抽象函数周期性的探究
抽象函数周期性的探究
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以特探究一下抽象函数的周期性问题.
利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.
（1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.
（2）函数y=f(x)满足f(x+a)=
1
()
f x
，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.
（3）函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.
命题2：若a、b(a b
)是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.
(1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.
(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.
(3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.
(4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.
命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.
（1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.
（2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期.
我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似.
设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数.
条件B: f(x)关于x=a对称
条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.
结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个.
证明: ①已知A、B→ C （2001年全国高考第22题第二问）
∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)
又∵f(x)关于x=a 对称∴f(-x)=f(x+2a)
∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a 是它的一个周期 ②已知A 、C →B
∵定义在R 上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵2a 是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a) ∴f(-x)=f(x+2a) ∴ f(x)关于x=a 对称 ③已知C 、B →A
∵f(x)关于x=a 对称∴f(-x)=f(x+2a) 又∵2a 是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a) ∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是R 上的偶函数
由命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T 的奇函数，则f(
2
T
)=0 基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系.根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.
1.求函数值
例1：f(x) 是R 上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x ∈[0，2]时f(x)=x ，求f(2007) 的值 解：方法一 ∵f(x)=－f(x+4) ∴f(x+8) =－f(x+4) =f(x) ∴8是f(x)的一个周期
∴f(2007)= f(251×8-1)=f(-1)=－f(1)=－1 方法二∵f(x)=－f(x+4)，f(x)是奇函数
∴f(-x)=f(x+4) ∴f(x)关于x=2对称 又∵f(x)是奇函数 ∴8是f(x)的一个周期，以下与方法一相同.
例2：已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值
解：由条件知f(x)≠1，故1()
(2)1()
f x f x f x ++=
-
1(2)1
(4)1(2)()
f x f x f x f x ++∴+=
=--+
类比命题1可知，函数f(x)的周期为8，故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=2
2. 求函数解析式
例3：已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]2,0x ∈-时，f(x)=－2x+1，则当[]4,6x ∈时求f(x)的解析式
解：当[]0,2x ∈时[2,0]x -∈-∴f(－x)=2x+1 ∵f(x)是偶函数∴f(－x)=f(x) ∴f(x)=2x+1
当[]4,6x ∈时4[0,2]x -+∈∴f(－4+x)=2(－4+x)+1=2x －7
又函数f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4
故f(-4+x)=f(x)
∴当[]4,6x ∈时求f(x)=2x －7 3.判断函数的奇偶性
例4：已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+999)=1
()
f x -，f(999+x)=f(999－x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.
解：由f(x+999)=1
()
f x -
，类比命题1可知，函数f(x)的周期为1998即f(x+1998)=f(x)；由f(999+x)=f(999－x)知f(x)关于x=999对称，即f(－x)=f(1998+x)
故f(x)=f(－x) ∴f(x)是偶函数 4.判断函数的单调性
例5：已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]2,0x ∈-时，f(x)是减函数，求证当[]4,6x ∈时f(x)为增函数
解：设1246x x ≤<≤则212440x x -≤-+<-+≤ ∵ f(x)在[-2，0]上是减函数∴ 21(4)(4)f x f x -+>-+
又函数f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4
故f(x+4)=f(x) ∴21()()f x f x ->- ∵ f(-x)=f(x) ∴ 21()()f x f x > 故当[]4,6x ∈时f(x)为增函数
例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a 的值.
解：∵ f(x)=-f(6-x) ∴f(x)关于（3，0）对称 ∵ f(x)= f(2-x) ∴ f(x)关于x=1对称
∴根据命题2（4）得8是f(x)的一个周期 ∴f(2000)= f(0) 又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0)
又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6)∵a ∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调
∴a =6
5.确定方程根的个数
例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？
解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2（2）可知f(x)的一个周期是10 故f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0
即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根
又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，
因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+2
2000
10
=401个根.
两类易混淆的函数问题：对称性与周期性
例1. 已知函数y= f（x）（x∈R）满足f（5+x）= f（5－x），问：y= f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？
例2. 已知函数y= f（x）（x∈R）满足f（5+x）= f（5－x），问：y= f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？
这两个问题的已知条件形似而质异。有的同学往往把它们混为一谈，从而得出错误的结论。为了准确地回答上述问题，必须掌握以下基本定理。
定理1：如果函数y= f（x）（x∈R）满足f（5+x）= f（5－x），那么y= f（x）的图像关于直线对称。
证明：设点是y= f（x）的图像上任一点，点P关于直线x=a的对称点为Q，易知，点Q的坐标为。
因为点在y= f（x）的图像上，所以
于是
所以点也在y= f（x）的图像上。
由P点的任意性知，y= f（x）的图像关于直线x=a对称。
定理2：如果函数y= f（x）（x∈R）满足f（a+x）= f（b－x），那么y= f（x）的图像关于直线的对称。
证明：（略）（证明同定理1）
定理3：如果函数y= f（x）（x∈R）满足f（x+a）= f（x－a），那么y= f（x）是以2a 为周期的周期函数。
证明：令，则
代入已知条件
得：
根据周期函数的定义知，y= f（x）是以2a为周期的周期函数。
定理4：如果函数y= f（x）（x∈R）满足，那么y= f（x）是以
为周期的周期函数。
证明：（略）（证法同定理3）
由以上的定理可知，在已知条件或中，等
式两端的两自变量部分相加得常数，如，说明的图像具有
对称性，其对称轴为。
等式两端的两自变量部分相减得常数，如，说明f（x）是周期函数，其周期T=a+b。
容易证明：定理1、2、3、4的逆命题也是成立的。
牢牢掌握以上规律，则例1、例2迎刃而解。
例1中，，因此f（x）的图像关于直线x=5对称。由这个已知条件我们不能判定f（x）是周期函数。
例2中，，因此f（x）是周期函数，其周期T=10。由这个已知条件我们不能判定它是轴对称图形。
例3. 若函数f（x）=x2+bx+c对于任意实数t均有f（3+t）= f（1－t），那么（）
A. f（2）< f（1）< f（4）
B. f（1）< f（2）< f（4）
C.f（2）< f（4）< f（1）
D. f（4）< f（2）< f（1）
解析：在f（3+t）= f（1－t）中（3+t）+f（1－t）=4
所以抛物线f（x）=x2+bx+c的对称轴为x=2
作示意图如图1，可见，应选A。
图1
例4. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x－2）=－f（x），给出下列四个结论：
①f（2）=0；
②f（x）是以4为周期的函数；
③f（x）的图像关于直线x=2对称；
④f（x+2）=f（－x）
其中所有正确命题的序号是___________。
解析1：（1）因为y= f（x）（x∈R）是奇函数，所以f（－x）=－f（x）
令x=0，得f（－0）=－f（0）
所以f（0）=0
又已知f（x－2）=－f（x）
令x=2，得f（0）=－f（2）
所以f（2）=－f（0）=0
故①成立。
（2）因为f（x－2）=－f（x），所以
由x－（x－4）=4（两自变量相减得常数）
所以f（x）是以4为周期的周期函数。
故②成立。
（3）由f（x+2）= f（－x）得：（x+2）+（－x）=2（两自变量相加得常数）所以f（x）的图像关于直线x=1对称。而不是关于直线x=2对称。
故③是错误的。
（4）由（2）知，f（x）应满足f（x+2）= f（x－2）
而f（x－2）=－f（x）
所以f（x+2）= －f（x）= f（－x）
故④成立。
综上所述，应填①②④。
解析2：根据题设条件，构造出函数的图像如图2。
图2
由图可见，①②④正确，而③不正确。
例5.函数的图像关于直线x=2对称，则a=___________。
解析：因为函数的图像关于直线x=2对称
所以有（定理1的逆定理）
（与题设矛盾，舍去）或
所以。
例6. 设f（x）是R上的奇函数，又f（x）的图像关于直线x=a对称。问函数y= f（x）是不是周期函数？如果是，求出它的一个周期。
解：因为f（x）的图像关于直线x=a对称
由定理1的逆定理知：f（a+x）= f（a－x）
用a－x代换上式中的x，得：f（2a－x）= f（x）
再用－x代换x，得：f（2a+x）= f（－x）<1>
再用2a+x代换x，得：
又f（x）为奇函数，即
由<1><2>得：
即f（x）= f（x+4a）
根据周期函数的定义，f（x）是周期函数，且T=4a是它的一个周期。
几种特殊性质的函数的周期
几种特殊性质的函数的周期： ①y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； ②y=f(x)对x ∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= ) (1x f -，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； ③若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2b a -的周期函数； ④y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数 y=f(x)是周期为2b a -的周期函数；如：正弦函数 sin y x = ⑤若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则 f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数； ⑦正（余）弦型函数定义域为R ，周期为T ，那么，对于任意R m ∈，区间[)T m m +,内有且只有两个量21,x x ，满足()()21x f x f =。正切型函数则只有一个。 ⑧0)()(=+=a x f x f ， 或)0)(() (1)(≠= +x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠, 例1．若函数)(x f 在R 上是奇函数，且在()01， -上是增函数，且)()2(x f x f -=+，则 ①)(x f 关于 对称； ②)(x f 的周期为 ； ③)(x f 在（1，2）是 函数（增、减）； ④）时，，（若10∈ x )(x f =x 2，则=)(log 18 21f 。 例2．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上，以2为周期的周期函数，且)(x f 为偶函数，在区间 [2，3]上 )(x f =4)3(22+--x ,则时，]2,0[∈x )(x f = 。 4．函数（图象）的对称性 1）证明一个函数图象自身的对称问题及证明两个函数图象的对称关系问题
函数周期性公式大总结
竭诚为您提供优质文档/双击可除函数周期性公式大总结 篇一：函数周期性结论总结 函数周期性结论总结 ①f(x+a)=-f(x)T=2a ②f(x+a)=±1T=2af(x) ③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|证明：令x=x-b得 f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式 f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a即a-b ④f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，T=2a 证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x) 证明：因为偶函数,所以f(-x)=f(x)因为关于x=a对称 所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质）设x=x+a所以 f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a对称，T=4a 证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a 证明：由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a得：f(x+2a)=f(-x)又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)
代换x=x+2a得： f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a ⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。 f(x+a)=f(x+2a)+f(x) f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t那么x=a+t f(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a ⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称，T=2|a-b| 证明：f(a+x)=f(a-x) f(b+x)=f(b-x) f(2b-x)=f(x)假设 a＞b(当然假设a＜b也可以同理证明出) T=2(a-b) 现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可 ⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称，T=2a-2b(a＞ b)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]关于直线x=a对称 =f[a-(x+a-2b)]关于直线x=b对称=f(2b-x)=f(x) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x) f(2b-x)=-f(x)f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =-f[a-(x+a-2b)]
函数周期性结论总结
精品文档 . 函数周期性结论总结 ① f(x+a)=-f(x) T=2a ② f(x+a)=±) (1x f T=2a ③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b| 证明： 令x=x-b 得 f(x-b+a)=f(x-b+b) f(x-b+a)=f(x) 根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT) 得 T=-b+a 即a-b ④f(x)为偶函数，且关于直线x=a 对称，T=2a 证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x) 证明：因为 偶函数,所以 f(-x)=f(x) 因为 关于x=a 对称 所以 f(a+x)=f(a-x) (对称性质）设 x=x+a 所以 f(x+2a)=f(x) 所以 周期T=2a) ⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a 对称，T=4a 证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a 证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x) 令x=x+a 得：f(x+2a)=f(-x) 又f(x)= - f(-x)故f(x)= - f(x+2a) 代换x=x+2a 得： f(x+2a)= - f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a ⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数，用递推的方法来证明。 f(x+a)=f(x+2a)+f(x) f(x+2a)=-f(x-a) 换元：令x-a=t 那么x=a+t f(t+3a)=-f(t) 根据①可知T=6a ⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b 对称，T=2|a-b| 证明：f(a+x)=f(a-x) f(b+x)=f(b-x) f(2b-x)=f(x) 假设a ＞b (当然假设a ＜b 也可以同理证明出) T=2(a-b) 现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可 f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =f[a-(x+a-2b)] =f(2b-x) =f(x) ⑧f(x)的图像关于(a,0) (b,0)对称，T=2a-2b(a ＞b) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x) f(2b-x)=-f(x ) f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =-f[a-(x+a-2b)] =-f(2b-x) =f(x) 关于直线x=a 对称 关于直线x=b 对称
对抽象函数周期性的认识
对抽象函数周期性的认识 麻城实验高中 阮 晓 锋 对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。可见周期函数是一类特殊的函数，下面就谈谈我对抽象函数周期性的认识。 几种特殊的抽象函数的周期： 设函数()y f x =对定义域内任一实数x 满足： （1）()(x)f x T f ±=(T ≠0），则T 是函数()y f x =的一个周期，且kT （k ?Z)也是其周期 推论：若(+)=(+)f x a f x b ，则T=b-a 是函数()y f x =的一个周期。 （2)()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； 推论：若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件)()(b x f x a f --=+，则)(x f y =是 以)(2b a T +=为周期的周期函数。 (3）()() 1f x a f x +=± ，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； （4）()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； （5）1()()1() f x f x a f x -+= +，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. （6）()+1(+)= ()-1 f x f x a f x ，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. （7）1()()1() f x f x a f x -+=- +，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. （8）1()()1() f x f x a f x ++= -，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. （9）若函数f(x)有一条对称轴x=a 和一个对称点(b,c)，那么该函数一定为周期函数，且 其中一个周期为T ＝4|a －b| 推论：若奇函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），则其周期为4T a =。 （10）若函数f(x)有两条对称轴x=a 和x=b （a≠b ），那么该函数一定为周期函数，且其中 一个周期为T ＝2|a －b| 推论：若偶函数()f x 满足)()(x a f x a f -=+，则其周期为2T a =. (11)若函数f(x)有两个对称点(a,c),(b,c)，那么该函数一定为周期函数，且其中一个周期 为T ＝2|a －b| (12)若.2 , )2 ()(,0p T p px f px f p = -=>则 认识：
抽象函数的性质问题解析
抽象函数的性质问题解析 抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。 1、 定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。 材料一：若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=x f y 的定义域。 解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=x f y 而言，有1124x -≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x 。 所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞ 总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x 的范围等同。 2、 值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。 材料二：若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)23(+=x f y 的值域。 解析：函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-。 总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。 3、 对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。 材料三：设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（ ） A 、直线0=y 对称 B 直线0=x 对称 C 直线1=y 对称 D 直线1=x 对称 解法一（定义证明）：设点),(00y x P 是函数)1(-=x f y 的图象上的任意一点，则)1(00-=x f y ，),(00y x P 关于直线m x =的对称点为),2(00/y x m P -，要使点),2(00/y x m P -在函数)1(x f y -=的图象上，则)21()]2(1[000m x f x m f y -+=--=，应有121-=-m ，故1=m ， 所以函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。 解法二（图象变换法）：由函数)(x f y =的图象向右平移1个单位得到函数)1(-=x f y 的
抽象函数的周期性
抽象函数的周期 抽象函数的周期没有具体公式，它需要掌握一定的规律，记住一些抽象函数的格式。本文列出几种常见的抽象函数的周期类型，供大家参考（以下x 取定义域内的任意值且a 、b 、T 为非零常数，a ≠b ）。 1. f x f x T ()()=+型：f x ()的周期为T 。 证明：对x 取定义域内的每一个值时，都有f x T f x ()()+=，则f x ()为周期函数，T 叫函数f x ()的周期。 2. f x a f x b ()()+=+型：f x ()的周期为||b a -。 证明：f x a f x b f x f x b a ()()()()+=+?=+-。 3. f x a f x ()()+=-型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x ()[()]()[()]+=++=-+=--2=f x () 例. 设f x ()是R 上的奇函数，f x f x ()()+=-2，当01≤≤x 时，f x x ()=，则 f (.)20055等于（ ） A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5 4. f x a f x ()() +=- 1 型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]() () ()+=++=- +=- - =21 1 1。 5. f x a f x ()() += 1 型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]() () ()+=++= += =21 1 1。 6. f x a f x f x ()() () += +-11型：f x ()的周期为4a 。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论 一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义： 对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。 分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量 )()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像： []b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。 [][]? ??++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数： 设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。 分段函数的奇偶性 3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称： ①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++-- ③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--= （2）轴对称：对称轴方程为：0=++C By Ax 。 ①))(2,)(2(),(),(2222//B A C By Ax B y B A C By Ax A x B y x B y x A +++-+++-=与点关于
用函数的特征式判断函数的周期性及其周期
由函数特征式判断函数的周期性及周期 李圣平 (宜昌市体育运动学校，湖北宜昌 443000) 摘要探讨利用函数的特征式研判函数的周期性和周期，让学生掌握研究和判断的方法很有必要，在此给出了用函数特征式研究和判断函数周期性及周期的一般方法，研究了几种具体情形供师生参考。 关键词函数；特征式；判断；周期函数；周期 函数的周期性是高中数学的一个重要知识点，用函数的特征式判断函数的周期性和周期具有抽象性，可以考察学生的抽象思维能力和想象能力，此类问题在高考题中多年涉及，学生掌握一些类型的研究方法及其结论十分必要，本文做出了一些相关探讨。 1 函数的周期性与周期 1. 1 周期函数及其周期的几何定义 从图象上看，函数的图象能够划分为无数段向左右两边无限重复延伸的全等图象段，分点若为函数图象上的点，则为相邻图象段的公共点，将每一段图象称为重复段，将任一重复段向左右无限重复延伸就得到整个函数的图象，这样的函数称为周期函数。周期函数的任一重复段夹在某两条直线x=a和x=b之间（a ＜b﹚，在左或右要么与直线相交，要么可以与直线无限趋近，将这个重复段向左平移b-a个单位或者向右平移b-a个单位得到与其左右紧邻的重复段，将b-a 称为该函数的一个正周期，a-b称为该函数的一个负周期，每一个重复段称为该函数的一个周期内的图象。如果重复段不能再划分为可重复的小重复段，则把周期b-a称为该函数的最小正周期。 1. 2 周期函数及其周期的代数定义 对于函数f（x），如果存在非零常数k，使f（x+k）=f（x）成立，称函数f （x）为周期函数，把k称为该函数的一个周期。如果k为正数，该函数不存在比k小的正周期，则把k称为该函数的最小正周期。把等式f（x+k）=f（x）称为函数f（x）的一个特征式。 2 用函数的特征式判断函数的周期性和周期 定理1 若函数f（x）对其定义域内的任何x的值，都有：f（x+a）=f（x+b）或f（a-x）=f（b-x），其中a、b是常数，且a≠b，则函数f（x）是周期函数，且a-b是f（x）的一个周期。 证明：若f（x+a）=f（x+b），（a≠b），则用此关系有：f（x）=f（（x-b）+b）=f（（x-b）+a）=f（x+（a-b）），根据周期函数的定义，函数f（x）是周期函数，且a-b是f（x）的一个周期。若f（a-x）=f（b-x），（a≠b），则用此关系有：f（x）=f（b-（b-x））=f（a-（b-x））=f（x+（a-b）），表明函数f（x）是周期函数，且a-b是函数f（x）的一个周期。 定理2 若函数f（x）对其定义域内的任何x的值，满足下列条件之一，则函数f（x）是周期函数，且2（a-b）是函数f（x）的一个周期，这里a≠b。 条件1：f（x+a）= -f（x+b）或 f（a-x）= -f（b-x）； 条件2：f（x+a）=1／f（x+b）或f（a-x）=1／f（b-x），（f（x）≠0）； 条件3：f（x+a）= -1／f（x+b）或 f（a-x）=- 1／f（b-x），（f（x）≠0）。 这里只对满足条件3的函数f（x）是周期为2（b-a）的周期函数作证明，其余的用类似的方法（变形法）证明。
抽象函数周期性的判断及其简单运用
抽象函数周期性的判断及其简单运用 朱永瑛 江苏省洪泽县教师进修学校(223100) 所谓周期函数就是：对定义域为D 的函数()f x ，对任意x D ∈，存在常数0T >()x T D +∈有()()f x T f x +=，则()f x 为周期函数．对具体的函数其周期性可以借助函数表达式，根据周期函数的定义进行判断．那么，抽象函数的周期性如何判断？又如何运用于解题呢？ 1抽象函数周期性的判断 1.１类型一 ()()f x a f x b +=+ 定理一：定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，若有()()f x a f x b +=+(其中,a b 为常数，a b ≠)，则函数()y f x =是周期函数，||a b ?是函数的一个周期． 证明：∵()()f x a f x b +=+对任意x D ∈都成立，∴()()f x a a f x a b ?+=?+， 即()()f x f x b a =+?. ∴||b a ?为函数()f x 的一个周期. 1.2 类型二 ()()f x a f x b +=+ 定理二：定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，若有()()f x a f x b +=?+(其中,a b 为常数，a b ≠)，则函数()y f x =是周期函数，2||a b ?是函数的一个周期． 证明：∵()()f x a f x b +=?+对任意x D ∈都成立, ∴()()()f x a a f x a b f x b a ?+=??+=?+?， 即()()f x f x b a =?+?. ∴()[2()]f x b a f x b a +?=?+?， ∴(){[2()]}[2()]f x f x b a f x b a =??+?=+?， ∴()f x 是周期函数,2||b a ?为函数的一个周期. 1.3 类型三1()()f x a f x +=，(或者1 ()()f x a f x +=?) 定理三：定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，若有1()()f x a f x +=，(或1 ()() f x a f x +=? ) (其中a 为常数，0a ≠)，则函数()y f x =是周期函数，2||a 是函数的一个周期． 证明：∵()1/()f x a f x +=， ∴11 (2)()()1/() f x a f x f x a f x +===+， ∴函数()f x 是周期函数，2||a 是它的一个周期. 同理可证()1/()f x a f x +=?是周期函数，且 2||a 是它的一个周期． 1.4 类型四()()f a x f a x +=?且()()f b x f b x +=? 定理四：定义在R 上的函数()f x ，若对任意的x R ∈，有()()f a x f a x +=?且()()f b x f b x +=?，(其中,a b 是常数，a b ≠)则函数()y f x =是周期函数，2||a b ?是函数的一个周期． 证明：∵()()f a x f a x +=?且()(f b x f b +=? )x 对任意x R ∈都成立， ∴[(2())][(2)]f x x b f a x a b +?=++? [(2)](2)[()]f a x a b f b x f b b x =?+?=?=+? [()]()f b b x f x =??=， ∴[2()]()f x a b f x +?=， ∴()f x 是周期函数,2||a b ?是函数的一个周期. 注：1．上述函数的定义域未必一定是实数集，符合条件的任意数集都可以； 2．定理四中，由()()f a x f a x +=?且()f b x + ()f b x =?可知函数图象关于直线x a =和直线x b =对称，即函数有两条对称轴，故本定理又可通俗地说成:有两条(或两条以上)对称轴的函数为周期函数． 2 利用周期性求值 在解决一些抽象函数的函数值问题时，若能充分利用函数的周期性，问题常会得到巧妙的解决． 例１函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x R ∈，都有(1)(3)f x f x +=+，求(2)(4)(6)f f f ++ (2008)f ++ 的值． 解析：∵(1)(3)f x f x +=+， ∴函数()f x 是周期函数，周期为2， ∴(0)(2)(4)(6)(2008)f f f f f ===== ． ∵()f x 是奇函数， ∴(0)0f =，∴(2)(4)(6)(2008)0f f f f ===== ， ∴(2)(4)(6)(2008)0f f f f ++++= . 例2函数()f x 对任意的x R ∈，有()(1)f x f x =+ (1)f x +?，且(0)9,(10)30f f ==.求(101)f 的值． 解析：本题看起来不属于所述抽象函数中任意一种类型，但若对()(1)(1)f x f x f x =++?稍作变形，将式中的x 取作1x +，再将两式联立，便可发现其属于类型2． ∵()(1)(1)f x f x f x =++?①，将式中x 取作1 x +34 福建中学数学 2008年第8期
6抽象函数的周期性
抽象函数的周期和对称性 一、关于周期性的结论 1. ()()f x T f x +=型：f x ()的周期为T 。 2. f x a f x b ()()+=+型：f x ()的周期为||b a -。 证明：f x a f x b f x f x b a ()()()()+=+?=+-。 3. f x a f x ()()+=-型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x ()[()]()[()]+=++=-+=--2=f x () 4. ) (1 )(x f a x f ± =+型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]() () ()+=++= += =21 1 1。 5. f x a f x f x ()() () += +-11型：f x ()的周期为4a 。 证明：f x a f x a a f x a f x a ()[()]() ()+=++=++-+211 = + +--+- =-1111111f x f x f x f x f x () ()()() ()， ∴f x a f x a a f x a f x f x ()[()]() () ()+=++=- +=- - =4221 21 1。 6. 两线对称型：函数f x ()关于直线x a =、x b =对称，则f x ()的周期为||22b a -。 证明： f x f a x f x f b x f a x f b x f x f x b a ()()()()()()()()=-=-?? ? ?-=-?=+-222222， 。
周期函数注意点以及常见抽象函数周期性的证明
周期函数的定义 1、对于函数f(x)，如果存在一个非零常数.T ,使得当x 取定义域内的每一个值.时，都有 f(x T) f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期。 ① 定义域：对于任何函数，都需要明确其定义域，对于周期函数来说，其 定义域必为至少一端无界的集合。 理由：设周期为T,由周期函数的定义知f(x+T)=f(x),易得f(x+nT)=f(x) (其中n 是整数),即x+nT 也在定义域内，故周期函数定义域必是无界集。 例题：y sin x(0 x 10 )是周期函数吗？ ② 变的只能是x T 的变化只能发生在 x 上。例如f(x) sin(3x 8)是周期函数，则 f (x T) sin[3( x T) 8]，不能写成 f (x T) sin(3x T 8)。 ③ 图像为周期波动的函数不一定是周期函数，要观察定义域。 例如：f (x) x [x] ( 3 x 3 ) ([x]是取整函数，表示不超过 x 的 最大整数)，该函数的图像如下所示，该图像重复出现，但是因为其定义域 两端都有界，所以其必不为周期函数。 周期函数问题的相关题型及解答。 核心：所有周期函数的问题，核心在求出周期 T ,即将题目里各种f(x)的等 式往f(x T) f (x)方向化简。 化简过程中需要注意的相关函数概念：化简过程中要注意f(x)本身的对称 性和奇偶性。 抽象函数的周期总结 周期函数 例题：sin - 2 3 sin -，那么2 3 是sin (为的周期吗? 3
1. f(x) f(x T)型：f(x)的周期为 T o 证明：对x 取定义域内的每一个值时，都有 f (x T) f (x)，贝y f (x)为周期函数，T 叫 函数f (x)的周期。 2. f (x a) f (x b)型：f(x)的周期为 |b a|。 证明：f (x a) f (x b) f (x) f (x b a)。 3. f (x a) f (x)型：f (x)的周期为 2a o 1 4. f (x a) 型：f (x)的周期为2a o f(x) 1 —f(x)。 f(x) 1 5. f (x a) —型：f (x)的周期为 2a 。 f(x) 6. f (x a) 1一型 型：f (x)的周期为4a 。 1 f(x) f(x) 证明：f (x 2a) f [(x a) a] f (x a) [f(x)] f(x) 证明：f (x 2a) f [(x a) a] 1 f(x a) 证明：f (x 2a) f [(x a) a] 1 f (x a) 1 1 f(x) f (x) o 证明：f (x 2a) 1 1 f (x a) 1 f (x) 1 1 f (x a) 1 1 f(x) 1 f (x) f(x)' f (x 4a) f [(x 2a) 2a] 1 f(x 2a) f (x) o 7. f (x a) 1 f (x) 1 f (x) y f(x)的周期为T 2a f [(x a) a] 1 1 f(x)
例析抽象函数周期的求法
例析抽象函数周期的求法 抽象函数周期问题是近年来高考及各地模拟试题中高频出现的问题，其周期求法能有效考查学生的逻辑思维能力和代数推理能力，对培养学生思维品质大有帮助。下面举例说明求周期的常用方法及技巧。 一、仅含抽象关系式的周期函数 例1 若存在常数m>0，使函数f(x)满足，则的一个正周期是____________。 解：设，则，依题意有 ，由周期函数的定义，是的一个周期 所以期 例2 已知函数满足，求证：函数 为周期函数。 证明：因为对有 （2）代入（1）得 这样 所以为周期函数，且为它的一个周期。
例3 设函数的定义域关于原点对称，且对定义域内任意，有 ，且存在常数，使。试证：是周期函数，且有一个周期为4a。 证明：设，则 所以y=f(x)为周期函数，且有一个周期为4a。 说明：从以上几例可见，适当的赋值和变量代换，是探求抽象函数周期的关键。下面再给一个探求周期来计算函数值的例子。 例4 设是定义在R上的函数，且对任意，都有 ，又，求的值。 解：
又 所以 可知是以2为一个周期的周期函数 所以 二、图象中有两条对称轴的抽象函数 例5 若函数的图象关于两条直线和都对称，试证：是周期函数，且是它的一个周期。 证明：因为的图象关于直线和（a
抽象函数的对称性与周期性
抽象函数的对称性与周期性 一、 抽象函数的对称性 定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (b －x)， 则函数y=f (x) 的图象关于直线x= 2a b +对称。 推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x) （或f (2a －x)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。 推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x)， 又若方程f (x)=0有n 个根，则此n 个根的和为na 。 定理2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (b －x)=c ， （a,b,c 为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点( ,)22a b c + 对称。 推论1.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (a －x)=0，（a 为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点（a ，0）对称。 定理3.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=f (b －x)两 函数的图象关于直线x=2b a -对称。 定理4.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=c －f (b － x)两函数的图象关于点( ,)22b a c -对称。 性质1：对函数y=f(x),若f(a+x)= －f(b －x)成立，则y=f(x)的图象关于点（2b a +,0）对称。 性质2：函数y=f(x －a)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=a 对称。 性质3：函数y=f(a+x)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=0对称。 性质4：函数y=f(a+x)与函数y=－f(b －x)图象关于点（2a b -,0）对称。 二、抽象函数的周期性 定理5.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)=f (x －b)，则y=f (x) 是以T=a ＋b 为周期的周期函数。 定理6.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)= －f (x －b)，则y=f (x) 是以T=2（a ＋b ）为周期的周期函数。 定理7.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a 与 x=b （a ≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b －a)为周期的周期函数。 定理8.若函数y=f (x)的图象关于点（a,0)与点(b,0) , (a ≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b －a)为周期的周期函数。 定理9.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a 与 点(b,0),(a ≠b)对称，则
(完整版)专题函数的周期性
专题函数的周期性 一知识点精讲 1 .周期函数的定义：对于f (x)定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得f(x T) f (x)恒成立，则称函数f (x)具有周期性，T叫做f (x)的一个周期，则kT (k Z,k 0 )也是f (x)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (x)的最小正周期.周期函数的定义域一定是无限集 2性质 ①若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期； 3?几种特殊的具有周期性的抽象函数: 函数y f x满足对定义域内任一实数x (其中a0为常数) (1) f x f:X a，则y f x的周期T a . (2) f x a f x，贝U f x的周期T2a . (3) f x a的周期T2a . ，贝U T x f x (4) f x a f x a，贝U f x的周期T2a . (5) f(x a)1 f (x)，则f x 1 f(x)的周期 T2a . (6) f(x a) 1 f(x)，则f 1 f (x) x的周期T4a数. (7) f(x a) 1 f (x)，则f x 1 f(x) 的周期T4a . (8)函数y f (x)满足f (a x) f (a x)(a 0), 若f (x)为奇函数，则其周期为 T 4a，若f (x)为偶函数，则其周期为T 2a . (9)函数y f (x) x R的图象关于直线x a和x b a b都对称，则函数f (x)是 以2 b a为周期的周期函数. (10) 函数y f (x) x R的图象关于两点A a, y o > B b, y o a b都对称，则函数 f (x)是2 b a为周期的周期函数. (11) 函数y f (x) x R的图象关于A a, y0和直线x b a b都对称，则函数 f (x)是以4 b a为周期的周期函数. (12) f(x a) f(x) f (x-a)，则f (x)的周期T 6a. 二典例解析 1. 设f(x)是(—a , +s)上的奇函数，f(x+2)= —f(x),当0W x w 1 时，f(x)=x ,则f(7.5)=( ) A.0.5 B. —0.5 C.1.5 D. —1.5 2. 若y=f(2x)的图像关于直线x a和x b(b a)对称，则f(x)的一个周期为( ) ②若周期函数f(x)的周期为T,则f( x)(0)是周期函数，且周期为 2 2
高中数学抽象函数专题含答案-教师版
抽象函数周期性的探究（教师版） 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以特探究一下抽象函数的周期性问题. 利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）函数y=f(x)满足f(x+a)= 1 () f x ，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （3）函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. : 命题2：若a、b(a b )是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期. 命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期. 【 我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似. 设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: ①已知A、B→ C （2001年全国高考第22题第二问） ∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a) ) ∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期
三角函数·函数的周期性
三角函数·函数的周期性 教学目标 1．使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角函数的周期性． 2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法． 3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力，提高学生的判断能力和论证能力． 教学重点与难点 函数周期性的概念． 教学过程设计 师：上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．今天我们将利用正弦函数图象，研究三角函数的一个重要性质．请同学们观察y=sinx，x ∈R的图象： （老师把图画在黑板左上方．） 师：通过观察，同学们有什么发现？ 生：正弦函数的定义域是全体实数，值域是［-1，1］．图象有规律地不断重复出现． 师：规律是什么？ 生：当自变量每隔2π时，函数值都相等．
师：正弦函数的这种性质叫周期性．我们将会发现，不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，因此我们就把它作为今天研究的课题：函数的周期性．（老师在黑板左上方写出课题） 师：我们先看函数周期性的定义．（老师板书） 定义对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期． 师：请同学们逐字逐句的阅读定义，找出定义中的要点． 生：首先T是非零常数，第二是自变量x取定义域内的每一个值时都有f （x+T）=f（x）． 师：找得准！那么为什么要这样规定呢？ 师：如果T=0，那么f（x+T）=f（x）恒成立，函数值当然不变，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了．“每一个值”的含义是无一例外． 师：除这两条外，定义中还有一个隐含的条件是什么？ 生：如果x属于y=f（x）的定义域，则T+x也应属于此定义域． 师：对．否则f（x+T）就没有意义． 师：函数周期性的定义有什么用途？ 生：它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据． 师：下面我们看例题． （老师板书） 例1 证明y=sinx是周期函数． 生：因为由诱导公式有sin（x+2π）=sinx．所以2π是y=sinx是一个周期．故它就是周期函数． 例2
高中数学破题致胜微方法函数的周期性：抽象函数周期的求法 递推法 含答案
高中阶段，经常讨论抽象函数，即只关注函数的性质。今天我们介绍利用递推法来求抽象函数的周期，同学们可以类比数列中相应的方法，深入理解，灵活应用。 我们知道在数列中，有许多递推关系，比如1n n a a d +-=，说明它是一个等差数列。如果我们再得知1a 的值，则可推导出数列的通项公式。相似地，我们通过例题来看递推法求抽象函数的周期。 先看例题 例：已知函数()()f x x R ∈满足：(1)()(2)f x f x f x +=++，证明f (x )是周期函数 证明(1)()(2)f x f x f x +=++Q 令x =x +1，再次使用递推式 (2)(1)(3)f x f x f x ∴+=+++ 两式联立可得： ()(3),f x f x =-+再令x =x +3，可知(3)(6)f x f x +=-+ 所以(6)()f x f x += 注意：当题中给定的已知条件可以递推时，多次递推可使问题获解。 回忆： ()()f x a f x +=- 1()() f x a f x +=
1()() f x a f x +=- 都可以整理为：()=()f x f x T +的形式 之前我们介绍过上述两类函数是周期函数，当递推式转化为如下形式时，可以判定原函数为周期函数。 练：已知定义在R 上的函数f (x )满足11()() 1)(f x f x f x ++= -，则f (x )必有一周期为（） A.2 B.3 C.4 D.5 解：令x =x +1，再次使用递推式 1(1)(2)1(1) f x f x f x +++=-+ 将原递推式代入上式： 1()11(1)1()(2)1()1(1)11()f x f x f x f x f x f x f x + + ++-+==+ -+-- 整理得到1(2)() f x f x +=-，根据上面复习的公式，直接可以得到 (4)()f x f x += 即原函数是周期函数，且周期为T =4 注意：本题不必去计算(3)f x +的值，可以直接根据周期函数的特点，选取合理的公式进行计算，降低运算量。 总结： 1.根据递推公式求函数周期，往往需要根据条件多次递推，解决问题。 2.要熟练掌握周期函数的特性，将递推式合理的进行转化。 3.注意得出周期函数的三个关键等式，合理运用，降低运算量。