上海市曹杨二中2019年高一下期末数学试题

上海市曹扬二中2019年高一年级第二学期

期终考试数学试卷 （20190625）

一、填空题：(1-6题每题4分,7-12题每题5分,共54分)

1.已知向量(3,1)a =，(,6)b x =-，若a b ⊥，则实数x 的值为 .

2.若120角的终边经过点(1,)P a -，则实数a 的值为 .

3.已知向量(4,3)a =，则a 的单位向量0a 的坐标为 .

4.在等差数列{}n a 中，155a a +=，43a =，则8a 的值为 .

5. 若,a b 为单位向量，且2

()3

a a

b ?+=

，则向量,a b 的夹角为 .（用反三角函数值表示） 6.已知向量(cos ,sin )a θθ=，(1,3)b =，则||a b -的最大值为 . 7.若4

sin

2

5

θ

=

，且sin 0θ<，则θ是第 象限角. 8.已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D 为BC 边上（含端点）的动点，则AD BC ?的取值范围是 . 9.若当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ= .

10. 走时精确的钟表,中午12时,分针与时针重合于表面上12的位置,则当下一次分针与时针重合时,时针转过的弧度数的绝对值等于 . 11. 如图, P 为ABC ?内一点,且11

35

AP AB AC =+,延长BP 交AC 于点E ,若AE AC λ=,则实数λ的值为 .

12. 为了研究问题方便,有时将余弦定理写成: 222

2cos a ab C b c -+=,利用这个结构解

决如下问题:若三个正实数,,x y z ，满足2

2

9x xy y ++=,2

2

16y yz z ++=，22

25z zx x ++=，则

xy yz zx ++= .

二、选择题（每题5分，满分20分）

13. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,若{}n a 的前10项之和大于前21项之和,则（ ） A ．0d < B ．0d > C. 160a < D ．160a >

14.已知数列{}n a 满足1(1)n n n n a a a +=+-*

()n N ∈，则

4

2

a a 的值为（ ） A ．

1615 B ．43 C. 13 D ． 83

15.在非直角ABC ?中，“A B >”是“|tan ||tan |A B >”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要 16.在ABC ?中，若623AC AB AB BC BC CA ?=?=?，则角A 的大小为（ ） A ．

4π B ．3

π

C. 23π D ． 34π

三、解答题：共76分.

17. 设向量(1,1)a =-，(3,2)b =，(3,5)c =. （1）若()//a tb c +，求实数t 的值； （2）求c 在a 方向上的投影.

18. 已知方程2

0x mx n ++=有两根12,x x ，且1arctan x α=，2arctan x β=.

（1）当m =4n =时，求αβ+的值；

（2）当sin m θ=-，cos n θ=（0θπ<<）时，用θ表示αβ÷.

19. 某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ,现打算用它们和两面成直角的墙,OM ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB (假设,OM ON 这两面墙都足够长)已知||||10PA PB == (米),

4

AOP BOP π

∠=∠=

,OAP OBP ∠=∠，设OAP θ∠=,四边形OAPB 的面积为S .

（1）将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围； （2）求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值.

20. 已知函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+>≤<的最小正周期为2π,且其图像的一个对称轴为2

x π=

,

将函数()f x 图像上所有点的橫坐标缩小到原来的12倍,再将图像向左平移4

π

个单位长度,得到函数()g x 的图像.

(1)求()f x 的解析式,并写出其单调递增区间；

(2)求函数()()y f x g x =-在区间[0,2]π上的零点； (3)对于任意的实数t ,记函数()f x 在区间[,]2

t t π

+

上的最大值为()M t ,最小值为()m t ,求函数

()()()h t M t m t =-在区间[0,]π上的最大值.

21. 在ABC ?中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c , R 为ABC ?的外接圆半径. (1)若2R =,2a =,45B =,求c ；

(2)在ABC ?中,若C 为钝角,求证: 2

2

2

4a b R +<；

(3)给定三个正实数,,a b R ,其中b a ≤,问: ,,a b R 满足怎样的关系时,以,a b 为边长, R 为外接圆半径的

ABC ?不存在,存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)?在ABC ?存在的情兄下,用,,a b R 表示

c .

试卷答案

一、填空题

3. 43(,)55

4.7

5. 1arccos

3

π- 6.3 7.三 8. [2,2]-

9. 10. 2

11

11.

3

10

12. 二、选择题

13.C 14. B 15. C 16.D

三、解答题

17.（1）8t = （2

）

18.（1

）由韦达定理可得，12x x m +=-=-124x x n ==， 而1tan x α=，2tan x β=

，所以tan()14αβ-+=

=-3

π

αβ+= （2）22sin cos

sin 22tan()tan 1cos 222sin

2

θθ

θπθαβθθ??+===- ?-??，22πθαβ+=- 19.（1）在PAO ?

中，由正弦定理，得

||||||

3sin sin sin 44OA OP PA πθπθ===??- ?

??

于是3

||4OA πθ??=- ???

，||OP θ=

13||||sin sin()244

PAO S OA OP ππ

θθ?=

=-

所以四边形OAPB

的面积为3sin 4S θπθ??=- ???，1130,,444θπππ????∈? ? ?????

（2

）3sin 4S θπθ??=- ???

2100(sin cos sin )θθθ=+

1

1cos 2100sin 22

2θθ-??

=+

???

2504πθ??=-+ ???，1130,,444θπππ????

∈? ? ?????

所以，当38

π

θ=

时，四边形OAPB 的面积S

取得最大值max 1)S =. 20.（1）221||T ππωω=

=?=，2

x π

=为其中一个对称轴，则sin 122f ππ?????

=+= ? ?????

， 202

2k π

π

?π?+=+

?=，所以()sin f x x =，单调递增区间为2,222k k ππππ?

?-+???

?

（2）由题意得()cos 2g x x =，则2

()()sin cos 22sin sin 1y f x g x x x x x =-=-=+-， 令0y =，解得1sin 2x =

或-1，因为[0,2]x π∈，所以6x π=，56π，32

π

（3）[0,

]4t π

∈时，()1M t =，()()m t f t =；(,]42t ππ∈，()1M t =，()()2

m t f t π

=+；

(,]4t ππ∈，()()M t f t =，()()2

m t f t π

=+.

所以1sin 0,4()1cos ,42sin cos ,2t t h t t

t t t t πππππ???

-∈???

???

???

=-∈? ????

???-∈? ?

???

，

所以max ()h t =

21.（1）c =（2）C 为钝角，则cos 0C <，所以2

2

2

2

2

2

2

(2sin )4sin 4a b c R C R C R +<==<，得证； （3）①当2a R >或2a b R ==时，所求的ABC ?不存在；

②当2a R =或b a <时，90A ∠=，所求的ABC ?只存在一个，且c = ③当2a R <或b a =时，A B ∠=∠，且,A B 都是锐角，由sin sin 22a b A B R R =

==，

,A B 唯一确定，因此，所求的ABC ?只存在一个，且2cos c a A ==

； ④当2b a R <<时，B ∠总是锐角，A ∠可以是钝角也可以是锐角，因此所求ABC ?存在，

当90A <时，cos A =

c ==

当90A >时，cos A =

c =