[高中]二项式定理

[高中]二项式定理

【高考导航】

二项式定理在高考中每年一道题，题型为以下几种：求展开式某一项或某一项的系数；求所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和；二项式某一项为字母，求这个字母的值；求近似值的问题.试题难度不大，与教材习题相当.因此，二项式定理一节内容的学习或复习要重视基础，对二项式定理的展开式、通项公式、二项式系数的性质等弄清原理，熟练掌握，不必追求难解题.

【学法点拨】

本节内容是初中所学多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式乘方的展开式，是培养观察，归纳能力的好题材，二项式定理是以公式形式表现二项式的正整数幂的展开式在指数、项数、系数等方面内在联系的重要定理，应在(a ＋b)2、(a ＋b)2、（a ＋b ）2的展开式的了解基础上，归纳掌握好二项式定理.通项公式T ＝C (r ＝0，1，2，…，n)集中体现了二项式展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心它是求展开式的某些项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）以及系数的重要公式.

二项式系数C (r ＝0，1，2，…，n)是一组仅与二项式的次数n 有关的n ＋1个组合数，而与a 、b 无关，它不包括a 、b 本身（或a 、b 的某次幂）的系数.只有当求某指定项的系数时，才包括a 、b 的系数，称展开式中的某一项的系数，当二项式两项本身的系数都是1时，展开式的二项式系数就是展开式各项的系数，但当二项式的两项本身的系数不为1时，这两者就不同了，要在把握概念的基础上掌握好二项式系数的性质及应用.

【基础知识必备】 一、必记知识精选

1.二项式定理：(a ＋b)n

＝C a n

＋C a n －1

b ＋…＋C a

n －r

b r

＋…＋C b n (n ∈N *)

2.通项公式：T r ＋1＝C a n －r b r

3.二项式系数性质：

(1)距两端等距离的二项式系数相等，即C ＝C . (2)二项式系数的中间项或中间两项的二项式系数最大.

当n 为偶数时，中间一项（即第＋1项）的二项式系数最大;

当n 为奇数时，中间两项（即第和第＋1项）的二项式系数最大.

(3)在二项展开式中各项的二项式系数和为2n ，即：

C ＋C ＋C ＋…＋C ＝2n .

(4)在二项展开式中，奇数项二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和，都等于2n －1，即

C ＋C ＋C ＋…＝C ＋C ＋C ＋…＝2n －1. 二、重点难点突破

掌握二项式定理及其通项公式是本节的重点，会求二项展开式、展开式的中间项等指定项，会求二项式系数，指定项系数等.这些都是二项式定理的灵活运用，是本节的难点.突破难点的关键是准确熟练地写出二项展开式及通项公式.

(a ＋b)n 的展开式具有如下性质： 1.展开式的项数：共n ＋1项.

2.展开式的每一项的指数：a 与b 的指数之和为n ，即二项展开式各项的次数等于二项式的次数n ，字母a 的指数依次降幂排列，指数由n 逐次减1直到0，字母b 按升幂排列，指数从0起逐项加1到n.

3.二项式系数的特征：每一项的系数为一组合数，第r ＋1项的系数为C . 学习二项式定理时，还应注意：

1.二项式定理从左到右的使用为展开，从右到左的使用可以化简、求和和证明.这个公式的逆用功能不可忽视.

2.对于通项公式是相对于(a ＋b)n 标准形式而言的，对于(a －b)n 的展开式的通项T r ＋1＝(－1)r C a n －r b r ，它是第r ＋1项而不是第r 项，公式中的a ，b 位置不能颠倒.利用通项公式可求展开式的特定项.

3.应用二项式定理时，要有目标意识，同时要处理好“一般”与“特殊”的关系，注意变形的技巧以及等价转化的数学思想方法.

1+r r

r n r n b a

-r

n

0n

1n

r n

n n

r

n k

n k

n n -2n

21+n 21

+n 0

n 1

n 2

n n

n 0

n 2

n 4

n 1

n 3

n 5

n r n

r n

三、易错点和易忽略点导析

本节易错点是在审题时，观察不仔细，不能发现差异，或将二项式系数与某项系数混淆，现举例说明.

【例1】 如果(1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，那么a 1＋a 2＋…＋a 7的值等于（ ） A.－2 B.－1 C.0 D.2

正确解法：令f(x)＝(1－2x)7，则f(1)＝(1－2)7＝a 0＋a 1＋…＋a 7＝f(1)＝－1. 又令x ＝O ，得a 0＝1.

∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1－a 0＝－2.故选A.

错解分析：错因在于审题失误，未注意到式子a 1＋a 2＋…＋a 7中没有a 0，致使赋值x ＝1后便认为是所求，因此，解此类问题要仔细观察，克服粗心大意.

【例2】 求C ＋C ＋C

＋…＋C

的值.

正确解法： C

＋C

＋…＋C ＝211

－C ＝2048－1＝2047.

错解分析：忽略了二项式系数的和是指C ＋C ＋C ＋…＋C ＝2n

，或者是审题未发现缺少C 而出现失误.

【例3】 求(x ＋－1)5展开式中的常数项.

正确解法一：∵（x ＋－1）5＝[(x ＋)－1]5， ∴通项为T r ＋1＝C (x ＋)5－r ·(－1)r （0≤r ≤5）

当r ＝5时，T 6＝C (－1)5＝－1；

当0≤r ＜5时，(x ＋)5－r 的通项为

T ′k ＋1＝C x 5－r －k ·()k ＝C x 5－r －2k (0≤k ≤5－r).

∵0≤r ≤5，且r ∈Z.

∴r 只能取1或3相应的k 值分别为2或1.

∴常数项为C C (－1)＋C C (－3)3＋(－1)＝－51. 正确解法二：由于本题只有5次，也可以直接展开，即

[(x ＋)－1]5＝(x ＋)5－5(x ＋)4＋10(x ＋)3－10(x ＋)2＋5(x ＋)－1.

由x ＋；的对称性知，只有在x ＋的偶数次幂中的展开式中才会出现常数项且是各自的中间项，

∴常数项为－5C －10C －51.

正确解法三： (x ＋－1)5

＝(x ＋－1)(x ＋－1)(x ＋－1)·(x ＋－1)(x ＋－1).

按多项式乘法的规律，常数可从五个因式中都选取－1相乘为(－1)5;或从五个因式中选定一因式中取x ，

一因式取，另三个因式中取(－1)，为C C (－1)3;或从五个因式某二因式中取x ，另二因式中取，余下

一个因式中取－1，所得式为C C (－1)，所以常数项为

(－1)5

＋ C C (－1)3

＋C C (－1)＝－51.

错解分析：错解一是出现了C 这个无意义的数，原因是解题不严密造成的，在考虑(x ＋)5－r

的展开式

时，用的是二项式定理，但没有注意到二项式定理只对n ∈N *适用.当r ＝5时，5－r ＝0，此特殊情况应特殊处理.二是概念的理解错误，同一展开式只能有一个常数项，不可能有两个或多个常数项.

【综合应用创新思维点拨】 一、学科内综合思维点拨

111211311

1111

111

211

1111

0110

n 1

n 2

n n

n 0

11x 1

x 1x 1

r 5

x 1

55

x 1

k r -5x 1

k

r -515

24

35

12

x 1x 1x 1x 1x 1x 1

x 1x 1

2412

x 1x 1x 1x 1x 1x 1

x 1151

4x 1

2523

1514

2523

00

x 1

二项式定理经常与数列、不等式以及极限等知识综合组题.

【例1】 已知(x ＋x)n 的展开式中第5、6、7项的系数依次成等差数列，求展开式中的常数项. 思维入门指导：第5、6、7项的系数就是此三项的二项式系数，由此可求出次数n 的值. 解：第5、6、7项的系数分别为C 、C 、C ，依题意有2C ＝C ＋C (n ≥6)，

即2·＝＋.

所以，n 2

－21n ＋98＝0.∴n ＝7或n ＝14.

(1)当n ＝7时，设展开式中的常数项为T r ＋1，则 T r ＋1＝C (x

)7－r ·x r

＝C x

.

令7r －28＝0，得r ＝4.所以T 5＝C ＝35.

(2)当n ＝14时，仿上可得T 9＝C ＝3003.

综上，当n ＝7时，常数项为35，当n ＝14时，常数项为3003.

点拨：对幂指数未知的二项式中求特定项的问题，一般要由题设先求出n 值，然后再求特定项.在求特定项时，往往利用通项公式将问题转化为解方程或不等式组来求出r 值.

【例2】 求证：对n ∈N ，33n －26n －1可被676整除. 证明：当n ＝0时，原式＝0，可被676整除； 当n ＝1时，原式＝0，也可被676整除； 当n ≥2时，原式＝27n

－26n －1＝(26＋1)n

－26n －1＝(26n

＋C 26n －1

＋…＋C

262

＋C

26＋1)－26n －

1＝

26n

＋C 26n －1

＋…＋C 262

上式中每一项都含有262这个因数，故可被262＝676整除.

综上述，对一切自然数，33n

－26n －1可被676整除. 点拨：此题n ＝0与n ＝1应单独处理，易被忽略.

【例3】 设a n ＝1＋q ＋q 2＋…＋q n －1(n ∈N *

，q ≠±1)，

A n ＝C ＋C a 2＋…＋C a n . 求证：A n ＝

[2n －(1＋q)n

].

证明：∵q ≠1，∴a n ＝

.

∴A n ＝C a 1＋C a 2＋…＋C a n ＝C ＋

C ＋…＋

C

＝[(C ＋C ＋C ＋…＋C )－(C ＋qC ＋q 2

C ＋…＋q n

C )] ＝

[2n

－(1＋q)n

].

点拨：本题逆用了二项式定理及C ＋C ＋…＋C ＝2n ，这些重要的数学模型常常运用于解题过程中. 二、学科间综合思维点拨

【例4】 一个螺旋桨在某种情况下转动，它所消耗的功率P （单位：马力）和螺旋桨的直径D （单位：米）的关系是P ＝6D 5，已知D ＝3.11，求P （精确到100马力）.

解：∵D ＝3.11，

∴P ＝6×(3.11)5

＝6×(3＋0.11)5

＝6［35

＋C ·34

·0.11＋C 32(0.11)2

＋…＋C (0.11)5］. 在精确100马力的要求下，第三项及其以后的各项可以略去不计，

∴P ≈6×[35

＋C 34×O.11]＝6×(243＋44.55)＝1725.3≈170O ，即所消耗功率约为1700马力.

点拨：在进行估算求值时，经常使用二项式定理，特别地当h 很小、n 较大时，（1＋h ）n ≈1＋nh 是工业

3

4-4n

5n

6n

5n

4n

6n

!5)!5(!-n n !4)!4(!

-n n !6)!6(!-n n r 7

3

4-r 7

3

387-r 47814

1n

2-n n

1

-n n 1n

2-n n

1n

2n

n n

q

-11q

q n --111n

2n

n n

q q --111

n q

q --1122

n q

q n --11n

n q -110n

1n

2n

n n

0n

1n

2n

n n

q

-110n

1n

n n

15

25

55

15

计算中经常使用的粗算公式.

三、应用思维点拨

【例5】 某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提

高10％.如果人口增长率为1％，那么耕地年均每年只能减少多少公顷?(精确到1公顷，粮食单产＝，人均粮食占有量＝)

解：设耕地平均每年至多减少x 公顷，该地区现有人口P 人，粮食单产M 吨/公顷，依题意有：

≥(1＋10%).

解得x ≤103[1－]

＝103[1－(C ＋C ×0.01＋C ×0.012＋…)] ≈103[1－×1.1045]≈4(公顷).

答：耕地每年至多只能减少4公顷.

点拨：本题应用了指数，二项式定理的基础知识.

【例6】 今天是星期天，从今天起22000

天后的第一天是星期几? 解：22000＝6666×4＝4(7＋1)666 ＝4(7666

＋C

7665

＋…＋C

7＋1)

＝28(7665＋C 7664＋…＋C )＋4.

能被7整除，所以22000被7整除，所以22000

被7除余数为4.又因为今天星期天，所以4天后的第一天应为星期五.

四、创新思维点拨

【例7】已知a 、b 为正整数，且＋＝1，试证明：对每一个n ∈N *，都有(a ＋b)n －a n －b n ≥22n －2n ＋1.

思维入门指导：本题创新点在于综合性强，要灵活地运用二项式定理的展开式和不等式的均值定理.

证明：由＋＝1，得x ＝a ＋b ≥2，即ab －2≥0，∴ab ≥4.①

而(a ＋b)n －a n －b n

＝C a

n －1

b ＋ ＋C a

n －2

b 2

＋…＋C

ab n －1＝C ab

n －1

＋C a 2b

n －2

＋…＋C

a n －1

b ＝C

()＋C ()＋…＋C

()≥(C ＋C ＋…＋C

)

.②

将①代入②得(a ＋b)n

－a n

－b n

≥(C ＋C ＋…＋C )

＝[(1＋1)n －C －C ]·2n ＝(2n －2)·2n ＝

22n

－2n ＋1.

∴命题成立.

点拨：本题考查了C ＋C ＋C ＋…＋C ＝2n 及a 、b ∈R ＋时有≥及逆向思维的数学思想方法.

五、高考思维点拨

【例8】（2003，河南、江苏，4分）(x 2－)9展开式中x 9的系数是________.

解：由通项公式，得T r ＋1＝C (x 2)9－r (－x －1)r ＝(－)r

C x 18－3r .

令18－3r ＝9得r ＝3，

∴系数为(－)3C ＝－.

点拨：本题考查二项式定理中通项公式的运用.

【例9】(1999，全国理，5分)若(2x ＋)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值是（ ）

耕地面积总产量

人口数总产量10

4%)11()

1010%)(221(+-+P x M P M 4

10?22.1)01.01(1.110

+22.11

.10101102

1022.11

.11666665666

1

666665

666a 1b 1

a 1

b 1

ab ab 1n

2n

1-n n 1n

2n

1-n n 1n

211--+n n ab b a 2

n 22

222--+n n b a b a 1-n n 211b

a a

b n n --+1n 2

n 1-n n n n b a 1n 2n

1

-n n n 40

n n

n 0n

1n

2n

n n

2b

a +a

b x 21

r 92121

r

9213

9221

3

A.1

B.－1

C.0

D.2

思维入门指导：注意到(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2 ＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)，故可使用赋值法求解，也可以用二项式定理直接求出a 0，a 1，a 2，a 3，a 4，然后求解.

解法一：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋)4. 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋)4

. ∴(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2

＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)

＝(2＋)4(－2＋)4.

＝(－1)4

＝1.故选A.

解法二：(2x ＋)4＝C ()4＋C (2x)()3＋C (2x)2()2＋C (2x)3·＋C (2x)4

， ∴a 0＝C ()4＝9，a 1＝C 2()3

＝24， a 2＝C 22

()2＝72，a 3＝C ·23

＝32，

a 4＝C ·24＝16.

∴(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2 ＝972－(56)2＝9409－9408＝1. 点拨：显然解法一显得巧妙. 六、经典类型题思维点拨

【例10】 求二项式(x 2

＋)10

展开式中的常数项. 思维入门指导：应用通项公式，依据x 0＝1，求r 的值. 解：展开式中第r ＋1项为：

T r ＋1＝C (x 2)10－r ()r ＝C x ·()r .

令20－r ＝0，得r ＝8.∴T 9＝C ()8

＝.

点拨：对T r ＋1表达式进行化简变形时，要注意指数运算法则的正确使用. 【例11】 若n 为正奇数，求7n

＋C ·7n －1

＋C ·7

n －2

＋…＋C

·7被9除所得的余数.

思维入门指导：注意逆用二项式定理.

解：由二项式定理可知，原式＝(7＋1)n

－1＝(9－1)n －1＝9n

－C ·9n －1

＋C ·9n －2

－…＋(－1)n －1

C ·9

＋(－1)n －1.

∵n 为正奇数，∴除以9的余数为－2＋9＝7.

点拨：余数应满足0≤r ＜9，r ∈N ，不能是负整数，且题目中已知式比(7＋1)n 的展开式少最后一项，不要忽略.

【例12】 在(ax ＋1)7的展开式中，x 3项的系数是x 2项的系数与x 4项的系数的等差中项，若a ＞1，求a 的值.

解：∵T r ＋1＝C (ax)

7－r

，

依题意，得2C a 3＝C a 4＋C a 2，即5a 2－10a ＋3＝0.

又∵a ＞1，∴a ＝1＋.

【例13】 求(－)9展开式中的有理项.

思维入门指导：展开式中的有理项，就是通项公式中x 的指数为整数的项. 解：∵T r ＋1＝C (x )

9－r

(－x )r ＝(1－)r

C x

，

令∈Z ，即4＋∈Z ，用r ＝0，1，2，…，9进行检验，得r ＝3或r ＝9.

当r ＝3时，＝4，T 4＝(－1)3C x 4＝－84x 4;

333330431432433434

404

31

4332433

4334

43x 21

r 10

x 21

r 10

r 2

520-21

258

1021

256451n

2n

1

-n n 1n

2n

1

-n n r 7

473

75

7510

x 3x r

9

2

13

1r 9

6

27r -627r -63r

-627r

-39

当r ＝9时，＝3，T 10＝(－1)9C x 3＝－x 3.

∴二项式(－)9的展开式中的有理项是T 4＝－84x 4，T 10＝－x 3.

【例14】 已知（1－2x ＋3x 2）7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14， (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14;(2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13. 解：(1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a 13＋a 14＝27＝128. ① (2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 14＝67. ② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 13)＝27－67＝－279808， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝－139904.

A 卷：教材跟踪练习题 (100分 60分钟)一、选择题(每题5分，共50分) 1.二项式(x －)10的展开式中，x 6的系数是( ) A.－27C

B.27C

C.－9C

D.9C

2.(2－)6的展开式中，常数项是（ ）

A.－20

B.20

C.－160

D.160

3.当n ∈N *且n ≥2时，1＋2＋22＋…＋24n －1＝5p ＋q （其中p ，q 为非负整数，且0≤q ≤5），则q 的值为（ ）

A.0

B.1

C.2

D.与n 有关

4.39

＋C ·37

＋C ·35

＋C ·33

＋C ·31

－C ·38－C ·36

－C ·34

－C ·32的值是（ ） A.0 B.49 C.512 D.513

5.设二项式(3·＋)n 的展开式中的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为S ，若p ＋S ＝272，则

n 等于（ ）

A.4

B.5

C.6

D.8

6.(＋1)4·(x －1)5的展开式中，x 4的系数为（ ）

A.－40

B.10

C.40

D.45

7.已知(＋)n

展开式中各项系数和大于8，且小于32，则展开式系数最大的项是（ ）

A.6·

B.x

C.4x

D.4x 或4x

8.设(2－x)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8＋a 9x 9

，则a 8＋a 9＝（ ）

A.17

B.19

C.8

D.512

9.已知(2x 2

＋)n

(n ∈N *

)的展开式中含有常数项，则n 的最小值是（ ） A.4 B.5 C.9 D.10

10.已知(ax ＋1)2n 和(x ＋a)2n ＋1的展开式中x n 的系数相等，a ∈R ，且a ≠0，则a 与1的大小关系是（ ） A.a ≤1 B.a ≥1 C.a ＜1 D.a ＞1 二、填空题（每题5分，共20分）

11.在(x 2－)9

的展开式中，第4项的二项式系数是______，最后一项的系数是______.

12.4141被7除所得的余数是________.

13.(1－3a ＋2b)5展开式中不含b 的项系数之和是________. B 卷：综合应用创新练习题 （90分 60分钟）

1.若(1－2x)5的展开式中的第二项小于第一项，不小于第三项，求实数x 的取值范围.

627r

-9

9x 3

x 3610

410

610

410

x x 1

29

49

69

89

1939

59

79

3

x x 1

x x 31

x 3

x 21-6721-6

73

1

x x 21

2.已知a 为实常数，且(a ＋)6

展开式的常数项为2×104

，求证lg 是方程f(x)＝ 6x 3＋7x 2

－3x －1＝0的根.

3.某公司的股票今天的指数为2，以后每天的指数都比上一天的指数增加0.2％，则100天以后这家公司的股票指数约为多少？（精确到0.001）

4.（P 113习题10.4第4题变型）在（2－x ）2的展开式中，设x 2的系数为a n (n ＝2，3，…)，求＋＋

＋…＋的值.

（二）一题多解（10分）

5.试求(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)100展开式中x 3项的系数. （三）一题多变(14分)

6.设函数f(x)是定义在R 上的一个给定函数，函数g(x)＝C f()·(1－x)n ＋C f()x(1－

x)n －1＋…＋C f()x n (1－x)0（其中x ≠0，且x ≠1）.

(1)当f(x)＝1时，求g(x)；(2)当f(x)＝x 时，求g(x). 四、高考题（共26分）

7.（2002，上海春招，8分）若在(－)n

的展开式中，第4项是常数项，则n ＝______.

8.(2001，上海理，9分)在代数式(4x 2－2x －5)(1＋)5的展开式中，常数项为________ .

9.(1995，上海，9分)若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋…＋1(n ∈N *)，且a ：b ＝3：1，那么n ＝______ . A 卷1.D 点拨：T r+1=C x 10-r (-)r ,令10-r=6,得r=4,∴x 6的系数为9C . 2.C

3.A 点拨：由于1+2+22+…+24n-1=24n-1

,

∴问题化归为求24n-1

被5除的余数.

∵24n-1

=16n-1

=（1+15）n

-1=C ·15+C ·152

+…+C ·15n ，即除以5的余数为0.∴选A. 4.D 点拨：原式=（3-1）9+1=513.

5.A 点拨：依题意4n +2n =272，∴2n =16，∴n=4.

6.D 点拨：含x 4

项的系数为C C （-1）1

+C C （-1）2

+C C （-1）3=45.

7.A 点拨：本题中展开式各项系数和就是二项式系数和2n ，∴8＜2n ＜32.∴3＜n ＜5. ∴n=4，而系数最大的项是中项T 3=C ()2(x -)2=6x . 8.A 点拨：a 8+a 9＝C ·2·（-1）8+（-1）=17.

9.B 点拨：T r+1=C (2x 2

)n-r

·x -3r

=2n-r

C x 2n-5r .令2n-5r=0，则n 的最小值是5. 10.C 点拨：(ax+1)2n 中x n 系数为C a n ，(x+a)2n+1中x n 的系数为a n+1,

∴C

a n

=C

·a n+1(a ≠0).

∴a=

=·==1-＜1.∴a ＜1.

二、11.84,- 点拨:第4项的二项式系数为C =84.

最后一项是第10项，系数为C (-)9=-.

12.6 点拨：4141=（42-1）41=4241-C 4240+…+C ·42=1， ∴4141被7除所得余数是-1+7=6.

13.-32 点拨：令b=0；a=1，得不含b 的项系数之和是（1-3）5=-32. B 卷

x x 1

a 22

2a 3

3

2a 44

2a n n

a 20n

n 01

n n 1

n

n n n 5

x x 12

1

x r 1034

101n 2n

n n

4415

2425

0435

24

x 31

89

r n

r n

n n

2n n

21

12++n n 11

22++n n n n

C C !!)!2(n n n ?)!12(!)!1(+?+n n n 121++n n 12+n n

5121

3

99

921

512114140

41

一、1.解：依题意，T 2＜T 1，T 2≥T 3，

∴化简得解得-＜x ≤0为所求.

2.解：T 4=C a 3=20a 3,∴20a 3=2×104.∴a=10.于是lg =lg =.

∴f()=6×()3+7×()2

-3×()-1=0. ∴即lg 是方程f(x)=0的根.

二、3.解：2(1+0.2%)100

=2[C +C 0.002+C (0.002)2+…]=2(1+0.2+0.O198+…)≈2.4396=2.440.∴

100天后这家公司的股票指数为2.440.

点拨：此题属增长率问题.

三、(一)4.解:a n =C 2n-2=·2n-2

,

而===8(-),

∴原式=8[(1-)+(-)+…+(-)]=8(1-)-8-.

点拨：裂项法求数列的前n 项之和.

（二）5.解法一：各展开式中x 3

项的系数分别为C C ，C ，…，C ，则x 3

的系数为C +C + C +…

+C =C +C +C +…+C =C +C +…+C =…=C =4082925.

解法二：（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）100=

=.

因此x 3

的系数为(1+x)101

展开式中x 4

的系数，即C =4082925.

点拨：解法一使用了组合数性质C +C

=C

较为麻烦，解法二较简便.

（三）6.解：（1）∵f(x)=1，

∴g(x)=C (1-x)n

+C x(1-x)n-1

+…+C x n =[(1-x)+x]n =1.

(2)∵f(x)=x,∴g(x)=C (1-x)n +C x(1-x)n-1+C x 2(1-x)n-2

+…+C

x n .

∵C =·==C ,

∴g(x)=C x(1-x)n-1+C x 2(1-x)n-2+…+C x n =x[C (1-x)n-1+C x(1-x)n-2+…

+C

x n-1]=x[(1-x)+x]n-1=x.

点拨:用C =C

使二项式系数的下标统一.

四、7.18 点拨:∵T 4=C ()n-3()3=C (-1)3x

为常数项,

∴令=0.∴n=18.

8.15 点拨：(4x 2-2x-5)(1+)5=(4x 2-2x-5)(1+5·+10·+10+5·+),∴常数项为

4x 2·5·-5×1=15.

9.11 点拨：由二项式定理可得a=C ，b=C .

?????-≥--.)2()2(,1)2(2251515x C x C x C ＜?????≥--.4010,1102x x x ＜1013

6a 1021

21212121

21

a 010*********

2n

2)1(-n n n n a 22

2

2)1(2-?-n n

n n )1(8-n n 11-n n 1212131

11-n n 1n 1n 83334353100

3

33435

31004434353100453531004

101)

1(1]

)1(1[)1(983x x x +-+-+x x x 3

101)1()1(+-+4101

m n 1+m n

m

n 1+0n

1n

n n

0n

n 01n n 12n n 2

n n

n n

k n n k )!(!!k n k n -n k

)]!1()1[()!1()!1(-----k n k n 1

1--k n 01-n 11-n 11--n n 01-n 1

1-n 1

1--n n k n

n k

1

1--k n 3n

5

x x 1

3

n 5

18-n 518

-n 21

x 21x 41x 61x 81x 10

1

x 2

1

x 3n

2n

∵a:b=3:1，∴C :C =3:1.解得n=11.

点拨：上述三道高考题考查了二项式定理，通项公式及组合数的计算等.

3n 2

n