三角形，剩下的就是相似三角形和简单三角函数了，其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的，都是对应边的比相等 e 、 可能还有人会问，这么想我不习惯，太复杂了，那么我再说一个最简单的方法，如何快 速的找出题目的结论问题，在本题中，需要用到的点只有M 、C 、A 、B 这四个点，而这四个点的坐标是很容易求出来的，那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来，再用量角器去量这两个角大大小，你就能得出结论了，得出结论以后你再看d 这一条 解：（1）∵CD∥x 轴且点C （0，3）， ∴设点D 的坐标为(x ，3) ． ∵直线y= x+5经过D 点， ∴3= x+5．∴x=－2． 即点D(－2，3) ． 盘点“比较函数值大小的方法” 杨光冬 湖北省孝感市肖港初级中学 邮编432023 初中数学第二十八章《锐角三角函数》学完后，整个第三学段的函数就结束了. 每年中考前的系统复习中， 我们经常遇到比较两函数值（或多个函数值）大小的考题，学生遇到这类题型得分率虽然较高，但笔者在课堂教学中发现，学生对这类题型的掌握并不系统，针对这种现象，笔者在此对比较函数值大小的比较方法作一个总的盘点，希望对大家的教学有所帮助. 一、同一函数中比较函数值的大小 解法1：运用增减性比大小 例1：点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）均在双曲线x y 3 =上，试比较y 1和y 2的大小. 解析：因为反比例函数x y 3 = 的图象是双曲线，在每个象限内，y 随x 的减小而增大 且点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）在第三象限的同一支曲线上，所以12y y >. 例2：点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）均在抛物线322 ++=x x y 上，试比较y 1和y 2的大小. 解析：因为抛物线322 ++=x x y 的对称轴是直线1-=x ，其开口向上，所以在对称轴左侧的抛物线上y 随x 的减小而增大，因此12y y >. 解法2：运用正负性比较反比例函数值的大小 例3：点A （-3，y 1）、B （1，y 2）均在双曲线x y 3 -=上，试比较y 1和y 2的大小. 解析：因为反比例函数x y 3 -=的图象是双曲线，在每个象限内，y 随x 的减小而减小， 但是点A （-3，y 1）、B （1，y 2）不在同一支曲线上，所以不能用增减性比较1y 和2y 的大小. 又因为A （-3，y 1）、B （1，y 2）分别位于第二、第四象限的图象上，所以0 >y ，0 第07讲求二次函数的最值 考纲要求: 1. 会用描点法画出二次函数的图像，理解二次函数的性质。 2. 利用二次函数的性质解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题。 基础知识回顾: 二次函数的图象和性质 二次函数的图象和性质图象x y y=ax2+bx+c(a＞0) O x y y=ax2+bx+c(a＜0) O 开口向上向下 对称 轴 x＝ 2 b a - 顶点 坐标 2 4 , 24 b a c b a a ?? - - ? ?? 增减 性 当x> 2 b a -时，y随x的增大而 增大；当x＜ 2 b a - 时，y随x的 增大而减小. 当x> 2 b a -时，y随x的增大而减 小；当x＜ 2 b a -时，y随x的增大 而增大. 最值x= 2 b a - ， y 最小 ＝ 2 4 4 ac b a - . x= 2 b a - ， y 最大 ＝ 2 4 4 ac b a - . 应用举例: 招数一、利用二次函数的图像和性质，用最值的公式解决最值问题问题．【例1】二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是________． 【答案】7 【解析】y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7， 即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7， 故答案为：7． 【例2】已知二次函数y＝x2－2x＋2在m≤x≤m＋1时有最小值m，则整数m的值是（）A．1 B．2 C．1或2 D．±1或2 【答案】C 【解析】y=x2-2x+2=（x-1）2+1，分类讨论： （1）若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1右侧时，有m＜1，此时y随x的增大而减小， =m=（m+1）2-2（m+1）+2， ∴当x=m+1时，函数取得最小值，y 最小值 方程无解． （2）若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1内时，即有m≤1≤m+1， 解这个不等式，即 0≤m≤1．此时当x=1时，函数取得最小值，y =1， 最小值 ∴m=1． （3）若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1左侧时，即m＞1时，y随x的增大而增大， =m=m2-2m+2，解得m=2或1（舍弃） ∵当x=m时，函数取得最小值，y 最小值 ∴m=1或2． 故选：C． 招数二、解决与二次函数的增减性有关的最之问题时，简便的方法是结合图象，利用数形结合的思想直观地得出结论，不限定自变量的取值范围求最值． 【例3】如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）+. 【解析】（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），二次函数的几何最值问题
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