数字信号

目录

1课程描述 (2)

2设计原理 (2)

2.1滤波器分类 (2)

2.2窗函数的设计原理 (2)

2.3典型窗函数的介绍 (3)

2.4用窗函数设计FIR滤波器的步骤 (3)

2.5窗函数法的MATLAB设计函数简介 (5)

3设计内容 (5)

3.1设计题目 (5)

3.2用Matlab编程 (6)

3.3设计结果 (6)

3.4设计结果分析 (7)

4总结 (8)

5参考文献 (8)

1 课题描述

数字滤波器是数字信号处理的重要工具之一，它通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤出某些频率成分的数字器件或程序，而数字滤波器处理精度高，体积小，稳定，重量轻，灵活，不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊功能。故本课题使用MATLAB 信号处理箱和运用窗函数设计数字滤波器。 2 设计原理

2.1 滤波器的分类

（1）从功能上分：低通滤波器，高通滤波器，带通滤波器，带阻滤波器。 （2）从实现方法上分：FIR 滤波器,IIR 滤波器。

（3）从设计方法上分：Chebyshev(切比雪夫)滤波器，Butterworth （巴特沃斯)滤波器，Ellipse(椭圆)滤波器，Bessel （贝塞尔）滤波器。 （4）从处理信号上分：经典滤波器，现代滤波器。 2.2 窗函数的设计原理

设希望逼近的滤波器频率响应函数为H(w)，其单位脉冲响应是()n h d .

∑∞

-∞

=-=

n jwn d

jw

d e n h

e H )()(

由已知的)(jw d e H 求出)(n h d ，经过Z 变换可以得到滤波器的系统函数。通常

以理想滤波器作为)(jw d e H ，其幅频特性逐段恒定，在边界频率处有不连续的点，因而)(n h d 是无限时宽的，且是非因果序列的某为了构造一个长度为N 的线性相位滤波器，只有将)(n h d 截取一段，设截取的那段用h(n)表示即：

h(n)=)()(n R n h n d

式中)(n R n 是一个矩形序列，长度为N 。我们实际设计的滤波器的单位脉冲响应为h(n)。长度为N ，其系统函数为H(Z)=∑-=-1

0)(N n n z n h 。这样用一个有限长的序列

h(n)去代替)(n h d ，肯定会引起误差，表现在频域就是通常所说的吉布斯效应。该效应引起过度加宽以及通带和阻带内的波动，尤其使阻带的衰减小，从而满足不了技术上的要求。吉布斯效应是由于将)(n h d 直接截断引起的，称为截断效应，窗函数法设计FIE 滤波器就是构造一个窗函数w(n)来减少截断效应。

dw

e e H n h jwn jw wc

wc

d d )(21

)(?

-=π

2.3典型窗函数的介绍

（1）矩形窗：)()(n R n w N R = 幅度函数 )

2/sin()

2/sin()(w wN w w Rg =

（2）三角窗：12)(-=

N n n w B )1(2

1

0-≤≤N n 122)(--

=N n n w B 1)1(2

1

-≤-N n N

幅度函数22]_

2/sin())4/sin([2e w wN N w Bg =

频谱函数 w N j jw

B e w wN N e W 2

1

2])

2/sin()4/sin([

2)(--=

（3）汉宁窗：)()]1

2cos(

1[5.0)(n R N n

n W N Hn --=π w N i Hng Hn iw Hn e

w W n w FT e W 2

1

)()]([)(--==

)]2()2([25.0)(5.0)( N 1-N 1N N

w W N w W w W n W Rg Rg Rg Hng π

π-++

+=≈≥时，当（4）哈明窗： )()]1

2cos(

46.054.0[)(n R N n

n w N Hm --=π 频谱函数 )(23.023.0-)(54.0)()1

2()1

2(-+

--

-=N w j R N w j R iw

W jw

Hm e

W e

W e W e W π

π）（

幅度函数 )2(23.0)2(23.0)(54.0)(N

w W N w W w W w W Rg Rg Rg Hmg ππ++-

+≈ （5）贝塞尔窗： 10)

()()

(00-≤≤=

N n I I n W k αβ 2

11

21）（

---=N n αβ 210])2

(!1[1)(k k k I β

β∑∞

=+=

幅度函数 ∑-=+=)

1(1

)cos()(2

)0()(N n k

k kg wn n w w w W

2.4用窗函数设计FIR 滤波器的步骤

用用窗函数设计FIR 滤波器的步骤如下：

（1）根据对阻带衰减以及过渡带的指标要求，选择窗函数的类型，并估计窗口长度N 。先按照阻带衰减函数类型。原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量的选择主瓣窄的窗函数。再根据过渡带的宽度估计窗口长度。带球滤波器的过渡带宽t B 近似等于窗函数主瓣宽度，且近似与窗口长度N 成反比,

Bt A N /≈,A 取决于窗口类型，例如，矩形窗的π4=A ，哈明窗的π8=A 等，参数A 的近似和精确取值参考表所示。

(2)构造希望逼近的频率响应函数()jw e d H 即:

()()2

/1--j dg j d e e ）（N H H ωωω=

所谓的“标准窗函数法”，就是选择()jw e d H 为线性相位理想滤波器（理想低通，理想高通，理想带通，理想带阻）。以低通滤波器为例，()ωdg H 应满足：

()1w dg =H c ωω≤||

()0dg =ωH

πωω<<||c

理想滤波器的截止频率c ω近似为最终设计的FIRDF 的过载的中心频率点，幅度函数衰减一半。所以如果设计指标给定带通边界频率和阻带边界频率阻带边界频率p ω和n ω，一般取：

2

s

p c ωωω+=

(3) 计算)(n h d ，如果给出多的待求滤波器的频响函数()jw e d H ，那么单位脉冲响应应用下式求出:

()()ωπ

ωπ

π

ωd e e 21

n h n

j -

j d

d ?=

H

如果()jw e d H 较复杂，或者不能用封闭公式表示，这不能够用上式求出)(n h d 。我

们可以对@@从0=ω到πω2=采样M 点，采样值为()???? ?

?=k 2

j d d e k M M H H π进行M 点()IFFT IDFT ,得到：

()()[]M M M H IDFT k n h d d =

根据频域采样理论，()n h d M 与()n d h 应满足如下关系：

()()()∑∞

∞

=+=

-r M

d

d n r n h n h R M M

因此，如果M 值选的较大，可以保证窗口内()n h d M 有效逼近()n d h 。 (4)加窗得到设计结果：)()()(n w n h n h d =. 2.5窗函数法的MATLAB 设计函数简介

(5)可以调用MA TLAB 工具箱函数fir1实现本实验所要求的线性相位FIR-DF 的设计，调用一维快速傅立叶变换函数fft 来计算滤波器的频率响应函数。

(6)fir1是用窗函数法设计线性相位FIRDF 的工具箱函数，调用格式如下： (7)hn=fir1(N, wc, ‘ftype’, window)

(8)fir1实现线性相位FIR 滤波器的标准窗函数法设计。

(9)hn=fir1(N,wc)可得到6 dB 截止频率为wc 的N 阶(单位脉冲响应h(n)长度为N+1)FIR 低通滤波器，默认(缺省参数windows)选用hammiing 窗。其单位脉冲响应h(n)满足线性相位条件：h(n)=h(N-1-n)

(10)其中wc 为对π归一化的数字频率，0≤wc ≤1。 (11)当wc=［wc1, wc2］时，得到的是带通滤波器。 (12)hn=fir1(N,wc,’ftype’)可设计高通和带阻滤波器。 (13)当ftype=high 时，设计高通FIR 滤波器； (14)当ftype=stop 时，设计带阻FIR 滤波器。

(15)应当注意，在设计高通和带阻滤波器时，阶数N 只能取偶数(h(n)长度N+1为奇数)。不过，当用户将N 设置为奇数时，fir1会自动对N 加1。

(16)hn=fir1(N,wc,window)可以指定窗函数向量window 。如果缺省window 参数，则fir1默认为hamming 窗。可用的其他窗函数有Boxcar, Hanning, Bartlett, Blackman, Kaiser 和Chebwin 窗。例如：

(17) hn=fir1(N,wc,bartlett(N+1))使用Bartlett 窗设计； (18) hn=fir1(N,wc,chebwin(N+1,R))使用Chebyshev 窗设计。

(19)hn=fir1(N,wc,’ftype’,window)通过选择wc、 ftype和window参数(含义同上)，可以设计各种加窗滤波器。

3.设计内容

3.1设计题目

设计一个线性相位FIR低通滤波器，技术指标如下：采样频率为100Hz，通带截至频率为3 Hz，阻带截止频率为5 Hz，通带内最大衰减不高于0.5 dB，阻带最小衰减不小于50 dB。使用海明窗函数。

3.2用MATLAB编程

Fs=100; fp=3;fs=5;

wp = 2*pi*fp/Fs; ws = 2*pi*fs/Fs;

Bt= ws - wp; %计算过渡带宽度

N = ceil(6.6*pi/Bt)+1 ; %计算窗所需阶数

wdham = (hamming(N+1));

Wc=(wp+ws)/2/pi; %滤波器截止频率

b=fir1(N,Wc,wdham);

[H,w]=freqz(b,1); %计算频率响应

y=20*log10(abs(H));

figure(1)

n=0:1:N;

impz(b,1,n); %滤波器的单位脉冲响应

figure(2)

plot(w*Fs/(2*pi),y);title('幅度响应（单位： dB）');

grid

axis([0 50 -100 10]);

xlabel('频率（单位：Hz）'); ylabel('分贝');

set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,3,5,40]);%横坐标刻度

set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-80,-70,-60,-50,0]);%纵坐标刻度3.3实验结果

3.4设计结果分析

从上图中可以看出其能够满足设计要求，通带截至频率为3 Hz ，阻带截止频率

20

40

60

80100120

140

160

n (samples)

A m p l i t u d e

Impulse Response

035

40

-80

-70-60-500

幅度响应（单位： dB ）

频率（单位：Hz ）

分贝

为5 Hz，衰减满足要求，阶数为166，可见海明窗能量更加集中在主瓣中，是一种高效窗函数，

4总结

这次实验，我懂得了如何使用窗函数设计一个滤波器，选择窗函数的类型，是要根据对阻带衰减及过渡带的指标要求为原则的，掌握了用窗函数设计滤波器的原理及步骤，也掌握了如何用Matlab工具函数设计滤波器，对课本有了更深的理解，这次课程设计又是一个学习的机会，通过查资料，看课本，编写程序，运行程序都有一个很大的收获，让我有一个较大提高，这是理论与实践结合的机会，在实践过程中，出现问题在所难免，这就需要我们学会解决问题，让自己有更大进步。

5 参考文献

数字信号处理高西全丁玉美著西安电子科技大学出版社

MATLAB与数字信号处理实验林川著武汉大学出版社

MATLAB实用教程郑阿奇编电子工业出版社

MATLAB数字信号处理与应用张德丰著清华大学出版社

MATLAB在数字信号处理中的应用(第2版) 薛年喜