不等式恒成立问题
不等式恒成立问题
一、知识梳理：
不等式与函数、数列有关恒成立的综合运用
二、训练反馈：
1．若关于x 的不等式a a x x ≥-+-2在R 上恒成立，则a 的最大值是（ ）
A. 0
B. 0
C. -1
D. 2
2．不等式0222
24≥--++a a x x 恒成立，则a 的取值围是 。 3．不等式)1(122->-x m x 对于满足2≤m 的一切实数m 都成立，则x 的围
是 。
4．（04启中模拟）对一切实数x ，不等式1||2++x a x ≥0恒成立，则实数a 的取值围是 （ ）
A 、-∞(，－2］
B 、［－2，2］
C 、［－2，)+∞
D 、［0，)+∞
5．（04月考）对任意a ∈[－1,1]，函数f(x)=x 2+(a －4)x+4－2a 的值总大于零，则x 的取值围是 （ ）
A ．1 B ．x<1或x>3 C ．1 D ．x<1或x>2 6．（04中模拟）已知)1lg()(2x x x x f +++=,若)3(x m f ?+)239(-+-x x f 0<恒成立，则m 的取值围是__________. 7．（04黄冈模拟）设函数3)(x x f =（x ∈R ），若2 π0≤≤θ时，)sin (θm f +)1(m f - 0>恒成立，则实数m 的取值围是 （ ） A 、（0，1） B 、（-∞，0） C 、-∞(，)21 D 、-∞(，)1 三、例题 例1：)1lg()(+=x x f ，)2lg(2)(t x x g += 当]1,0[∈x 时)()(x g x f ≤恒成立，求的围。 例2：已知)(x f 定义在)1,1(-上，且有)1()()(xy y x f y f x f ++=+，若数列)}({n x f 满足 21112,21n n n x x x x +==+。 （1） 求数列)}({n x f 的通项公式 （2） 是否存在整数M ，使不等式M x f x f x f n >+++) (1...)(1)(121对任意+∈N n 恒成立？若存在，求出M 的最大值；若不存在，请说明理由。 例3：（2004天津卷）R 上的奇函数)0()(3 ≠++=a d cx ax x f ，当1-=x 时)(x f 取得极小值2-。 （1） 求)(x f 的单调区间和极大值； （2） 证明对任意)1,1(,21-∈x x ，不等式4)()(21<-x f x f 恒成立 四、课堂练习： 1．函数x y a log =在),2[+∞∈x 上恒有1>y ，则a 的取值围是 。 2．x 的不等式b x x +>-21在]0,1[-上恒成立，则b 的取值围是 。 3.函数3 472+++=kx kx kx y 的定义域是一切实数，则k 的取值围是 。 4.对任意实数，若不等式k x x >--+21恒成立，则k 的取值围是 。 5. 若不等式1sin 1 3)5(cos cos )1(22->+-+--+θθθx x x x 对于任意实数x 都成立，求θ的取值围。 6.若3 231222+-++=x x mx x y 对任意实数x 都有5 a x x ++22,x ∈),1[+∞. （1）当a=21时，求函数f(x)的最小值； （3） 若对任意的x ∈),1[+∞，0)(>x f 恒成立，试求a 的取值围。 8.（04年模拟）已知()),(2 3R b a b ax x x f ∈++-= （１）若函数)(x f y =图象上任意两个不同点的连线斜率小于1， 求证：33<<-a （２）若[]1,0∈x ，函数)(x f y =上任一点切线斜率为k ，当1≤k 时， 求a 的取值围。 参考答案： 训练反馈： 1．B 2.12-≤≥a a 或 3. 2 13217+<<-x 4.C 5.B 6.B 7.D 例题： 1．)()(x g x f ≤等价于)2lg(2)1lg(t x x +≤+，即 012>+≥+x t x ，即12++-≥x x t ，故原问题等价于12++-≥x x t 对]1,0[∈x 恒成立。设1,12-==+s x s x 则，所以)21(22122≤≤++-=++ -s s s x x ，而 1,1,1)22(max 2≥==++-t s s s 故此时。 2．（1）1)21()(,2)()(),(2)12()(1121-====+=++f x f x f x f x f x x f x f n n n n n n 又所以，即有 为公比的等比数列为首项，是以21)}({n x f ，故12)(--=n n x f 。 （2）)21...21211()(1...)(1)(11221-++++-=+++n n x f x f x f 22 11-=-n 22 1)(1-=-n n g 在+∈N n 上是减函数，1)1()(max -==∴g n g ，所以Z m M ∈-<又1 故2-=m 。 3．（1）0=d ，,)(3 cx ax x f +=,3)(2'c ax x f +=由条件()01,2)1('=-=f f x x x f c a c a c a 3)(,3,1,03,23-=∴-===+-=+∴解得，,33)(2'-=x x f 0)(]1,('≥--∞∈x f x 时，，所以)(x f 在]1,(--∞上单调增； 0)(]1,1['≤-∈x f x 时，，所以)(x f 在]1,1[-上单调减； 0)(),1['≥+∞∈x f x 时，，所以)(x f 在]1,1[-上单调增； 所以)(x f 在1-=x 处取极大值2)1(=-f 。 （2）)(x f 在]1,1[-上单调减，所以)(x f 在]1,1[-上的最大值为2)1(=-f ，最小值为2)1(-=f ，故4)2(2)()(21=--<-x f x f 。 课堂练习： 1．1221≠< 3,0[ 4 .)3,(--∞ 5.{x |x =－1或x ≥3} 6. 5 23125222<+-++<-x x mx x 恒成立 解得-11 7.解：（1）当21= a 时，221)(++=x x x f ，)(x f Θ在区间[),1+∞上为增函数， )(x f ∴在区间[),1+∞上的最小值为27)1(=f （2）[解法一]在区间的[),1+∞上，02)(2>++=x a x x x f 的恒成立022>++?a x x 恒成立，设),1[,22+∞∈++=x a x x y ，1)1(222-++=++=a x a x x y 递增，∴当1=x 时，a y +=3min ，于是当且仅当03min >+=a y 时，函数0)(>x f 恒成立，故3->a [解法二]),1[.2)(+∞∈++=x x a x x f ，当0≥a 时，函数)(x f 的值恒为正，当0+=a x f ，于是当且仅当03)(min >+=a x f 时，函数0)(>x f 恒成立，故3->a 8.解（1）、设任意不同两点为()()222111,,,y x P y x P ，且21x x ≠，则 ()01112221221212 23221312121<-+--+-∴<--++-∴<--ex x x x e x x x ex x ex x x x y y 33043 404230222221<<-∴<-∴<-++- 则???? ?????≤=≤≤≤+-=13)3(130123)1(2''a a f a a f 或?????>≤+-=13123)1('a a f 或?????<≤+-=03123)1('a a f 解得：当1≤k 时，31≤≤a 不等式恒成立问题 一、 教学目标 1、 知识目标；掌握不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、 能力目标；培养学生分析问题解决问题的能力 3、 情感目标；优化学生的思维品质 二、 教学重难点 1、教学的重点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、教学的难点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法的选择 三、 教学方法：高三复习探究课：学生研讨探究----学生归纳小结-----学生巩 固练习----学生变式探究---学生总结 四、 教学过程 1、 引人 高三数学复习中的不等式恒成立问题，涉及到函数的性质、图象, 渗透着换元、化归、数形结合、函数方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热点。我们今天这堂课来研究不等式恒成立求参数的取值范围问题的求解方法。引入课题 2、新课 下面我们来看例1例1、对一切实数x ]1,1[-∈，不等式 a x a x 24)4(2-+-+＞0恒成立，求实数a 的取值范围（由学生完成） 由一个基本题得到不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法 解法一；分离参数 由原不等式可得：a(x-2) > -x 2+4x-4 ， 又因为x ∈[-1，1] ，x-2∈[-3，-1] a<2-x 又因为x ∈[-1，1]，所以 a<1. 解法二；分类讨论、解不等式 （x-2）[x-(2-a)]>0 当a=0时不等式恒成立 当a<0 时x>2-a 或x<2 不等式恒成立 当a>0时x>2 或x<2-a 所以2-a>1 即a<1 所以a<1时不等式恒成立 解法三；构造函数求最值 设f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 当(4-a)/2∈[-1，1]，即a∈[2，6]时 -a2<0 不成立，舍弃； 当a>6时，f(-1)=1-a+4+4-2a>0 a<3 不成立，舍弃； 当a<2时，f(1)=1+a-4+4-2a=1-a>0 a<1 综上得：a<1 解法四；构造方程用判别式韦达定理根的分布 设x2+(a-4)x+4-2a=0 方程无实根或有两实根两根小于-1或两根大于1 △=(a-4)2-4(4-2a)=a2≥0 所以1-(a-4)+4-2a>0且(4-a)/2<-1 或1+(a-4)+4-2a>0 且(4-a)/2>16且a<3 或a<1且a<2, 所以a<1 解法五；数形结合（用动画来演示 a(x-2)>-x2+4x-4 设y=a(x-2) 和y=-x2+4x-4 分别作两函数的图象 考点2、利用函数的最值求不等式恒成立问题 例3、已知过函数1)(23++=ax x x f 的图象上一点),1(b B 的切线的斜率为－3． （1）求b a ,的值； （2）求A 的取值范围，使不等式1987)(-≤A x f 对于]4,1[-∈x 恒成立； 【解析】（1）()x f '=ax x 232+ 依题意得3,323)1('-=∴-=+==a a f k ()1323+-=∴x x x f ，把),1(b B 代入得1)1(-==f b 1,3-=-=∴b a （2）令063)(2'=-=x x x f 得0=x 或2=x 31232)2(,1)0(23-=+?-==f f 17)4(,3)1(=-=-f f 17)(3],4,1[≤≤--∈∴x f x 要使1987)(-≤A x f 对于]4,1[-∈x 恒成立，则)(x f 的最大值198717-≤A 2004≥∴A 变式训练1、设函数2()()ln ()f x x a x a R =-∈ （Ⅰ）若x e =为()y f x =的极值点，求实数a . （Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意(0,3]x e ∈恒有2()4f x e ≤成立（注：e 为 自然对数的底数）. 【解析】（I ）求导得2()()2()ln ()(2ln 1)x a a f x x a x x a x x x -=-+=-+-￠ 因为x e =是()f x 的极值点，所以()0f e =￠ 解得a e =或3a e =． 经检验，符合题意，所以a e =，或3a e = （II ）①当031a 时即1 3 a > 时，由①知，(0,1]x ?时，不等式恒成立，故下 研究函数在(1,3]a 上的最大值， 首先有22(3)(3)ln34ln3f a a a a a a =-=此值随着a 的增大而增大，故应 不等式恒成立问题基本类型及常用解法 类型1：设f(x)=ax+b f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立? ???0 )(0)( n f m f f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立??? ?0)(0)( n f m f . 例1. 设y=(log 2x)2+(t-2)log 2x-t+1,若t 在[-2,2]上变化，y 恒取正值，求实数x 的取值范围。 例2. 对于 -1≤a ≤1,求使不等式(21)ax x +2<(2 1)12-+a x 恒成立的x 的取值范围。 类型2：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) f(x) ＞0在x ∈R 上恒成立?a ＞0 且△＜0; f(x) ＜0在x ∈R 上恒成立?a ＜0 且△＜0. 说明：①.只适用于一元二次不等式 ②.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论. 例3.不等式3 642222++++x x m mx x ＜1对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。 类型3：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) （1） 当a ＞0时 ① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立 ??????≤-0)(2 m f m a b 或??????-o n a b m 2或?????≥-0)(2 n f n a b ??????≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或?????≥-0 )(2 n f n a b . ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立?? ??0)(0)( n f m f . （2） 当a ＜0时 ① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立? ? ? ?0)(0)( n f m f ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立 ??????≤-0)(2 m f m a b 或??????-o n a b m 2或?????≥-0)(2 n f n a b ??????≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或?????≥-0 )(2 n f n a b . 说明：只适用于一元二次不等式. 类型4：a ＞f(x) 恒成立对x ∈D 恒成立?a ＞f(x)m ax ， a ＜f(x)对x ∈D 恒成立? a ＜f(x)m in . 说明：①. f(x) 可以是任意函数 ②.这种思路是：首先是---分离变量，其次用---极端值原理。把问题转化为求函数的最值，若f(x)不存 在最值，可求出f(x)的范围，问题同样可以解出。 例4.（2000.上海）已知f(x)=x a x x ++22 ＞0在x ∈[)+∞,1上恒成立，求实数a 的取值范围。 函数、不等式恒成立问题解法（老师用） 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，(对于任意实数R 上恒成立) （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ 一元二次不等式恒成立问题专项练习 例题：设函数f (x )＝mx 2－mx －1. (1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围. (3)对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围. 解： (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0，满足题意； 若m ≠0，则??? m <0， Δ＝m 2＋4m <0，即－4 函数、不等式恒成立问题完整解法 恒成立问题的基本类型： 类型1：设，<1）上恒成立 ；<2）上恒成立。 类型2：设 <1）当时，上恒成立 ， 上恒成立 <2）当时，上恒成立 上恒成立 类型3： 。 类型4： 恒成一、用一次函数的性质 对于一次函数有： 例1：若不等式对满足的所有都成立，求x的范 围。 解读：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为： ，；令，则时， 恒成立，所以只需即，所以x的范围是。 二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数有： <1）上恒成立； <2）上恒成立 例2：若不等式的解集是R，求m的范围。 解读：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。 <1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； <2）时，只需，所以，。 三、利用函数的最值<或值域） <1）对任意x都成立； <2）对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例3：在ABC中，已知恒 成立，求实数m的范围。 解读：由 ， ，恒成立，，即 恒成立， 例4：<1）求使不等式恒成立的实数a的范围。 解读：因为函，显然函数有最 大值，。 如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： <2）求使不等式恒成立的实数a的范围。 解读：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变 化，这样使得的最大值取不到，即a取也满足条件，所以 。 所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。 四：数形结合法 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。 例5：已知，求实数a的取值范围。 解读：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由 得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数 在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在 在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才可以，所以。 不等式恒成立问题 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立? ???00a ; 2）0)( } 11 |{1)5(1)4(} 1 1|{10)3(} 1|{0)2(}1,1 |{0)1(<<>Φ =<<<<>=>< 不等式恒成立求参数的取值范围 武汉市第四十九中学 李清华 邮政编码；430080 一、 教学目标 1、 知识目标；掌握不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、 能力目标；培养学生分析问题解决问题的能力 3、 情感目标；优化学生的思维品质 二、 教学重难点 1、教学的重点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、教学的难点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法的选择 三、 教学方法：高三复习探究课：学生研讨探究----学生归纳小结-----学生巩固 练习----学生变式探究---学生总结 四、 教学过程 1、 引人 高三数学复习中的不等式恒成立问题，涉及到函数的性质、图象, 渗透着换元、化归、数形结合、函数方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热点。我们今天这堂课来研究不等式恒成立求参数的取值范围问题的求解方法。引入课题 2、新课 下面我们来看例1例1、对一切实数x ]1,1[-∈，不等式 a x a x 24)4(2-+-+＞0恒成立，求实数a 的取值范围（由学生完成） 由一个基本题得到不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法 解法一；分离参数 由原不等式可得：a(x-2) > -x 2+4x-4 ， 又因为x ∈[-1，1] ，x-2∈[-3，-1] a<2-x 又因为x∈[-1，1]，所以a<1. 解法二；分类讨论、解不等式 （x-2）[x-(2-a)]>0 当a=0时不等式恒成立 当a<0 时x>2-a 或x<2 不等式恒成立 当a>0时x>2 或x<2-a 所以2-a>1 即a<1 所以a<1时不等式恒成立 解法三；构造函数求最值 设f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 当(4-a)/2∈[-1，1]，即a∈[2，6]时 -a2<0 不成立，舍弃； 当a>6时，f(-1)=1-a+4+4-2a>0 a<3 不成立，舍弃； 当a<2时，f(1)=1+a-4+4-2a=1-a>0 a<1 综上得：a<1 解法四；构造方程用判别式韦达定理根的分布 设x2+(a-4)x+4-2a=0 方程无实根或有两实根两根小于-1或两根大于1 △=(a-4)2-4(4-2a)=a2≥0 所以1-(a-4)+4-2a>0且(4-a)/2<-1 或1+(a-4)+4-2a>0 且(4-a)/2>16且a<3 或a<1且a<2, 所以a<1 解法五；数形结合（用动画来演示 例谈不等式恒成立问题和能成立问题的解题策略 ——谈2008年江苏高考数学试卷第14题 摘要：所有问题均可分成三类：恒成立问题、能成立问题和不成立问题。《例谈不等式恒成立问题和能成立问题》介绍了解决不等式恒成立问题和不等式能成立问题常用的直接法、分离参数法、分类讨论法、数形结合法等，采用了等价转化的处理策略。 关键词：分离参数、分类讨论、数形结合、等价转化，换元，求最值。 2008年江苏高考数学试卷第14题是一道很好的恒成立问题：设函数3()31()f x ax x x R =-+∈若对于任意[]1,1x ∈-都有()0f x ≥成立，则实数a 的值为 。解析如下： 析：将()0f x ≥中的,a x 分离，然后求函数的最值。 解：函数3()31()f x ax x x R =-+∈若对于任意[]1,1x ∈-都有()0f x ≥成立，函数3()31()f x ax x x R =-+∈对于任意[)(]1,0,0,10x x x ∈-∈=及其有()0f x ≥都成立。 若[)1,0x ∈-，33213()310f x ax x a x x =-+≥?≤- +，设1t x =则1t ≤- 3232133(1)t t t x x ∴-+=-+≤-，令323(1)y t t t =-+≤-，则'2360y t t =-+< 323(1)y t t t ∴=-+≤-单调递减，32min 1(1)3(1)4t y y =-==--+-=，4a ∴≤（1） 若(]0,1x ∈，33213()310f x ax x a x x =-+≥?≥- +，设1t x =，则1t ≥ 3232133(1)t t t x x ∴-+=-+≥，令323(1)y t t t =-+≥，则'2363(2)y t t t t =-+=--，当12t ≤≤时'0y ≥，323(1)y t t t =-+≥单调递增；当2t >时'0y <，323(1)y t t t =-+≥单调递减，32max 22324t y y ===-+?=，4a ∴≥（2） 若0x =则a R ∈，()0f x ≥成立（3） 由题意知（1）（2）（3）应同时成立4a ∴= 解题中采取了不等式恒成立问题的处理策略: 1、若f(x)≥a 对x ∈D 恒成立，只须f(x)min (x ∈D)≥a 即可。 2、若f(x)≤a 对x ∈D 恒成立，只须f(x)max (x ∈D)≤a 即可。 高中数学不等式的恒成立问题不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。 一、构造函数法 在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数. 例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围. 解：由移项得:.不等式左侧与二次函数非常相似，于是我们可以设则不等式对满足的 一切实数恒成立对恒成立.当时， 即 解得故的取值范围是. 注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，令 则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。 二、分离参数法 在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法. 例2已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数 在区间上是减函数. （Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围. 解：由题意知，函数在区间上是减函数. 在上恒成立 注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数 都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有 恒成立，则. 三、数形结合法 如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围. 例 3 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 不等式中恒成立问题的解法 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立? ???00 a ; 2）0)( 一题多解专题一：一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式恒成立问题的两种解法 (1)分离参数法.把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题. (2)不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解. 例1. 设函数22)(2+-=x ax x f ，对于满足1 复合函数的单调性与不等式恒成立问题 班级 学号 姓名 1、对于（0，3）上的一切实数x ,不等式()122-<-x m x 恒成立，则实数m 的取值范围是 。 2、不等式a 220x ax ++≥对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为 ． 3、不等式022 ≥-+ax ax 的解集为φ，则a 的取值范围为 ． 4、当[]1,3x ∈时，不等式220x ax ++>恒成立，则a 的范围为 ． 5、当[]1,3a ∈时，不等式220x ax ++>恒成立，则x 的范围为 ． 6、已知函数36,2(),63,2x x y f x x x +≥-?==?--<-? 若不等式()2f x x m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是 . 6．若二次函数()()22 42221f x x p x p p =----+在区间[－1，1]内至少存在一实数c ，使f(c)＞0，则实数p 的取值范围 （ ） A ．121<<-p B ．233<<-p C ．3-≤p D ．2 13-<<-p 8．若满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和同时成立的x 的值，使关于x 的不等式0 922<+-a x x 也成立，则 （ ） A ．9>a B ．9=a C ．90≤+p x px x 恒成立的x 的取值范围是 ． 7、已知a ax x x f -++=3)(2 ，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 例1.若函数bx x a x f 1)1()(2++=，且3)1(=f ，2 9)2(=f ⑴求b a ,的值，写出)(x f 的表达式 ； ⑵判断)(x f 在),1[+∞上的增减性，并加以证明。 例4.已知f(x)=x a x x ++22 ＞0在x ∈[)+∞,1上恒成立，求实数a 的取值范围。 《不等式恒成立问题》 一、 教学目标： （1） 知识目标：利用二次函数、导数、均值不等式、三角函数和线性规划 求最值。 （2） 能力目标：掌握不等式恒成立问题的解法，熟练应用四大数学思想， 提升解决问题的能力。 （3） 情感目标：树立学好数学的信心，让学生体验到成功感，信心百倍地 参加高考。 二、 教学重点：利用二次函数相关知识解决此类问题。 三、 教学难点：如何把不等式恒成立问题转换为二次函数求最值，即函数 与方程思想的应用。 四、 教学方法：通过例题讲解，引导学生思考、归纳和总结此类问题的解 法，然后再练习习题。 五、 教具准备：多媒体课件 六、 教学过程： 高中数学的恒成立问题一直以来都是一个重点、难点，这类问题没有一个固定的思想方法去处理，在近些年的高考模拟题及数学高考题中屡见不鲜。如何简单、准确、快速的解决这类问题并更好地认识把握，本节课通过举例来说明这类问题的一些常规处理方法。 ① 2 11.12 52x ax x a ∈++≥0对于一切(0,]例若不等式成立，则的最小值为 （ ）A.0 B.-2 C.- D.-3x 21ax x -≥法一:不等式可化为-， ().11 2x x a x -+∴∈≥(0,]，由()112x x + 在(0,]上是减函数,max ()152x x --∴=-2 ()1,.2 a f x x ax x =++=- 法二：令对称轴为02(0)0 a f ?-????≤≥0a ?≥x 5a 2 ∴≥- 1 ② ③ 小结：法一利用参变量分离法，化成a >f (x)(a 基础梳理 1?一元二次不等式的解法 ⑴将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+ bx+ c> 0(a> 0)或ax2 + bx+ c v 0(a> 0). ⑵求出相应的一元二次方程的根. (3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集. 2. 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如下表： 肋摩擞烁----- 一个技巧 一元二.次.不.等式…ax2+一bx+ c v 0(a壬.0)的解集.的确定愛…一 a.的符号.、…b2—4ac .的符号的影响，且与 相应的.二.次函数……一.元二次方程有密切联系,….可结合相应旳函数.…y亍.ax2.+. .bx+. c(a. 0).的图象， 数形结合求得不等式的解集，…若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为... ax2+ bx+ c > 0(或v .0).(其中..a> .0)的形式，其对应的方程…a^+bx+c三0 一有.两个丕等实根…x i,.x2,(x i v x2)(此 时.b2—4ac> 0).,则可根据.“大于取两边，小于夹中间”求解集. ..... 两个防范 ⑴二.次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零一. 的情况.；.. (2)解含参数的一元二次不等式.，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论;.若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论,.分类要不重不漏:……… 二次不等式恒成立问题 不等式ax2+ bx+ c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a= 0时，b = 0, c>0;当 a> 0, r a^ 0时，不等式ax2+ bx+ c v 0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a= 0时，b △v 0； a v 0, =0, c v 0；当a^0 时， △V 0. 、恒成立问题的基本类型: 类型1 :设f (x) 2 ax bx c(a 0)，(1) f (x) 0在x R上恒成立 a 0且0 ； (2) f(x) 0在x R上恒成立 a 0且0。 类型 设f(x) 2 ax bx c(a 0) 2 : (1) 当a 0时，f(x) 0在x [ ,］上恒成立 b b b 2a 或2a 或2a f( ) 0 0 f() 0 f() 0 f(x) 0在x [ ,］上恒成立 f() 0 f() 0 (2) 当a 0时，f(x) 0在x [ ,］上恒成立 f() 0 导数的应用 【考查重点与常见题型】 题型一 运用导数证明不等式问题 例1 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值； (2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2 －2ax ＋1. (1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知 f ′(x )＝e x －2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2， 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ f (x ) 单调递减 2(1－ln 2＋a ) 单调递增 故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2]，单调递增区间是[ln 2，＋∞)， f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为 f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )． (2)证明 设g (x )＝e x －x 2 ＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )的最小值为 g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0， 所以g (x )在R 上是增加的． 于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )>0. 即e x －x 2 ＋2ax －1>0，故e x >x 2 －2ax ＋1. 已知f (x )＝x ln x . (1)求g (x )＝ f x ＋k x (k ∈R)的单调区间； (2)证明：当x ≥1时，2x －e≤f (x )恒成立． 解：(1)g (x )＝ln x ＋k x ， ∴令g ′(x )＝ x －k x 2 ＝0得x ＝k . ∵x >0，∴当k ≤0时，g ′(x )>0. ∴函数g (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间； 当k >0时g ′(x )>0得x >k ；g ′(x )<0得0 函数、不等式恒成立问题完整解法 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时， ] ,[0)(βα∈>x x f 在上恒成立 ?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ 浅谈不等式恒成立问题 兴义八中 李明生 在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现恒成立问题，这样的题目一般综合性强，可考查函数、数列、不等式及导数等诸多方面的知识。同时，培养学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。本人根据高考题及高考模拟题总结了四种常见的解决不等式恒成立问题的方法。 法一：转换主元法。适用于一次型函数。 法二：化归二次函数法。适用于二次型函数。 法三：分离参数法。适用于一般初等函数。 法四：数型结合法。 1．转换主元法 确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数。 例1：若不等式 2x －1>m(x 2-1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围。 解：原不等式化为 (x 2－1)m －(2x －1)<0 记f(m)= (x 2－1)m －(2x －1) (－2≤m ≤2) 根据题意有：?????<=<=01)-(2x -1)-2(x f(2)01)-(2x -1)--2(x f(-2)22 即：?????<->+0 1-2x 2x 03-2x 2x 22 解之：得x 的取值范围为2 31x 271+<<+- 变式练习1-1对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。 分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。 略解：不等式即(x-1)p+x 2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有： ???>>-)2(0)2(f f 即?????>->+-0 103422x x x 解得：???-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3. 2．化归二次函数法 根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。 例2：在R 上定义运算?：x ?y ＝x (1－y) ，若不等式(x －a)?(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( ) (A)－1不等式恒成立问题
利用函数的最值求不等式恒成立问题
不等式恒成立问题的基本类型及常用解法 - 副本
函数不等式恒成立问题经典总结
一元二次不等式恒成立问题专项练习
函数、不等式恒成立问题完整解法
不等式恒成立问题的大全
含参数的一元二次不等式的解法与恒成立问题
不等式恒成立求参数的取值范围
不等式恒成立问题及能成立问题
高中数学恒成立问题
不等式恒成立问题
(完整版)一题多解专题一：一元二次不等式恒成立问题
复合函数的单调性与不等式恒成立问题
《不等式恒成立问题》教案
二次不等式恒成立问题
导数的不等式恒成立问题
函数、不等式恒成立问题完整解法
浅谈不等式恒成立问题