人教A版数学选修2-1同步作业：第2章 圆锥曲线与方程 作业21
课时作业(二十一)
1．到两定点A(0，0)，B(3，4)距离之和为5的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．AB 所在的直线 C ．线段AB D ．无轨迹
答案 C
解析 ∵|AB|＝5，∴到A ，B 两点距离之和为5的点的轨迹是线段AB.
2．若点P 到点F(0，2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y
答案 C
解析 由题意知P 到F(0，2)的距离比它到y ＋4＝0的距离小2，因此P 到F(0，2)的距离与到直线y ＋2＝0的距离相等，故P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，所以P 的轨迹方程为x 2＝8y.
3．在△ABC 中，已知A(－1，0)，C(1，0)，且|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，则顶点B 的轨迹方程是( ) A.x 23＋y 2
4＝1 B.x 23＋y 2
4＝1(x ≠±3) C.x 24＋y 2
3＝1 D.x 24＋y 2
3
＝1(x ≠±2) 答案 D
解析 ∵|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，∴|BC|＋|BA|＝2|CA|＝4.
∴点B 的轨迹是以A ，C 为焦点，半焦距c ＝1，长轴长2a ＝4的椭圆，又B 是三角形的顶点，A ，B ，C 三点不能共线，故所求的轨迹方程为x 24＋y 2
3
＝1，且x ≠±2.
4．已知点F(1，0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线
答案 D
解析 连接MF ，由中垂线性质知|MB|＝|MF|， 即M 到定点F 的距离与它到直线x ＝－1距离相等． ∴点M 的轨迹是抛物线． ∴D 正确．
5．设椭圆与双曲线有共同的焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆长轴长是双曲线实轴长的2
倍，则椭圆与双曲线的交点轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一个圆 C ．两个圆 D ．两条抛物线
答案 C
解析 由?
????|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，
||PF 1|－|PF 2||＝2a ，得|PF 1|＝3|PF 2|或|PF 2|＝3|PF 1|，所以是两个圆．
6．经过抛物线y 2＝2px 焦点弦的中点的轨迹是( ) A ．抛物线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．直线
答案 A
解析 点差法，k AB ＝
2p y 1＋y 2＝2p 2y
＝k MF ＝y
x －p 2
，化简得抛物线．
7．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C(x ，y)满足AC →＝2CB →
，则动点C 的轨迹方程________． 答案 x 2＋1
4
y 2＝1
解析 设A(a ，0)，B(0，b)，则a 2＋b 2＝9.又C(x ，y)，则由AC →＝2CB →
，得(x －a ，y)＝2(－x ，b －y)．
即?????x －a ＝－2x ，y ＝2b －2y ， 即?
????a ＝3x ，
b ＝32
y ，
代入a 2＋b 2＝9，并整理，得x 2＋1
4y 2＝1.
8．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________． 答案 y 2＝4(x －2)
解析 设直线方程为y ＝k(x －1)，点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P(x ，y)，由OM →＝NP →
，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)，得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y.
由?
????y ＝k （x －1），y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，
y ＝y 1＋y 2＝
4k
k 2
，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)． 9．已知△ABC 的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB 边上的中线长|CD|＝3，则顶点A 的轨迹方程为________．
答案 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)
解析 方法一(直译法)：设A(x ，y)，y ≠0，则D(x 2，y
2
)．
∴|CD|＝
（x 2－5）2
＋y 2
4
＝3. 化简，得(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点构成三角形，所以A 不能落在x 轴上，即y ≠0. 方法二(定义法)：如右图，设A(x ，y)，D 为AB 的中点，过A 作AE ∥CD 交x 轴于E.
∵|CD|＝3，∴|AE|＝6，则E(10，0)，∴A 到E 的距离为常数6.∴A 的
轨迹为以E 为圆心，6为半径的圆，即(x －10)2＋y 2＝36，又A ，B ，C 不共线，故A 点纵坐标y ≠0，故A 点轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)． 10．已知抛物线
y 2＝nx(n<0)与双曲线
x 28－y 2
m
＝1有一个相同的焦点，则动点(m ，n)的轨迹方程是________． 答案 n 2＝16(m ＋8)(n<0)
解析 抛物线的焦点为(n 4，0)，在双曲线中，8＋m ＝c 2＝(n
4)2，n<0，即
n 2＝16(m ＋8)(n<0)．
11.如图，直角三角形ABC 的顶点A(－2，0)，直角顶点B(0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点． (1)求BC 边所在直线方程；
(2)M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；
(3)若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心N 的轨迹方程． 解析 (1)∵k AB ＝－2，AB ⊥BC ， ∴k CB ＝
22.∴BC ：y ＝2
2
x －2 2. (2)在上式中，令y ＝0，得C(4，0)．∴圆心M(1，0)． 又∵|AM|＝3，∴外接圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9. (3)∵P(－1，0)，M(1，0)，
且圆N 过点P(－1，0)，∴PN 是该圆的半径．
又∵动圆N 与圆M 内切，∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3.
∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆．∴a ＝3
2，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝
5
4
＝52
. ∴轨迹方程为49x 2＋4
5
y 2＝1.
12．已知动点P(x ，y)与两定点M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)讨论轨迹C 的形状．
解析 (1)由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·y x －1
＝λ. 整理，得x 2
－y 2
λ
＝1(λ≠0，x ≠±1)．
(2)①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1，0)，(1，0)； ④当λ<－1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)． 13．(2016·课标全国Ⅰ，理)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B(1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；
(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．
解析 (1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB ∥AC ，所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ， 所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.
由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义，可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．
(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k(x －1)(k ≠0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)． 由????
?y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，
得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 则x 1＋x 2＝8k 2
4k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.
所以|MN|＝
1＋k 2|x
1－x 2|＝12（k 2＋1）
4k 2＋3
. 过点B(1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1
k (x －1)，
A 到直线m 的距离为
2
k 2
＋1， 所以|PQ|＝242－（
2
k 2
＋1
）2＝44k 2＋3
k 2＋1
. 故四边形MPNQ 的面积S ＝1
2
|MN||PQ|＝12
1＋14k 2＋3
. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83)．
当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，故四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12，83)．
1．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C. (1)求C 的方程；
(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.
解析 由已知得圆M 的圆心为M(－1，0)，半径r 1＝1， 圆N 的圆心为N(1，0)，半径r 2＝3. 设圆P 的圆心为P(x ，y)，半径为R. (1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R ＋r 1)＋(r 2－R)＝r 1＋r 2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 2
3
＝1(x ≠－2)．
(2)对于曲线C 上任意一点P(x ，y)，由于|PM|－|PN|＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2，0)时，R ＝2.
所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|＝2 3.
若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP||QM|＝R r 1，
可求得Q(－4，0)，所以可设l ：y ＝k(x ＋4)，由l 与圆M 相切，得|3k|1＋k 2
＝1，解得k ＝±2
4.
当k ＝24时，y ＝24x ＋2，代入方程x 24＋y 2
3＝1，
并整理，得7x 2＋8x －8＝0， 解得x 1＝－4－627，x 2＝62－4
7.
所以|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝18
7
. 当k ＝－
24时，由图形的对称性可知|AB|＝18
7
. 综上，|AB|＝23或|AB|＝
18
7
. 2．已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.
(1)求曲线C 的方程；
(2)是否存在实数m，使曲线C上总有不同的两点关于直线y＝x＋m对称？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解析(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：（x－1）2＋y2－x＝1(x>0)．化简得y2＝4x(x>0)．
(2)假设抛物线y2＝4x(x>0)上存在不同的两点A，B关于直线y＝x＋m对称，则可设AB的方程为y＝－x＋b代入y2＝4x并整理得x2－(2b＋4)x＋b2＝0，
则Δ＝(2b＋4)2－4b2>0且x≠0，即b＋1>0，且b≠0.
设AB的中点为M(x0，y0)，则x0＝b＋2，
y0＝－x0＋b＝－2，又M(b＋2，－2)在y＝x＋m上，
∴－2＝b＋2＋m，即b＝－4－m，
∴－3－m>0且－4－m≠0，
m<－3且m≠－4.
∴存在m使曲线C上总有不同的两点关于直线y＝x＋m对称，m的取值范围为(－∞，－4)∪(－4，－3)．
由Ruize收集整理。感谢您的支持！