学习一笔画带答案
第10讲学习一笔画
【专题简析】
一笔画，就是从图形某点出发，笔不离开纸，而且每条线段都只画一次不重复。它是一种有趣的数学游戏。那么，哪些图形不能一笔画成，哪些图形可以一笔画成呢？
一个图形能否一笔画成，关键在于单数点的多少，有2个或0个单数点的图形就能够一笔画成，单数点在一笔画中只能作为起点和终点。
【例题1】
一些平面图形是由点和线构成的，这里的“线”可以是线段，也可以是一段曲线，请自己画一些图研究每个点和线的连接情况。
思路导航：请小朋友仔细观察下列各图中的点，他们分别与几条线相连。
① ② ③ ④
（1）与一条线段相连的点有：
（2）与两条线段相连的点有：
（3）与三条线段相连的点有：
（4）与四条线段相连的点有：
归纳：把和一条、三条、五条等单数条线连得点叫做单数点；把和两条、四条、六条、八条等双数条线连的点叫双数点，每个图中的点要么是单数点，要么是双数点。
练习1
1.任意找一个平面图形，数一数图中有几个单数点，几个双数点。
2.下面图形中有哪几个单数点？
答案：A D
3.数一数下面图形中有几个双数点，分别是哪些点？
答案：A B C D E F
【例题2】
下面的图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？
（1） O （2）
B D
（3）
【思路导航】图（1）中A、B、C、D、O五个点都是双数点，所以这个图形可以一笔画成。
画时可以从任意一点出发。图（2）中A、C、D、F四个点都是双数点，B和E两个点是单数点，所以这个图形也可以一笔画成。画时要从单数点出发，最后回到另一个单数点。图（3）中A、D是双数点，B、C、E和F四个点是单数点，单数点的个数超过了两个，这个图形不能一笔画成。
练习2
1.下面的图形能不能一笔画成，如果能，请说明画法，如果不能，请说明理由
（1）（2）
答案：图（1）可以一笔画成，因为单数点有两个
图（2）不能一笔画成，因为单数点大于两个
2.下列图形能一笔画成吗?为什么？
答：图（1）可以一笔画成，因为单数点个数为零
图（2）不可以画成，因为单数点只有一个
图（3）不可以画成，单数点个数大于两个
3.观察下列图形，哪个图形可以一笔画成？怎么画？
图（1）单数点个数为0，可以一笔画出
图（2）单数点个数为4个，不可以一笔画出
图（3）单数点2个，可以画出
【例题3】
下图是某地区所有街道的平面图，甲、乙两人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C.那么两人谁先到达？
思路导航：题中要求两人必须走遍所有街道，最后到达C.仔细观察，可以发现图中有两个单数点：A、C。这就是说：甲可以从A点出发，不重复地走遍所有街道，最后到达C.而B点是双数点，从B点出发的乙则不行。因此，甲所走的路程正好等于所有街道的总和，而乙所走的路程一定比这个总和多，所以甲最先到达C.
解：甲最先到达C.
练习3
1.下图是某新村小区主干道平面图。甲、乙两人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的主干道，最后到达C.问谁能最先到达C?
答：A 先到达，因为A是单数点，可以不重复
走遍所有街道。
2. 甲、乙两辆车同时以相同的速度分别从A、B出发，哪辆车能最先行驶完所有的路程？
答：A先到达，因为A是单数点。
3.一只蚂蚁分别从A点和B点出发，爬遍所有的小路。如果每次爬行的速度相同，那么从哪一点出发所用的时间少？
答：从A点出发用时最少
【例题4】
下图（图1）能否一笔画成，若不能，你能用什么方法把它改成能够一笔画成的图形？
（1）（2）
思路导航：此图共有9个点，其中5个点是双数点，4个点是单数点，由于超过两个单数点，因此不能一笔画成。要想改为一笔画成，关键在于减少单数点数目（把单数点的个数减少到0或2），所以只要在任意两个单数点间连上线，就可以一笔画，有时也可以将多余的两个单数点间的连线去掉，改成一笔画。解：图（1）有4个单数点，不能一笔画成。要改成一笔画成，如图（2）
练习4
1.将下图改成一笔画。
1. 2.
3.在一个小区中有一些路，每个圆柱表示邮筒（如下图），邮递员叔叔每次送信时，总是没法走过每一条路而又不重复，你知道为什么吗？如果请你给小区加一条路来解决这个问题，你准备把这条路加在哪儿？请你动手画一画。
【例题5】
邮递员叔叔要给一个居民小区送信（如图），怎么走才能少走重复路，使每天走的路尽可能短？
思路导航：图中一共有九个点，其中单数点有2个（点D和点F）,因此能一次不重复走过所有的路，但必须从这两个单数点中的一个出发，再回到另一个单数点。
解：邮递员叔叔只能从点D（或点F）出发，走过所有的路后，再回到点F(或点D) .
练习5
1.下图是以个小区的中心花园的平面图，你能一次不重复地走完所有的路吗？入口和出口应该设在哪儿呢？
答：可以从任一点出发。
2.园林工人在花园里浇花，怎样才能不重复地走遍每条小路？
答：
从A点出发，终止于B点。或从B点出发，终止于A点。
3. 下图是“儿童乐园”平面图，出、入口应分别设在哪里才能不重复地走遍每条路？可以怎么走？
D C
A
B
答案：从A点出发，终止于C点
或从C点出发，终止于A点
【拓展提高】
1、下面的图形能不能一笔画成？为什么？如果能，应该怎样画？
答：从A点出发，终止于B点；或从B点出发，终止于A点
2、给下面的图形添一条线，使它能够一笔画成。
3、小明和玲玲玩“过木桥”的游戏（如下图），他们谁能不走重复的路？
小明
玲玲
答：小明，因为他处于奇数点
4、在王大爷家的花园中有一些路（如下图），王大爷每次给花浇水时，总是没法走过每一条路而又不重复，你知道为什么吗？如果请你给花园加一条路来解决这个问题，你准备把这条路加在哪儿？请你动手画一画。
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离散数学图论单元测验题 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 1、在图G ＝
一笔画问题
第三节一笔画问题 从图形上的某一点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复地经过图形上所有部分，这样画成的图形叫做一笔画。 奇数点：与奇数条线段相连的点。 偶数点：与偶数条线段相连的点。 一笔画图形有如下三条规律： 1、凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成，画时可以从任意一个双数点为起点，最后仍回到这点，如图（1） 2、凡是图形中只有两个单数点的一定可以一笔画成，画时必须从一个单数点为起点，最后以另一个单数点为终点，如图（2） 3、凡是图形中单数点的个数多于两个时此图形不能一笔画成，如图（3） （1）（2）（3） 解题方略： 判断一幅图能否一笔画的关键1、一笔画的前提：必须是连通图；2、砍图中是否有奇点，有，有几个。
例题解析： 例1、判断下面图形哪些能一笔画？哪些不能一笔画？说明判断依据。 （1）（2）（3） 解析：图（1）能一笔画，因为它没有奇点，全为为偶点，画时从任意一个偶点起笔，终点又回到这一偶点。 图（1）能一笔画，因为它只有两个奇点，其它都为偶 点，画时从一个奇点起笔到另一个奇点终点。 图（1）不能一笔画，因为它只有4个奇点，其它都为 偶点。 例2、一笔画出下面每个图形。 D B A D E A B C E C 例2-1 例2-2 解析：例2-1图中有5个点，其中B、C成为奇点，只要以这两个点分别做一笔画起、终点，此图就能画出来。下
面是一种画法： D A E （起点）B C（终点） 例2-2图中有5个点，其中B、C为奇点，只要以这 两点分别做一笔画起、终点，此图就能画出来。下面 是一种画法： B→D→A→E→D→A→E→C→B→A→C 例3、先数一数下列各图形中奇结点的个数。如果有的图形不能一笔画成，那么，至少几笔才能画成？ 解析：图（a）中只有两个奇结点，可从A点出发一笔画出到B点结束，图（b）中有四个奇结点，不能一笔画成。 图（b）与图（a）比较，多出了折线CEFD。如果先一 笔画出图（a），再添一笔画出折线CEFD，就可得到图
小学奥数智巧趣题专题--一笔画问题(六年级)竞赛测试.doc
小学奥数智巧趣题专题 --一笔画问题（六年级）竞赛测试 姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________ 题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分 得分 一、xx题 （每空xx 分，共xx分） 【题文】判断下列图a、图b、图c能否一笔画． 【答案】图a和图c能，图b不能。 【解析】图a能，因为有2个奇点， 图b不能，因为图形不是连通的， 图c能，因为图中全是奇点。 【题文】邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？ 【答案】4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-3 【解析】不走重复路，一笔能画出路线图，图中有2个奇点，应该从奇点处出发，下面有一种参考路线：4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-3。 【题文】判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形． 评卷人得分
【答案】图(1)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，连结BD，或者去掉BF都可以使图形能一笔画出。 图(2)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉KL，或者BK都可以使图形能一笔画出。 图(3)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉AB可以使图形能一笔画出。 【解析】图(1)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，连结BD，或者去掉BF都可以使图形能一笔画出。 图(2)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉KL，或者BK都可以使图形能一笔画出。 图(3)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉AB可以使图形能一笔画出。 一个K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K笔画有2K个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点。如左下图中的B，C两个奇点在右下图中都变成了偶点。所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画。【题文】18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？ 【答案】 【解析】欧拉解决这个问题的方法非常巧妙．他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线．这样，一个实际问题就转化为一个几何图形(如下图)能否一笔画出的问题了。而图B中有4个奇点显然不能一笔画出． 【题文】右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个
浅谈一笔画问题
浅谈一笔画问题公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
浅谈一笔画问题 摘要：一笔画问题是一个几何问题，传统意义上的几何学是研究图形的形状大小等性质，而存在一些几何问题，它们所研究的对象与图形的形状和线段的长短没关系，而只和线段的数目和它们之间的连接关系有关，比如一笔画问题就是如此。一笔画问题是一个简单的数学游戏，即平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上都不重复例如汉字‘日’和‘中’字都可以一笔画的，而‘田’和‘目’则不能。 关键词:一笔画规律原理 早在18世纪，瑞士的着名数学家欧拉就找到了一笔画的规律。欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的．但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。一笔画问题是图论中一个着名的问题。一笔画问题起源于柯尼斯堡七桥问题。数学家欧拉在他1736年发表的论文《柯尼斯堡的七桥》中不仅解决了七桥问题，也提出了一笔画定理，顺带解决了一笔画问题。一般认为，欧拉的研究是图论的开端。与一笔画问题相对应的一个图论问题是哈密顿问题。 一、一笔画规律 数学家欧拉找到一笔画的规律是： （一）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。 （二）凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起，，另一个奇点终点。 （三）其他情况的图都不能一笔画出。（有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成）
比如附图：（a）为（1）情况，因此可以一笔画成；（b）（c）（d）则没有符合以上两种情况，所以不能一笔画成。 补充：相关名词的含义 ◎顶点与指数：设一个平面图形是由有限个点及有限条弧组成的，这些点称为图形的顶点，从任一顶点引出的该图形的弧的条数，称为这个顶点的指数。 ◎奇顶点：指数为奇数的顶点。 ◎偶顶点：指数为偶数的顶点。 二、一笔画原理 (一)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)； (二)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点； (三)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点； (四)奇点个数超过两个的图形不是一笔画 利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。因为图中A，B，C，D都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。 三、顺便补充两点： （一）一个图形的奇点数目一定是偶数 因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。如果一个图形中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总
图论考试
图论考试
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2
3 电子科技大学研究生试卷 （考试时间：至，共__2_小时） 课程名称图论及其应用教师学时60 学分 教学方式讲授考核日期_2012__年___月____日成绩 考核方式：（学生填写） 一、填空题（填表题每空1分，其余每题2分，共30分) 1．n 阶k 正则图G 的边数()m G =___ ___2 nk ； 2．3个顶点的不同构的简单图共有___4___个； 3．边数为m 的简单图G 的不同生成子图的个数有__2___m 个； 4. 图111(,)G n m =与图222(,)G n m =的积图12G G ?的边数为1221____n m n m +； 5. 在下图1G 中，点a 到点b 的最短路长度为__13__； 6. 设简单图G 的邻接矩阵为A ，且2311201 21111 13022102001202A ?? ? ? ?= ? ? ?? ? ，则图G 的边数 为 __6__； 学号姓名学院 ……………………密……………封……………线……………以…………… 4 5 6 6 4 1 1 2 7 2 4 3 a b G 1
4 7. 设G 是n 阶简单图，且不含完全子图3K ，则其边数一定不会超过 2___4n ?? ???? ； 8．3K 的生成树的棵数为__3__; 9. 任意图G 的点连通度()k G 、边连通度()G λ、最小度()G δ之间的关系为 __()()()____k G G G λδ≤≤； 10. 对下列图，试填下表（是??类图的打〝√ 〞，否则打〝?〞）。 ① ② ③ 能一笔画的图 Hamilton 图 偶图 可平面图 ① ? √ ? √ ② ? ? ? √ ③ ? √ √ √ 二、单项选择(每题2分，共10分) 1．下面命题正确的是(B ) 对于序列(7,5,4,3,3,2)，下列说法正确的是： (A) 是简单图的度序列； (B) 是非简单图的度序列; (C) 不是任意图的度序列; (D)是图的唯一度序列. 2．对于有向图，下列说法不正确的是(D) (A) 有向图D 中任意一顶点v 只能处于D 的某一个强连通分支中； (B) 有向图D 中顶点v 可能处于D 的不同的单向分支中; (C) 强连通图中的所有顶点必然处于强连通图的某一有向回路中; (D)有向连通图中顶点间的单向连通关系是等价关系。 3.下列无向图可能不是偶图的是( D )
一笔画问题知识点
例1. 用一笔画试着将下面的9个点连接起来 1.（单选题）一笔画是指________笔可以画完的问题？ A、1 B、2 C、无数 D、任意 2.（单选题）下面3个图形，哪个可以一笔画？ A、甲 B、乙 C、丙 D、甲和丙都可以 例2.判断下面的几个图形，哪个是可以一笔画完成的？
1.（单选题）下面的图形能不能用一根铁丝弯成？ A、能 B、不能 C、我不确定 D、至少要用两笔 2.（单选题）下面的图形能不能用一笔画完成？ A、能 B、不能 C、我不确定 D、至少要用两笔 例2. 判断下面的几个图形，哪个是可以一笔画完成的？
1.（单选题）下面的图形能不能用一笔画完成？ A、能 B、不能 C、我不确定 D、有些人能一笔画出 2.（单选题）下面的图形能不能用一笔画完成？ A、能 B、不能 C、我不确定 D、至少要用两笔
例4.判断下面的简单图形能不能一笔画成 1.（单选题）下面的图形能不能用一笔画完成？ A、能 B、不能 C、我不确定 D、有些人能一笔画出 2.（单选题）下面的图形________用一笔画完成。 A、能 B、不能 C、我不确定 D、至少要用两笔
例5.下面的图形至少除去哪些线可以成为一笔画 1.（单选题）下面的图形能不能用一笔画完成？ A、能 B、不能 C、我不确定 D、至少要用两笔 2.（单选题）下面的图形能不能用一笔画完成？ A、能 B、不能 C、我不确定 D、有些人能一笔画出
例6.下面是一个公园的平面图，设计一个合理的出入口，并且给出一种游玩线路图，要去走遍每一条路都不重复。 1.（单选题）下面的图形能不能用一笔画完成？ A、能 B、不能 C、不能确定 D、至少需要两笔 2.（单选题）下面的图形能不能用一笔画完成？ A、能 B、不能
新编二年级奥林匹克数学 一笔画问题习题
二年级一笔画问题习题及答案 1.下面的各个小图形都是由点和线组成的。请你仔细观察后回答： ①与一条线相连的有哪些点？ ②与二条线相连的有哪些点？ ③与三条线相连的有哪些点？ ④与四条线或四条以上的线相连的有哪些点？ 2.若把与奇数条线相连的点叫做奇点，把与偶数条线相连的点叫偶点，那么请你回答： ①有0个奇点（即全部是偶点）的图形有哪些？ ②有2个奇点的图形有哪些？ ③有4个或4个以上奇点的图形有哪些？
④连通图形有哪些？不连通图形有哪些？ 3.如果笔在纸上连续不断、又不重复地一笔画成的图形叫一笔画，自己动笔实际画画看，然后回答： ①哪些图形能够一笔画成？ ②哪些图形不能一笔画成？ 4.把以上各向联系起来看，进行归纳，找出规律然后回答： ①如果把各部分连结在一起的图形叫做连通图形，那么能一笔画出的图形必定是连通图形；而不是连通图形必定不能一笔画出。这句话说得对吗？ ②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图形一定可以一笔画出来（画时可以以任一点为起点，最后必能回到该点），这句话对吗？ ③只有两个奇点的连通图形也能一笔画出来，但要注意画时必须以一个奇点为起点，而以另一个奇点为终点，这句话对吗？ ④奇点个数超过两个的图形不能一笔画出来。这句话对吗？ 5.从画图过程的角度，进一步理解所发现的一些规律。 解答 1.解：见下图 ①与一条线相连的点有：（在图中画成黑点，下同。）
②与两条线相连的点有： ③与三条线相连的点有： ④与四条及四条以上的线相连的点有： 2.解：①有0个奇点（即全部是偶点）的图形是：（1）、（5）、（10）； ②有2个奇点的图形是： （2）、（3）、（6）、（7）；
5一笔画问题
第五讲一笔画问题 一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐.他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成（没有重复的笔划），但写到“田”字，试来试去也没有成功.下面是他写的字样.（见下图） 这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的图样.（见下图） 经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、（3）、（5）能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问题： 如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢？ 能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？
先从最简单的图形进行考察.一些平面图形是由点和线构成的.这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线.而且为了明显起见，图中所有线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了. 首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连；有的点与一条线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条线相连等等. 其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂，也就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线，而在于点和线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连.看来，这是需要仔细考察的.第一组（见下图） （1）两个点，一条线. 每个点都只与一条线相连. （2）三个点. 两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连. 第一组的两个图都能一笔画出来. （但注意第（2）个图必须从一个端点画起）第二组（见下图） （1）五个点，五条线. A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连. （2）六个点，七条线.（“日”字图）
一笔画问题
在行测考试中，图形推理中的一笔画问题，一直都是考生在考试中容易失分的题目。其实主要问题存在于几个方面。一、考生无法判断，什么样的图形考查的是一笔画;二、对一笔画图形的判断方法不了解。接下来，中公教育专家卢志喜会从这两个方面给大家揭开一笔画的神秘面纱。 一、什么样的图形是一笔画图形 定义：一笔画图形是一个图形从起点到终点可由一笔画成而中间没有间断，一笔画图形点可以重复，而线不可以重复。 一笔画图形具有两个比较明显的特点。①图形相异;②图形简单;③图形一部分。因此考生在复习图形推理时，除了要掌握相异图形常考的考点，点、线之外，还要掌握一笔画。在复习备考的过程中首先要掌握一些简单的一笔画图形。例如：长方形、正方形、三角形、五角星、圆。当出现这些基本图形，或者在简单图形上增减了部分线条时，有一定的敏感性。 二、如何判断一个图形是否是一笔画图形 方法一、奇偶点判断法 奇点：从一个点引出的线条数为奇数;偶点：从一点引出的线条数为偶数。 规律：⒈凡是奇点数为2或者0的图形，一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。(利用奇点数判断，图形必须是一部分，比如“回”，奇点数为0，但是不能一笔画) 2.其他情况的图都不能一笔画出。(有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成。) 利用奇偶点法判断下列几个图形是否为一笔画图形，非一笔画图形需几笔画成? 分析：图形1.奇点数为2，偶点为2，可以一笔画成。图2.奇点为0，偶点为3，可一笔画。图3.奇点为6，偶点为0，三笔可画成。图4.奇点为0，偶点为10，可一笔画。图5.奇点为4，偶点为5，可2笔画。图6.奇点为4，可2笔画。
奇偶点判断法规律适合一切一笔画图形。 方法二、区域连通法 规律：1、平面内区域可以构成两两连通的区域(表示图形没有单独的出头的线条)，且区域之间属于单连通，这样的图形可以一笔画。(单连通表示从一个区域到另一个区域只有唯一的路径，且经过的区域不能重复) 利用区域连通法，判断下列几个图形是否为一笔画图形? 分析：首先对图形进行区域划分，如下： 图1.区域1到区域2是单连通，可以一笔画。图2.区域1到区2，也是单连通(需要经过中间的三角形区域)，可以一笔画。图3.区域1到区域5，可以从区域1-3-5，也可以从区域1-2-4-5，不是单连通，不能一笔画。图4.区域1到2，需要通过区域3，且只有一条路径，可以一笔画。图5.区域1到4，可以从区域1-3-4，也可以从1-2-4，不是单连通，不能一笔画。图6.区域1到3，可以从区域1-3，也可以从1-2-3，不是单连通，不能一笔画。 通过上面的区域连通法判断图形是否能够一笔画，就简化了考生在考试的过程中数奇点和偶点的问题，这样就大大的节约了时间，也避免了出现漏数的问题，导致失分。但是连通法也存在一定的问题，就是考生在复习的过程中需要对单连通有比较深入的了解。 2、图形上若出现单独出头的线条数，可以将出头的线条无限延伸将区域进行划分，得
集合论图论 期中考试试题及答案
08信安专业离散数学期中考试试题 1.设A, B, C, D为4个集合. 已知A?B且C?D.证明: A∪C?B∪D; A∩C?B∩D . (15分) 2.化简以下公式: A∪((B―A)―B) (10分) 3.设R是非空集合A上的二元关系.证明:R∪R-1是包含R的 最小的对称的二元关系. (15分) 4.设A={1,2,…,20},R={
期中考试试题解答 1.证明: ?x, x∈A∪C x∈A∩C ?x∈A∨x∈C ?x∈A∧x∈C ?x∈B∨x∈D (A?B,C?D) ?x∈B∧x∈D (A?B,C?D) ?x∈B∪D ?x∈B∩D ∴A∪C?B∪D ∴A∩C?B∩D 2.解: A∪((B―A)―B) =A∪((B∩∽A)∩∽B) =A∪(∽A∩(B∩∽B)) =A∪(∽A∩φ) =A∪ф =A . 3.证明:首先证R∪R-1是对称关系. ?
一笔画问题及解决策略
一笔画问题及解决策略 一、问题提出 一笔画是一个大问题，为了更好的解决这个问题，我们从生活提出一笔画问题。我们先看一个公路检查员的问题：他为了检查几个城市之间的若干公路，希望在这些城市和公路组成的公路系统中找出一条路线，使他能不重复地恰好通过每条公路一次，而经过每个城市的次数不限。这就是拓扑学中的数学问题。 二、问题解决 （一）数学化 我们把这问题数学化，以点表示城市，以弧表示公路，这样构成的网络图就表示某个简单公路系统。 （二）点线图 用点线图表示四个不同的公路系统。如图所示： （三）一笔画的含义 一个图形由一笔构成叫一笔画。对于平面图形的一笔画与多笔画问题，通常的几何方法是无能为力的，因为一个图形能否一笔画，与图形的大小、形状等几何概念都没有关系，而是与图形中线段的数目及连接关系有关，我们可以随意地将图形拉伸、压缩或弯曲，甚至在保持端点不动的前提下，还可以将某些线段“搬家”，只要图形的整体结构不变，能否一笔画的性质也就不会改变。 （四）一笔画图形的判别 著名的哥尼斯堡七桥问题实质上就是一个一笔画问题。欧拉最终证明了这个图形是不能一笔画成的，并在关于七桥问题的报告中得到了任一网络图能否一笔画的判别法则。 1.必要条件 一个网络图是由有限个点和有限条曲线组成的平面图形，这些点和线分别称为网络的顶点和弧。如果从网络的一个顶点出发，一条弧连着一条弧地把所有的弧都画出，且每条弧都只画一次，而经过每个顶点的次数不限，就称该网络能一笔画。 当一个网络能一笔画时，只有两种情形：一是开放图形，只有起点和终点的指数为奇数，其余顶点的指数均为偶数；二是封闭图形，所有顶点的指数均为偶数。我们称指数为奇数的顶点为奇顶点，指数为偶数的顶点为偶顶点，那么当一个网络能一笔画时，奇顶点个数必为0或2，所以，连通且奇顶点的个数是0或2，是一个网络图能一笔画的必要条件。 （1）.凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。 （2）.凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。 （3）.其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。) 2.充分条件 在讨论一笔画问题的判别的充分条件前，先要证明一个引理：在任一网络图中决不能只有一个奇顶点。由于任一顶点的指数是指相交于这一顶点处的弧数，所以网络中所有顶点的
小学奥数：奇妙的一笔画.专项练习及答案解析
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法． 什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏． 我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点． 一笔画问题： (1)能一笔画出的图形必须是连通的图形； (2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点； (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 多笔画问题： 我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用n 笔画成． 模块一、判断奇偶点 【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇 点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？ J O I H G F E D C B A 【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 奇点： D H J O 偶点：A B C E F G I 【答案】奇点： D H J O 偶点：A B C E F G I 【例 2】 同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地 插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就 （填“能”或“不能”）完成任务. 例题精讲 知识点拨 4-1-5.奇妙的一笔画
2015电子科技大学_图论期末考试复习题
2015电子科技大学 图论考试复习题 关于图论中的图，以下叙述不正确的是 A ．图中点表示研究对象，边或有向边表示研究对象之间的特定关系。 B ．图论中的图，画边时长短曲直无所谓。 C ．图中的边表示研究对象，点表示研究对象之间的特定关系。 D ．图论中的图，可以改变点与点的相互位置，只要不改变点与点的连接关系。 一个图中最长的边一定不包含在最优生成树内。 下面哪个图形不与完全二分图K 3,3同构？ A ． B ． C ． D ． 有10条边的5顶单图必与K 5同构。 完全二分图K m ,n 的边数是 A ．m B ．n C ．m +n D ．mn 无向完全图K n 的边数为 A ．n B ．n 2 C ．n (n -1) D ．n (n -1)/2 若一个无向图有5个顶点，如果它的补图是连通图，那么这个无向图最多有 条边。 对于两个图，如果顶点数目相等，边数相等，次数相等的顶点数目也相等，则这两个图同构。 有15个顶的单图的边数最多是 A ．105 B ．210 C ．21 D ．45 图G 如右，则dacbeb A ．是G 中的一条道路 B ．是G 中的一条道路但不是行迹 C ．是G 中的一条行迹但不是轨道 D ．不是G 的一条道路 图G 如右，则befcdef A ．是G 的一个圈 B ．是G 的一条道路但不是行迹 C ．是G 的一条行迹但不是轨道 D ．是G 的一条轨道但不是圈
v1 36 7 图G如右图所示，则ω (G)= A．1 B．2 C．7 D．8 下列图形中与其补图同构的是 A．B．C．D． 求下图中顶u0到其余各顶点的最短轨长度。 u0v1=8，u0v2=1，u0v3=4，u0v4=2，u0v5=7，v1v2=7，v1v3=2，v1v6=4，v2v4=2，v2v7=3，v3v5=3，v3v6=6，v4v5=5，v4v7=1， v5v 6 =4，v 5 v7=3，v6v7=6， 请画出6阶3正则图。 请画出4个顶，3条边的所有非同构的无向简单图。 设图G={V(G)，E(G)}其中V ={ a1, a2, a3, a4, a5}，E(G)={(a1, a2)，(a2, a4)，(a3, a1)，(a4, a5)，(a5, a2)}，试给出G的图形表示并画出其补图的图形。 一个图的生成子图必是唯一的。 不同构的有2条边，4个顶的无向简单图的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 画出5个具有5个结点5条边的非同构的无向连通简单图。 u0到v1的最短轨长度为6，u0到v2的最短轨长度为1，u0 到v3的最短轨长度为4，u0到v4的最短轨长度为2，u0到v5的最短轨长度为6 ，u0到v6的最短轨长度为9，u0到v7的最短轨长度为3。
离散数学测验题——图论答案
离散数学测验题——图论 1. (40分)下图1为某市地图，其中11个结点表示该市的所有城镇，结点间的边代表在城镇间可能建造的铁路线，边上的数字代表修造该段铁路的花费。 图 1 (1)试问如何建造铁路使得总开销最小并可连接所有城镇？（分别利用Kruskal 算法和Prim算法求解，并写明求解过程。要求从a点开始。）（20分） a) Kruskal算法求最小生成树： 根据权值将各边由小到大排序后，根据Kruskal算法得到如下最小生成树的求解过程：
最小生成树的求解过程如下：
(2)若该市的城镇j 将修建一旅游景点，同时拉动i 和k 两地的经济，因此修造j 到i 和k 的直接铁路线，尽管花费很高但仍十分必要。请求出加入此限制条件后（即边ij和jk要被选入）图1的最小生成树，并写明求解过程。（20分） a) 利用Kruskal算法求包含边ij和边j k的最小生成树： 根据权值将除去边ij和边jk的其它边由小到大排序后，根据Kruskal算法（不能形成圈）得到 如下最小生成树的求解过程：
b) 利用Prime算法求包含边ik和边j k的最小生成树： 将已经添加到生成树的集合设为{i, j, k}，再根据Prime算法，逐步在已经添加至生成树的顶 点集与未添加到生成树的顶点集之间找具有最小权值的边添加到生成树中，求解过程如下： 条？请写明计算过程。
图2 此有向图的邻接矩阵为???? ??? ??=01100011 0101 1000A ，则根据矩阵乘法可知 ??????? ??=??????? ?????????? ? ?=011 2110010110110 01 1000110101100001100011010110002A ?????? ? ??=??????? ?????????? ??=?=2112012112110112 011211001011011001100011010110002 3A A A ?????? ? ??=??????? ?????????? ? ?=?=2332 12131233211221 12 01211211011201100011010110003 4A A A ，将4A 中各元素记为(4) ,i j a 则所有4长的路的条数即为4 A 中所有元素之和，即4 (4) ,,1 i j i j a =∑=32（条），其中长度为4的回路的条数是4A 的所有对角线元素之和，即9条。 （注：对邻接矩阵A 的k 次方（一般的矩阵乘法）后，k A 中的任一元素() ,k i j a 表示从v i 到v j 的长度为k 的路的条数。） 3.（20分）用Dijstra 算法求图3中结点v 1到其它所有结点的最短路径及距离，并填写下表。
二年级奥数.几何.一笔画问题(1)
一笔画问题 知识框架 如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。 能否一笔画成，先看是不是连通图形，不连通图形一定不能一笔画成。 连通图形，关键在于判别奇点、偶点的个数。 一、只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点。 二、只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点。 三、奇点超过两个，则不能一笔画。对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图形， 然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答。 例题精讲 【例1】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？ （1）（2）（3）（4） 【例2】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？ （1）（2）（3）（4） 【例3】下面的各个小图形都是由点和线组成的．请你仔细观察后回答：
①与一条线相连的有哪些点? ②与二条线相连的有哪些点? ③与三条线相连的有哪些点? ④与四条线或四条以上的线相连的有哪些点? 【例4】下面各图能否一笔画成？ （1）（2）（3）【例5】下面这几个字都能一笔写出来吗? 【例6】下面这几个字母都能一笔写出来吗? 【例7】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？
【例8】下图中，至少要画几笔才能画成？ 【随练1】德国有个城市叫哥尼斯堡．城中有条河，河中有个岛，河上架有七座桥，这些桥把陆地和小岛连接起来，这样就给人们提供了一个游玩的好去处(见下图)．俗话说，“人是万物 之灵”，他们就是在游玩时候想出了这样一个问题： 如果在陆地上可以随便走，而对每座桥只许通过一次，那么一个人要连续地走完这七座桥怎么个 走法? 好动脑筋的小朋友请先不要接着往下读，你也试一试，走一走． 【随练2】在我国著名数学家陈景润写的《数学趣谈》一书中，有下面的这样一道题，大意是说：在法国的首都巴黎有一条河，河中有两个小岛，那里的人们建了15座桥把两个小岛和 河岸连接起来，如下图所示，请你说一说，从任一岸出发，一次连续地通过所有的桥到 达另一岸，可能吗?(每座桥只能走一次) A O B C D 课堂检测
离散数学测验题图论部分
离散数学图论单元测验题 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 1、在图G ＝
四年级奥数一笔画问题
第十二讲一笔画问题 例2下图是国际奥委会的会标，你能一笔把它画出来吗 分析与解答 一个图能否一笔画出，关键取决于这个图中奇点的个数.通过观察可以发现，上图中所有的结点都是偶点，因此，这个图可以一笔画出.画时可以任一结点作为起点。 例3下图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问 两人谁能最先到达C 分析与解答 本题要求二人都必须走遍所有的街道最后到达C，而且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先到达C。容易知道，在题目的要求下，每个人所走路程都至少是所有街道路程的总和。仔细观察上图，可以发现图中有两个奇点：A和C.这就是说，此图可以以A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的街道，最后到达C；而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必定大于这个总和，这样甲先到达C。 例4（1）能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形 （2）能否用剪刀一次连续剪下右下图中六个三角形 【解析】： 上面两个图形都只有两个奇点（红色交点），都是一笔画图形，但用笔画和用剪刀剪，这两种操作是有区别的。 第一、用笔画，笔要经过图中的每一条线段，用剪刀剪只能剪图形内部线段，四周的边框是不能剪的； 第二，用笔画一条经过某个点的直线后，图形还是完整的，用剪刀沿直线经过某个点剪一刀后，这个图形会被剪成两段。因此在剪的过程中要注意技巧，可以分别准备好这样的两张纸片，在纸片 上画出对应的线段，让孩子在剪纸的操作中慢慢体验这一点。 这两个图形都可以按题目要求一次连续剪下。上面左边图形在剪的时候注意：可以从图形左边奇点开始先向右剪，遇到第一个交点后拐弯向上，再向右下，再向左剪，最后向下到第二个奇点结束。 例5 下图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出 分析与解答 这种应用题，表面看起来不易解决，事实上，只要认真分析，就可以发现：我们并不关心展室的大小以及路程的远近，关心的只是能否一次不重复地走遍所有的门，与七桥问题较为类似.因此，仿照七桥问题的解法，我们可以把每个展室看作一个结点，整个展厅的外部也看作一个点，两室之间有门相通，可以看作两点之间有边相连.这样，展厅的平面图就转化成
小学奥数著名问题之_一笔画问题习题集
一笔画问题（教师必备） 一、欧拉的一笔画原理是： (1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)； (2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点； (3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。 利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。因为图中A，B，C，D都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。 二、顺便补充两点： (1)一个图形的奇点数目一定是偶数。 因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。如果一个图形中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总数是奇数，这与前面的结论矛盾。所以一个图形的奇点数目一定是偶数。 (2)有K个奇点的图形要K÷2笔才能画成。 例如：下页左上图中的房子共有B，E，F，G，I，J六个奇点，所以不是一笔画。如果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条，那么这两个奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这样的连线，使图中的六个奇点变成两个，那么新图形就是一笔画了。将线段GF和BJ 去掉，剩下I和E两个奇点(见右下图)，这个图形是一笔画，再添上线段GF和BJ，共需三笔，即(6÷2)笔画成。 一个K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K笔画有2K个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点。如左下图中的B，C两个奇点在右下图中都变成了偶点。所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画。
四年级奥数第一讲 一笔画问题
第十二讲一笔画问题
例2下图是国际奥委会的会标，你能一笔把它画出来吗？ 分析与解答 一个图能否一笔画出，关键取决于这个图中奇点的个数.通过观察可以发现，上图中所有的结点都是偶点，因此，这个图可以一笔画出.画时可以任一结点作为起点。 例3下图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问 两人谁能最先到达C？ 分析与解答 本题要求二人都必须走遍所有的街道最后到达C，而且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先到达C。容易知道，在题目的要求下，每个人所走路程都至少是所有街道路程的总和。仔细观察上图，可以发现图中有两个奇点：A和C.这就是说，此图可以以A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的街道，最后到达C；而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必定大于这个总和，这样甲先到达C。 例4（1）能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？
（2）能否用剪刀一次连续剪下右下图中六个三角形？ 【解析】： 上面两个图形都只有两个奇点（红色交点），都是一笔画图形，但用笔画和用剪刀剪，这两种 操作是有区别的。 第一、用笔画，笔要经过图中的每一条线段，用剪刀剪只能剪图形内部线段，四周的边框是不 能剪的； 第二，用笔画一条经过某个点的直线后，图形还是完整的，用剪刀沿直线经过某个点剪一刀后，这个图形会被剪成两段。因此在剪的过程中要注意技巧，可以分别准备好这样的两张纸片，在纸片 上画出对应的线段，让孩子在剪纸的操作中慢慢体验这一点。 这两个图形都可以按题目要求一次连续剪下。上面左边图形在剪的时候注意：可以从图形左边奇点开始先向右剪，遇到第一个交点后拐弯向上，再向右下，再向左剪，最后向下到第二个奇点结束。 例5 下图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？ 分析与解答 这种应用题，表面看起来不易解决，事实上，只要认真分析，就可以发现：我们并不关心展室的大小以及路程的远近，关心的只是能否一次不重复地走遍所有的门，与七桥问题较为类似.因此，仿照七桥问题的解法，我们可以把每个展室看作一个结点，整个展厅的外部也看作一个点，两室之间有门相通，可以看作两点之间有边相连.这样，展厅的平面图就转化成了我们数学中的图，一个实际问题也就转化为这个图（如下图）能否一笔画成的问题了，即 能否从A出发，一笔画完此图，最后再回到A。