人教版数学七年级下册垂线同步练习题含答案
人教版数学七年级下册垂线同步练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________
一、单选题
1．如图，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 是过点O 的一条直线，已知⊥1=40°，则⊥2=（ ）
A ．40°
B ．45°
C ．50°
D ．60°
2．入射光线和平面镜的夹角为40︒，转动平面镜，使入射角减小10︒，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ） A ．减小40︒
B ．减小10︒
C ．减小20︒
D ．不变
3．如图所示，已知：,1:23:2CD AB ⊥∠∠=，则FDC ∠=（ ）
A ．120︒
B ．126︒
C ．135︒
D ．144︒
4．过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在( ) A ．这条线段上 B ．这条线段的端点处 C ．这条线段的延长线上
D ．以上都有可能
5．数学课上，同学们在练习过点B 作线段AC 所在直线的垂线段，正确的是( )
A ．A
B ．B
C ．C
D ．D
6．如图，O 是直线AD 上一点，射线,OC OE 分别平分,AOB BOD ∠∠，则COE ∠的大小为（ ）
A．120°B．60°C．90°D．150°
7．如图，AB⊥AC于A，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，下列说法错误的是（）
A．点A到BC的距离是AD的长度B．点B到AD的距离是BD的长度C．点C到AD的距离是DE的长度D．点B到AC的距离是AB的长度
DE=，点F是射线OB上的任意一点，8．如图，OD平分AOB
∠，DE AO
⊥于点E，5
则DF的长度不可能是（）
A．4B．5C．6D．7
9．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是()
A．线段CA的长度B．线段CM的长度
C．线段CD的长度D．线段CB的长度
10．如图，在直角三角形ABC中，⊥BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列说法错误的是（）
A ．线段AC 的长度表示点C 到A
B 的距离 B ．线段AD 的长度表示点A 到B
C 的距离 C ．线段C
D 的长度表示点C 到AD 的距离 D ．线段BD 的长度表示点A 到BD 的距离 11．下列命题是真命题的是（ ）
A ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B ．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
C ．互相垂直的两条线段一定相交
D ．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
12．平面直角坐标系中，点()1,2A -，()2,1B ，经过点A 的直线a x ∥轴，点C 是直线a 上的一个动点，当线段BC 的长度最短时，点C 的坐标为（ ）． A ．()1,1- B ．()1,2-
C ．()2,1
D ．()2,2
二、填空题
13．如图，当直线AB 与CD 相交于O 点，⊥AOD ＝______时，
那么AB 与CD 垂直，记作：AB ______CD ． 符号语言：因为⊥AOD ＝90°（已知） ， 所以AB ⊥CD ( ) ．
14．如图，直线AB 和CD 交于O 点，OD 平分⊥BOF ，OE ⊥CD 于点O ，⊥AOC =40︒，则⊥EOF =_______．
15．如图， 直线AB ， CD ， EF 相交于点O ， 若:1:2AOE COE ∠∠=， AB CD ⊥， 则COF ∠=______度．
16．如图，已知CF AB ⊥于C ，DC CE ⊥，则ACD ∠的余角是__．
17．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，⊥BOC ＝α，点F 在直线AB 上且在点O 的右侧，点E 在射线OC 上，连接EF ，直线EM 、FN 交于点G ．若⊥MEF ＝n ⊥CEF ，⊥NFE ＝（1﹣2n ）⊥AFE ，且⊥EGF 的度数与⊥AFE 的度数无关，则⊥EGF=__．(用含有α的代数式表示）
18．如图所示，⊥AOC 与⊥BOD 都是直角，且⊥AOB ：⊥AOD ＝2：11，则⊥AOB ＝_______．
三、解答题
19．如图，已知⊥AOB =20°．
（1）若射线OC ⊥OA ，射线OD ⊥OB ，请你在图中画出所有符合要求的图形； （2）请根据（1）所画出的图形，求⊥COD 的度数．
20．如图1，1A BC ∠、1
ACM ∠的角平分线2BA 、2CA 相交于点2A ，
(1)如果164A ∠=︒，那么2A ∠的度数是多少，试说明理由并完成填空； 解：（1）结论：2∠=A ______度．
说理如下：因为2BA 、2CA 平分1A BC ∠和1ACM ∠（已知）， 所以121A BC ∠=∠，122A CM ∠=∠（角平分线的意义）． 因为1
11ACM A BC A ∠=∠+∠，221A ∠=∠+∠（ ） （完成以下说理过程）
(2)如图2，164A ∠=︒，如果2A BC ∠、2A CM ∠的角平分线3BA 、3CA 相交于点3A ，请直接写出3A ∠度数；
(3)如图2，重复上述过程，1n A BC -∠、1n A CM -∠的角平分线n BA 、n CA 相交于点n A 得到n A ∠，设1A θ∠=︒，请用θ表示n A ∠的度数（直接写出答案）
21．如图，CE 是ABC 的外角ACD ∠的平分线，且CE 交BA 的延长线于点E ．
(1)求证：2BAC B E ∠=∠+∠．
(2)若CA BE ⊥，30ECD ACB ∠-∠=︒时，求E ∠的度数．
22．直线AB ，CD 相交于点O ，OF CD ⊥于点O ，作射线OE ，且OC 在AOE ∠的内部．
(1)当点E ，F 在直线AB 的同侧；
⊥如图1，若15BOD ∠=︒，120BOE ∠=︒，求EOF ∠的度数；
⊥如图2，若OF 平分∠BOE ，请判断OC 是否平分AOE ∠，并说明理由； (2)若2AOF COE ∠=∠，请直接写出∠BOE 与AOC ∠之间的数量关系．
23．如图所示，一辆汽车在直线形公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 分别是位于公路两侧的村庄．
（1）设汽车行驶到公路AB 上点P 位置时，距离村庄M 最近；行驶到点Q 位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路AB 上分别画出点P 和点Q 的位置(保留作图痕迹)． （2）当汽车从A 出发向B 行驶时，在公路AB 的哪一段路上距离M 、N 两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N 越来越近，而离村庄M 越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必说明)
24．如图，所有小正方形的边长都是1个单位，
A ､
B ､
C 均在格点上仅用无刻度直尺画图：
（1）过点A 画线段BC 的平行线AD ； （2）过点B 画线段BC 的垂线，垂足为B ； （3）过点C 画线段AB 的垂线，垂足为E ；
（4）线段CE 的长度是点C 到直线________的距离；
（5）线段CA ､CE 的大小关系是_________（用“<”连接），理由是__________________．
参考答案：
1．C
【分析】根据垂直得到⊥BOD =90°，然后平角的性质求解即可． 【详解】⊥AB ⊥CD ， ⊥⊥BOD =90°，
⊥⊥1+⊥BOD +⊥2=180°，⊥1=40°， ⊥40°+90°+⊥2=180°， ⊥⊥2=50°， 故选：C ．
【点睛】此题考查了直角和平角的性质，解题的关键是熟练掌握直角和平角的性质． 2．C
【分析】要知道入射角和反射角的概念：入射光线与法线的夹角，反射角是反射光线与法线的夹角，在光反射时，反射角等于入射角．
【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是40︒，所以入射角为904050︒-︒=︒．
根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50︒，所以入射光线与反射光线的夹角是100︒．
入射角减小10︒，变为501040︒-︒=︒，所以反射角也变为40︒，此时入射光线与法线的夹角为80︒．
则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小20︒． 故选：C ．
【点睛】本题考查了有关角的计算，首先要熟记光的反射定律的内容，搞清反射角与入射角的关系，特别要掌握反射角与入射角的概念，它们都是反射光线和入射光线与法线的夹角． 3．B
【分析】根据CD AB ⊥，可得⊥ADC =⊥BDC =90°可得⊥1+⊥2=90°，由1:23:2∠∠=，可求⊥1=
54︒，⊥2=36︒，由对顶角性质可得⊥ADF =⊥2=36°，利用角的和可得
⊥FDC =⊥ADC +⊥ADF =126°． 【详解】解：⊥CD AB ⊥ ⊥⊥ADC =⊥BDC =90° ⊥⊥1+⊥2=90°， ⊥1:23:2∠∠=，
设⊥1=3x ︒，⊥2=2x ︒， ⊥3x +2x =90， 解得18x =，
⊥⊥1=54︒，⊥2=36︒， ⊥⊥ADF =⊥2=36°，
⊥⊥FDC =⊥ADC +⊥ADF =90°+36°=126°． 故选：B ．
【点睛】本题考查垂直定义，角的和与比例，掌握垂直定义，根据角的和与比例建构方程，会解方程是解题关键． 4．D
【分析】画一条线段的垂线，就是画线段所在的直线的垂线，进而得出答案．
【详解】作一条线段的垂线，实际上是作线段所在直线的垂线，垂足可能在这条线段上，可能在端点处，也可能在线段的延长线上． 故选：D ．
【点睛】本题考查线段垂线的画法．正确把握垂线的定义是解题关键． 5．A
【详解】A.根据垂线段的定义，故A 正确； B.BD 不垂直AC ，所以错误；
C.是过点D 作的AC 的垂线，所以错误；
D.过点C 作的BD 的垂线，也错误. 故选：A. 6．C
【分析】根据平角的概念结合角平分线的定义列式求解． 【详解】解：⊥O 是直线AD 上一点 ⊥180AOD ∠=︒
⊥射线,OC OE 分别平分,AOB BOD ∠∠ ⊥1
2
COB AOB ∠=
∠，12EOB BOD ∠=∠
⊥1111
=()902222
COE COB EOB AOB BOD AOB BOD AOD ∠∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒
故选：C ．
【点睛】本题考查平角及角平分线的概念，正确理解相关概念列出角的和差关系是解题关键． 7．C
【分析】根据点到直线的距离的定义判断各选项即可．
【详解】A 、点A 到BC 的距离是AD 的长度，本选项正确，不符合题意； B 、点B 到AD 的距离是BD 的长度，本选项正确，不符合题意； C 、点C 到AD 的距离是DE 的长度，故本选项错误，符合题意； D 、点B 到AC 的距离是AB 的长度，本选项正确，不符合题意． 故选C ．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，关键是对点到直线的距离的意义的掌握． 8．A
【分析】根据角平分线的性质，可知点D 到OB 和OA 的距离相等，并且点到直线的线段中，垂线段最短，最短距离为5，即可判断．
【详解】⊥OD 平分AOB ∠，DE AO ⊥于点E ，5DE =， ⊥D 到OB 的距离等于5， ⊥5DF ≥
故DF 的长度不可能为4，故选A ．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到直线的线段中，垂线段最短，熟练掌握性质是本题的关键． 9．C
【分析】根据点C 到边AB 所在直线的距离是点C 到直线AB 的垂线段的长度进行求解即可.
【详解】点C 到边AB 所在直线的距离是点C 到直线AB 的垂线段的长度，而CD 是点C 到直线AB 的垂线段， 故选C.
【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟知点到直线的距离的概念是解题的关键. 10．D
【分析】根据直线外一点，到这条直线的垂线段的长度是这点到直线的距离判断即可． 【详解】解：A. 线段AC 的长度表示点C 到AB 的距离，说法正确，不符合题意； B. 线段AD 的长度表示点A 到BC 的距离，说法正确，不符合题意； C. 线段CD 的长度表示点C 到AD 的距离，说法正确，不符合题意；
D. 线段BD的长度表示点B到AD的距离，原说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，解题关键是准确识图，正确进行判断．
11．D
【详解】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，A没有告知在同一平面内，是假命题；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，B 是假命题；互相垂直的两条线段不一定相交，C是假命题；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，D是真命题．
答案：D
题型解法：命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，确定假命题可举反例证明．
12．D
【分析】根据题意画出图形，根据直线a//x轴，得到直线a为直线y= 2，根据垂线段最短即可得出答案．
【详解】
如图，⊥直线a// x轴，
⊥直线a为直线y= 2，
当BC⊥a时，线段BC最短，
⊥点C的坐标为(2，2)．
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，掌握平行于x轴的坐标的特点，以及垂线段最短是解题的关键．
13．90°⊥垂直的定义
【解析】略
14．130°
【分析】根据对顶角性质可得⊥BOD =⊥AOC=40°．根据OD 平分⊥BOF ，可得
⊥DOF =⊥BOD =40°，根据OE ⊥CD ，得出⊥EOD =90°，利用两角和得出
⊥EOF =⊥EOD +⊥DOF =130°即可．
【详解】解：⊥AB 、CD 相交于点O ，
⊥⊥BOD =⊥AOC=40°．
⊥OD 平分⊥BOF ，
⊥⊥DOF =⊥BOD =40°，
⊥OE ⊥CD ，
⊥⊥EOD =90°，
⊥⊥EOF =⊥EOD +⊥DOF =130°．
故答案为130°．
【点睛】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键．
15．120
【分析】根据垂直的定义和对顶角相等的性质可得答案．
【详解】解：AB CD ⊥，
90AOC BOC ∴∠=∠=︒，
又:1:2AOE COE ∠∠=，
119030123
AOE AOC ∴∠=∠=︒⨯=︒+， AOE BOF ∠=∠，
3090120COF BOF BOC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，
故答案为：120．
【点睛】本题考查垂直的定义，对顶角相等的性质，解题的关键是掌握垂直的定义． 16．DCF ∠，ECB ∠
【分析】根据垂直的定义和余角的定义，找和ACD ∠相加得90°的角即可．
【详解】解：CF AB ⊥于C ，DC CE ⊥，
90ACF BCF DCE ∴∠=∠=∠=︒，
90
ACD DCF
∴∠+∠=︒，18090
ACD BCE DCE
∠+∠=︒-∠=︒
ACD
∴∠的余角是：DCF
∠，ECB
∠．
答案：DCF
∠，ECB
∠．
【点睛】本题考查了垂直的定义和余角的定义，解题关键是准确识图，找出图中90°角，准确进行推理判断．
17．1
3
α##α3
【分析】利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，以及三角形内角和定理求解．
【详解】解：⊥⊥CEF＝⊥AFE+⊥BOC，⊥BOC＝α，
⊥⊥CEF＝α+⊥AFE，
⊥⊥MEF＝n⊥CEF，
⊥⊥MEF＝n（α+⊥AFE），
⊥⊥EGF＝⊥MEF﹣⊥NFE，
⊥⊥EGF＝n（α+⊥AFE）﹣（1﹣2n）⊥AFE＝nα+（3n﹣1）⊥AFE，
⊥⊥EGF的度数与⊥AFE的度数无关，
⊥3n﹣1＝0，即n＝1
3
，
⊥⊥EGF＝1
3α；
故答案为：1
3α．
【点睛】此题考查了三角形外角的性质及角度计算，解题的关键是理解⊥EGF的度数与⊥AFE 的度数无关的含义．
18．20°
【分析】由⊥AOB+⊥BOC=⊥BOC+⊥COD知⊥AOB=⊥COD，设⊥AOB=2α，则⊥AOD=11α，故⊥AOB+⊥BOC=5α=90°，解得α即可．
【详解】解：⊥⊥AOB+⊥BOC=⊥BOC+⊥COD，
⊥⊥AOB=⊥COD，
设⊥AOB=2α，
⊥⊥AOB：⊥AOD=2：11，
⊥⊥AOB+⊥BOC=9α=90°，
解得α=10°，
⊥⊥AOB =20°．
故答案为20°．
【点睛】此题主要考查了角的计算以及余角和补角，正确表示出各角度数是解题关键． 19．（1）见解析；（2）⊥COD=20°或160°．
【分析】（1）根据垂直的定义画射线OC ⊥OA ，射线OD ⊥OB ；
（2）如图1，由于OC ⊥OA ，OD （或OD’）⊥OB ，则⊥BOD =⊥BOD’=⊥AOC =90°，于是利用周角的定义可计算出⊥COD =160°，利用⊥COD ′=⊥BOC ﹣⊥BOD’可得到⊥COD ′=20°，如图2，同理可得⊥COD =160°，⊥COD ′=20°．
【详解】解：（1）如图1、如图2，OC 、OD （或OD ′）为所作；
（2）如图1，⊥OC ⊥OA ，OD ⊥OB ，
⊥⊥BOD =⊥BOD’=⊥AOC =90°，
⊥⊥COD =360°﹣90°﹣90°﹣20°=160°，
⊥COD ′=⊥BOC ﹣⊥BOD’=90°+20°﹣90°=20°，
如图2，同理可得⊥COD =160°，⊥COD ′=20°，
⊥⊥COD =20°或160°．
【点睛】本题考查了基本作图—过一点作已知直线的垂线，分情况作出图形是解决此题的关键.
20．(1)32；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；过程见解析
(2)16° (3)1(
)2n θ︒-
【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质即可求解；
（2）根据（1）的解法即可直接求解；
（3）利用（1）的结论求解．
（1）解：结论：⊥A 2＝32度．说理如下：因为BA 2、CA 2平分⊥A 1BC 和⊥A 1CM （已知），所以⊥A 1BC ＝2⊥1，⊥A 1CM ＝2⊥2（角平分线的意义）．因为⊥A 1CM ＝⊥A 1BC +⊥A 1，⊥2＝⊥1+⊥A 2（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．所以⊥A 1CM ＝⊥A 1BC +⊥A 1＝2⊥1＋⊥A 1＝2（⊥1+⊥A 2），所以⊥A 1＝2⊥A 2，因为⊥A 1＝64°，所以⊥A 2＝32°．故答案为：32，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
（2）由（1）得：⊥A 1＝2⊥A 2，⊥A 2＝2⊥A 3，⊥⊥A 1＝4⊥A 3，⊥⊥A 3＝14
⊥A 1＝16°． （3）由（1）得：⊥A 1＝2⊥A 2，⊥A 2＝2⊥A 3，
…，⊥An ﹣1＝2⊥An ，⊥⊥A 1＝2⊥A 2，⊥A 1＝4⊥A 3，⊥A 1＝8⊥A 4，…，⊥A 1＝2n ﹣1•⊥An ，⊥⊥A 1＝2n ﹣1•⊥An ，⊥⊥An ＝11
2n A -∠＝1()2n θ-︒． 【点睛】本题考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确解决（1），读懂题意是关键．
21．(1)见解析
(2)20︒
【分析】（1）利用外角的性质，BAC E ACE ∠=∠+∠，ECD E B ∠=∠+∠，再利用角平分线的定义推出ACE ECD ∠=∠，通过等量代换即可求证；
（2）先利用30ECD ACB ∠-∠=︒，180ACD ACB ∠+∠=︒，求出40ACB ∠=︒，进而求出B ，再代入（1）中结论即可求解．
（1）证明：⊥BAC ∠是ACE ∆的外角，⊥BAC E ACE ∠=∠+∠，⊥ECD ∠是BCE ∆的外角，⊥ECD E B ∠=∠+∠，⊥CE 是ACD ∠的平分线，⊥ACE ECD E B ∠=∠=∠+∠，⊥
2BAC E ACE E B E B E ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠；
（2）解：
⊥30ECD ACB ∠-∠=︒，⊥30ECD ACB ∠=∠+︒，⊥2260ACD ECD ACB ∠=∠=∠+︒，⊥180ACD ACB ∠+∠=︒，⊥260180ACB ACB ∠+︒+∠=︒，解得40ACB ∠=︒．⊥CA BE ⊥，⊥90BAC ∠=︒，⊥18050B BAC ACB ∠=︒-∠-∠=︒，由（1）知2BAC B E ∠=∠+∠，⊥90502E ︒=︒+∠，解得20E ∠=︒．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，角平分线的定义等，牢固掌握上述知识并灵活运用是解题的关键．
22．(1)⊥45︒；⊥平分，理由见解析
(2)32270AOC BOE ∠+∠=︒或2270AOC BOE ∠+∠=︒
【分析】（1）⊥先利用角度的和差关系求得COE ∠，再根据90EOF COE ∠=︒-∠，可得EOF
∠的度数；
⊥先根据角平分线定义EOF FOB ∠=∠，再结合余角定义和对顶角相等可得结论； （2）需要分类讨论，当点E ，F 在直线AB 的同侧，当点E ，F 在直线AB 的异侧；设COE α∠=，再分别表示AOC ∠、∠BOE ，再消去α即可．
（1）
解：⊥⊥OF CD ⊥于点O ，
⊥90COF ∠=︒，
⊥15BOD ∠=︒，120BOE ∠=︒，
⊥1801801201545COE BOE BOD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
⊥904545EOF COF COE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
⊥EOF ∠的度数为45︒；
⊥平分．理由如下：
⊥OF 平分∠BOE ， ⊥12
EOF FOB EOB ∠=∠=∠， ⊥OF CD ⊥，
⊥90COF ∠=︒，
⊥90COE EOF FOB BOD ∠+∠=∠+∠=︒，
⊥COE BOD ∠=∠，
⊥AOC BOD ∠=∠，
⊥COE AOC ∠=∠，
⊥OC 平分AOE ∠．
（2）
如图，当点E ，F 在直线AB 的同侧，设COE α∠=，
⊥2AOF COE ∠=∠，
⊥22AOF COE α∠=∠=，
⊥OF CD ⊥，
⊥90COF ∠=︒，
⊥290AOC AOF COF α∠=∠-∠=-︒⊥，
⊥()1801802902703BOE AOC COE ααα∠=︒-∠-∠=︒--︒-=︒-⊥，
⊥×3＋⊥×2得，32270AOC BOE ∠+∠=︒；
如图，当点E ，F 在直线AB 的异侧；设COE α∠=，
⊥2AOF COE ∠=∠，
⊥22AOF COE α∠=∠=，
⊥OF CD ⊥，
⊥90COF ∠=︒，
⊥902AOC COF AOF α∠=∠-∠=︒-⊥，
⊥()180********BOE AOC COE ααα∠=︒-∠-∠=︒-︒--=︒+⊥，
⊥＋⊥×2得，2270AOC BOE ∠+∠=︒．
综上所述，∠BOE 与AOC ∠之间的数量关系：32270AOC BOE ∠+∠=︒或
2270AOC BOE ∠+∠=︒．
【点睛】本题考查了角平分线定义，对顶角相等，垂直的定义，平角的定义，等式的恒等变形等知识，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合．分类讨论是解题的关键． 23．（1）作图见解析；（2）当汽车从A 向B 行驶时，在AP 这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ 这段路上，离村庄M 越来越远，离村庄N 越来越近．
【分析】（1）点与直线的连线中，垂线段最短，所以MP AB ⊥，NQ AB ⊥．
（2）观察图形可以得到在AP 这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ 这段路上，离村庄M
越来越远，离村庄N越来越近．
⊥，垂足为Q，点P、Q 【详解】解：(1)过点M作MP AB
⊥，垂足为P，过点N作NQ AB
就是要画的两点，如图所示．
(2)当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．
【点睛】本题主要考查了点与直线距离以及尺规作图相关知识，熟练掌握点与直线的距离和尺规作图是解决本题的关键．
<；垂线段最短．24．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）AB；（5）CE CA
【分析】（1）（2）（3）利用网格的特点直接作出平行线及垂线即可；（4）利用垂线段的性质直接回答即可；（5）利用垂线段最短比较两条线段的大小即可．
【详解】（1）如图，直线AD即为所求；
（2）如图，直线BF即为所求
（3）如图，直线CE即为所求；
（4）AB
<；垂线段最短．
（5）CE CA
【点睛】本题考查了垂线段最短和点到直线的距离的知识，解题的关键是理解有关垂线段的性质及能进行简单的基本作图．
2021年人教版七年级数学下册5.1.2《垂线》随堂练习(含答案)
5.1.2《垂线》随堂练习 一、选择题 1.如图,AB⊥CD,垂足为O,EF为过点O的一条直线,则∠1与∠2的关系一定成立的是( ) A.相等 B.互余 C.互补 D.互为对顶角 2.如图,点A在直线BC外,AC⊥BC,垂足为C,AC=3,点P是直线BC上的一个动点,则AP的长不可能是( ) A.2.5 B.3 C.4 D.5 3.在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使OC⊥OD,当∠AOC=30°时,∠BOD度数是( ) A.60° B.120° C.60°或90° D.60°或120° 二、填空题 4.如图,AB⊥CD,垂足为O,EF经过点O,∠2=2∠1,那么∠2=______度,∠3=______度. 5.如图所示,AO⊥OB于点O,∠AOB∶∠BOC=3∶2,则∠AOC=________度. 6.如图,BD⊥AC于D,DE⊥BC于E,若DE=9cm,AB=12cm,不考虑点与点重合的情况,则线段BD 的取值范围是________.
三、解答题 7.如图所示,已知AO⊥OB于O,DO⊥OC于O,∠AOC=∠α,求∠BOD(用∠α表示). 8.如图,CD⊥AB,垂足为D,AC⊥BC,垂足为C,线段AB,BC,CD的大小顺序如何?说明理由. 9.一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的学校,如图所示. (1)汽车在公路上行驶时,会对两个学校的教学都造成影响,当汽车行驶到何处时,分别对两个学校的影响最大?在图上标出来. (2)当汽车从A向B行驶时,在哪一段上对两个学校的影响越来越大?哪一段上对M学校的影响逐渐减小,而对N学校的影响逐渐增大? 参考答案 1.答案为：B. 2.答案为：A. 3.答案为：D. 4.答案为：60 30 5.答案为：150 6.答案为： 9cm 人教版数学七年级下册垂线同步练习题 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．如图，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 是过点O 的一条直线，已知⊥1=40°，则⊥2=（ ） A ．40° B ．45° C ．50° D ．60° 2．入射光线和平面镜的夹角为40︒，转动平面镜，使入射角减小10︒，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ） A ．减小40︒ B ．减小10︒ C ．减小20︒ D ．不变 3．如图所示，已知：,1:23:2CD AB ⊥∠∠=，则FDC ∠=（ ） A ．120︒ B ．126︒ C ．135︒ D ．144︒ 4．过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在( ) A ．这条线段上 B ．这条线段的端点处 C ．这条线段的延长线上 D ．以上都有可能 5．数学课上，同学们在练习过点B 作线段AC 所在直线的垂线段，正确的是( ) A ．A B ．B C ．C D ．D 6．如图，O 是直线AD 上一点，射线,OC OE 分别平分,AOB BOD ∠∠，则COE ∠的大小为（ ） A．120°B．60°C．90°D．150° 7．如图，AB⊥AC于A，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，下列说法错误的是（） A．点A到BC的距离是AD的长度B．点B到AD的距离是BD的长度C．点C到AD的距离是DE的长度D．点B到AC的距离是AB的长度 DE=，点F是射线OB上的任意一点，8．如图，OD平分AOB ∠，DE AO ⊥于点E，5 则DF的长度不可能是（） A．4B．5C．6D．7 9．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是() A．线段CA的长度B．线段CM的长度 C．线段CD的长度D．线段CB的长度 10．如图，在直角三角形ABC中，⊥BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列说法错误的是（） 新人教版七年级数学下册《 这套新人教版七年级数学下册《，所有试卷与教育部审定XX新人教版初中教材大纲同步，本站试卷供大家免费使用下载打印。 因为试卷复制时一些内容如图片之类无法显示，需要下载的老师、家长可以到本帖子底部下载WORD 编辑的DOC附件使用！ 试卷内容预览： 5.1.2 垂线 命题人：郑茵审题人：葛占民命题单位：扶余县新万发镇中学 1.如图所示，直线AD与直线BD 相交于点，BE⊥，垂足为点，点B到直线AD的距离是线段BE的长度，点D到直线AB的距离是线段的长度。 2.如图，直线MN、PQ交于点O，OE⊥PQ与点O，OQ平分∠MOF，若∠MOE=45°，则∠NOE= °，∠NOF= °，∠PON= ° 3.如图，若把水渠中的水引到水池C，挖一条沟CD垂直于渠岸AB，垂足为D，这时CD最短，这是根据。 4.已知：如图，ON⊥a，OM⊥a ，所以OM与ON 重合的理由是。 5.如图，找出图中能表示点到直线（线段）的距离的线段。 二、选择题 6.画一条线段的垂线，垂足在（） A 线段上 B 线段的端点 C 线段的延长线上 D 以上都有可能 7.点到直线的距离是指点到这条直线的（） A 垂线段 B 垂线的长 C 长度 D 垂线段的长 8.已知点O，画和点O的距离是3厘米的直线可以画（） A 1条 B 2条 C 3条 D 无数条 9. ∠A的两边分别垂直于∠Ｂ的两边，∠Ａ比∠Ｂ大６０°，则∠Ａ等于（） Ａ１２０°Ｂ３５°Ｃ４０°Ｄ３８° １０.Ｐ为直线ｌ外一点，Ａ，Ｂ，Ｃ为直线ｌ上三点，PA=5cm，PB=3cm，PC=4cm，则点P到直线l的距离为（） A4cm B 3cm C 小于3cm D 不大于3cm 七年级数学（下）第五章《相交线与平行线——垂线》练习题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在 A．这条线段上B．这条线段的端点处 C．这条线段的延长线上D．以上都有可能 【答案】D 2．过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是. A．B． C．D． 【答案】C 【解析】过点P向线段AB所在直线引垂线，根据画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，符合要求的只有选项C，故选C． 3．如图所示，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是 A．过两点有且只有一条直线 B．过一点只能作一条直线 C．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 【答案】C 【解析】已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，理由是在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选C． 二、填空题：请将答案填在题中横线上． 4．如图所示，直线AB与直线CD的位置关系是__________，记作__________，此时，∠AOD=∠__________ =∠__________=∠__________=90°． 【答案】垂直，AB⊥CD，DOB，BOC，COA 5．如图，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA=__________，∠BOC的补角为__________度． 【答案】72°，162 【解析】∵BO⊥AO，∴∠AOB=90°， ∵∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，∴∠BOC=18°， ∴∠COA=∠BOA–∠BOC=90°–18°=72°.∠BOC的补角为180°–18°=162°. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 6．如图，已知钝角∠AOB，点D在射线OB上. （1）作直线DE⊥OB； 新人教版七年级数学下册同步测试 5.1.2 垂线 知识要点： 1.垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．符号：如AB⊥CD． 2.垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（基本事实）．“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性，“过一点”中的这一点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外． 3.垂线的画法 一落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合； 二移：沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点； 三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线． 4.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，出线端最短． 5.点到直线的距离的定义 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 一、单选题 1．如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由（） A．垂线段最短B．过两点有且只有一条直线 C ．过一点可以作无数条直线 D ．两点之间线段最短 2．如图，经过直线l 外一点A 作l 的垂线，能画出（ ） A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条 3．点A 在直线m 外，点B 在直线m 上，A B 、两点的距离记作a ，点A 到直线m 的距离记作b ，则a 与b 的大小关系是 ( ) A ．a b > B ．a b ≤ C ．a b ≥ D ．a b < 4．如图，直线EO ⊥CD ，垂足为点O ，AB 平分∠EOD ，则∠BOD 的度数为（ ） A ．120° B ．130° C ．135° D ．140° 5．如图，已知点O 在直线AB 上，CO ⊥DO 于点O ，若∠1=145°，则∠3的度数为（ ） A ．35° B ．45° C ．55° D ．65° 6．如图所示，已知AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，垂足分别是C ，D ，那么以下线段大小的比较必定成立的是（ ） 相交线与平行线 相交线练习题 学习要求 1．能从两条直线相交所形成的四个角的关系入手，理解对顶角、互为邻补角的概念，掌握对顶角的性质． 2．能依据对顶角的性质、邻补角的概念等知识，进行简单的计算． 1．填空题 (1)如果两个角有一条______边，并且它们的另一边互为___________，那么具有这种关系 的两个角叫做互为邻补角． (2)如果两个角有______顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角两边的___________， 那么具有这种位置关系的两个角叫做对顶角． (3)对顶角的重要性质是________________。 (4)如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOE＝90°， ①∠1和∠2叫做______角；∠1和∠4互为______角；∠2和∠3互为______角；∠1和 ∠3互为______角；∠2和∠4互为______角． ②若∠1＝20°，那么∠2＝______； ∠3＝∠BOE－∠______=______°-______°=______； ∠4＝∠______-∠1＝______°-______°=______. (5)如图，直线AB与CD相交于O点，且∠COE＝90°，则 ①与∠BOD互补的角有__________________________________________________； ②与∠BOD互余的角有__________________________________________________； ③与∠EOA互余的角有__________________________________________________； ④若∠BOD＝42°17′，则∠AOD＝______；∠EOD＝_____；∠AOE＝_____. 2．选择题 (1)图中是对顶角的是( ) 5.1 相交线 垂线段 基础训练 知识点1 垂线段的定义 1.下列说法正确的是() A.垂线段就是垂直于已知直线的线段 B.垂线段就是垂直于已知直线并且与已知直线相交的线段 C.垂线段是一条竖起来的线段 D.过直线外一点向该直线作垂线,这一点到垂足之间的线段叫垂线段 2.如图,下列说法不正确的是() A.点B到AC的垂线段是线段AB B.点C到AB的垂线段是线段AC C.线段AC是点A到BC的垂线段 D.线段BD是点B到AD的垂线段 知识点2 垂线段的性质 3.如图,计划在河边建一水厂,过C点作CD⊥AB于D点.在D点建水厂,可使水厂到村庄C的路程最短,这样设计的依据是__________. 4.如图,在铁路旁有一李庄,现要建一火车站,为了使李庄人乘车最方便,请你在铁路线上选一点来建火车站,应建在() A.A点 B. B点 C.C点 D.D点 5.如图,已知AC⊥BC,CD⊥AB,垂足分别是C,D,那么以下线段大小的比较必定成立的是() A.CD>AD B.AC C.大于4 cm或小于6 cm D.大于4 cm且小于6 cm 7.如图,在三角形ABC中,∠C=90°,AC=3,点P可以在直线BC上自由移动,则AP的长不可能是() A.2.5 B.3 C.4 D.5 知识点3 点到直线的距离 8.如图所示的是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印,他的跳远成绩是线段的长度. 9.下列图形中,线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是() 10.如图,其长能表示点到直线(线段)的距离的线段的条数是() 七年级数学下册《垂线》练习题及答案 一、选择题 1．下面说法中错误的是（） A．两条直线相交，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直 B．若两对顶角之和为1800，则两条直线互相垂直 C．两条直线相交，所构成的四个角中，若有两个角相等，则两条直线互相垂直 D．两条直线相交，所构成的四个角中，若有三个角相等，则两条直线互相垂直 2．如图所示，AB⊥CD，垂足为D，AC⊥BC，垂足为C，那么图中的直角一共有（） A．2个B．3个C．4个D．1个 3．如图所示，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分⊥EOD，则⊥BOD的度数为（） A．120°B．130°C．135°D．140 4．点P为直线外一点，点A、B、C为直线上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P 到直线的距离为（） A．4cm B．5cm C．小于2cm D．不大于2cm 5．如图所示，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论中，其中说法正确的是（） ①⊥AOB＝⊥COD；②⊥AOB＋⊥COD＝90°；③⊥BOC＋⊥AOD＝180°；④⊥AOC－⊥COD＝⊥BOC. A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④ 6．如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若⊥1＝26°，则⊥2的度数是（⊥）． A．26°B．64° C．54°D．以上答案都不对 7．在下列语句中，正确的是（）． A．在平面上，一条直线只有一条垂线; B．过直线上一点的直线只有一条; C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条; D．垂线段的长度就是点到直线的距离 8．如图所示，⊥BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数为（）． ①AB⊥AC; ②AD与AC互相垂直; ③点C到AB的垂线段是线段AB; ④点D到BC的距离是线段AD的长度; ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离; ⑥线段AB是点B到AC的距离; ⑦AD>BD. A．2个B．4个C．7个D．0个 9．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分⊥AOC，ON⊥OM，若⊥AOM=35°，则⊥CON的度数为（） A．35°B．45°C．55°D．65° 10．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A和B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C⊥为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则C 点的个数为（）． 垂线习题 一、选择题：(每小题3分，共18分) 1.如图1所示，下列说法不正确的是( ) A.点B到AC的垂线段是线段AB B.点C到AB的垂线段是线段AC C.线段AD是点D到BC的垂线段 D.线段BD是点B到AD的垂线段 D C B A D C B A O D C B A (1) (2) (3) 2.如图1所示，能表示点到直线(线段)的距离的线段有( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 3.下列说法正确的有( ) ①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线 ②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线 ③在平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线 ④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图2所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=a cm，BC=b cm，则BD的范围是( ) A.大于a cm B.小于b cm C.大于a cm或小于bcm D.大于b cm且小于a cm 5.到直线L的距离等于2cm的点有( ) A.0个 B.1个 C.无数个 D.无法确定 6.点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，P A=4cm，PB=5cm，PC=2cm， 则点P到直线m的距离为( ) A.4cm B.2cm； C.小于2cm D.不大于2cm 二、填空题：(每小题3分，共12分) 1.如图3所示，直线AB与直线CD的位置关系是_______，记作_______，此时， ∠AOD=∠_______=∠_______=∠_______=90°. 2.过一点有且只有________直线与已知直线垂直. 3.画一条线段或射线的垂线，就是画它们________的垂线. 作业2 §5.1.2 垂线(一) 典型例题 【例1】 ①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直；②两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这条直线互相垂直；③两条直线相交，若所成的四个角相等，则这两条直线垂直；④两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线垂直.其中说法正确的有( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个 【解析】 题中的4个说法，都是关于两条直线垂直的判定问题.根据垂直定义，只要推出两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，就可以判断两条直线互相垂直.①是垂直的定义，所以正确；②有一组对顶角互补，因为对顶角相等，所以这两个角都是90°，所以正确；③两条直线相交，所成的四个角相等，都是90°，所以正确；④有一组邻补角相等，而邻补是互补的，所以这两个角都是90°，所以正确. 【答案】 D 【例2】 如图5-16，过点A 、B 分别画OB 、OA 的垂线. 图5-16 图5-17 【解析】 画线段或射线的垂线，就是画这条线段或射线所在直线的垂线，本例中的垂足分别在OB 的反向延长线上和OA 的延长线上. 【答案】如图5-17所示，直线AE 为过点A 与OB 垂直的直线，垂足为E;直线BD 为过点B 与OA 垂直的直线，垂足为D. 【例3】 如图5-18，点O 为直线AB 上一点，OC 为一射线，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC (1)若∠BOC=50°，试探究OE 、OF 的位置关系； (2)若∠BOC=α(0°＜x ＜180°)，(1)中OE 、OF 的位置关系是否仍成立?请说明理由，由此你发现了什么规律? 图5-18 【解析】 要探究OE 、OF 的位置关系，可先用三角尺或量角器检测∠EOF 的大小来判断OE 、OF 的关系，再通过计算加以说明；第(2)问用代数代表示∠EOF ，再归纳出结论. 【答案】 (1)由量角器测得∠EOF=90°,因此OE ⊥OF. 由邻补角的定义，可得∠AOC=180°-∠BOC=130°. 由OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC 可得∠COF= 21∠BOC=25°， ∠COE=2 1∠AOC=65°. 所以∠EOF=∠COF+∠COE=90°. 因此OE ⊥OF. (2)OE ⊥OF 仍成立. 因为∠AOC=180°-α，∠COF=2 1α， 5．1.2垂线 基础填空 1．垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个是_________时，就说这两条直线____________，其中一条直线叫做另一条直线的______线，它们的__________叫做__________。 2．符号：“⊥”读作“垂直于”，如AB⊥CD于O，含义是：直线AB与直线CD，是O. 3．垂线性质：______________________________________________________________。 知识点1认识垂直 1．如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2＝( ) A．35°B．40°C．45°D．60°2．如图，AB⊥CD于点O，EF为经过点O的一条直线，那么∠1与∠2的关系是( ) A．互为对顶角B．互补C．互余D．相等3．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，∠DOE＝127°，求∠AOF的大小． 知识点2画垂线 4．下列各图中，过直线l外一点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是( ) 5.如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点． （1）过点P画AB的垂线PE，垂足为E． （2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点． 知识点3垂线的性质 6．如图，经过直线l外一点A画l的垂线，能画出( ) A．1条B．2条C．3条D．4条 7．如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线l的点B处，然后记录AB的长度，这样做的理由是( ) A．两点之间线段最短B．过两点有且只有一条直线 C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线 8．下面可以得到在如图所示的直角三角形中斜边最长的原理是( ) A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．过一点有且只有一条直线和已知直线垂直D．垂线段最短 9．下列说法正确的有( ) ①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线； ④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线． A．1个B．2个C．3个D．4个 知识点4点到直线的距离 10．如图所示，点P到直线l的距离是( ) A．线段P A的长度B．线段PB的长度 C．线段PC的长度D．线段PD的长度 综合题 1．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的有( ) 5.1.2 垂线 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、单选题 1．到直线L 的距离等于2cm 的点有（ ） A ．0个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个 2．如图，能表示点到直线的距离的线段共有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．5条 3．点P 是直线l 外一点，A 、B 、C 为直线l 上的三点，4PA cm =，5PB cm =，2PC cm =，则点P 到直线l 的距离（ ） A ．小于2cm B ．等于2cm C ．不大于2cm D ．等于4cm 4．如图，有三条公路，其中AC 与AB 垂直，小明和小亮分别沿AC 、BC 同时从A 、B 出发骑车到C 城，若他们同时到达，则下列判断中正确的是（ ） A ．小明骑车的速度快 B ．小亮骑车的速度快 C ．两人一样快 D ．因为不知道公路的长度，所以无法判断他们速度的快慢 5．如图所示，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C ，D ，那么以下线段大小的比较必定成立的是（ ） A ．CD AD > B ．A C BC < C ．BC B D > D ．CD BD < 6．与一条已知直线垂直的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．无数条 7．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE⊥CD 于点O ，∠AOC＝36°，则∠BOE＝( ) A ．36° B ．64° C ．144° D ．54° 8．下面说法正确的是( ) A ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B ．两直线成直角,则这两直线一定垂直 C ．没有交点的两条直线一定平行 D ．过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线垂直 9．如图，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2的度数是（ ） A ．35° B ．45° C ．55° D ．70° 二、填空题 1．如图所示，A ，B ，C 是直线l 上的三点，P 为直线l 外一点，已知PC⊥l，PA ＝4厘米，PB ＝5厘米，PC ＝3厘米，则点P 到直线l 的距离为__________． 2．如图，115∠=︒，CO OA ⊥，点B ，O ，D 在同一直线上，则∠2的度数为________． 3．如图，直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，且AB⊥CD，∠1＝30°，则∠2＝______． 4．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，如果∠EOD＝40°，∠BOC＝130°，那么∠BOE 的度数是________． 人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线相交线垂线同步测试题 一、选择题 1．如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2的度数是(A) A．35° B．40° C．45° D．60° 2．下列各图中，过直线l外一点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是(D) 3．画一条线段的垂线，垂足在(D) A．线段上B．线段的端点C．线段的延长线上D．以上都有可能 4．下列说法正确的有(C) ①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线； ④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线． A．1个B．2个C．3个D．4个 5．如图所示，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，那么以下线段大小的比较必定成立的是(C) A．CD＞AD B．AC＜BC C．BC＞BD D．CD＜BD 6．点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝6 cm，则点P到直线m的距离(D) A．等于5 cm B．等于4 cm C．小于4 cm D．不大于4 cm 7．如图，若AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，则下列结论不正确的是(C) A．∠1与∠2互为余角B．∠3与∠2互为余角 C．∠2与∠AOE互为补角D．∠AOC与∠BOD是对顶角 二、填空题 8．如图，直线AB，CD相交于点O.若∠AOC＝90°，则AB与CD的位置关系是垂直；若已知AB⊥CD，则∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠AOD＝90°. 9．如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6 cm，PB＝5 cm，PC＝7 cm，则点P到直线l的距离是5cm. 第2课时垂线段最短 关键问答 ①将直线外一点与直线上各点连接，所得线段中最短的线段一定是什么线段？ ②点到直线的距离是一个几何图形，还是一个正数？它与垂线段有什么区别？ 1．①如图5－1－29，P是直线a外一点，PB⊥a，点A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是() 图5－1－29 A．P A B．PB C．PC D．PD 2．②如图5－1－30，OA⊥AB于点A，点O到直线AB的距离是() 图5－1－30 A．线段OA B．线段OA的长度 C．线段OB的长度D．线段AB的长度 命题点1垂线段最短[热度：92%] 3．如图5－1－31，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处(AB⊥CD)开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做的依据是() 图5－1－31 A．两点之间线段最短B．点到直线的距离 C．两点确定一条直线D．垂线段最短 4.③如图5－1－32，在铁路旁有一村庄，现要建一火车站，为了使村庄里的人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在() 图5－1－32 A．A点B．B点 C．C点D．D点 解题突破 ③选一点建火车站可以转化为确定垂线段的垂足. 5．2021·秦皇岛月考如图5－1－33，已知A，B，C，D是某公园内的四个凉亭，图中的连线是甬道，且∠D＝90°，∠BAC＝90°，若AC＝100米，则下列判断中不正确的是() 图5－1－33 A．甬道AD可能为100米B．甬道CD可能为60米 C．甬道AD可能为80米D．甬道BC可能为140米 6.④如图5－1－34，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E.若DE＝9，AB＝12，不考虑点与点重合的情况，则线段BD的长度的取值范围是____________． 图5－1－34 解题突破 ④BD的长既是点B到AC的距离，又是点D到直线BC上一点B的距离． 7．⑤如图5－1－35，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流． 人教版七年级下册数学第五章相交线与平行线 5.1.2 垂 线习题练习（附答案） 1、在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD等于( ) A. 60° B. 120° C. 60°或90° D. 60°或120° 2、如图，已知直线AB和CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分 ∠DOB.若∠EOF=107.5°，则∠1的度数为( ) A. 70° B. 65° C. 55° D. 45° 3、如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有() A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条 4、如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（） A. B. C. D. 5、下列说法中，正确的是( ) A. 有公共顶点，且方向相反的两个角是对顶角 B. 有公共点，且又相等的角是对顶角 C. 两条直线相交所成的角是对顶角 D. 角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角 6、如图，直线AB，CD相交于O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOD的度数等于( ) A. 20° B. 30° C. 35° D. 40° 7、直线AB上有一点O，OM⊥AB于O，另有直角∠COD在平角∠AOB内绕O点左右摆动（OC与OA、OD与OB不重合），在摆动时，始终与 ∠MOD保持相等的角是（） A. ∠BOD B. ∠AOC C. ∠COM D. 没有 8、如图，AB、CD相交于点O，EO⊥AB于O，则图中∠1与∠2的关系是（） A. 互余的两角 B. 互补的两角 C. 对顶角 D. 一对相等的角 9、如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD,如果∠1=35∘，那么∠2的度数是（）人教版数学七年级下册垂线同步练习题含答案
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