数学建模简介及数学建模常用方法

数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。

随着社会的发展，生物、医学、社会、经济……各学科、

各行业都涌现现出

大量的实际课题，亟

待人们去研究、去解

决。但是，社会对数

学的需求并不

只是需要数学

家和专门从事

数学研究的人

才，而更大量

的是需要在各部门

中从事实际工作的

人善于运用数学知

识及数学的思维方

法来解决他们每天

面临的大量的实际

问题，取得经济效益

和社会效益。他们不

是为了应用数学知

识而寻找实际问题

（就像在学校里做

数学应用题），而是

为了解决实际问题

而需要用到数学。而

且不止是要用到数

学，很可能还要用到

别的学科、领域的知

识，要用到工作经验

和常识。特

别是在现

代社会，要

真正解决

一个实际

问题几乎都离不开

计算机。可以这样

说，在实际工作中遇

到的问题，完全纯粹

的只用现成的数学

知识就能解决的问

题几乎是没有的。你

所能遇到的都是数

学和其他东西混杂

在一起的问题，不是

“干净的”数学，而

是“脏”的数学。其

中的数学奥妙

不是

明摆在那里等着你去解决，而是暗藏在深处等着你去发现。也就是说，你要对复杂的实际问题进行分析，发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律，把这个实际问题化成一个数学问题，这就称为数学模型。

数学模型具有下列特征：数学模型的一个重要特征是高度的抽象性。通过

数学模型能够将形

象思维转化为抽象

思维，从而可以突破

实际系统的约束，运

用已有的数学研究

成果对研究对象进

行深入的研究。数学

模型的另一个特征

是经济性。用数学模

型研究不需要过多

的专用设备和工具，

可以节省大量的设

备运行和维护费用，

用数学模型可以大

大加快研究工作的

进度，缩短研究周

期，特别是在电子计

算机得到广泛应用

的今天，这个优越性

就更为突出。但是，

数学模型具有局限

性，在简化和抽象过

程中必然造成某些

失真。所谓“模型就

是模型”(而不是原

型)，即是该性质。

数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。简而言之,建立数学模型的这个过程就称为数学建模。

模型是客观实体有关属性的模拟。陈列在橱窗中

的飞机模型外形应

当像真正的飞机，至于它是否真的能飞则无关紧要；

然而参加航模比赛的飞机模

型则全然不同，如果飞行性能

不佳，外形再像飞机，

也不能

算是一个好的模型。模型不一定是对实体的一种仿照，也可以是对实体的某些基本属性的抽象，例如，一张地质图并不需要用实物来模拟，它可以用抽象的符号、文字和数字来反映出该地区的地质结构。数学模型也是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。实际问题中有许多因素，在建立数学模型时你不可能、也没有必要把它们毫无遗漏地全部加以考虑，只能考虑其中的最主要的因素，舍弃其中的次要因素。数学模型建立起来了，实际问题化成了数学问题，就可以用数学工具、数学方法去解答这个实际问题。如果有现成的数学工具当然好。如果没有现成的数学工具，就促使数学家们寻找和发展出新的数学工具去解决它，这又推动了数学本身的发展。例如，开普勒由行星运行的观测数据总结出开普勒三定律，牛顿试图用自己发现的力学定律去解释它，但当时已有的数学工具是不够用的，这促使了微积分的发明。求解数学模型，除了用到数学推理以外，通常还要处理大量数据，进行大量计算，这在电子计算机发明之前是很难实现的。因此，很多数学模型，尽管从数学理论上解决了，但由于计算量太大而没法得到有用的结果，还是只有束之高阁。而电子计算机的出现和迅速发展，给用数学

模型解决实际问题打开了广阔的道路。而在现在，要真正解决一个实际问题，离了计算机几乎是不行的。数学模型建立起来了，也用数学方法或数值方法求出了解答，是不是就万事大吉了呢？不是。既然数学模型只能近似地反映实际问题中的关系和规律，到底反映得好不好，还需要接受检验，如果数学模型建立得不好，没有正确地描述所给的实际问题，数学解答再正确也是没有用的。因此，在得出数学解答之后还要让所得的结论接受实际的检验，看它是否合理，是否可行，等等。如果不符合实际，还应设法找出原因，修改原来的模型，重新求解和检验，直到比较合理可行，才能算是得到了一个解答，可以先付诸实施。但是，十全十美的答案是没有的，已得到的解答仍有改进的余地，可以根据实际情况，或者继续研究和改进；或者暂时告一段落，待将来有新的情况和要求后再作改进。

应用数学知识去研究和和解决实际问题，遇到的第一项工作就是建立恰当的数学模型。

从这一意义上讲，可以说数学建模是一切科学研究的基础。没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果，所以，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一。数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。

系统的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性

建模的一般方法：

1．机理分析

机理分析就是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内

部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。

（1）比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。（2）代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。（3）逻辑方法--是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际

问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。

（4）常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"

的表达式。

（5）偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。2．测试分析方法

测试分析方法就是将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。

回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。

将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法, 在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。 3．仿真和其他方法

计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。 离散系统仿真--有一组状态变量。

连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图。

因子试验法--在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。

人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。

1首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，搜集各种必要的信息。

2．模型假设。

在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计算，找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解。不同的简化假设会得到不同的模型。假设作得不合理或过分简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下

一步的工作。通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识。二

是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合。作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化，经验在这里也常起重要作用。写出假

设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样。

3．模型构成。

根据所作的假设以及事物之间的联系，利用适当的数学工具去刻画各变量之间的关系，建立相应的数学结构——即建立数学模型。把问题化为数学问题。要注意尽量采取简单的数学工具，因为简单的数学模型往往更

能反映事物的本质，而且也容易使更多的人掌握和使用。

4．模型求解。

利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，这时往往还要做出进一步的简化或假设。在难以得出解析解时，也应当借助计算机求出

数值解。

5．模型分析。

对模型解答进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况，有时是根据所得结果给出数学上的预报，有时则可能要给出数学上的最优决策或控制，不论哪种情况还常常需要进行误差分

析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等。

6．模型检验。

分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如果结果不够理想，应该修改、补充假设或重新建模，有些模型需要经过几次反复,不断完善。

7．模型应用。

所建立的模型必须在实际中应用才能产生效益，在应用中不断改进和完善。应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的。

1.美国大学生数学建模竞赛简介

1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度的大学生数学模型竞赛（1987年全称是Mathematical Competition in Modeling，1988年改全称为Mathe-

-matical Contest in Modeling,其缩写均为MCM）。这并不是偶然的，在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛

（The William Lowell Putnam mathematical Competition,简称Putman或普特南数学竞赛），这是由美国数学协会

（MAA--Mathematical Associa tion of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。

我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先与“中国工业与应用数学学会”后与“国家教委”联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。

2.中国大学生数学建模竞赛简介

全国大学生数学建模竞赛（以下简称竞赛）是国家教委高教司和中国工业与应用数学学会共同主办

的面向全国大学生的群众性科技活

动，目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学过普通高校的数学课程。题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）。竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。

竞赛一般在每年9月末的三天内举行。大学生以队为单位参赛，每队3人，专业不限。研究生不得参加。每队可设一名指导教师（或教师组），从事赛前辅导和参赛的组织工作，但在竞赛期间必须回避参赛队员，不得进行指导或参与讨论，否则按违反纪律处理。竞赛期间参赛队员可以使用各种图书资料、计算机和软件，在国际互联网上浏览，但不得与队外任何人（包括在网上）讨论。工作人员将密封的赛题按时启封发给参赛队员，参赛队在规定时间内完成答卷，并准时交卷。

各赛区组委会聘请专家组成评阅委员会，评选本赛区的一等、二等奖（也可增设三等奖），获奖比例一般不超过三分之一，其余凡完成合格答卷者获得成功参赛奖。各赛区组委会按规定的比例将本赛区的优秀答卷送全国竞赛组委会。

全国竞赛组委会聘请专家组成全国评委会，按统一标准从各赛区送交的优秀答卷中评选出全国一等、二等奖，获奖比例为全国参赛队数的百分之十左右。全国与各赛区的一、二等奖均颁发获奖证书。竞赛成绩记入学生档案，对成绩优秀的参赛学生，各院校在评优秀生、奖学金及报考（或免试直升）研究生时应予以适当考虑。

3.竞赛过程简介

数学模型竞赛与通常的数学竞赛不同，它来自实际问题或有明确的实际背景。它的宗旨是培养大学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，整个赛事是完成一篇包括问题的阐述分析，模型的假设和建立，计算结果及讨论的论文。通过训练和比赛，同学们不仅用数学方法解决实际问题的意识和能力有很大提高，而且在团结合作发挥集体力量攻关，以及撰写科技论文等方面将都会得到十分有益的锻炼。

1.1.题型:

赛题题型结构形式有三个基本组成部分：

实际问题背景

1. 涉及面宽--有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。

2. 一般都有一个比较确切的现实问题。

若干假设条件有如下几种情况：

（1）. 只有过程、规则等定性假设，无具体定量数据；

（2）. 给出若干实测或统计数据；

（3）. 给出若干参数或图形；

（4）. 蕴涵着某些机动、可发挥的补充假设条件，或参赛者可以根据自己收集或模拟产生数据。

要求回答的问题往往有几个问题（一般不是唯一答案）:

（1）. 比较确定性的答案（基本答案）；

（2）. 更细致或更高层次的讨论结果（往往是讨论最优方案的提法和结果）。

1.2.竞赛答卷:

提交一篇论文，基本内容和格式大致分三大部分：

标题、摘要部分：

（1）．题目--写出较确切的题目（不能只写A题、B题）。

（2）．摘要--200-300字，包括模型的主要特点、建模方法和主要结果。

（3）．内容较多时最好有个目录。

中心部分：

（1）．问题提出，问题分析。

（2）．模型建立：

①补充假设条件，明确概念，引进参数；②模型形式（可有多个形式的模型）；

③模型求解；④模型性质；

（3）．计算方法设计和计算机实现。

（4）．结果分析与检验。

（5）．讨论--模型的优缺点，改进方向，推广新思想。

（6）．参考文献--注意格式。

附录部分：

（1）．计算程序，框图。

（2）．各种求解演算过程，计算中间结果。

（3）．各种图形、表格。