中考数学二模试题分类汇编——二次函数综合含答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1

2

x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；

（3）点P（4，6）．

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；

（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，

设P（t，﹣1

2

t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由

S△PAB=S△PAN+S△PBN=1

2

PN?AG+

1

2

PN?BM=

1

2

PN?OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数

的性质求解可得；

（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．

【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），

将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，

解得：a=﹣1

2

，

所以抛物线解析式为y=﹣1

2

（x﹣6）（x+2）=﹣

1

2

x2+2x+6；

（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

设直线AB 解析式为y=kx+b ，

将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：

6

60b k b =??

+=?

， 解得：16k b =-??=?

，

则直线AB 解析式为y=﹣x+6，

设P （t ，﹣

12

t 2

+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6），

∴PN=PM ﹣MN=﹣

12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣1

2

t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN?AG+1

2PN?BM =1

2

PN?（AG+BM ） =

1

2PN?OB =12×（﹣1

2t 2+3t ）×6 =﹣3

2t 2+9t

=﹣32（t ﹣3）2+272

，

∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值； （3）如图2，

∵PH ⊥OB 于H ， ∴∠DHB=∠AOB=90°， ∴DH ∥AO ， ∵OA=OB=6， ∴∠BDH=∠BAO=45°， ∵PE ∥x 轴、PD ⊥x 轴， ∴∠DPE=90°，

若△PDE 为等腰直角三角形， 则∠EDP=45°，

∴∠EDP 与∠BDH 互为对顶角，即点E 与点A 重合，

则当y=6时，﹣

12

x 2

+2x+6=6， 解得：x=0（舍）或x=4， 即点P （4，6）．

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.

2．如图所示，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)

(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

(2)记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.

【答案】(1)y=-22

4(2)4y x x x =-+=--+，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）

(2)m 、n 的值分别为 5，-5 【解析】

（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得： 4b+c-16=0，b+c-1="3" ， 解得：b="4" ， c=0．

所以抛物线的表达式为：2

4y x x =-+． y=-224(2)4y x x x =-+=--+，

所以 抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）． （2） 由题可知，E 、F 点坐标分别为（4-m ，n ），（m-4，n ）． 三角形POF 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，

三角形AOP的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，

四边形OAPF的面积= 三角形POF的面积+三角形AOP的面积=20，所以 4|n|=20， n=-5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以n<0）

又n=-2

m+4m，

所以2

m-4m-5=0，m=5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以m>0)故所求m、n的值分别为 5，-5．

3．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=1

3

x﹣

4

3

与x轴交于点A，经过点A的抛物线

y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=3

2

．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且

PE=3PF．求证：PE⊥PF；

（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当

PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．

【解析】

【分析】

（1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是x=3

2

列出关于a、c的方程组

求解即可；

（2）设P（3a，a），则PC=3a，PB=a，然后再证明∠FPC=∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可；

（3）设E（a，0），然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点

F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到

22x x x x Q P F E

++=，22

y y y y

Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】 （1）当y=0时，

14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=3

2

，得16120

3322a c a -+=??-?-=??

，

解得14

a c =??=-?，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；

（2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，

∴直线m 的解析式为y=

13

x ． ∵点P 是直线1上任意一点，

∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ． 又∵PE=3PF ， ∴

PC PB

PF PE

=． ∴∠FPC=∠EPB ． ∵∠CPE+∠EPB=90°， ∴∠FPC+∠CPE=90°， ∴FP ⊥PE ．

（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．

∵CF=3BE=18﹣3a ， ∴OF=20﹣3a ． ∴F （0，20﹣3a ）． ∵PEQF 为矩形，

∴

22x x x x Q P F E ++=，22y y y y

Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0， ∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．

将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）． ∴Q （﹣2，6）．

如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．

∵CF=3BE=3a ﹣18， ∴OF=3a ﹣20． ∴F （0，20﹣3a ）． ∵PEQF 为矩形，

∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y

Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0， ∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．

将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）． ∴Q （2，﹣6）．

综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．

4．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。 （1）求函数3的图像上所有“中国结”的坐标；

（2）求函数y=

k

x

（k≠0，k 为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标；

（3）若二次函数y=2222(32)(241)k k x k k x k k -++-++-（k 为常数）的图像与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图像与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？

【答案】（1）（0,2）；（2）当k=1时，对应“中国结”为（1,1）（－1，－1）；当k=－1时，对应“中国结”为（1，－1），（－1,1）；（3）6个. 【解析】

试题分析：（1）因为x 是整数，x≠0是一个无理数，所以x≠0不是

整数，所以x=0，y=2，据此求出函数x+2的图象上所有“中国结”的坐标即可． （2）首先判断出当k=1时，函数y=

k

x

（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；然后判断出当k≠1时，函数y=

k

x

（k≠0，k 为常数）的图象上最少有4个“中国结”，据此求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标即可．

（3）首先令（k 2﹣3k+2）x 2+（2k 2﹣4k+1）x+k 2﹣k=0，则[（k ﹣1）x+k][（k ﹣2）x+（k ﹣1）]=0，求出x 1、x 2的值是多少；然后根据x 1、x 2的值是整数，求出k 的值是多少；最后根据横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，判断出该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”即可．

试题解析：（1）∵x 是整数，x≠0是一个无理数， ∴x≠0

x+2不是整数， ∴x=0，y=2，

即函数x+2的图象上“中国结”的坐标是（0，2）．

（2）①当k=1时，函数y=

k

x

（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”： （1，1）、（﹣1、﹣1）；

②当k=﹣1时，函数y=k

x

（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”： （1，﹣1）、（﹣1，1）．

③当k≠±1时，函数y=

k

x

（k≠0，k 为常数）的图象上最少有4个“中国结”： （1，k ）、（﹣1，﹣k ）、（k ，1）、（﹣k ，﹣1），这与函数y=k

x

（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”矛盾， 综上可得，k=1时，函数y=k

x

（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）； k=﹣1时，函数y=k

x

（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，﹣1）、（﹣1、1）．

（3）令（k 2﹣3k+2）x 2+（2k 2﹣4k+1）x+k 2﹣k=0， 则[（k ﹣1）x+k][（k ﹣2）x+（k ﹣1）]=0，

∴121{12k x k

k x k =

--=

-

∴121221

11

x x k x x +=

=++， 整理，可得 x 1x 2+2x 2+1=0， ∴x 2（x 1+2）=﹣1， ∵x 1、x 2都是整数， ∴211{21x x =+=-或211{

21

x x =-+=

∴123{

1

x x =-=或121{

1

x x =-=-

①当123{1

x x =-=时，

∵

1

12k k -=-， ∴k=

32

； ②当121{1

x x =-=-时，

∵

11k

k

=--， ∴k=k ﹣1，无解； 综上，可得 k=

3

2

，x 1=﹣3，x 2=1， y=（k 2﹣3k+2）x 2+（2k 2﹣4k+1）x+k 2﹣k =[(

32)2﹣3×32+2]x 2+[2×（32）2﹣4×32+1]x+（32）2﹣32

=﹣14x 2﹣12x+34 ①当x=﹣2时，

y=﹣

14x 2﹣12x+34=﹣14×（﹣2）2﹣1

2×（﹣2）+34

=

34

②当x=﹣1时， y=﹣14x 2﹣12x+34

=﹣14×（﹣1）2﹣1

2×（﹣1）+34

=1

③当x=0时，y=

3

4

， 另外，该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中x 轴上的“中国结”有3个： （﹣2，0）、（﹣1、0）、（0，0）． 综上，可得

若二次函数y=（k 2﹣3k+2）x 2+（2k 2﹣4k+1）x+k 2﹣k （k 为常数）的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，

该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有6个“中国结”：（﹣3，0）、（﹣2，0）、（﹣1，0）（﹣1，1）、（0，0）、（1，0）． 考点：反比例函数综合题

5．我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是()2

y=ax bx a 0+≠。

（1）对于这样的抛物线： 当顶点坐标为（1，1）时，a= ；

当顶点坐标为（m ，m ），m≠0时，a 与m 之间的关系式是 ；

（2）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线()y=kx k 0≠上，请用含k 的代数式表示b ；

（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A 1，A 2，…，A n 在直线y=x 上，横坐标依次为1，2，…，n （n 为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x 轴的垂线，垂足记为B 1，B 2，B 3，…，B n ，以线段A n B n 为边向右作正方形A n B n C n D n ，若这组抛物线中有一条经过点D n ，求所有满足条件的正方形边长。

【答案】（1）－1；1a=m -（2）2b b =k 4a 2a ??

-?- ???

（3）3，6，9 【解析】

解：（1）－1；1

a=m

-

。 （2）∵过原点的抛物线顶点2b b 2a 4a ??

-- ??

?，在直线()y=kx k 0≠上，

∴2b b =k 4a 2a ??-?- ???

。 ∵b≠0，∴b=2k -。

（3）由（2）知，顶点在直线y=x 上，横坐标依次为1，2，…，n （n 为正整数，且n≤12）的抛物线为：()2

1y=x n n n -

-+，即21y=x 2x n

-+。 对于顶点在在直线y=x 上的一点A m （m ，m ）（m 为正整数，且m≤n ），依题意，作的正方形A m B m C m D m 边长为m ，点D m 坐标为（2 m ，m ）， 若点D m 在某一抛物线2

1y=x 2x n

-

+上，则 ()()2

1m=2m 22m n -

+，化简，得3m=n 4

。 ∵m ，n 为正整数，且m≤n≤12，∴n=4，8，12，m=3，6，9。 ∴所有满足条件的正方形边长为3，6，9。

（1）当顶点坐标为（1，1）时，由抛物线顶点坐标公式，有2

b

=12a

{4ac b

=14a --，即2b =12a

{a=1b =14a

-?--。 当顶点坐标为（m ，m ），m≠0时，()2

2

b =m 2am 12a

{=m a=4a m b

=m 4a

--?-?--。 （2）根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将抛物线顶点坐标2b b 2a 4a ??

-- ??

?，代入y=kx ，

化简即可用含k 的代数式表示b 。

由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m 的值和D 点坐标。

（3）将依题意，作的正方形A m B m C m D m 边长为m ，点D m 坐标为（2 m ，m ），将（2 m ，m ）代入抛物线2

1y=x 2x n

-

+求出m ，n 的关系，即可求解。

6．在平面直角坐标系xOy 中(如图)，已知抛物线y ＝x 2－2x ，其顶点为A ． (1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况； (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”

①试求抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”的坐标；

②平移抛物线y ＝x 2－2x ，使所得新抛物线的顶点B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线的表达式.

【答案】(l)抛物线y ＝x 2－2x 的开口向上，顶点A 的坐标是(1，－1)，抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的；(2)①(0，0)、(3，3)； ②新抛物线的表达式是y ＝(x ＋1)2－1. 【解析】 【分析】 （1）

10a =>，故该抛物线开口向上，顶点A 的坐标为()1,1-；

（2）①设抛物线“不动点”坐标为(),t t ，则22t t t =-，即可求解；②新抛物线顶点B 为“不动点”，则设点(),B m m ，则新抛物线的对称轴为：x m =，与x 轴的交点(),0C m ，四边形OABC 是梯形，则直线x m =在y 轴左侧，而点()1,1A -，点(),B m m ，则

1m =-，即可求解. 【详解】

(l)10a =>，

抛物线y ＝x 2－2x 的开口向上，顶点A 的坐标是(1，－1)，

抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的. (2)①设抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”坐标为(t ，t). 则t ＝t 2－2t ，解得t 1＝0，t 2＝3.

所以，抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”的坐标是(0，0)、(3，3). ②∵新抛物线的顶点B 是其“不动点”，∴设点B 的坐标为(m ，m) ∴新抛物线的对称轴为直线x ＝m ，与x 轴的交点为C(m ，0) ∵四边形OABC 是梯形， ∴直线x ＝m 在y 轴左侧. ∵BC 与OA 不平行 ∴OC ∥AB.

又∵点A 的坐标为(1，一1)，点B 的坐标为(m ，m)，

∴m ＝－1.

∴新抛物线是由抛物线y ＝x 2－2x 向左平移2个单位得到的， ∴新抛物线的表达式是y ＝(x ＋1)2－1. 【点睛】

本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解即可.

7．如图， 已知抛物线2

3

42

y ax x =+

+的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右侧）与y 轴交于C 点 ．

（1）求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；

（2）若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），则是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN=3时，求M 点的坐标 ．

【答案】（1）213

442

y x x =-

++，点A 的坐标为(-2，0)，点B 的坐标为(8，0)；（2）存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M 的坐标为(4-771)、(2，6)、(6，4)或7，71)． 【解析】 【分析】

（1） 由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a 值， 进而可得出抛物线的解析式， 再利用二次函数图象上点的坐标特征， 即可求出点A 、B 的坐标； （2） 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标， 由点B 、C 的坐标， 利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式， 假设存在， 设点P 的坐标为（x,213

-442

x x ++），过点P 作PD//y 轴， 交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x,1-

42x +），PD=-1

4

x 2+2x ，利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC 的面积关于x 的函数关系式， 再利用二次函数的性质即可解决最值问题；

（3） 设点M 的坐标为（m,213-

442m m ++），则点N 的坐标为（m,1

-42

m +），进而

可得出MN 2

124

m m =-

+，结合MN=3即可得出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程， 解之即可得出结论 ． 【详解】 （1）

抛物线2

3

42

y ax x =+

+的对称轴是直线3x =， 3

232a

∴-=，解得：14

a =-，

∴抛物线的解析式为213

442

y x x =-++．

当0y =时，213

4042

x x -++=，

解得：12x =-，28x =，

∴点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()8,0．

（2） 当0x =时，213

4442

y x x =-

++=， ∴点C 的坐标为()0,4．

设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠． 将()8,0B 、()0,4C 代入y kx b =+，

804k b b +=??

=?，解得：124

k b ?=-?

??=?， ∴直线BC 的解析式为1

42

y x =-

+． 假设存在， 设点P 的坐标为213,442x x x ??

-++ ??

?

，过点P 作//PD y 轴， 交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为1,42x x ??

-

+ ???

，如图所示 ． 2213114424224PD x x x x x ??

∴=-++--+=-+ ???，

()222111·8?28416224PBC S PD OB x x x x x ???∴=

=?-+=-+=--+ ???

． 10-<，

∴当4x =时，PBC ?的面积最大， 最大面积是 16 ． 08x <<，

∴存在点P ，使PBC ?的面积最大， 最大面积是 16 ．

（3） 设点M 的坐标为213,442m m m ??-

++ ???，则点N 的坐标为1,42m m ??-+ ???

， 2213114424224MN m m m m m ??

∴=-++--+=-+ ???

．

又

3MN =，

21

234

m m ∴-+=．

当08m <<时， 有2

12304

m m -

+-=， 解得：12m =，26m =，

∴点M 的坐标为()2,6或()6,4；

当0m <或8m >时， 有2

12304

m m -

++=， 解得：3427m =-，4427m =+，

∴点M 的坐标为(427-，71)-或(427+，71)--．

综上所述：M 点的坐标为(427-，71)-、()2,6、()6,4或(427+，

71)--．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质、 二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积， 解题的关键是： （1） 利用二次函数的性质求出a 的值； （2） 根据三角形的面积公式找出关于x 的函数关系式； （3） 根据MN 的长度， 找出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程 ．

8．复习课中，教师给出关于x 的函数

（k 是实数）.

教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.

学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：

①存在函数，其图像经过（1,0）点； ②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；

③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；

④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；

教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.

【答案】①真，②假，③假，④真，理由和所用的数学方法见解析.

【解析】

试题分析：根据方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想对各结论进行判断.

试题解析：①真，②假，③假，④真.理由如下：

①将（1,0）代入，得，解得.∴存在函数，其图像经过（1,0）点.

∴结论①为真.

②举反例如，当时，函数的图象与坐标轴只有两个不同的交点.∴结论②为假.

③∵当时，二次函数（k是实数）的对称轴为

，

∴可举反例如，当时，二次函数为，

当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.

∴结论③为假.

④∵当时，二次函数的最值为

，

∴当时，有最小值，最小值为负；当时，有最大值，最大值为正.

∴结论④为真.

解决问题时所用的数学方法有方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想

考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.二次函数的性质；3.方程思想、特殊元素法、反证思想和分类思想的应用.

9．已知抛物线27

y x3x

4

=--的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．

（1）求点A、B、C、D的坐标；

（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）取点E（

3

4

，0）和点F（0，），直线l经过E、F两点，点G是线段BD的中

点．

①点G是否在直线l上，请说明理由；

②在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1） D（3

2

，﹣4）

（2） P（0，7

4

）或（0，

1

7

）

（3）详见解析

【解析】

【分析】

（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出A、B的坐标，令x=0求出点C的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D的坐标．

（2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长，再分OA和OA是对应边，OA和OC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，从而得解．

（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l的解析式，再利用中点公式求出点G的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可．②设抛物线的对称轴与x轴交点为H，求出OE、OF、HD、HB的长，然后求出△OEF和△HDB相似，根据相似三角形对应角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，从而得到直线l是线段BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D关于直线l的对称点就是B，从而判断出点M就是直线DE与抛物线的交点．再设直线DE的解析式为y=mx+n，利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M．

【详解】

解：（1）在2

7y x 3x 4=--中，令y=0，则2

7x 3x 04

--=，整理得，4x 2﹣12x ﹣7=0， 解得x 1=12-

，x 2=72．∴A （12-，0），B （7

2

，0）． 在2

7y x 3x 4=--

中，令x=0，则y=74-．∴C （0，7

4

-）． ∵()227413b 334ac b 442a 2124a 41??

??--- ?--??-=-===-??，，∴顶点D （32

，﹣4）． （2）在y 轴正半轴上存在符合条件的点P ． 设点P 的坐标为（0，y ），

∵A （12-

，0），C （0，74-），∴OA=12，OC=7

4

，OP=y ， ①若OA 和OA 是对应边，则△AOP ∽△AOC ，∴

OP OA OC OA =．∴y=OC=7

4

，此时点P （0，7

4

）． ②若OA 和OC 是对应边，则△POA ∽△AOC ，∴OP OA

OA OC

=，即1y 21724

=．

解得y=17，此时点P （0，1

7

）．

综上所述，符合条件的点P 有两个，P （0，74）或（0，1

7

）． （3）①设直线l 的解析式为y=kx+b （k≠0），

∵直线l 经过点E （32-

，0）和点F （0，3

4

-）， ∴3k b 023b 4?-+=????=-??，解得1k 23b 4?

=-????=-

??

，

∴直线l 的解析式为13

y x 24

=--． ∵B （

72，0），D （3

2，﹣4）， ∴[]17

35104222

2

22+=+-=-（）

，（），∴线段BD 的中点G 的坐标为（52

，﹣2）．

当x=

52时，153

y 2224

=-?-=-，∴点G 在直线l 上． ②在抛物线上存在符合条件的点M ．

设抛物线的对称轴与x 轴交点为H ，则点H 的坐标为（3

2

，0）， ∵E （32-，0）、F （0，34-），B （72，0）、D （3

2

，﹣4）， ∴OE=32，OF=72，HD=4，HB=72﹣3

2

=2． ∵

，∠OEF=∠HDB ，

∴△OEF ∽△HDB ．∴∠OFE=∠HBD ． ∵∠OEF+∠OFE=90°，∴∠OEF+∠HBD=90°． ∴∠EGB=180°﹣（∠OEF+∠HBD ） =180°﹣90°=90°，

∴直线l 是线段BD 的垂直平分线． ∴点D 关于直线l 的对称点就是点B ． ∴点M 就是直线DE 与抛物线的交点． 设直线DE 的解析式为y=mx+n ， ∵D （

32，﹣4），E （3

2

-，0）， ∴

，解得

．

∴直线DE 的解析式为

．

联立，解得，．

∴符合条件的点M 有两个，是（

3

2

，﹣4）或（，）．

10．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （

0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；

（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．

【答案】（1）2

23y x x =--；（2）P （1，0）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；

（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．

试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2

y ax bx c

=++中，得：0{9303a b c a b c c -+=++==-，解得：1

{23

a b c ==-=-，故抛物线的解析式：2

23y x x =--．

（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2b

a

-

=1，故P （1，0）； （3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2b

a

-

=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C

（0，﹣3），则：

2MA =24m +，2MC =2

(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；

①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1； ②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6±；

③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-； 当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；

综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，6）（1，6-）（1，﹣1）（1，0）．

考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．