2017年第22届华杯赛(小高组)决赛模拟试题(1)-T版综述

2017年第22届华杯赛决赛模拟试题（1）

（小学高年级组）

（时间：90分钟，满分：150分）

一、填空题。（每小题10分，共80分）

1.2016年1月24日，“华罗庚金杯中外少年数学精英趣味对抗赛”在美国开赛，2016年7月18日，“华罗庚金杯少年数学邀请赛30周年纪念大会”召开，已知2016年1月24日是星期日，2016年7月18日是星期 。

【难度】★★

【考点】周期问题

【答案】一

【解析】注意2016年是闰年。1月25日至1月31日共31-25+1=7（天）；2月至6月共29+31+30+31+30=151（天）；7月1日至7月18日共18天。故20166年1月25至7月18日共7+151+18=176（天）。176÷7=25……1，故2016年1月24日之后第176天为星期一。

2.计算：=??????-÷??? ??+???????

???? ??--15412123222

11%2532394475.0 。 【难度】★★

【考点】计算 【答案】9

2 【解析】原式 = ??

????--÷??? ??+??????????? ??

--+-15412123212124196394443 = ??? ??--÷+???? ???-15412

5351419743 = ??? ??-????? ?

?

-1543241973 =

15

641920?? = 92 3.如图，将侧面积是314平方厘米的圆柱体，切拼成一个近似长方体，表面积比原来增加 厘米。（π取3.14）

【难度】★★

【考点】几何

【答案】100

【解析】设圆柱体高为h,底面积的半径为r.则2πrh=314,rh=50.增加面积为2rh=100（平方厘米）。

4.仅使用加、减、乘、除、括弧，可由4个4运算得到3。例如（4 + 4 + 4）÷4 = 3。请你另给一种运算算式。

。

【难度】★★

【考点】巧填运算符号

【答案】（4×4 - 4）÷4 = 3

【解析】三个4很容易得到3，即4-4÷4=3.将除以4看成乘以1/4，利用乘法分配率可将3个4变成4个4，即4-4÷4=（4×4-4）除以4.

5.将自然数从1开始，按图所表示的规律排列。规定图中第m行第n列的位置记作（m，n），如自然数8的位置是（2，3），则自然数2016的位置是。

【难度】★★★

【考点】数列与数表

【答案】（1，65）

【解析】第1斜行有1个数：1；第2斜行有2个数：2；……；第k斜行有k个数；

前k行共有1 + 2 + 3 + … + k =

()

2

1

+

k

k

（个）数；前65斜行共有

2

64

63?

= 2016（个）数；

其中最大的2016位于斜行最上方，位置是（1，65）。

6.三个连续自然数，从小到大分别是7，11，13的倍数，这三个数的和最小为。

【难度】★★★★

【考点】余数问题

【答案】2376

【解析】设三个数中最大为13N，则三个连续自然数是13N－2，13N－1，且13N＝7m+2＝11n＋1. （1）对于13N＝7m＋2，N＝5＋7k；

（2）对于13×（5+7k）＝11n＋1，

65+13×7k＝13 ×7k=12n+1，65+11×8k+3k=11n+1，10+3k=11×(n-8k-5)+1,

3k=11 ×(n-8k-7)-9,k=8+11m,N=5+7k=5+7×（8+11m）=7×11m+61.

所以，13N=13×61+7×11×13m=793+7×11×13m.

这三个数的和最小为791 + 792 + 793 = 2376。

7.由几个相同的小正方体搭成的几何体的视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数至多

是个。

【难度】★★★

【考点】立体空间

【答案】10

【解析】该几何体共三层。下层至多6个小正方体，中层至多三个，上层恰为1个。故搭成这个几何体的小正方体的个数至多是10个。

8.如图，一个正方形街道网络示意图，4名同学的居住地点在图中用黑点表示，图中每条小街道的长度相同，他们4人要沿着街道走到某一个十字路口集合。存在个集合地点，使得4人所走的路程之和最小。

【难度】★★★

【考点】最短路线

【答案】16

【解析】4名同学集合的过程即水平方向向上到达同一列，竖直方向向上到达同一行.水平方向上看，应集合与C 点所在列与D点所在列（含）；竖直方向上看，应集合于B点所在行与C点所在行之间（含）.上述区域中，共有4×4＝16（个）十字路口。

二、简答题。（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）

9.有一个1000×2016的方格表，在方格表的左下角方格中方有一枚棋子，甲、乙轮流移动棋子，两人每次可将棋子向右移动任意多格或者向下移动任意多格（不允许移出方格表，也不允许不移动）。如果是甲先移动，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？说明理由

【难度】★★★★

【考点】游戏策略

【答案】甲必胜。

【解析】甲有必胜策略。

甲的必胜策略如下，第一步向上移动1016步；

然后甲一直按照如下策略移动：若乙向上移动n步，则甲向左移动n步，则甲向右移动m步；则甲向上移动m布；

必胜理由如下：1000×2016的方格表，从左下角方格开始移动，当且仅当一共向右移动999步且向上移动2015步后，接下来的移动者无法移动棋子，输掉比赛。故甲向上移动2015 – 999 = 1016步后，还可以向右移动99步，向上移动999步。接下来，按照甲选择的移动策略，每次乙、甲移动后，还可以向右、向上移动的步数始终减少量相同。经过若干次的移动后，还可以向右、向上移动的步数将同时变为0，且此时轮到乙移动棋子，由于乙已无法移动棋子，故乙输掉比赛，甲胜。

10.如图，左图是一个长为24厘米、宽为3厘米的长方形和一个正方形，长方形从正方形的左边平移到右边，右图是平移过程中它们重叠部分面积与时间的部分关系图。

（1）长方形和正方形的重叠部分面积可以是40平方厘米吗？如果可以，此时长方形平移了多长时间？如果不可以，请说明理由。

（2）将上一问中间重叠部分面积改为30平方厘米，结果又如何？

【难度】★★★

【考点】图形操作

【答案】不可以；可以。

【解析】（1）长方形的平均移速尾12÷2÷3 = 2(厘米/秒)；6秒时，重叠面积达到最大值，尾2×6×3 = 36（平方厘米）。故重叠面积不可以为40平方厘米。

（2）重叠面积尚未达到最大值之前，可以为30平方厘米，此时长方形平移了30÷3÷2 = 5（秒）

重叠面积达到了最大值之后，当长方形逐步离开正方形时，也可以为30平方厘米，此时长方形平移了[24 + (36÷3 - 30÷3)]÷2 = 13（秒）

11.在下面四个括号中填入数字使得下述陈述正确：“这句话里有（）个数大于1，有（）个数大于2，有（）个数大于3，有（）个数大于4”。问：有多少种填法？并给出每种填法。

【难度】★★★★

【考点】数论计数

【答案】2种

【解析】有两种解法。

设这句话里有a 个数大于1，有b 个数大于2，有c 个数大于3，有d 个数大于4；

注意1，2，3，4中有3个数大于1，有两个数大于2，有1个数大于3，有0个数大于4；故至少有4个数大于1，至多还有3个数大于4，

即???????≥≥≥≥≥≥≥≥0

31

52647d c b a ；b 是大于1的数，a 是大于3的数，调整左边不等式组；

所以，???????≥≥≥≥≥≥≥≥0

32

53657d c b a ；C 是大于1的数，b 是大于2的数，a 是大于4的数，调整左边不等式组；

所以，???????≥≥≥≥≥≥≥≥1

3254667d c b a ；C 是大于1的数，b 是大于3的数，a 是大于5的数，调整左边不等式组； 所以，???????≥≥≥≥≥≥≥≥1

3354667d c b a ；C 是大于2的数，b 是大于3的数，a 是大于5的数，调整左边不等式组； 所以，???????≥≥≥≥≥≥≥≥13355667d c b a ； C 不可能是5，得到：???????=≥≥≥≥=234567d c b a ，b 不可能是6，得到：???????=≥≥==2

3

457d c b a ；

经检验，a = 7，b = 5，c = 3或4，d = 2符合题意；

所以，共有2种填法可使得该句话正确的。

12.按照如下的方式构成一张三角形表：如图所示，第一行依次写下数1，2，3，4，5，在第一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数的和，得到上面的一行（比下面的一行少一个数），依次类推，最后一行只有一个数，那么最后一行的数位48。若第一行依次写上数1，2，3，4，…，20，则最后一行的数为多少？

【难度】★★★★

【考点】数列与数表

【答案】5502024

【解析】最后一行的数为5502024

由图可知，若某一行是等差数列，则其上面的第一行也是等差数列，从而上面的每一行均为等差数列；

由图可知，若某行是等差数列，则将该等差数列去掉首尾两项之后发每一项乘以4，即为该行上面的第二行；

1，2，3，4，……，20上面的第一行为3，5，7，9，……39，共19个数，其正中间的一个数为（3+39）÷2=21.再往上两行，该行共17个数，正中间为21×4；再往上两行，该行共15个数，正中间为21×42；再往上两行，该行共13个数，正中间为21×43；……；再往上两行至最后一行，该行共一个数，为21×49= 5505024。

三、详答题。（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）

13.有A、B两个港口，A在B上游120千米处，甲乙两船分别从A、B同时出发，都向上航行。甲船出发时，有一物品掉落水中浮在水面，随水漂流往下游，甲船航行一段时间后调头加快速度追落水的物品，当甲船追上落水物品时，恰好和乙船相遇。已知甲船调头前的速度等于水速，调头后的速度为水速的4倍。乙船航行速度始终为水速的2倍。当甲船调头时，甲船已航行多少千米？

【难度】★★★★

【考点】行船问题

【答案】24千米

【解析】设水速为v，则掉头前，甲船与掉落物品的分开速度为v + v = 2v；掉头后，甲船与掉落物品的靠近速度为4v – v = 3v；

又两者分开的距离，即为两者靠近的距离；故两者分开的时间：两者靠近的时间 = 3：2，分别设为3t，2t，则掉落物品与乙船的路程之和尾v.5t + 2v.5t = 120，所以v.t = 8（千米）

当甲船掉头时，甲船已航行v.3t = 24（千米）

14.能否从连续自然数0，1，2，3，…，17，18中选出10个不同的数填入如图的圆圈中，使得由线段直接连接的两个相邻圆圈中的数之差（大数减小数）互不相同？如果能，有多少种不同的填法？如果不能，请说明理由。

【难度】★★★★

【考点】数阵图

【答案】不能

【解析】假设可以；

因为0，1，2，3，…,17,18中任意两数只差只能十1，2，3，…17，18；图中18条线段需要18个互不相同的差；

所以这18个差恰好为1，2，3，…17，18。这18个差的和为1 + 2 + 3 + … + 17 + 18 = 171；

另一方面，由于每个圆圈由偶数线段连接，圆圈中的数均做了偶数次差，故所有差之和为偶数；

171为奇数，奇数≠偶数，矛盾，所以假设不成立，不能选出符合条件的数。