《电磁场与电磁波》(第四版)习题集：第3章 静态电磁场及其边值问题的解

第3章 静态电磁场及其边值问题的解

静态电磁场是电磁场的一种特珠形式。当场源（电荷、电流）不随时间变化时，所激发的电场、磁场也不随时间变化，称为静态电磁场。静止电荷产生的静电场、在导电媒质中恒定运动电荷形成的恒定电场以及恒定电流产生的恒定磁场都属于静态电磁场。由麦克斯韦方程组可以看出，当场量不随时间变化时，电场矢量满足的方程和磁场矢量满足的方程是相互独立的，也就是说在静态情况下，电场和磁场是各自存在的，我们可以分别讨论。 本章将分别介绍静电场、恒定电场和恒定磁场的分析方法，最后介绍静电场边值问题的解法。

3.1 静电场分析

静电场是静止电荷激发的，是电磁场的一种重要的和特珠的形式。

3.1.1 静电场的基本方程和边界条件

1． 基本方程

考虑到电磁场的源量（静止电荷q ）和场量（E 、D ）不随时间变化这一特征，由麦克斯韦方程组得出静电场的基本方程为

积分形式

d d (3.1.1)

d 0(3.1.2)

S

V c

V

ρ?=??

?=????D S E l

微分形式

(3.1.3)0(3.1.4)

ρ????

??=??

D =E

以及

ε=D E （3.1.5）

基本方程表明静电场是有源（通量源）无旋场，静止电荷是产生静电场通量源；电力线

（E 线）从正的静止电荷发出，终于负的静止电荷。

2. 边界条件

在两种电介质的分界面上，电场强度满足以下关系式

()120n ?-=e E E 或 12t t E E = （3.1.6）

表明电场强度的切向分量是连续的。

电位移矢量满足的关系式是

()12n s ρ-=e D D 或 12n n s D D ρ-= （3.1.7）

表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分布时，电位移矢量的法向分量是不连续的。

若分界面上不存在面电荷，即0S ρ=，则

()120n -=e D D 或 12n n D D = （3.1.8）

此时，在分界面上，D 的法向分量是连续的。式（3.1.8）可改写为

1122n n E E εε=

可见，当12εε≠时E 的法向分量是不连续的，这是因为分界面上存在束缚电荷密度。

3.1.2 电位函数

1. 电位和电位差

由静电场的基本方程0??=E 和矢量恒等式0u ???=可知，电场强度矢量E 可以表示为标量函数?的梯度，即

()()?=-?E r r （3.1.9）

式中的标量函数()?r 称为静电场的电位函数，简称为电位，单位为V （伏特）。此式适用于任何静止电荷产生的静电场，即静电场的电场强度矢量等于负的电位梯度。

对于点电荷的电场

()3

'4'q πε-=

?-r r E r r r 考虑到以下梯度运算结果

31'

(

)''

-?---r r =r r r r 则有

()1

(

)4'

q

πε=-??-E r r r

与式（3.1.9）比较，可得到点电荷q 产生的电场的电位函数为

()4'

q

C ?πε=

+-r r r （3.1.10）

式中C 为任意常数。

应用叠加原理，根据式（3.1.10）可得到点电荷系、线电荷、面电荷以及体电荷产生的电场的电位函数分别为

()11

4'

N

i

i i q C ?πε

==

+-∑

r r r （3.1.11） ()()

'

'1

d '4'l l l C ρ?πε=+-?r r r r （3.1.12） ()()'

'1

d '4'

s S S C ρ?πε=+-?r r r r （3.1.13） ()()

'

'1d '4'

V V C ρ?πε=

+-?

r r r r （3.1.14）

通常用等位面形象地描述电位的空间分布。例如，点电荷电场的等位面是同心球面族。根据()()?=-?E r r 和标量函数梯度的性质可知，E 线垂直于等位面，且总是指向电位下降最快的方向。

若已知电荷分布，则可利用式（3.1.11）～（3.1.14）求得电位函数()?r ，再利用

()()?=-?E r r 求得电场强度()E r 。这样做比直接求()E r 要简单些。

在()()?=-?E r r 的两端点乘d l ，得

()()()

()d d d d l l

????=-?=-

=-?r E r l r l r 对上式两端从点P 到点Q 沿任意路径进行积分，得

()()()()d d Q

P

P Q ???=-=-?

?Q

P

E r l r

可见，点P 、Q 之间的电位差()()P Q ??-的物理意义是把一个单位正电荷从点P 沿任意路径移动到点Q 的过程中，电场力所做的功。

为了使电场中每一点电位具有确定的值，必须选定场中某一固定点作为电位参考点，即规定该固定点的电位为零。例如，若选定Q 点为电位参考点，即规定()0Q ?=，则P 点的电位为

()d Q

P

P ?=?E l （3.1.15）

若场源电荷分布在有限区域，通常选定无限远处为电位参考点，此时

()d P

P ?∞

=?E l （3.1.16）

2. 静电位的微分方程

在均匀、线性和各向同性电介质中，ε是一个常数。因此将()()?=-?E r r 代入

()()ρ?=D r r 中，得

()()()()εε?ρ?=?=-??=D r E r r r

故得

()()2ρ?ε

?=-

r r （3.1.17） 即静电位满足标量泊松方程。若空间内无自由电荷分布，即0ρ=，则()?r 满足拉普拉斯

方程

()20??=r （3.1.18）

在通过解泊松方程或拉普拉斯方程求()?r 时，需应用边界条件来确定常数。下面介绍电位的边界条件。

设1P 和2P 是介质分界面两侧、紧贴分界面的相邻两点，其电位分别为1?和2?。由于在两种介质中E 均为有限值，当1P 和2P 都无限贴近分界面，即其间距0l ?→时，

120??-=?→E l 。因此，分界面两侧的电位是相等的，即

12??= （3.1.19）

又由()12,n S ρεε?-===-?e D D D E 可导出

121

2S n n

??

εερ??-=-?? （3.1.20） 若分界面上不存在自由面电荷，即0S ρ=，则上式变为

1212n n

??

εε??=?? （3.1.21） 若第二种媒质为导体，因达到静电平衡后导体内部的电场为零，导体为等位体，故导

体表面上，电位的边界条件为

S n

??

ερ=??

??=-???常数 （3.1.22） 例3.1.1 求如图2.2.3所示电偶极子的电位

解 空间任一点(,,)P r θφ处的电位等于两个点电荷的电位叠加，即

2101201211()()44r r q

q r r r r ?πεπε-=

-=r 式中

1r =

，2r =

对远离电偶极子的场点，r d >>，则

12cos ,cos 22

d d

r r r r θθ≈-

≈+ 22121cos ,r r d r r r θ-≈≈ 故得

23

00cos ()44ql r r θ?πεπε=

=p r

r （3.1.23）

应用球面坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度

11()()sin r r

r r θφ????θθφ??

???=-?=-++ ??????E r r e e e

3

0(2cos sin )4r p r θθθπε=+e e （3.1.24） 显然，此处的运算要比例2.2.1中直接计算电场强度E 要简单得多。

例3.1.2 求均匀电场的电位分布。

解 选定均匀电场空间中的一点o 为坐标原点，而任意点P 的位置矢量为r ，则

000()()d d P

P

o

o P o ??-==-=-??E l E r E r

若选择点o 为电位参考点，即()0o ?=，则

0()P ?=-E r

在球坐标系中，取极轴与0E 的方向一致，即00z E =E e ，则有

000()cos z P E E r ?θ=-=-=-E r e r

在圆柱面坐标系中，取0E 与x 轴方向一致，即00x E =E e ，而z z ρρ=+r e e ，则有

00()()

x z P E z ρ?ρ=-=-+E r e e e 0cos E ρφ=-

例3.1.3 两块无限大接地导体平板分别置于x =0和x =a 处，在两板之间的x =b 处有一面密度为0S ρ的均匀电荷分布，如图3.1.1所示。求两导体平板之间的电位和电场。 解 在两块无限大接地导体平板之间，除x =b 处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程

()

212

d 0,0d x x b x ?=<<

()

2

22

d 0,d x b x a

x ?=<<

方程的解为

()()111222

x C x D x C x D ??=+=+

利用边界条件，得

()10,00x ?==处

x a =处，()20a ?=

x b =处，12()(),b b ??=

0210()()S x b

x x x x ρ??ε=????

-=-??????

于是有

12201122210

0,

0,

S D C a D C b D C b D C C ρε=+=+=+-=-

由此解得

0110()

,0S b a C D a ρε-=-

=

002200

,

S S b b C D a

ρρεε=-=

最后得

()()

()()010020,

0,

S S a b x x x b

a b

x a x b x a

a ρ?ερ?ε-=

=-≤≤≤≤

()()()()

()()()10

11020

220d d d d S x x S x

x x a b x x x a x b

x x x a

?ρ?ε?ρ?ε-=-?=-=-=-?=-=E e e E e e

3.1.3 导体系统的电容

电容是导体系统的一种基本属性，它是描述导体系统储存电荷能力的物理量。我们定义

两导体系统的电容为任一导体上的总电荷与两导体之间的电位差之比，即

q

C U

=

（3.1.25） 电容的单位是F （法拉）。电容的大小与电荷量、电位差无关，因为该比值为常数。电容的大小只是导体系统的物理尺度及周围电介质的特性参数的函数。

本节介绍双导体系统的电容计算及多导体系统的部分电容的概念。 1．双导体的电容计算

图3.1.1 两块无限大平行板

在电子与电气工程中常用的传输线，例如平行板线、平行双线、同轴线都属于双导体系统。通常，这类传输线的纵向尺寸远大于横向尺寸。因而可作为平行平面电场（二维场）来研究，只需计算传输线单位长度的电容。其计算步骤如下：（1）根据导体的几何形状，选取合适的坐标系；（2）假定两导体上分别带电荷+q 和-q ；（3）根据假定的电荷求出E ；（4）由

2

1

d ?

E l 求得电位差；（5）求出比值q

C U

=

。 例3.1.4 平行双线传输线的结构如图3.1.2D ，且a D >>，设周围介质为空气。试求传输线单位长度的电容。

解：设两导线单位长度带电量分别为l ρ+和

l ρ-。由于a D >>，故可近似地认为电荷分别均

匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间德平面上任一点P 的电场强度为

011

()()2l x

x x D x

ρπε=+-Εe 两导线间的电位差

2

1

11d ()d ()d 2D a D a l x a

a

U x x x x D x

ρπε--===

+-??

?

E l Εe a

a D l -=

ln 0επρ 故得平行双线传输线单位长度的电容为

1

ln[()]

ln ()

l

C U

D a a D a ρπεπε=

=

≈

-

例 3.1.5 同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径为

b ，内外导体间填充介电常数为ε的均匀电介质，如图3.1.3所示。试求同轴线单位长度的电容。

解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为

l

和

l

，应用高斯定律求得内外导体间任意点电场强度为

()2l

ρ

ρρπερ

=Εe 内外导体间的电压为

1

()d d ln 22b b l

l a

a

b U a

ρρ

ρρρρπε

ρ

πε===

?

?

Εe 同轴线单位长度的电容

12F/m ln ()

l

C U

b a ρπε=

=

（3.1.27）

2. 部分电容

在工程应用中，经常遇到由三个或更多的导体系统组成的多导体系统。譬如，计及大地作用的架空平行双线传输线、耦合带状线、屏蔽多芯电缆等。在多导体系统中，任何两个

3.1.2 平行双线传输线

l

x D

导体间的电压都要受到其余导体上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须将电容的概念推广，引入部分电容的概念。所谓部分电容，是指多导体系统中，一个导体在其余导体的影响下，与另一个导体构成的电容。

（1）电位系数

图3.1.4表示N 个导体和大地构成的多导体系统，各导体的位置、形状及周围介质均是固定的，取大地为电位参考点（零电位点）。当这个导体系统中的任何一个导体上充以一电荷时，它将以一定的方式使所有导体（包括充以电荷的导体本身）具有一定的电位。由于电位与各导体所带电荷量之间成线性关系，所以各导体的电位为

11111221221122221122N N N N

N N N NN N

q q q q q q q q q ?ααα?ααα?ααα=+++??=+++??

??=+++? （3.1.28a ） 或表示为

1

(1,2,

,)N

i i j j j q i N ?α===∑ （3.1.28b ）

式中的i j α称为电位系数。下标相同的ii α称为自电位系数；下标不同的()i j i j α≠称为互电位系数。电位系数i j α有以下特点：

（a ）i j α在数值上等于第j 个导体上的总电量为一个单位，而其余导体上的总电量都为零时，第i 个导体上的电位。即

111

j j N i

i j j

q q q q q ?α-+=

=====

（b ）ij α只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；

（c ）所有电位系数0>j i α，且具有对称性，即i j j i αα=。 （2）电容系数

对方程（3.1.28a ）求解，可得各导体上的电荷量

11111221221122221122N N N N

N N N NN N

q q q β?β?β?β?β?β?β?β?β?=+++??=+++??

??=+++? （3.1.29a ） 或表示为

1

(1,2,

,)N

i i j j j q i N β?===∑ （3.1.29b ）

式中i j β称为电容系数或感应系数。下标相同的系数ii β称为自电容系数或自感应系数，下标不同的系数)(j i ij ≠β称为互电容系数或互感应系数。电容系数i j β具有以下特点：

（a ）j i β在数值上等于第j 个导体的电位为一个单位、而其余导体接地时，第i

个导体

图3.1.4 多导体系统

上的电量，即

1

110

j j N i

ij j q ?

???β?-+=

=====

（b ）j i β只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；

（c ）j i β具有对称性，即i j ji ββ=；互电容系数0()i j i j β≠≤，自电容系数0j j β>；

（d ）电容系数j i β与电位系数j i α的关系为：

?

-=+j i j

i j i M )

1(β

式中△是方程组（3.1.28）的电位系数j i α组成的行列式j i α，j i M 是行列式j i α的余子式。

（3）部分电容

引入符号()ij ij C i j β=-≠和121

N

i i i i iN ij j C ββββ==+++=∑，则方程组（3.1.29）

可改写为

()()()

()()()()()()

()()()1111211121211111121211221211222211222000N N N N N N N N N N N N NN q C C C q C C C q C C C βββ?β??β?????????????????=+++-----??

=-+-++-??

=-+-++-???

?=-+-++-?

（3.1.30a ） 或表示为

()(12)N

i i j i j i i i

j i

q C C i N ???≠=-+=∑、、

（3.1.30b ）

上式表明多导体系统中的任何一个导体的电荷是由N 部分电荷组成。例如，导体1的电荷1q 的第一部分()111110q C ?=-与导体1的电位1?（即导体1与地之间的电压）成正比，比值

11

1110

q C ?=

-是导体与地之间的部分电容；第二部分()1212121212q C C U ??=-=与导体1、2间的电压成正比，比值12

1212

q C U =则为导体1、2间的部分电容；……。

多导体系统中，每一导体与地之间以及与其它导体之间都存在部分电容。ii

ii i

q C ?=是导体i 与地之间的部分电容，称为导体i 的自有部分电容。()ij

ij i j

q C i j ??=

≠-是导体i 与

导体j 之间的部分电容，称为导体i 与导体j 之间互有部分电容。部分电容有以下特点：

（a ）ii C 在数值上等于全部导体的电位都为一个单位时，第i 个导体上总电荷量的值；

（b ）)(j i C j i ≠在数值上等于第j 个导体上的电位为一个单位、其余导体都接地时，第i 个导体上感应电荷的大小；

（c ）所有部分电容都大于零，即0>j i C ；

（d ）部分电容具有对称性，即ij ji C C =。

由N 个导体构成的系统共有(1)N N -个部分电容，这些部分电容形成一个电容网络。以计及大地影响的平行双线传输线为例，如图3.1.5所示，有三个部分电容112212C C C 、、。导线1、2间的等效输入电容为1122

1121122

C C C C C C +=+

；

导线1和大地间的等效输入电容为

1222

2111222

C C C C C C =+

+；导线2和大地间的等效输入

电容为1211

3221211

C C C C C C =++；通过实验测得

12C C 、和3C ，就可计算出各个部分电容。多数实际的多导体系统的各个部分电容只有通过实验测量得到。

3.1.4 静电场的能量

静电场最基本的性质是对静止电荷有作用力，这表明静电场有能量。电场能量来源于建立电荷系统的过程中外界提供的能量。例如给导体充电时，外电源要对电荷做功，提高电荷的电位能，这就构成了电荷系统的能量。

本节要讨论的是静电场的能量，故假设导体和介质都是固定的，且介质是线性和各向同性的。

1. 静电场的能量

因为要讨论的是系统被充电并达到稳定后的电场能量，故应与充电过程无关。我们假设系统从零开始被充电，充电完毕后的最终电荷分布为ρ、电位函数为?。如果在充电过程中使各点的电荷密度按最终值的同一比例因子α增加，则各点的电位也将按同一比例因子α增加。也就是说，充电过程中某一时刻的电荷分布为αρ，其电位分布就为α?。令α从0到1，把充电过程用无数次增加微分电位的过程的叠加来表示，则当()d ααα→+时，对于某体积元d V ，其电位为α?，欲送入微分电荷()d d V αρ，外电源需要作的功是

()()d d V α?αρ。因此对整个空间，外电源所作的总功为

()()d d V V α?αρ?

根据能量守恒定律，外电源所作的功转换为电场的能量，因此整个空间增加的电场能量为

()()d d d e V

W V α?αρ=?

充电过程完成后，系统的总能量为

1

1

d d d 2

e V

V

W V V ααρ?ρ?==

??? （3.1.31） 电场能量的单位是J （焦耳）。

如果电荷是以面密度S ρ分布在曲面S 上，则式（3.1.31）变为

1

d 2

e S S

W S ρ?=

? （3.1.32） 注意，式（3.1.31）、（3.1.32）中，?分别是电荷元d V ρ、d S S ρ所在点的电位，积分遍及

整个有电荷的区域。

对于多导体组成的带电系统，因为每个导体上的电位为常数，则式（3.1.32）变为

图3.1.5 大地上空的平行双导线

11

11(d )22i

N N

e i si i i S i i W S q ?ρ?====∑∑? （3.1.33）

例如，双导体系统被充电后，导体1带电荷为+q ，导体2带电荷为-q ；电位分别为是1?和2?，

则电场能量为

()()2121211111

22222

e W q q q qU CU ????=

+-=-== （3.1.34） 2. 能量密度

电场能量存在于整个电场空间。下面导出用电场矢量表示的计算电场能量的公式。将

ρ=?D 代入式（3.1.31）得

()()11

d d 22

e V V W V V ???=

?=?-???????D D D 11

d d 22S V

V ?=+??D S E D 上式中应用了矢量公式()????=?+?A A A 和高斯散度定理。

在式（3.1.31）中的体积分是对整个空间的积分，因为只有那些存在电荷的空间才对积分有贡献，故我们把积分区域无限扩大并不会影响积分的结果。当积分的体积无限扩大时，包围该体积的表面积也将无限扩大。只要电荷是分布在有限区域内，当闭合面S 无限扩大时，有限区域内的电荷就可近似为一个点电荷。这样，就可利用点电荷产生的电位?、电位移矢量D 的以下关系

1r ?∝， 2

1r ∝

D 故31

r

?∝

D ，而闭合面2S r ∝，故当r →∞时，必有 23111

d 02S r r r r ?→∞

∝∝→?D S 则得

1

d 2

e V

W V =

?E D （3.1.35） 对于线性和各向同性介质，ε=D E ，故上式可表示为

211

d d 22

e V V

W V E V εε==??E E （3.1.36）

上式表明电场能量储存在电场不为零的空间，能量密度为

211

22

e w E ε=

=D E （3.1.37） 能量密度的单位是3J/m ()3

焦耳/米。

例3.1.6 半径为a 的球形空间均匀分布着体电荷密度为ρ的电荷，试求电场能量。 解 方法之一：利用公式（3.1.36）计算 根据高斯定律求得电场强度

10

3r

r r a ρε=

3

22

03r

a r a r ρε=>E e

故

1222

010211d d 22e V V W E V E V εε=

+?? 3222222002

000000011()sin d d d ()sin d d d 2323a a r a r r r r r ππππρρεθθφεθθφεε∞=+?????? 252525000

22445915a a a πρπρπρεεε=+=

方法之二：利用公式（3.1.31）计算。

先求出电位分布

3

22

112200

00d d d d ,

3326a

a

r a r a r a a r r r r a r ρρρρ?εεεε∞

∞=+=+=-????E r E r ≤

3

3

22200

d d ,33r r a a r r a r r ρρ?εε∞∞===??E r ≥

故

22

100011d sin d d d 22

a e V W V r r ππρ?ρ?θθφ=

=???? 2

225

220000

004d sin d d 22615a a r a r r ππρρρπρφθθεεε??=-= ?????? 3.1.5 静电力

在静电场中，各个带电体都要受到电场力作用。原则上，带电体之间的静电力可用库仑定律来计算，但对于电荷分布形状较为复杂的带电体，这种计算往往是很困难的。这里介

绍用虚位移法来计算静电力。

采用虚位移法计算静电力，要用到广义坐标和广义力的概念。所谓广义坐标，是指确定系统中各带电导体的形状、尺寸和位置的一组独立几何量；而企图改变某一广义坐标的力，

就称为对应于该坐标的广义力。广义力乘上由它引起的广义坐标的增量，就等于所作的功。

在由N 个导体组成的系统中，假设只有第i 个带电导体在电场力i F 的作用下有一个广义坐标g 发生位移d i g ，则电场力做功d i i F g ，系统的静电能量增加量为d e W ，根据能量守恒定律，该系统的功能关系为

d d d S i i

e W F g W =+ （3.1.38）

式中的d S W 是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。可分为以下两种情况：

1. 假设各带电体的电荷保持不变（恒电荷系统）

当第i 个导体发生虚位移时，所有带电体都不和外电源连接，此时d 0S W =，则由式（3.1.38）得

d d i i

e q F g W ==-常数

故得

e i i

q W F g =?=-

?常数

（3.1.39）

式中的“－”号表明此时电场力做功是靠减少系统的电场能量来实现，因为系统与外电源断开，没有提供能量。

2.假设各带电导体的电位保持不变（恒电位系统）

当第i 个导体发生虚位移时，所有导体应分别与外部电源相连接。此时外部电压源供给的能量为

1

1

d d()d N N

S i i i i i i W q q ??====∑∑

根据式（3.1.33）得到系统的静电能量增量为

1

1d d 2N

e i i i W q ?==∑

可见，外电压源向系统提供给系统的能量只有一半是用于静电能量的增加，另一半则是用于电场力做功，即电场力做功等于静电能量的增量

d d i i

e F g W ?==常数

故得

e i i

W F g ?=?=

?常数

（3.1.40）

以上两种情况得到的结果应该是相同的。因为事实上带电体并没有发生位移，电场分布当然也没有发生变化，由式（3.1.39）和（3.1.40）求得的是所讨论的系统在当时状态下的电荷和电位所对应的静电力。

例 3.1.7 有一平行板电容器，极板面积为l b ，板间距离为d ，用一块介电常数为ε的介质片填充在两极板之间（x

解 部分填充电介质的平行板电容器的电容为（忽略边缘效应）

()l x b bx

C d d

εε-=+ 故电容器储存的电场能量为

22

0001[()]22e bU W CU l x x d

εε==-+

当电容器与电源相连接时，0U 保持不变，设位移变量为x ，由式（3.1.40），可得介质

片受到的静电力为

2

00()2e

x W b U F x

d

?εε?-=

=?=常数 因为0εε>，所以介质片所受到的力有把介质片拉入电容器极板间的趋势。

当电容器被充电后与电源断开，则极板上的电荷q 保持不变，电容器的储能为

图3.1.6 部分填充介质的平行板电容器

22

022[()]

e q dq W C b l x x εε==-+

则由式（3.1.39）求得介质片受到的静电力为

2

02

()2[()]e

x q W d q F x

b l x x εεεε=?-=-=?-+常数 考虑到下面的关系

00[()]bU q CU l x x d

εε==

-+ 同样得到

2

00()2x b U F d

εε-=

3.2导电媒质中的恒定电场分析

若电流密度矢量()J r 不随时间变化，它仅是空间坐标的函数，则构成一个恒定电流场。要在导电媒质中维持恒定电流，必须存在一个恒定电场。本节将讨论恒定电场的基本性质，并将它与静电场比较。

3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件

1. 基本方程

电流密度()J r 和电场强度()E r 是恒定电场的基本场矢量。我们讨论的是恒定电流，要维持电流不随时间变化，则空间的电场也必须是恒定不变的，这就要求电荷的空间分布也不随时间变化，所以有

0t ρ?=?。根据电流连续性方程()d 0V V t

ρ

??+=??J ，得

d 0S

=?J S （3.2.1a ）

相应的微分形式

0?=J （3.2.1b ）

式（3.2.1a ）表明从闭合面S 穿出的电流恒为零，因而闭合面包围的体积内的电量也不随时间改变。故我们可以得出结论：尽管电流是电荷的运动，但在恒定电流的状态下电荷分布并不随时间改变。由此我们可以认定恒定电场也是保守场，电场强度沿任一闭合路径的线积分恒为零，即

d 0C

=?

E l （3.2.2a ）

相应的微分形式

0??=E （3.2.2b ）

因而，恒定电场也可用电位梯度表示

?=-?E （3.2.3）

式（3.2.1a ）和（3.2.2a ）是恒定电场基本方程的积分形式；式（3.2.1b ）和（3.2.2b ）则是对应的微分形式。

将σσ?==-?J E 代入0?=J ，可以导出均匀导电媒质（σ=常数）中的电位满足拉普拉斯方程，即

20??= （3.2.4）

2. 边界条件

将恒定电场基本方程的积分形式（3.2.1a ）和（3.2.2a ）应用到两种不同导电媒质的分界面上，可导出恒定电场的边界条件为

()120n -=e J J 或 12n n J J = （3.2.5） ()120n ?-=e E E 或 12t t E E = （3.2.6）

由于σσ?==-?J E ，因此，电位函数的边界条件为

121

2n n

??

σσ??=?? （3.2.7） 12??= （3.2.8）

应该注意，由于导体内存在恒定电场，根据边界条件可知，在导体表面上的电场既有法向分量，又有切向分量，电场矢量E 并不垂直于表面，因而此时的导体表面不是等位面。由式（3.2.5）和（3.2.6）可导出场矢量在分界面上的折射关系

11

22

tan tan θσθσ= （3.2.9） 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟

纵观前面的讨论，我们看到均匀导电媒质中的恒定电场（电源外部）和均匀电介质中的静电场（电荷密度0ρ=的区域）有很多相似之处，表3.2.1列出两种场的基本方程和边界条件。

表3.2.1 恒定电场与静电场的比拟

0??=E 0?=J 0??=E 0?=D σ=J E ε=D E 20??= 20??= 12t t E E = J =12t t E E = D =从表 3.2.1可看出，两种场的各个物理量之间有以下一一对应关系：?E E 恒静、

?J D 、σε?、???恒静。因为两种场的电位都是拉普拉斯方程的解，所以当两种场

用电位表示的边界条件相同时，则两种场的解的形式必定是相同的。因此，对于欲求解的恒定电场问题，如果对应的具有相同边界形状的静电场问题的解为已知，则恒定电场的解便可

利用上面的对偶关系直接写出，无需重新求解，这个方法也称为静电比拟法。

在静电场中，两导体间充满介电常数为ε的均匀电介质时的电容为

2

2

1

1

d d d d S S q C U

ε==

=

???

?

D S

E S

E l

E l

（3.2.10）

式中的q 是带正电荷的导体1上的电量，U 是两导体间的电压。

在恒定电场中两个电极间充满电导率为σ的均匀导电媒质时的电导为

2

2

1

1

d d d d S S I G U

σ==

=

???

?

J S E S

E l

E l

（3.2.11）

式中的I 是从导体1（电极1）表面流出的电流。注意，电极是由良导体构成，电极内的电场可视为零，电极表面可视为等位面，从而导出式（3.2.11）。比较式（3.2.10）和（3.2.11）可看出，如果在静电场中两导体的电容为已知，则用同样的两个导体作电极时，填充均匀导电媒质的电导就可直接从电容的表达式中将ε换成σ而得到。

静电比拟法也在实验中得到应用，为了用实验研究静电场，常采用恒定电流来模拟静电场，因为在恒定电场中进行测量要比在静电场中测量容易得多。

例3.2.1 同轴线的内导体半径为a ，外导体的内半径为b ，内外导体之间填充一种非理想介质（设其介电常数为ε，电导率为σ）；试计算同轴线单位长度的绝缘电阻。

解 方法之一：用恒定电场的基本关系式求解

假设同轴线的内外导体间加恒定电压0U ，由于填充介质的0σ≠，介质中的漏电流沿径向从内导体流到外导体。另外，内外导体中有轴向电流，导体中存在很小的轴向电场z E ，因而漏电介质中也存在切向电场，但z E E ρ<<，故可忽略z E 。介质中任一点处的漏电流密度为

2I ρ

πρ=J e

式中的I 是通过半径为ρ的单位长度同轴圆柱面的漏电流。电场强度为

2I ρ

σ

πσρ=

=J

E e

而内外导体间的电压为

0d d ln

22b

b

a

a

I I b

U a

ρπσρ

πσ

===

??

E ρ 则得同轴线单位长度的绝缘电阻（漏电阻）为

011ln Ω/m 2U b R I a

πσ=

=

方法之二：用静电比拟法求解

由例3.1.5得到同轴线单位长度的电容为

12F/m ln()C b a πε=

因此，同轴线单位长度的漏电导为

12S/m ln()

G b a πσ=

则得绝缘电阻为

1111ln

Ω/m 2b R G a

πσ==

例3.2.2 计算半球形接地器的接地电阻。 解 通常要求电子、电气设备与大地有良好的

图3.2.1 半球形接地器

连接，将金属物体埋入地内，并将需接地的设备与该物体连接就构成接地器。当接地器埋藏不深时可近似用半球形接地器代替，如图3.2.1所示。

接地电阻是指电流由接地器流入大地再向无限远处扩散所遇到的电阻，主要是接地器附近的大地电阻。

设大地的电导率为σ，流过接地器的电流为I ，则大地中的电流密度为

2

2r

I r π=J e

故

2

2r

I

r σ

πσ=

=J

E e

21d d 22a a

I I

U E r r r a

πσ

πσ∞∞

==

=

??

则接地电阻为

12U R I a

πσ=

=

也可用静电比拟法求得接地电阻。均匀介质中的孤立球的电容为4C a πε=，故均匀导电媒质中孤立球的电导为4G a πσ=，半球的电导为2G a πσ=半球，故半球形接地器的接地电阻为

112R G a

πσ=

=

半球

3.3 恒定磁场分析

恒定磁场是由恒定电流激发的，是电磁场的另一种重要的和特殊的形式。

3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件

1. 基本方程

考虑到恒定磁场的源（恒定电流）和场量（B 、H ）不随时间变化这一特征，由麦克斯韦方程组得出恒定磁场的基本方程为

积分形式

d d (3.3.1)d 0(3.3.2)

c

S S

?=??

=?????H l J S

B S

微分形式

(3.3.3)0

(3.3.4)

???=???=??H J B

以及

μ=B H （3.3.5）

基本方程表明恒定磁场是无源（无通量源）、有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡

源；磁力线是与源电流相交链的闭合曲线。

2. 边界条件

在不同磁介质的分界面上一般都存在着磁化面电流，B 和H 在经过分界面时要发生突变。在分界面上B 满足的关系式为

()120n -=e B B 或 12n n B B = （3.3.6）

表明分界面上B 的法向分量是连续的。

在分界面上H 满足的关系式为

()12n S ?-=e H H J 或 12t t S H H J -= （3.3.7）

若分界面上不存在自由面电流()0s =J ，则

()120n ?-=e H H 或 12t t H H = （3.3.8）

表明此时的磁场强度切向分量是连续的。

3.3.2 矢量磁位和标量磁位

根据恒定磁场的特征，也可以在磁场中引入位函数。 1. 矢量磁位

利用磁场的无散度特征()0?=B ，用一矢量的旋度??A 来代替磁感应强度B ，这是因为一个矢量的旋度再取散度恒等于零，即()0???=A ，而0?=B ，故令

=??B A （3.3.9）

式中的A 为矢量磁位，或称磁矢位，单位是T m （特斯拉米）或Wb/m （韦伯/米），它

是一个辅助量。

根据亥姆霍兹定理，要惟一地确定一个矢量必须同时给出它的旋度和散度。因此，要惟一确定磁矢位A ，必须对A 的散度作一个规定。对于恒定磁场，一般规定

0?=A （3.3.10）

并称这种规定为库仑规范。在这种规范下，磁矢位A 就被惟一确定。

在均匀、线性和各向同性磁介质中，将1

μ

μ

=

=

??B

H A 代入??=H J ，得

μ????=A J

又利用矢量恒等式2

()????=??-?A A A 和库仑规范0?=A ，得到

2μ?=-A J （3.3.11）

上式称为磁矢位A 的泊松方程。在无源区域()0=J ，有

20?=A （3.3.12）

上式称为磁矢位A 的拉普拉斯方程。

在直角坐标系中，x x y y z z A A A =++A e e e 、x x y y z z J J J =++J e e e ，故式（3.3.11）可表示为

2()()x x y y z z x x y y z z A A A J J J μ?++=-++e e e e e e

由于x e 、y e 和z e 均为常矢量，故上式可分解为三个分量的泊松方程，即

22

2

x x y y z z

A J A J A J μμμ??=-??=-???=-? （3.3.13） 式（3.3.13）所示的三个分量泊松方程与静电位?的泊松方程形式相同，可以确认它们的求解方法和所得到的解的形式也应相同，故可参照电位?的形式直接写出

'

'

'

d 4d 4d 4x

x x

V y y y V x

z z V J A V C J A V C J A V C μπμπμπ?'=+?'-???'=

+?'

-??'=

+?'-???

??

r r r r r r

（3.3.14）

将以上三个分量合并即得磁矢位泊松方程的解

d 4V

V μ

π

'=

+'

-?

J

A C r r （3.3.15） 上式中的x x y y z z C C C =++C e e e ，它的存在不会影响

B 。

同样可以写出

S'd 4S S μ

π'=

+'-?J A C r r （3.3.16）

'd 4l I μπ'=+'

-?l A C r r （3.3.17）

可见，电流元产生的磁矢位d A 是与电流元矢量平行的矢量，这是引入磁矢位的优点之一。

根据恒定磁场在不同媒质分界面上的边界条件

()12n S ?-=e H H J ， ()120n -=e B B

以及=??B A ，可得到不同媒质分界面上磁矢位A 的边界条件为

121

2

1

1

(

)n s μμ???-

??=e H H J （3.3.18）

12=A A （3.3.19）

例3.3.1 求小圆环电流的矢量磁位和磁场。

解 如图3.3.1所示，小圆环的半径为a ，通过的电流为I 。取小圆环位于xy 平面内，圆心与球坐标系的原点重合。由于场具有对称性，我们取xz 平面内的一点(),,0P r θ作为场点将不失一般性。图中

sin cos r x z r r r θθ==+r e e e

''cos 'sin 'r x y a a a φφ==+r e e e

()'d 'd 'sin 'cos 'd 'x y a a φφφφφ==-+l e e e

x

P 图 3.3.1小圆环电流

故得

1/2

22

2221/2

'(sin cos ')(sin ')(cos )(2sin cos )r a a r r a ar θφφθθφ??-=-++??'=+-r r

对于远离小圆环的区域，有r a >>，所以

1/2

21121()sin cos ''a a r r r θφ-??

=+-??-??

r r 1/2121(1sin cos )(1sin cos )a a

r r r r

θφθφ-''≈-≈+

将以上关系式代入式（3.3.17），得

200202

1(1sin cos )(sin 'cos )d '4sin 4x y y Ia a

r r

a I r

πμθφφφφπμπθπ''=+-+=?A e e e

由于在0φ=面上y φ=e e ，故上式可写为

20022

sin sin 44I a Is r r φφ

μπμθθππ==A e e （3.3.20） 式中2S a π=是小圆环的面积。

利用球面坐标系中旋度的计算公式，可得到小圆环电流的远区磁感应强度为

11(sin )()sin r

A rA r r r

φθφθθθ??

=??=-??B A e e

03

(2cos sin )4r Is

r

θμθθπ=

+e e （3.3.21） 可见，小圆环电流的远区磁场分布与电偶极子的远区电场分布相似，于是将小圆环电流称为磁偶极子，并把I S 称为磁偶极子的磁矩，简称磁偶极矩，表示为

m I =p S （3.3.22）

这样，式（3.3.20）又可写成

02

()sin 4m

p r φ

μθπ=A r e （3.3.23） 或

3

()4m r

μπ=

?A r p r （3.3.24） 例3.3.2 求无限长直线电流的矢量磁位。 解 先计算如图3.3.2所示的长度为2l 的直线电流的矢量磁位。电流元d I 'l 产生的矢量磁位

0d 'd 4z I z μπ=A e 对直线l 积分，得

4l

z I

μπ

-=?

A

e

0ln (')4l

z l I

z z μπ-?=-?

e

0ln 4z I μπ=e

当l →∞时

2

002ln ln 44z z I I l μμππρ??≈≈ ???A e e 0ln 2z

I l μπρ??

= ???

e （3.3.25） 可见，当l →∞时，A 为无限大，即无限长直线电流的矢量磁位为无限大。为了解决这一困难，我们将0=A 的点（即矢量磁位的参考点）选取在0ρρ=处，即令

00

2ln()02z

I l

μπρ=+=A e C 故有

00

2ln()2z

I l

μπρ=-C e 这样做是允许的，因为在A 的表示式中附加一个常矢量C ，并不会影响B 的计算。因此，

式（3.3.25）可表示为

00022ln()ln()22z

z I I l l μμπρπρ=-A e e 00ln()2z I μρ

πρ

=e （3.3.26） 相应的磁感应强度为

02z

I A φ

φμρπρ

?=??=-=?B A e e （3.3.27） 2.标量磁位

若所研究的空间不存在自由电流，即0=J ，则此空间内有0??=H 。因此，也可以

将H 表示为一个标量函数的梯度，即

m ?=-?H （3.3.28） 式中的m ?称为标量磁位，或磁标位。

在均匀、线性和各向同性媒质中，将μ=B H 、m ?=-?H 代入0?=B 中，得

()()0m μμ??=?=-??=B H

即

20m ??= （3.3.29）

此即标量磁位所满足的拉普拉斯方程。

在没有自由电流的两种不同媒质的分界面上，由边界条件()120n ?-=e H H 和

()120n -=e B B 可导出标量磁位的边界条件为

12m m ??= （3.3.30） 1212m m n n

??

μμ??=?? （3.3.31）

3.3.3 电感