高一数学教案---平面向量基本定理

第六教时

教材：平面向量基本定理

目的：要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；

或一个向量分解为两个向量。

过程：一、复习：1．向量的加法运算（平行四边形法则）。

2．实数与向量的积 3．向量共线定理 二、由平行四边形想到：

1．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ 2．对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？

——提出课题：平面向量基本定理

三、新授：1．(P105-106)1e ，2e 是不共线向量，a

是平面内任一向量

=1e OM =λ11e =a =OM +ON =λ11e +λ22e

=2e ON =λ22e

得平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对

于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a

=λ11e +λ22e 注意几个问题：1 1e 、2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底

2 这个定理也叫共面向量定理

3 λ1，λ2是被a

，1e ，2e 唯一确定的数量

2．例一( P106例三)已知向量1e ，2e 求作向量 2.51e +32e 。

作法：1 取点O ，作= 2.51e =32e

2 作 OACB ，即为所求+ 例二、(P106例4) ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，

1e

2e

a

O

N B

C

1

e

2e

O

用a ，b

表示，，和

解：在

∵

AC

= =a b

∴

= 21= 21(a +b )= 21a 21b

=21=21(a b )=21a 21b =21=21a +2

1b

= = 21= 21a +2

1b

例三、已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点， 求证：+++=4OE 证：∵E 是对角线AC 和BD 的交点 ∴== ==

在△OAE 中 +=

同理：OB +BE =OE OC +CE =OE OD +DE =OE 以上各式相加，得：OA +OB +OC +OD =4OE

例四、(P107 例五)如图，OA ，OB 不共线，AP =t AB (t R)用OA ,OB 表示OP 解：∵AP =t AB ∴

OP =OA +AP =OA + t AB

=OA + t(OB OA )

P

B

A

O

=+ t t

=(1 t) OA+ t OB

四、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表

示为两个不共线向量的线性组合。

五、作业：课本P107 练习P108 习题5.3 3-7