线性代数课后答案_习题5和习题

习题五

1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：

1）1124-?? ???；2）123213336?? ? ? ???；3）001010100?? ? ? ???；4）310410482??

?-- ? ?

--??

。并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。解：1）

(2)(3)24

λλλλ-=----，特征值2,3λ= 。当2λ=时， 1(1,1)η'=- ，故属于2λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。当3λ=时，2(1,2)η'=- ，故属于3λ=的特征向量为 22k η（20k ≠）。由于线性无关的特征向量个数为2，故可以对角化。

2）1

13(1)(9)3

λλλλλλ------=+----，特征值0,1,9λ=- 。当0λ=时， 1(1,1,1)η'=-- ，故属于0λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。当1λ=-时， 2(1,1,0)η'=- ，故属于1λ=-的特征向量为 22k η（20k ≠）。当9λ=时， 3(1,1,2)η'= ，故属于9λ=的特征向量为 33k η（30k ≠）。由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。

3）201

010(1)(1)10λ

λλλλ

--=+--，特征值1,1λ=- 。

当1λ=时， 1(0,1,0)η'= ，2(1,0,1)η'=。故属于1λ=的特征向量为

1122k k ηη+（12,k k 不全为零）。

当1λ=-时， 3(1,0,1)η'=- ，故属于1λ=-的特征向量为 33k η（30k ≠）。由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。

4）

10410(1)(2)4

λλλλλ--+=-+-+ ，特征值1,2λ=- 。当1λ=时， 1(3,6,20)η'=- ，故属于1λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。

当2λ=-时， 2(0,0,1)η'= ，故属于2λ=-的特征向量为 22k η（20k ≠）。由于线性无关的特征向量个数为2，故不可以对角化。 2. 已知方阵A 满足2320A A E -+=，求A 的所有可能的特征值。

解：设λ是A 的特征值，则有非零向量X 满足AX X λ=。于是22A X X λ=，

22(32)(32)0A A E X X λλ-+=-+=。因为X 非零，所以2320λλ-+=。即

A 的特征值只能为1λ=或2λ= 。 3. 设λ是A 的特征值，证明：

1）2λ是2A 的特征值，i λ（i 为正整数）是i A 的特征值； 2）设()f λ是λ多项式，则()f λ是()f A 的特征值； 3）如果A 可逆，则1λ-是1A -的特征值。证明：1）因为AX X

λ=，则22()A X A X AX X

λλλ===。

323()A X A X X λλ==，依此类推，i i A X X λ=，即i λ是i A 的特征值。

2）由1）i i A X X λ=（i 为正整数），记01()n n f a a a λλλ=+++L ，则

01()()()n n f A X a E a E a E X f X λ=+++=L ，即()f λ是()f A 的特征值。

3）如果A 可逆，对AX X λ=两边左乘1A -有：1X A X λ-=。又可逆矩阵的特征值不为零（否则00E A -=，与A 可逆矛盾）。故11X A X λ--= 。 4. 设1X 和2X 是A 的属于两个不同特征值的特征向量，证明12X X +不是A 的特征向量。

证明：由题意，设111AX X λ= ，222AX X λ= ，12λλ≠，则 12,X X 线性无关。（反证）若12X X +是A 的特征向量，则有：1212()()A X X X X λ+=+ 。从而

1122()()0X X λλλλ-+-=。因为12λλ≠，所以12(),()λλλλ--不全为零，于

是12,X X 线性相关，矛盾。故12X X +不是A 的特征向量。 5. 如果方阵A 可逆，证明矩阵AB 和BA 相似。证明：因为1()A AB A BA -=，所以矩阵AB 和BA 相似。

6. 设A 与B 相似，C 与D 相似。证明A C ?? ???与B D ??

???

相似。

证明：因为A 与B 相似，C 与D 相似，

故有可逆矩阵P 与Q ，使得：1P AP B -=，1

Q CQ D -=。于是1

1A P B P C Q D Q --????????

= ? ??? ???????

?，即A C ??

?与B D ??

?相似。 7. 计算k A ，其中142034043A ??

?=- ? ???

。解：

34(1)(5)(5)0

λλλλλλ---+-=--+-- ，特征值1,5,5λ=- 。当1λ=时，对应的特征向量为 1(0,0,1)η'=；当5λ=时，对应的特征向量为 2(2,1,2)η'= ；当5λ=-时，对应的特征向量为3(1,2,1)η'=-。故可取

021012121P ?? ?=- ? ???，有150512105120P --?? ?= ? ?-??，使得：1155A P P -??

?= ? ?-?? 。从

而11

45(5)252(5)015252(5)54(5)05(5)45(5)5252(5)5k k k k k k

k k k k

k k k k k A P P -??

?+-?--??

? ?==?--+- ?

? ? ?-?+--?--?

。 8. 求x ，y 的值，使得矩阵A 与B 相似，其中11111x A x y y ?? ?= ? ???，000010002B ??

?= ? ???

。

解：因为B 的特征值为0,1,2，由A 与B 相似，可得00E A ?-=，10E A ?-=，

20E A ?-=。即22()0

x y xy ?--=?

-=?，从而0x y == 。 9. 证明：

1）实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数； 2）正交矩阵的特征值的模等于1。

证明：1）设A 是实反对称矩阵， λ是A 的特征值，则有0X ≠，AX X λ=。取共轭有AX X λ=。考虑 X AX '，一方面X AX X X λ''=；另一方面，

()X AX X A X AX X X X λ'''''=-=-=-；于是()0X X λλ'+=。又因为0X ≠，

所以0X X '>。故0λλ+=，即λ为0或纯虚数。

2）设A 是正交称矩阵， λ是A 的特征值，则有0X ≠，AX X λ=。取共轭有AX X λ=，再转置X A X A X λ''''==。所以X X X A AX X X λλ''''==。因为0X ≠，所以0X X >。故1λλ=，即λ的模为1 。 10. 判断下列矩阵是否为正交矩阵：

1）221333212333122333A ?? ? ? ?=-- ? ? ?-- ??? ，2）111231112211132A ?

?- ?

? ?=- ? ?

?- ???

。解：1）因为A A E '=，故A 为正交矩阵；2）不是正交矩阵。

11. 设, A B 为正交矩阵，证明：

1）1A -与A '为正交矩阵；

2）A B ?? ??

?为正交矩阵。证明：1）因为A 为正交矩阵，所以A A E '=，即1A A -'=。又

()()A A AA E E ''''''===，故1A -与A '为正交矩阵。

2）因为, A B 为正交矩阵，所以A A E '=，B B E '=。从而

A A A A A A E

B B B B B B '''??????????

=== ? ? ??? ?''??????????

，即A B ?? ???为正交矩阵。

12. 在4R 中，求一单位向量α与向量(1,1,1,1), (1,1,1,1), (2,1,1,3)---正交。

解：设所求向量为1234(,,,)x x x x α=，则有12341234123

0230

x x x x x x x x x x x x +-+=??

--+=??+++=?。求得基础解

系为 (4,0,1,1)η=-。故(4,0,1,1)k α=-（k 为任意数）。 13. 求正交矩阵Q ，使得1Q AQ -为对角形：

1）111111111A ?? ?= ? ??? ； 2）222254245A -??

?=- ?

?--??

。

解：1）21

11(3)1

E A λλλλλλ----=---=---- ，特征值0,3λ= 。当0λ=时， 1(1,1,0)η'=- ，2(1,0,1)η'=-。当3λ=时， 3(1,1,1)η'= 。由施密特正交化，

取11,1,0)β'=

，22)β'=-

，3β'=

。令0Q ?- = - ?

，则1003Q AQ Q AQ -?? ?'== ? ???。 2）22

222

54(1)(10)2

E A λλλλλλ---=--=--- ，特征值1,10λ= 。当1λ=时， 1(2,1,0)η'=- ，2(2,0,1)η'=。当10λ=时， 31

(,1,1)2

η'=-- 。

由施密特正交化，取12,1,0)β'=

，2β'=，31(1,2,2)3β'=--。

令1323203Q ??- ? ?=- ? ?

? ?

，则11110Q AQ Q AQ -?? ?'== ? ???。 14. 设3阶方阵A 的特征值为1，2，3；对应的特征向量为1(0,1,0)η'=，

2(1,1,0)η'=，3(0,0,1)η'=。求矩阵A 。

解：由题意，令010110001P ?? ?= ? ???，则有1123P AP -?? ?= ?

???。故

1120021103003A P P -????

? ?== ? ? ? ?????

。

15. 设3阶实对称矩阵A 的特征值为6和3（二重根）。属于6的特征向量为

3(1,1,1)η'=，求A 及3|3|A E -。

解：设123(,,)X x x x '=是实对称矩阵A 属于特征值为3的特征向量，则有

1230x x x ++= 。故特征值为3的特征向量1(1,1,0)η'=-， 2(1,0,1)η'=- 。令

111101011P --?? ?= ? ???，则1341131416114A P P -????

? ?

== ? ? ? ????? 。3|3|A E -＝

3324|33|241226886213P P E -?? ?-=

= ? ??

。提高题

1. 设矩阵15310a c A b c a -?? ?= ?

?--??

，1A =-，*A 有特征值0λ，属于0λ的一个特

征向量为(1,1,1)α'=--。求,,a b c 和0λ的值。

解：因为1A =-，所以AA E *=-，即1A A *-=- 。由于0A αλα*= ，可得

1A ααλ-=，又1A =-，所以00

0(1)1(2)1(1)11c a b c a A λλλ+-=??--=??

-+-=-??=-?

。解得：01

22b c a λ=??=-??=??=? 。 2. 已知3阶矩阵A 与3维列向量X ，向量组X ，AX ，2A X 线性无关，且满足3232A X AX A X =-。

1）记2(,,)P X AX A X =，求3阶矩阵B ，使得1A PBP -=； 2）计算行列式A E +。

解：1）因为112(,,)P P P X AX AX E --==，所以1(0,1,0)P AX -'=，

12(0,0,1)P A X -'=。由1A PBP -=，可得1123(,,)B P AP P AX A X AX --===

112112000(,,32)103012P AX P A X P AX P A X ----?? ?

-= ? ?-??

。

2）11

100

1134011

A E PBP PP

B E --+=+=+==-- 。

3．设A 是n 阶方阵，记11()n n n f E A a a λλλλ-=-=+++L ，

1,,n λλL 是()f λ的n 个根（重根按重数计算）。证明：

1）1111nn n a a a λλ++=++=-L L ，称为方阵A 的迹，记为()tr A ； 2）1(1)(1)n n n n a A λλ=-=-L 。

证明：因为111()()()n n n n f E A a a λλλλλλλλ-=-=+++=--L L ，令0λ=，则有1(1)(1)n n n n a A λλ=-=-L ，即2）成立。又由于特征多项式E A λ-中1n λ-项由行列式定义知只能出现在11()()nn a a λλ--L 内，它的系数为

111()nn a a a -++=L ；而 1()()n λλλλ--L 中1n λ-项的系数为1()n λλ-++L 。

故1）成立。

4．设1(,,)n A a a =L ，i a 均为非零实数，B A A '=，求可逆矩阵P ，使得1P BP -为对角阵。

解：21121n n n a a a B A A a a a ??

'== ? ???

L L L ，它为实对称矩阵。当0λ=时，E A λ-的秩为1，所以0λ=是0E B λ-=的1n -重根，由上题1）的结果知1n λ-项系数为

1()n a a -++L 。故211122

1[()]n

n n n

a a a E B a a a a a λλλλλ----=

=-++--L

L L L L

。当0λ=时，可得：221(,,,0)a a η'=-L ，L ，1(,0,,)n n a a η'=-L 。由于属

于特征值22

1()n a a λ=++L 的特征向量1(,,)n X x x =L 与上述向量组正交，所以

11j j a x a x =（2,,j n =L ）。故11(,,)n a a η=L 。

令2

311

211

0000000n n n a a a a a a P a a a ----??

? ?= ?

? ??

L L L

L L L L

L L

，则122100n P BP a a -??

? ?= ?

?++?

L 。 5．证明上三角正交矩阵必为对角阵。

证明：设上三角矩阵A 正交，则1A A -'=。一方面由第二章习题知1A -也为上三角，另一方面A '为下三角，故1A A -'=既为三角又为下三角，从而为对角矩阵。 6．, A B 是正交矩阵，且0A B +=。证明A B +不可逆。

证明：因为0A B +=，所以2

20A B A B ++=，即1A B =-。又, A B 是正交矩阵，所以 A B AB B AA B A B A B A B A B ''''+=+=+=+ 。即

(1)0A B A B -+=，从而0A B +=，A B +不可逆。

习题六

1. 写出二次型的矩阵表示形式：

1）2224424f x y z xy xz yz =+++++； 2）2227244f x y z xy xz yz =+----；

3）2222

1234121314232424264f x x x x x x x x x x x x x x =+++-+-+-。

解：1）121(,,)242121x f x y z y z ???? ???= ??? ??????? ；2）112(,,)112227x f x y z y z --???? ???=-- ??? ???---????

； 3）1212343411

2111

32(,,,)231012

01x x f x x x x x x --??

?? ?

?-- ?

?= ?

? ?

?--????

。 2. 化下列二次型为标准形：

1）222

123232334f x x x x x =+++；

2）22221234121423342222f x x x x x x x x x x x x =++++--+。

解：1）二次型矩阵为200032023??

? ? ???

，

200032(1)(2)(5)023λλλλλλ---=-----。

所以二次型为标准形为222

123

25f y y y =++ 。 2）二次型矩阵为1101111001111011-??

- ? ?- ?-??

， 1101111001111011λλλλ--------等于

2(1)(1)(3)λλλ+-- 。所以二次型为标准形为2222

1234

23f y y y y =-+++ 。 3. 判断下列二次型的正定性：

1）22234544f x y z xy yz =+++-；

2）222

123121356444f x x x x x x x =---++；

3）121323226f x x x x x x =+-。

解：1）二次型矩阵为320242025??

?- ? ?-?? ，又30>，

328024=> ，320

242280025

-=>- 。所以二次型正定。

2）二次型矩阵为522260204-??

?- ? ?-?? ，又50-<， 5226026-=>- ，

522

260800204

--=-<- 。所以二次型负定。 3）取 1(1,1,0)X '=，则1()20f X => ；又取2(0,1,1)X '=，则

2()60f X =-< 。所以二次型既不正定，也不负定。

4. t 为何值时，下列二次型是正定的：

1）222

123122322f x x x x x tx x =++++；

2）22212312132342106f x x x tx x x x x x =+++++。

解：1）二次型对应的矩阵为2

101

12012

t t ??

? ? ? ???

。又20>， 211011=> ，2210

1111220

t t t =- 。所以当21102t ->

，即t << 2）二次型对应的矩阵为1543531t t ??

? ? ??? ，又10>， 2

144t t t =- ，

4330105531

t t t t =-+- 。因为22

40301050t t t ?->?-+

5. 如果二次型f X AX '

=，对于任意n 维列向量0X ，都有000X AX '=。证明 0A =。

证明：记()

n n

A a ?=，取0i X ε=（表示第i 个分量为1其余分量为0的n 维列向

量），由000X AX '=，得0ii a =；取0ij X ε=（表示第i 、第j 两个分量为1其余分量为0的n 维列向量），由000X AX '=，则有20ij a =。故0A = 。 6. 如果A 是正定矩阵，证明1A -是正定矩阵。

证明：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆实矩阵B ，使得A B B '= 。故

11111()[()][()]A B B B B -----''''== ，即1A -是正定矩阵。

7. 如果A ，B 是n 阶正定矩阵，0k >，0l >。证明kA lB +为正定矩阵。证明：A ，B 是n 阶正定矩阵，对任意n 维实的列向量0X ≠，0X AX '>，

0X BX '>。从而()()()0X kA lB X k X AX l X BX '''+=+> 。即kA lB +为正定矩

阵。

8. 设A 是实对称矩阵，证明当实数t 充分大之后，tE A +是正定矩阵。证明：取11

max

j n

i M a

≤≤==∑ ，则当t M >时，()0X tE A X '+> 。所以tE A +是

正定矩阵。

提高题

1. 如果A 为正定矩阵，证明：

1）0 (1,,)ii a i n >=L ；

2）

0 ( ; ,1,,)ii

ji jj

a a i j i j n a a >≠=L 。证明：1）（反证）若0 ii a ≤，取0X 为1i x =、其余未知量为零的列向量，则有

000ii X AX a '=≤。与A 为正定矩阵矛盾。故0 (1,,)ii a i n >=L 。 2）由1）0 ,0ii jj a a >>。（反证）若

0ii ij

a a a a ≤ ，则二元二次型22

1122

2ii ij jj g a y a y y a y =++ 不正定，故存在1020(,)0y y ≠ ，使得22

1010202020ii ij jj a y a y y a y ++≤ 。取0X 为10i x y =、20j x y =、其余未知量为零的列向量，则00X ≠，且22

0010

10202020ii ij jj X AX a y a y y a y '=++≤。与A 为正定矩

阵矛盾。所以

0 ( ; ,1,,)ii

ji jj

a a i j i j n a a >≠=L 。 2. 若A 为n 阶正定矩阵，1(,,)n X x x '=L 。证明：()0

A X

f X X =

'是n 元负定

二次型。

证明：因为A 为正定矩阵，由习题6知1A -也为正定矩阵。故对任意0X ≠

0()00100A X E A X A X f X A X A X X X A X X A X

---'=

===-<''''-- 。即()0

A X

f X X ='是n 元负定二次型。

3. 设A 、B 为实对称矩阵，A 的特征值小于a ，B 的特征值小于b ，证明A B

+特征值小于a b +。

证明：因为A 的特征值小于a ，所以aE A -的特征值全大于零，即aE A -为正定矩阵；同理可得bE B -为正定矩阵。故对任意实n 维列向量0X ≠，有

X AX aX X ''< ，X BX bX X ''< 。于是()()X A B X a b X X ''+<+。即()()a b E A B +-+为正定矩阵，亦即A B +特征值小于a b +。

4．设f X AX '=是n 元实二次型。若存在实n 维列向量1X 和1X ，使得1

10X AX '<，2

20X AX '>。证明存在n 维列向量00X ≠，使得000X AX '=。证明：取121()()X t X t X X =+-，记()[()]()()g t f X t X t AX t '==为t 的连续函数。又11(0)[(0)]0g f X X AX '==<，22(1)[(1)]0g f X X AX '==>，故有

0(0,1)t ∈，使得0()0g t =。记00()X X t =，则000X AX '=。

下证00X ≠ 。（反证）若00X = ，则有0(0,1)t ∈ ，使得0

210

1t X X t -=

，从而2

21120

(1)t X AX X AX t -''= 与11X AX '同小于零。矛盾。所以00X ≠ 。

线性代数(李建平)习题答案详解__复旦大学出版社

线性代数课后习题答案习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ （正号）（2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- （3）原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8（答案略） 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- （2）按第一列展开： 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L

线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷）一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；

北大版线性代数第一章部分课后答案详解

习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值：（1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ；解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --

线性代数考试题库及答案(六)

线性代数考试题库及答案第一部分客观题（共30分）一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分） 1. 若行列式11 121321 222331 32 33 a a a a a a d a a a =，则212223 11 121331 32 33 232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d - 2. 设123010111A ?? ? =- ? ??? ，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（） (A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（） (A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ?矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。 (A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )

(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,, ,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=++ + 成立 (C) 存在一组数12,, s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (D) 对β的线性表达式唯一 8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（） (A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解 9. 设110101011A ?? ? = ? ??? ,则A 的特征值是( )。 (A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) 1,1,2- (D) 1,1,1- 10. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似，则 ( )。 (A) ()r A n = (B) A 有n 个互不相同的特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称矩阵二、判断题（共 10小题，每小题1分，共10分）注：正确选择A,错误选择B. 11. 设A 和B 为n 阶方阵，则有22()()A B A B A B +-=-。（） 12. 当n 为奇数时，n 阶反对称矩阵A 是奇异矩阵。（）

线性代数课后习题答案-复旦大学出版社-熊维玲

第一章 3.如果排列n x x x 2 1是奇排列,则排列1 1 x x x n n 的奇偶性如何？解：排列 1 1x x x n n 可以通过对排列 n x x x 21经过 (1)(1)(2)212 n n n n L 次邻换得到，每一次邻换都改变排列的奇偶性，故当2)1( n n 为偶数时，排列 1 1x x x n n 为奇排列，当2)1( n n 为奇数时，排列1 1 x x x n n 为偶排列。 4. 写出4阶行列式的展开式中含元素13 a 且带负号的项. 解：含元素13a 的乘积项共有13223144 (1)t a a a a ，13223441 (1)t a a a a ， 13213244 (1)t a a a a ，13213442 (1)t a a a a ，13243241 (1)t a a a a ，13243142 (1)t a a a a 六项，各项列标排列的逆序数分别为(3214)3t ， (3241)4t ， (3124)2 t ， (3142)3 t ， (3421)5t ，(3412)4 t ，故所求为13223144 1a a a a ， 132134421a a a a ， 13243241 1a a a a 。 5.按照行列式的定义,求行列式 n n 0 000100200100 的

值. 解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有 1,12,21,1(1)t n n n nn a a a a L ，其中(1)(2) [(1)(2)21]2 n n t n n n L ，故行列式的值等于： (1)(2) 2 (1) ! n n n 6. 根据行列式定义,分别写出行列式x x x x x 1 11 1231112 1 2 的展开式中含4 x 的项和含3 x 的项. 解：展开式含4 x 的乘积项为 4 11223344 (1)(1)22t a a a a x x x x x 含3 x 的乘积项为13 12213344 (1)(1)1t a a a a x x x x 8. 利用行列式的性质计算下列行列式：解： (1) 41 131123421 1234 1111 1 1 1 1 410234123410121 10310 ()341234120121 2412341230321 r r r r r r r r r r r

线性代数课后习题答案全)习题详解

线性代数课后习题答案全)习题详解第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---；（2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ；（4）y x y x x y x y y x y x +++. 解（1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.

2010-2011-2线性代数试卷及答案

东北大学考试试卷（A 卷） 2010 — 2011学年第二学期课程名称：线性代数（共2页） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ，且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝? ???? ??-413031002),,(321ααα，所以，24413031002||||=-=A B 分) 设向量组????? ??-=2111α，????? ??=1122α，????? ??=a 213α线性相关，向量 ???? ? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。解由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα????? ??---→62304330312 1b a ? ???? ??-+→210043303121b a 所以，.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2? 2 的子空间，试在 V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基. 解由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 2? 2 的子空间。对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++，显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ???? ??=00011A ,???? ??=01102A ,???? ??=10003A 就是V 的一组正交基. 注：内积和正交基都是不唯一的. 2－1

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

线性代数课后习题答案

线性代数课后题详解第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：相信自己加油（1） 3811411 02 ---；（2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ；（4） y x y x x y x y y x y x +++. 解注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式：多练习方能成大财（1）?? ??????? ???711 00251020214214；（2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12；（3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---

线性代数课后习题1答案(谭琼华版)

线性代数课后题详解第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： (1) ； 21-1 2 解：；5)1(1222 1-12=-?-?= (2) ；1 1 12 2 ++-x x x x 解：； 1)1)(1(11 1232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x (3) ;22b a b a 解： ;222 2ba ab b a b a -= (4) ;5 984131 11 解： ;59415318119318415115 984131 11=??-??-??-??+??+??= (5) ;0 00 00d c b a 解： ;00000000000000 00=??-??-??-??+??+??=d c b a d b c a d c b a (6) .132213321 解： .183211322133332221111 322133 21=??-??-??-??+??+??=

2.求下列排列的逆序数：（1）34215；解：3在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；4的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2；1的前面有3个比它大的数，逆序数为3；5的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为5. （2）4312；解：4在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面有1个比它大的数，逆序数为1；1的前面有2个比它大的数，逆序数为2；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2.因此排列的逆序数为5. （3）n(n-1)…21；解：1的前面有n-1个比它大的数，逆序数为n-1；2的前面有n-2个比它大的数，逆序数为n-2；…；n-1的前面有1个比它大的数，逆序数为1；n 的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2. (4）13…(2n-1)(2n) …42. 解：1的前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面没有比它大的数，逆序数为0；…；2n-1的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2n-2个比它大的数，逆序数为2n-2；4的前面有2n-4个比它大的数，逆序数为2n-4；…；2n 的前面有2n-2n 个比它大的数，逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1). 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： (1) 71100 251020214214 ；解： 7110025102 021 4214343 27c c c c --0 1 14 23102021 10214 ---= 34)1(14 3 10 2211014 +-?--- =- 14 3 10 2211014 --3 2 1 132c c c c ++- 14 17172 1099 -= 0. (2) ;0111101111011 110 解： 0111101111011 1104342c c c c --0 1 1 1 1 10110111000--=14)1(1 11 101 1 1+-?-- =-1 1 1 101 01 1-- 12c c +-1 2 1111 001-=- 1 2 11-=-3.

线性代数试题和答案(精选版)

线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解

同济大学线性代数第五版课后习题答案

第一章行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a

解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1

解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6

线性代数试卷及答案

《线性代数A 》试题（A 卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：题号一二三四五六七总分得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠；

() B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同；

线性代数课后习题答案(陈维新)

第一章行列式习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。综上所述，我们有)3(Q 是数域。（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。（反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。所以有0=a 或0=b 。如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。

线性代数第四版同济大学课后习题答案04

第四章向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.

(完整版)线性代数(经管类)考试试卷及答案(一)

高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类)优化试卷（一）说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式．一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分． 1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则| 2A-l | ( ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 2．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是( ) A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA 3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A．A+A T B．A - A T C．A A T D．A T A 4．设2阶矩阵A= ，则A*= ( ) 5．矩阵的逆矩阵是（）

6．设矩阵A=，则A中( ) A．所有2阶子式都不为零 B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零 D．存在一个3阶子式不为零 7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( ) A．A的列向量组线性相关 B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关 D．A的行向量组线性无关 8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为( ) 9．矩阵的非零特征值为( ) A．4 B．3 C．2 D．l

10．4元二次型的秩为( ) A．4 B．3 C．2 D．l 二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分． 11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。 12．设矩阵A= ，则行列式|A T A|=_______________。 13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__________________。 14．设矩阵A= ,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。15．向量空间的维数为_______________。 16．设向量，则向量的内积=_______________。 17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r（A）=____________。 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为：，若方程组无解，则a的取值为___________。19．设3元实二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形式_____________。 20．设矩阵A= 为正定矩阵，则a的取值范围是_______________。三、计算题(本大题共6小题，每小题9分．共54分)

工程数学线性代数同济大学第六版课后习题答案

第一章行列式 1、利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4、

(2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3、 (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a )、 (4)y x y x x y x y y x y x +++、解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3)、 2、按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;

解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32、(3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1、(4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3、 (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2、解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)