第十二章 平稳随机过程
第十二章平稳随机过程
平稳随机过程是一类应用相当广泛的随机过程．本章在介绍平稳过程概念之后，着重在二阶矩过程的范围内讨论平稳过程的各态历经性、相关函数的性质以及功率谱密度函数和它的性质．
§1 平稳随机过程的概念
在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响．有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化．严格地说，如果对于任意的
和任意实数A，当时，n维随机变量
具有相同的分布函数，则称随机过程具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程．
平稳过程的参数集T，一般为
．当定义在离散参数集上时，也称过程为平稳随机序列或平稳时间序列．以下若无特殊声明，均认为参数集．
在实际问题中，确定过程的分布函敷，并用它来判定其平稳性，一般是很难办到的．但是，对于一个被研究的随机过程，如果前后的环境和主要条件都不随时间的推移而变化，则一般就可以认为是平稳的．
．376．
恒温条件下的热噪声电压过程以及第十章§1例2、例3都是平稳过程的例子．强震阶段的地震波幅、船舶的颠簸过程、照明电网中电压的波动过程以及各种噪声和干扰等等在工程上都被认为是平稳的．
与平稳过程相反的是非平稳过程．一般，随机过程处于过渡阶段时总是非平稳的．例如，飞机控制在高度为丸的水平面上飞行，由于受到大气湍流的影响，实际飞行高度H（他）应在A水平面上下随机波动，H（他）可看作是平稳过程，但论及的时间范围必须排除飞机的升降阶段(过渡阶段)，因为在升降阶段内由于飞行的主要条件随时间而发生变化，因而H(t)的主要特征也随时间而变化着，也就是说在升降阶段内过程II(t)是非平稳的．不过在实际问题中，当仅仅考虑过程的平稳阶段时，为了数学处理的方便，我们通常把平稳阶段的时间范围取为一oo<他<+oo．
接着，考察平稳过程数字特征的特点．
设平稳过程X（他）的均值函数E[X(t)]存在．对n=1，在(1．1)式中，令h=-t1，由平稳性定义，一维随机变量X(t1)和X(0)同分布．于是E[X(t)]＝E[X(0)]，即均值函数必为常数，记为比．同样，X(t)的均方值函数和方差函数亦为常数，分别记为甲l和畦．据此，依照图10—4的意义，可以知道，平稳过程的所有样本曲线都在水平直线J(r)‘／J。上下波动，平均偏离度为dx．
又若平稳过程X(”的自相关函数存在，对n＝2，在(1．1)中，令A＝一九，由平稳性定义，二维随机变量
同分布．于是，有
等式右端只与时间差‘。一J1有关，记为，即有
这表明：平稳过程的自相关函数仅是时间差‘：一r1’，的单变量函
．377·
数(换句话说，它不随时间的推移而变化)．
又由第十章(2．7)式，协方差函数可以表示为
特别地，令，＝0，由上式，有
如前所述，要确定…个随机过程的分布函数，并进而判定其平稳性在实际中是不易办到的．因此，通常只在二阶矩过程范围内，考虑如下一类广义平稳过程．
定义给定二阶矩过程，如果对任意t，
则称为宽平稳过程或广义平稳过程．相对地，前述按分布函数定义的平稳过程称为严平稳过程或狭义平稳过程．
由于宽平稳过程的定义只涉及与一维、二维分布有关的数字特征，所以一个严平稳过程只要二阶矩存在，则它必定也是宽平稳的．但反过来，一般是不成立的．不过有一个重要的例外情形，即正态过程．因为正态过程的概率密度是由均值函数和自相关函数完全确定的，因而如果均值函数和自相关函数不随时间的推移而变化，则概率密度也不随时间的推移而变化．由此一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳的．
今后，我们讲到平稳过程一词时，除特别指明以外，总是指宽平稳过程．
另外，当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，如果它们的互相关函数也只是时间差的单变量函数，记为，即
那末我们就称X(‘)和y(‘)是平稳相关的，或称这两个过程是联合(宽)平稳的
。378。
易见，在第十章中，§2例2、例3都是平稳过程，由于例3又是正态过程，所以它也是严平稳的．而§2例1以及§3·中的泊松过程和维纳过程都是非平稳过程．下面再举数例．
例 1 设是互不相关的随机变量序列，且
，则有
即相关函数只与是一／有关，所以它是宽平稳的随机序列．如果又是独立同分布的，则易证序列也是严平稳的．
口
例 2 设s(t)是一周期为T的函数，是在(0,T)上服从均匀分布的随机变量，称
为随机相位周期过程．试讨论它的平稳性．
解由假设，的概率密度为
于是，X(t)的均值函数为
利用‘(F)的周期性，可知
而自相关函数
同样，利用的周期性，可知自相关函数仅与，有关，即
．379．
所以随机相位周期过程是平稳的．特别，随机相位正弦波是平稳的(第十章§2例2)．口
例3 考虑随机电报信号．信号X(”由只取+I或一I的电流给出(图12—1画出了X(9) 的一条样本曲线)．这里
而正负号在区间内变化的次数N是随机的，且假设N服从泊
松分布，亦即事件
的概率为
其中且>o是单位时间内变号次数的数学期望．试讨论X(t)的平稳性．
解显然，E[X(t)]＝0．现在来计算正[X(OX(‘+，)]，先设，>0，我们注意，如果电流在内变号偶数次，则X(t)和X(t+，)必同号且乘积为／’；如果变号奇数次，则乘
积为-I2．
因为事件
的概率为，而事件
的概率为，于是
注意，上述结果与t无关．而若，则有
故这一过程的自相关函数为
它只与有关．其图形如图12—2所示．因此随机电报信号X(t)是一平稳过程．
§2 各态历经性
本节主要讨论，根据实验记录确定平稳过程的均值和自相关函数的理论依据和方法．首先注意，如果按照数学期望的定义来计算平稳过程X(t)的数字特征，就需要预先确定X(t)的一族样本函数或一维、二维分布函数，但这实际上是不易办到的．事实上，即使我们用统计实验方法，例如可以把均值和自相关函数近似地表示为
那也需要对一个平稳过程重复进行大量观察，以便获得数量很多的样本函数
．而这正是实际困难所在．
但是，平稳过程的统计特性是不随时间的推移而变化的，于是我们自然期望在一个很长时间内观察得到的一个样本曲线，可以作为得到这个过程的数字特征的充分依据．本节给出的各态历经定理将证实：对平稳过程而言，只要满足一些较宽的条件，那末
．381．
集平均(均值和自相关函数等)实际上可以用一个样本函数在整个时间轴上的平均值来代替．这样，在解决实际问题时就节约了大量的工作量．
在叙述各态历经性之前，我们先简要地介绍一下往后多处要碰到的有关随机过程积分
的概念．
给定二阶矩过程，如果它的每一个样本函数在上的积分
都存在，我们就说随机过程X(t)在[a,b]上的积分存在，并记为
显然，Y是一随机变量．
但是，在某些情形下，对于随机过程的所有样本函数来说，在[a,b]上的积分未必全都存在．此时，引入所谓均方意义下的积分，即考虑[a,b]内的一组分点：
如果有满足
的随机变量Y存在，我们就称Y为X(t)在[a,b]上的均方积分①，并仍以符号(2．1)记之．可以证明：二阶矩过程X(t)在[a,b]上均方积分存在的充分条件是自相关函数的二重积分，即
①设是一随机变量序列，如果存在随机变量，使
则称是Xn的均方极限，记为．本章出现的涉及随机过程的极限和积分都
应在均方意义下理解．但我们约定仍以记号‘'lim"替代“1．i．m．”，请读者注意．有关这方面的进一步知识(即随机分析的内容)超出本书的要求．
·382．
存在．而且此时还成立有
就是说，过程X(t)的积分的均值等于过程的均值函数的积分．
现在引入随机过程X(t)沿整个时间轴上的如下两种时间平均：
分别称为随机过程X(t)的时间均值和时间相关函数．我们可以沿用高等数学中的方法求积分
和求极限，其结果一般来说是随机的．
以下就来讨论时间平均与集平均之间的关系．先看一个例子．
例 1 计算随机相位正弦波的时间平均
．
将例1的结果与第十章§2例2算得的结果比较，可知
这表明：对于随机相位正弦波，用时间平均和集平均分别算得的均
．383·
值和自相关函数是相等的．这一特性并不是随机相位正弦波所独有的．下面引入一般概念．定义设X(t)是一平稳过程，
1. 如果
以概率1成立，则称过程X(t)的均值具有各态历经性．
2. 如果对任意实数，
以概率1成立，则称过程X(t)的自相关函数具有各态历经性．特别当，称均方值具
有各态历经性．
3. 如果X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性，则称X(t)是(宽)各态历经过程，或者说X(t)是各态历经的．
定义中“以概率1成立”是对X(t)的所有样本函数而言的．
各态历经性有时也称作遍历性或埃尔古德性(ergodicity)．
按定义，例1中的随机相位正弦波是各态历经过程．
当然，并不是任意一个平稳过程都是各态历经的．例如平稳过程
其中Y是方差异于零的随机变量，就不是各态历经过程．事实上，，
亦即时间均值随Y取不同可能值而不同．因Y的方差异于零，这样就不可能以概率1等于常数E[X(t)]＝E[Y]．见图12—3．
一个平稳过程应该满足怎样的条件才是各态历经的呢?下面两个定理从理论上回答了这一问题．
·384·
定理一(均值各态历经定理)平稳过程X(t)的均值具有各态历经性的充要条件是
证先计算的均值和方差．由(2.3)式
交换运算顺序，并注意到，即有
而的方差为
由X(t)的平稳性，，上式可改写为
为了简化上式右端的积分，引入变量替代.此变换的雅可比(Jacobi)式是
而积分区域按图12—4转换．于是(2.8)式中的二重积分用新变量可表成
其中为图12—4(2)所示的正方形．注意到被积函数是
．385·
的偶函数(见下节性质)，且与无关，因而积分值为图12—4(2)中阴影区域G上积分值的4倍，即
把这个式子代人(2.8)式就有
由第四章§2方差的性质4‘知道
以概率1成立的充要条件是
但现已算得，故知
以概率1成立的充要条件是
．386·
而由(2．10)式，条件(2．11)即为
由此定理得证．口推论在存在条件下，若，则(2．7)式成立，均值具有
各态历经性；若,则(2.7)式不成立，均值不具有各态历经性．(证略)
注意，对例l中的随机相位正弦波而言，不存在，但它的均值是各态历经的．
在定理一的证明中将X(t)换成，就可得
定理二(自相关函数各态历经定理)平稳过程X(t)的自相关函数具有各态历经性的充要条件是
在(2.12)式中令，就可得到均方值具有各态历经性的充要条件．
如若在定理二中以来进行讨论，那末还可以相应地得到互相关函数的各态历经定理．
在实际应用中通常只考虑定义在上的平稳过程。此时上面的所有时间平均都应以上的时间平均来代替．而相应的各态历经定理可表示为下述形
式：
定理三
以概率1成立的充要条件是
．387．
定理四
以概率1成立的充要条件是
各态历经定理的重要价值在于它从理论上给出了如下保证：一个平稳过程X(t)，若
，只要它满足条件(2．7)’和(2．12)，，便可以根据“以概率1成立”的含义，从一次试验所得到的样本函数小x(t)来确定出该过程的均值和自相关函数，即
这就是本节开头所预告的论断．
如果试验记录x(t)只在时间区间[0,T]上给出，则相应于(2．13)和(2．14)式有以下无偏估计式：
不过在实际中一般不可能给出x(t)的表达式，因而通常通过模拟方法或数字方法来测量或计算估计式(2．15)和(2．16)．现介绍如下：
1. 模拟自相关分析仪．这种仪器的功能是当输入样本函数
．388·
x(t)时，X—y记录仪自动描绘出自相关函数的曲线．它的方框图如图12—5所示．另有一种求自相关函数的近代方法——遍历转换技术，本书不作介绍．
2. 数字方法．如图12—6，把[0,T]等分为N个长为的小区间，然后在时刻
，对x(t)取样，得N个函数值
．把积分(2.15)近似表示为基本区间上的和，就有无偏估计
相应于(2．16)式，我们可以写出在时，自相关函数的无偏估计
①设函数；的傅里叶(Fouier)变换只在频率域上存在
(为正常数)，而在其他频率上为零．依照抽样定理，应选取取样间隔不超过奈奎斯特
(Nyquist)区间才能保证包含函数x(t)在上的全部信息．注意，这里所指的“频率”是角频率，它与实际的频率f之间有关系式：. .389。
由这个估计式算出自相关函数的一系列近似值，从而拟合出自相关函数的近似图形，见图12—7．
最后指出，各态历经定理的条件是比较宽的，工程中碰到的大多数平稳过程都能够满足．不过，要去验证它们是否成立却是十分困难的．因此在实践中，通常事先假定所研究的+平稳过程具有各态历经性，并从这个假定出发，对由此而产生的各种资料进行分析、处理，看所得的结论是否与实际相符．如果不符，则要修改假设，另作处理．
§3 相关函数的性质
在第十章§2中指出，用数字特征来描绘随机过程，比用分布函数(或概率密度)来得简便．上一节中又指出，对于具有各态历经性的平稳过程，可以根据各态历经定理，对随机过程的一个样本函数使用数学分析的计算手续去求它的均值和相关函数．在这种。390．
场合下，利用均值和相关函数去研究随机过程更是方便．特别是对于正态平稳过程，它的均
值以和相关函数完全刻画了该过程的统计特性．因此，这两个数字特征的重要性更突出地显现出来．为了成功地使用数字特征去研究随机过程，下面着重研究一下相关函数的性质．以下假设X(t),Y(t)是平稳相关过程，，分别是它们的自相关函数和互相关函数．
1.
这由(1.2)式即可得到．在下一节将看到，量表示平稳过程X(t)的“平均功率”．
2. ，即的偶函数．而互相关函数既不是奇函数，也不
是偶函数，但满足．
这分别可由(1．2)和(1．3)式得到．依据这个性质，在实际问题中只需计算或测量
的值．
3. 关于自相关函数和自协方差函数有不等式：
这可根据自相关函数、自协方差函数的定义以及柯西一施瓦兹不等式直接推出．
此不等式表明：自相关(自协方差)函数都在处取到最大值①．
类似地，可以推得以下有关互相关函数和互协方差函数的不等式：
应用上还定义有标准自协方差函数和标准互协方差函数：
①但并不排除在处也可取到最大值．例如，随机相位正弦波的自相关函数
时均取到最大值．
·391·
由上述不等式性质知：．且当时，X(t)和Y(t)不相关．
4是非负定的，即对任意数组和任意实值函数g(t)都有
事实上，根据自相关函数的定义和均值运算性质，即有
对于平稳过程而言，自相关函数的非负定性是最本质的．这是因为理论上可以证明：任一连续函数，只要具有非负定性，那末该函数必是某平稳过程的自相关函数．
5’如果平稳过程X(2)满足条件，则称它为周期是的平
稳过程．周期平稳过程的自相关函数必是周期函数，且其周期也是
事实上，由平稳性，．又根据第四章§2方差的性质，条
件与等价．于是，由柯西一施瓦兹不等式
右端为零，推知
。392。
展开即得只．
另外，在实际中各种具有零均值的非周期性噪声和干扰一般当值适当增大时，
和X(t)即呈现独立或不相关，于是有
下面讲一个应用的例子．
设某接收机输出电压Y(t)是周期信号S(t)和噪声电压N(t)之和，即
又设S(t)和N(t)是两个互不相关(实际问题中一般都是如此)的各态历经过程，且．根据第十章(2.12)式，Y(t)的自相关函数应为
由性质是周期函数，又因为一般噪声电压当值适当增大时，
呈现独立或不相关，即有
于是，对于充分大的值，我们有
如果现在将y(”作为自相关分析仪(图12—5)的输入，则对于充分大的值，分析仪记
录到的是周期函数的曲线，如果只有噪声而无信号，则对充分大的值，记录到的
．所以从分析仪记录到的曲线有无明显的周期成分就可以判断接收机的输出有无周期信号．这种探查信号的方法称为相关接收法．例如，特别假设接收机输出电压中的信号和噪声过程的自相关函数分别为
且噪声平均功率(见下一节(4．10)式远大于信号平均
·393．
功率．此时，依关系式
来看，自相关分析仪记录到的的图形当，充分大后应呈现正弦曲线，亦即从强噪声中检测到微弱的正弦信号．如图12—8．
§4 平稳随机过程的功率谱密度
在很多理论和应用问题中，常常利用傅里叶(Fourier)变换这一有效工具来确立时间函数的频率结构．本节的目的就是讨论如何运用这一工具以确立平稳过程的频率结构——功率谱密度．
(一)平稳过程的功率谱密度设有时间函数，我们知道，假如x(t)满足狄利克雷(Dirichlet)条件，且绝对可积，即
那末x(t)的傅里叶变换存在或者说具有频谱
且同时有傅里叶逆变换
①为了便于理解诸物理术语，可把x(t)设想为加于1欧姆电阻上的电压，
．394．
F。(oJ)一般是复数量，其共轭函数9三(oJ)＝F。(一oJ)．在J(‘)和芦‘(～)之间成立有帕塞瓦尔(Parseval)等式
等式左边表示x(t)在上的总能量，而右边的被积函数相应地称为
x(t)的能谱密度．这样，帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式．
但是，在工程技术中，有很多重要的时间函数总能量是无限的，而且条件(4．1)也不满足．正弦函数就是一例，平稳过程的样本函数一般来说也是如此．这时，我们通常转而去研
究x(t)在上的平均功率，即
在以下的讨论中，我们都假定这个平均功率是存在的．
为了能利用傅里叶变换给出“平均功率的谱表示式”，我们首先由给定的x(t)构造一个截尾函数
易知，是满足条件(4．1)的．现记的傅里叶变换为
并写出它的帕塞瓦尔等式
将上式两边除以2T，并注意到(4．2)式，得
令上的平均功率即可表示为
。395。
相应于能谱密度，我们把(4.5)式右端的被积式称作函数x(t)的平均功率谱密度，简称功率谱密度，并记为
而式(4．5)右端就是平均功率的谱表示式．
现在我们把平均功率和功率谱密度的概念推广到平稳过程
．为此，相应于(4．3)和(4．4)式写出
和
显然，(4．7)和(4．8)式中诸积分都是随机的．这时，我们将(4．8)式左端的均值的极限，即量
定义为平稳过程X(‘)的平均功率．
交换(4．9)式中积分与均值的运算顺序，并注意到平稳过程的均方值是常数，于是
即平稳过程的平均功率等于该过程的均方值或．
接着，把式(4．8)的右端代入(4．10)式的左端，交换运算顺序后可得
．396·
相应于(4．5)一(4．6)式，我们把(4．11)式中的被积式称为平稳过程X(‘)的功率谱密度，并记为，即
利用记号，(4．11)式可简写为
此式称为平稳过程X(t)的平均功率的谱表示式．
功率谱密度通常也简称为自谱密度或谱密度，它是从频率这个角度描述X(t)
的统计规律的最主要的数字特征．由(4．13)式知，它的物理意义表示X(t)的平均功率关于频率的分布．
如果我们已知平稳过程X(t)的谱密度，那么在任何特定频率范围内的谱密度对平均功率的贡献为
以上定义的谱密度又称为“双边谱密度”，意思是对的正负值都是有定义的．为
了适应实际测量，考虑定义在上的平稳过程X(t)，并按前面的思想和步骤，定义“单边谱密度”：
此处由(4．?)式确定，只是积分范围应为．
①可以指出，平稳过程的总能量为无限，而且能谱密度也不存在．故在乎稳过程理论中“谱密度”一词总是指功率谱密度．
．397·
可以证明，单边谱密度与双边谱密度的关系是：
见图12—9所示．这相当于利用S。(～)的偶函数性质①，把负频率范围内的谱密度折算到正频率范围内．
实用上，从定义单边谱密度的(4．14)式出发，设计有专门的仪器和计算方法用以模拟平稳过程的谱密度或进行数值计算．
(二)谱密度的性质谱密度有以下重要性质：
1. 是的实的、非负的偶函数．
事实上，在(4．12)式中，量
是的实的、非负的偶函数，所以它的均值的极限也必是实的、非负的偶函数．
2. 和自相关函数Rx(，)是一傅里叶变换对，即
它们统称为维纳一辛钦(Wiener—Khintchine)公式．
①见本节(二)中性质
．398·
为了推导公式(4．15)，我们将(4．7)式代人(4．12)式，得
把括号内的积分乘积改写成重积分形式，交换积分与均值的运算顺序，并注意到
，即有
接着，依照§2定理一的证明，作变量替代，可以得到
式中
随机过程复习题
第一章 1． 填空 若X 1,X 2,…,X n 是相互独立的随机变量,且g i (t)是X i 的特征函数,i=1,2,…,n)则X=X 1+X 2+…X n 的特征函数g(t)= ＿g 1(t) g 2(t)…g n (t) 2.设P(S)是X 的母函数，试证: (1)若E(X)存在，则()1EX P '= (2)若D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P ′ (1)-[ P ′ (1)]2 证明:(1)因为()0 k k k P s p s ∞ == ∑，则()1 1 k k k P s kp s ∞ -='= ∑，令1s →，得 ()1 1k k E X P kp ∞ ='==∑ 。 （2）()1 1 k k k P s kp s ∞ -='= ∑， ()()2 2 1k k k P s k k p s ∞ -=''=-∑()2222 =k k k k k k p s kp s ∞ --=-∑ 令1s →，得()()()2 22112 P 1= 1k k k k p kp EX p EX p EX p ∞ ='''-=--+=-∑ ()()2=P 1+1EX p '''∴ ()()()()2 22P 1+11DX EX EX p p ''''∴=-=-???? 证毕 3． 设X 服从B(n,p),求X 的特征函数g(t)及EX,EX 2 ,DX. 解：X 的分布列为P(X=k)=1k k n n C p q -,q=1-p ,k=0,1,2,...n, ()00 k n n n itk k k n k k it n k it g t e C p q C pe q pe q n n k k ? ??? ? ? ? ? ? ? --===+∑∑== 由性质得 ()() , 0n t d it EX i i np dt p q g e ==-=-=+ ()()()22 " 2 2 2 2 0n t it i npq d i p q g p n e EX dt ===-=+-+ ()2 2DX =EX EX =npq -
随机过程习题答案A
随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中：
式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为：
利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有：
P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2）
随机过程-习题-第6章
6.1 6.2 6.3 6.4设有n 维随机矢量)(21n ξξξξτ =服从正态分布，各分量的均值为 n i a E i ,,2,1, ==ξ，其协方差矩阵为 ????? ? ??? ? ?=22 2 2 2 2 2000000σσσσσσσ a a a B 试求其特征函数。 解：n 元正态分布的特征函数为 }2 1 e x p {),,,(21][Bt t t j t t t n '-'=μφξ n i a E i ,,2,1, ==ξ ),,,(21n t t t t =' ，则 ∑== 'n i i jat t j 1 μ ()()),,,(2 1 2 23222 2212 1' ++='n n t t t t t a t t a t t Bt t σσσσσσ =22223232222221221σσσσσσn t t a t t t a t t t ++++++ =∑∑ -=+=+ 1 1 2112 2n i i i n i i a t t t σσ
∴]21exp[)]21(exp[),,,(1 1 211 2221][∑ ∑ -=+=- -=n i i i n i i i n a t t t jat t t t σσφξ 6.5. 设n 维正态分布随机矢量)(21n T ξξξξ =各分量的均值为i E i =ξ， n i ,3,2,1=，各分量间的协方差为 n i m i m n b i m ,3,2,1,|,|,=--= 设有随机变量∑==n i i 1 ξη，求η的特征函数。 解：易得：???? ? ???????=n ξξξη 21]111[ 2 ) 1(][][1 1 += ==∑∑==n n i E E n i n i i ξη 协方差矩阵为： ??????? ??? ? ?? ???------=n n n n n n n n n n 321 312211121B 所以 ]111[]111['??= B ηD =2 2 3n n + 由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以η的特征函数为： ?? ? ???????++-+=2456822)1(exp )(t n n n t n n j t ηΦ 6.6 设有三维正态分布随机矢量)(321ξξξξ=T ，其各分量的均值为零，即0][=i E ξ )3,2,1(=i ，其协方差矩阵为 ???? ? ??=333231232221131211b b b b b b b b b B
第十二章 平稳随机过程
第十二章 平稳随机过程 §1 基本概念 定义1：已给s.p t X t X {=，}T t ∈，若1≥?n ，即T 中任意的,,,21n t t t Λ与 h t h t h t n +++,,,21Λ，n 维r.v ),,(21n t t t X X X Λ与),,(21h t h t h t n X X X +++Λ有相同 的n 维d.f 。即 ) ,,,;,,(),,() ,,(),,,;,,,(2121212121212121n n n h t h t h t n t t t n n x x x h t h t h t F x X x X x X P x X x X x X P x x x t t t F n n ΛΛΛΛΛΛ+++=≤≤≤=≤≤≤=+++ 则称s.p t X 是一个严（强，狭义）平稳过程。 当t X ?n 维d.l 时，则有 ),,;,,,(),,;,,,(21212121n n n n x x x h t h t h t f x x x t t t f ΛΛΛΛ+++= 若取n =1，则有),(),(1111x h t f x t f +=，特别，当T ∈0，可取,1t h -=则有),0(),(111x f x t f =。此时平稳过程t X 的一维d.l 与1t （时间）无关。于是 X X m dx x xf t X E μ=== ?+∞ ∞ -),0()(1 即t X 的均值是一个与时间无关的常数。 其方差 ?∞ ∞ -=-=-=.),0()(][2 22 X X X t t dx x f m x m X E X D σ也与时间t 无关的 常数。 而且T X 的二维d.l 也只依赖于.21t t -=τ即当2t h -=时，有 ).,;(),;0,(),;,(2121212121x x f x x t t f x x t t f τ∧ =-= 所以t X 与τ+t X 之间自相关为 ??∞∞-∞ ∞ -+== =+).(),;(),(21212 1ττττX t t X R dx dx x x f x x X X E t t R 它只依赖于.τ类似地τ+t t X X ,之间协方差为
上海大学随机过程第六章习题与答案
第三章 习 题 1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概 率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链. （1）写出状态空间； （2）求一步转移概率矩阵； （3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为 {2,1,0,1,2}S =-- （2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为 10000000 0000 1q r p q r p q r p ????????=???????? P （3）因为两步转移概率矩阵为 22 (2) 2222 22 1 0000 202220 20 000 1q rq r pq pr p q rq r pq pr p q qr pq r p pr ????++????==+? ?++?????? P P 所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为 (2) 12(1)p p pr p r =+=+ 2．设{,1,2,}i Y i =L 为相互独立的随机变量序列，则
（1）{,1,2,}i Y i =L 是否为Markov 链？ （2）令1 n n i i X Y == ∑，问{,1,2,}i X i =L 是否为Markov 链？ 解（1）由于 11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,) ()()()() ()() (,,,) n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------================= ========L L L L L 因此，{,1,2,}n Y n =L 是马尔可夫链. （2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依 次 类 推 ， 1121 n n X U U U --=+++L 为 1 n U -的函数，记为 1112(),n n n n f U X U U U --=+++L 为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U L L 相互 独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U L L 也相互独立，从而 12211122111 1112211 (,,,)(,,,) (,,,)()() n n n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑L L L 因此{,1,2,}n X n =L 是马尔可夫链. 3 设,1,2,i X i =L 是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===L ，如果 max{,1,2,,1}n i X X i n >=-L ，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻 n 产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,}n R n =L 是Markov 链，并求其转移概率； （2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =L 是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率. 证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足
平稳随机过程
平稳随机过程 ?严格平稳随机过程 ?广义平稳随机过程 ?平稳随机过程自相关函数性质?各态历经过程
1. 严格平稳（Strict Sense Stationary, SSS)随机过程定义: 随机过程X (t )的任意N 维统计特性与时间起点无关。 1111(,,,,,)(,,,,,) X N N X N N p x x t t t t p x x t t +?+?=如果X (t ) 是严格平稳的,则与t 无关。 (,)()X X p x t p x =即X(t)与X(t+?t)具有相同的统计特性。
二维概率密度 只依赖于τ，与t 1和t 2的具体取值无关。 12121212121221212 (,,,)(,,,) (,,,0)(,,) X X X X p x x t t p x x t t t t p x x t t t t p x x t t =+?+?=-?=-=ττ=-
如果X (t )是严格平稳随机过程, 则 121212121212 (,)(,,,)() X X X R t t x x p x x t t dx dx R t t ∞ -∞ ==ττ=-?()()X X X m t xp x dx m ∞ -∞==?22 2()()()X X X X t x m p x dx ∞ -∞σ=-=σ ?
100200300400500 -4-3-2-101234Stationay Gaussian Noise 0100200300400500 -4 -3 -2-101234Non-stationay Gaussian Noise
相关正态随机过程的仿真实验报告
实验名称：相关正态随机过程的仿真 一、实验目的 以正态随机过程为例，掌握离散时间随机过程的仿真方法，理解正态分布随机过程与均匀分布随机过程之间的相互关系，理解随机过程的相关函数等数值特征;培养计算机编程能力。 二、实验内容 相关正态分布离散随机过程的产生 （1）利用计算机语言的[0,1]区间均匀分布随机数产生函数生成两个相互独立的序列 {U1(n)|n=1,2,…100000}，{U2(n)|n=1,2,…100000} 程序代码： clc; N=100000; u1=rand(1,N); u2=rand(1,N);%----------------在[0,1] 区间用rand函数生成两个相互独立的随机序列 n1=hist(u1,10);%--------------------------hist函数绘制分布直方图 subplot(121);%-----------------------------一行两列中的第一个图 bar(n1); n2=hist(u2,10); subplot(122); bar(n2); 实验结果：
（2）生成均值为m=0，根方差σ=1的白色正态分布序列 {e(n)|n=1,2, (100000) [][]m n u n u n +=)(2cos )(ln 2-)(e 21πσ 程序代码： clc; N=100000; u1=rand(1,N); u2=rand(1,N);%---------------在[0,1] 区间用rand 函数生成两个相互独立的随机序列 en=sqrt(-2*log(u1)).*cos(2*pi*u2);%--------定义白色正态分布e(n) n=hist(en,100);%--------------------------hist 函数绘制分布直方图 bar(n); 实验结果： （3）假设离散随机过程x(n)服从均值为x m =0、根方差为2x =σ、相关函数为||2)(r k x x k ασ= )6.0(=α 功率谱函数为
平稳随机过程及其数字特征
平稳随机过程及其数字特征
平稳随机过程 粗略的说——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。一.严平稳随机过程 1. 定义设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意n 和任意t1 因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差τ）的函数 综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?是很困难的。 a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间 进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。 例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。 12121212 12 1 21212 2 2 2 (,)(,;)() (,)()()(,;)()()(0)(0)[()] X X X X X X X X X X X X X X R t t x x f x x dx dx R C t t x m x m f x x dx dx C R m C R m D X t τττττσ=?==??==?=?==∫∫∫∫ ∞<)]([2 t X E b)：另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。 因此，工程中平稳过程的定义如下： 二、宽平稳过程1、定义 若二阶矩过程( )X(t) 满足: E[X(t)]=m x ←常数 R x (t 1,t 2)=R x (τ) ←只与时间间隔(τ=t 2-t 1)有关 则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”（广义平稳过程）。 可见：一个均方值有限的严平稳过程，一定是宽平稳过程。反之：一个宽平稳过程，则不一定是严平稳过程。 c)：一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的平稳问题。即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题。 习题一 1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。求X 的特征函数、EX 及DX 。其中01,1p q p <<=-是已知参数。 2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为 （2）求其期望和方差； （3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。 3．设X 是一随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。 （1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数； （2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为自然数）。 4．设12,,...,n X X X 相互独立，具有相同的几何分布，试求 的分布。 5．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 6．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 7．设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 的概 率密度函数。 8．设X 、Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。求X+Y 的分布。 9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为 试求其特征函数。 10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协方差矩 阵为B σ?kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。 11．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和 213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。 12．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从2(0,)N σ，试求： （1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数； 1,0() 0,0()p p bx b x e x p x p x --?>? Γ??≤? =0,0 b p >>1 n k k X =∑ (1)()(1) jt jnt jt e e f t n e -=-21 ()1f t t =+1 1n i i X X n ==∑22 1[1()],1,1 (,)40,xy x y x y p x y ?+--< 4.1 设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求： （1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之； （2）该过程的均值和相关函数。 问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先， {}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ====== 根据泊松过程的独立增量性质可知 {}{}) (1212121211221212!)()]([)()()(t t k k e k k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是， {}21 122! )(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----= == (2) 解：该过程的均值为 []()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=??? ? ??-==∑∑+∞=--+∞ =-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >) [] ()[])] ([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-= 其中， )()]()([1212t t t N t N E -=-λ 12 1212)]([t t t N E λλ+= 于是，12t t >时的相关函数为 []121212 12121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-= 同理可得21t t >时的相关函数为 []221221)()(t t t t N t N E λλ+= 随机过程习题解答（一）第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a ）分别写出随机变量和的分布密度 （b ）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a ）试求和的相关系数； （b ）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。解：（a ）利用的独立性，由计算有： （b ）当的时候，和线性相关，即 3、 设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数 为 ，且是一个周期为T 的函数，即， 试求方差函数 。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a ）求的均值、方差和相关函数； （b ）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a ） （b ） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数， 为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数 ，因此有一维分布： P35/4. 解： (1) 其中 由题意可知， 的联合概率密度为： 利用变换： ，及雅克比行列式： 我们有 的联合分布密度为： 因此有： 且 V 和 相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于 独立、服从正态分布，因此 也服从正态分布，且 所以 。 （4） 由于： 所以 因此 当时， 当 时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i =j 时 ；否则 令 ，则有 （2） 设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求： （1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之； （2）该过程的均值和相关函数。 问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先， {}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ====== 根据泊松过程的独立增量性质可知 {}{}) (1212121211221212!)()]([)()()(t t k k e k k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是， {}21 122! )(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----= == (2) 解：该过程的均值为 []()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=??? ? ??-==∑∑+∞=--+∞ =-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >) [] ()[])] ([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-= 其中， )()]()([1212t t t N t N E -=-λ 12 1212)]([t t t N E λλ+= 于是，12t t >时的相关函数为 []121212 12121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-= 同理可得21t t >时的相关函数为 []221221)()(t t t t N t N E λλ+= 第一单元 1. 下列常见的分布中属于离散型随机变量的分布有（）：( 2.0分) A.二项式分布 B.均匀分布 C.泊松分布 D.正态分布 E.(0-1)分布 2. 下列常见的分布中属于连续型随机变量的分布有（）：(2.0分) A.二项式分布 B.均匀分布 C.泊松分布 D.正态分布 E.(0-2)分布 3. 下列关于随机变量分布函数性质的描述，正确的是（）：(2.0分) A.分布函数是一个不减函数 B.分布函数能够完整地描述随机变量的统计规律性 C.分布函数的最大值为无穷大 D.分布函数是右连续函数 E.离散型随机变量的分布函数是一系列冲激函数的线性组合 4. 下列关于随机变量概率密度性质的描述，正确的是（）：(2.0分) A.概率密度是一个不减函数 B.概率密度能够完整地描述随机变量的统计规律性 C.只有连续型随机变量才存在概率密度 D.概率密度是非负的函数 E.随机变量的概率密度一定存在 5. 随机试验有什么特点？(2.0分) 6. 基本事件是随机试验中最简单的随机事件。(2.0分) 7. 两个事件乘积的概率等于其中一个事件的概率乘以另一事件在此事件发生的条件下的条件概率。(2.0分) 8. 全概率公式用于在许多情况(B1，B2，…，Bn)下都可能发生事件A，求发生A 的全概率；贝叶斯公式则用于当A已经发生的情况下，求发生事件A的各种可能原因的条件概率。(2.0分) 9. 随机变量是样本空间上的单值实函数。(2.0分) 10. 两个随机变量如果相互独立，则它们的联合分布函数等于这两个随机变量的一维分布函数的乘积。(2.0分) 11. 如果要使两个随机变量之和的数学期望等于这两个随机变量的数学期望之和，则要求这两个随机变量是相互独立的。(2.0分) 12. 如果要使两个随机变量之和的方差等于这两个随机变量的方差之和，则要求这两个随机变量是相互独立的。(2.0分) 13. 两个随机变量如果是不相关的，则它们必定是相互独立的。(2.0分) 14. 当一个随机变量的数学期望为零时，它的方差和均方值相等。(2.0分) 15. 复随机变量的数学期望和方差都是复数。(2.0分) 16. 协方差是反映两个随机变量相关关系的数字特征。(2.0分) 17. 相互独立的随机变量和的特征函数等于各变量的特征函数的乘积。(2.0分) 18. 数学期望、方差和协方差都是矩的特殊情况，其中数学期望是随机变量的＿＿＿＿矩，方差是随机变量的＿＿＿＿矩，协方差是两个变量的＿＿＿＿矩。(2.0分) 19. 离散型随机变量的统计规律可以用＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿和＿＿＿＿来描述。(2.0分) 20. 连续型随机变量的统计规律可以用＿＿＿＿、＿＿＿＿和＿＿＿＿来描述。(2.0分) 21. 数学期望表示＿＿＿＿运算。(2.0分) 22. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率。(2.0分) 23. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率。(2.0分) 24. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为4/15, 刮风(用B表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P(A|B), P(B|A), P(A+B)。(2.0分) 25. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率。(2.0分) 26. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台分别以概率0.8及0.2收到信息“·”及“—”；又当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9及0.1收到信号“—”及“·”。求当收报台收到“·”时，发报台确系发出信号“·”的概率，以及收到“—”时，确系发出“—”的概率。(2.0分) 27. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果。写出它的概率函数和分布函数。 (2.0分) 28. 如果ξ的概率函数为P{ξ=a}=1, 则称ξ服从退化分布。写出它的分布函数F(x), 画出F(x)的图形。(2.0分) 29. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F(x)=A+B arctgx, 求常数 A,B;P{|ξ|<1}以及概率密度υ(x)。(2.0分) 第一章随机过程 的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x) p k f (t)dt 分布函数 k x X 的概率分布用概率密度 f (x) F(x) 分布函数 连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,) 其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型 联合分布列 连续型联合概率密度 ３．随机变量 的数字特征 数学期望：离散型随机变量 X EX x p k k X EX xf (x)dx 连续型随机变量 2 DX E(X EX) 2 EX (EX) 2 方差： 反映随机变量取值 的离散程度 协方差（两个随机变量 X ,Y ）： B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EY XY B XY 相关系数（两个随机变量 X,Y ）： 0，则称 X ,Y 不相关。 若 XY DX DY 独立 不相关 itX g(t) E(e ) itx e p k 连续 g(t) k e itx f (x)dx ４．特征函数 离散 g(t) 重要性质： g(0) 1， g(t) 1 g( t) g(t) ， ， g (0) i EX k k k ５．常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布 P( X 1) p,P( X 0) q EX p DX pq P(X k) C p q n k k k EX np DX n p q n k 泊松分布 P( X k) e k! EX DX 均匀分布略 ( x a)2 1 2 N(a, ) f (x) 2 2 2 EX a 正态分布 e DX 2 第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题完整答案，请搜淘宝 1、 设∑=-=N k k k k n U n X 1)cos(2ασ ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互 独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。 2、 设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程， A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。 （1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？ （2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？ 3、 设}0),({≥t t X 是一实的零初值正交增量过程，且),(~)(2 t N t X σμ。令1)(2)(-=t X t Y ，0≥t 。试求过程}0),({≥t t Y 的相关函数),(t s R Y 。 4、 设有随机过程)sin(2)(Θ+=t Z t X ，+∞<<∞-t ，其中Z 、Θ是相互独立的随机 变量，)1,0(~N Z ，2/1)4/()4/(=-=Θ==ΘππP P 。问过程)(t X 是否均方可积过程？说明理由。 5、 设随机过程t Y t X t 2sin 2cos )(+=ξ，+∞<<∞-t ，其中随机变量X 和Y 独立同分 布。 （1） 如果)1,0(~U X ，问过程)(t ξ是否平稳过程？说明理由； （2） 如果)1,0(~N X ，问过程)(t ξ是否均方可微？说明理由。 6、 设随机过程});({+∞<<∞-t t X 是一实正交增量过程，并且0)}({=t X E ，及满足： {}+∞<<∞--=-t s s t s X t X E ,,)]()([2； 令：+∞<<∞---=t t X t X t Y ),1()()(，试证明)(t Y 是平稳过程。 7、 设0);sin()(≥=t Yt X t ξ，而随机变量X 、Y 是相互独立且都服从]1,0[上的均匀分布， 试求此过程的均值函数及相关函数。并问此过程是否是平稳过程，是否连续、可导？ 8、 设}),({R t t X ∈是连续平稳过程，均值为m ，协方差函数为ττb X ae C -=)(，其中:R ∈τ，0,>b a 。对固定的0>T ，令?-=T ds s X T Y 01)(，证明：m Y E =}{, )]1()()[(2)(21bT e bT bT a Y Var -----=。 9、 设),,,0,0(~),(2221ρσσN Y X ，令tY X t X +=)(，以及?=t du u X t Y 0)()(， （已经编辑到115页2008-3-20） 第四章随机过程 （电子版：盛艳霞OCR，编辑张学文2007.12 -2008.01） 1. 随机过程的概念及其分布律 原书91-132页90 第四章随机过程 为了从统计角度研究气象要素随时间和空间的变化,最好是利用近数十年发展起来的一个统计数学分支----随机过程和随机场理论。为研究气象信息随时间和空间的分布也要对随机过程有所了解。针对如上情况我们在这一章对随机过程的有关概念、性质和在气象上的个别应用作简要介绍。 1、随机过程的概念及其分布律 孤立的研究各点的气压、温度或风等气象要素时，我们把它看成随机变量（矢量）。这时可以分析它的期望值、方差、概率分布等等。 然而当把不同时刻的同一点的气压、温度或风连贯起来看时，这就是一连串的随机变量（矢量）。它们以时间为参数而有所变化。随机变量随某一参数（这里指时间）的变化给人们以过程的概念。所以就把随机变量随参数值的变化而变化的过程这一总体称为随机过程。 当掷骰子时，骰子出现的点数是随机变量。某次“3”点向上，就说这一次随机变量取值为3。而我们所谓的随机变量远不仅只有一个“3”，而应理解为很多次点子数的集合。同样地，随机过程一词也是指一个总体集合，而不是仅指某一时段的变量取值。例如说“春季北京的气温是一个随机过程”，则是指很多很多年的每年春季北京的气温的变化过程这个总体而言的。如1978年北京春季气温的变程仅是总体中的一个个例。它在随机过程中的地位和骰子为“3”点在随机变量中原书91-132页91 的地位是相当的。我们把这一条春季气温曲线称为这个随机过程的一个“现实”这样一个随机过程实际上是由无数具有同一的统计属性的现实组成的。 图4.1是乌鲁木齐冬季1月份的四年的气温曲线。它们就代表了1月气温这个随机过程的四个现实。而这一随机过程应为无数条这种曲线组成。如以T示表气温，y代表年代，d 代表日期，则一个随机过程可以表示为 T=T(y,d) （4．1） 图4.1 乌鲁木齐1月份气温曲线、 式中y有固定值时，例如y=1963年，则得到随机过程的一个现实。如d取固定值（如d=1）则T表示不同年份的这一天（元旦）的气温。这时同一d值不同y值的气温实为一随机变量。时常把这同一的时间d叫作“截口”。所以一个随机过原书91-132页92 关于平稳过程中的各态历经性的综述 首先要介绍一下什么是平稳过程，平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化。严格地说，如果对于任意的n （=1，2…），12,,t t t T ∈n …,和任意实数h,当 12,,n t h t h t h T +++∈…,时，n 维随机变量 （X(1t ),X(2t ),…,X(t n )） 和 （X （1t h +）,X （2t h +）,…,X （n t h +）） 具有相同的分布函数，则称随机过程{}X ∈（t ）,t T 具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程。 在实际工作中，确定随机过程的均值函数和相关函数是很重要的。而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布，这在实际问题中往往不易办到，因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验，以便得到很多的样本函数。 但是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，就会提出这样一个问题：能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢？所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程，只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。 定义 设X （t ）是均方连续平稳随机过程，如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈X （t ）〉存在，即 〈X （t ）〉=1lim ()2T T T X t dt T -→∞ ? 存在，而且〈X （t ）〉=E ｛X （t ）｝=X μ依概率1相等。即〈X （t ）〉依概率1等于X μ= E ｛X （t ）｝, X μ代表随机过程的集平均（或称统计平均），则称该过程的均值具有各态历经性。 定义 设X （t ）是一均方连续平稳随机过程，且对于固定的τ，()X t X t τ（+）也是连续平稳随机过程，〈()X t X t τ（+）〉 代表()X t X t τ（+）沿整个时间轴的平均值，即 ()X t X t τ（+）=1lim (+)()2T T T X t X t dt T τ-→∞ ? 若〈()X t X t τ（+）〉存在，称〈()X t X t τ（+）〉为X （τ）的时间相关函数。又 应用统计与随机课程 课程实验报告题目：相关正态随机过程的仿真 实验1 相关正态随机过程的仿真 实验目的： 以正态随机过程为例，掌握离散时间随机过程的仿真方法，理解正态分布随机过程与均匀分布随机过程之间的相互关系，理解随机过程的相关函数等数值特征;培养计算机编程能力。 实验内容： 程序代码： u1=rand(1,100000); u2=rand(1,100000);%--------------------在[0,1]区间用rand函数生成两个相互独立的是随机序列n1=hist(u1,10)%--------------------------用hist函数绘制分布直方图 subplot(121)%-----------------------------将两幅分布图显示在一个窗口 bar(n1) n2=hist(u2,10) subplot(122) bar(n2) 实验结果： 结果分析： 因为两个独立序列是随机产生，且在[0,1]均匀分布，故将[0,1]分为十个等宽区间时，落在每个区间的数目应该大致相等。 实验内容： 程序代码： clc; u1=rand(1,100000); u2=rand(1,100000);%--------------------在[0,1]区间用rand函数生成两个相互独立的是随机序列en=sqrt(-2*log(u1)).*cos(2*pi*u2);--------定义白色正态分布e(n) n=hist(en,100);%-------------------------------用hist函数绘制分布直方图 bar(n) 实验结果: 结果分析： 绘制出的图形符合白色正态分布 第四章 平稳随机过程 第一节 平稳过程的概念 一、两类平稳过程 1.严平稳过程 定义1 设 为随机过程，如果对任意正整数n 及任意 ， 及任意实数τ, T t t t n ∈+++τττ,,,21 ，可使n 维随机变量 与())(,),(),(21τττ+++n t X t X t X 有相同的分布，即 的n 维分布函数Fn 满足： ),,,;,,,(),,,;,,,(21212121τττ+++=n n n n n n t t t x x x F t t t x x x F 对一切 ,2,1,=i x i 成立 则称 为严平稳过程，（强平稳过程，狭义平稳过程）。 定理1设 为严平稳过程，如果对任意 ，则有 证：首先利用柯西—许瓦兹不等式 可以证明 ，即自相关函数存在。 又由于 为严平稳过程，故对任意 有相同的分布， 所以 再由s 、t 的任意性可知 又对任意 及任意τ，使 T t s ∈++ττ,，有 ))(),(())(),((ττ++t X s X t X s X 与同分布，于是 []) ,()()()]()([),(ττττ++=++==t s R t X s X E t X s X E t s R X X )(),0(s t R s t R s X X ---=记令τ 2.宽平稳过程 定义2 设有随机过程 ，且对任意t ， ，如果 ) (),()(ττμX X X R t t R t =+=常数 则称 为宽平稳过程（弱平稳过程，广义平稳过程）。 以后涉及的平稳过程均指宽平稳过程。 严平稳过程与宽平稳过程的关系：严平稳过程不一定是宽平稳过程，宽平稳过程也不一定是严平稳过程，但对于二阶矩过程，严平稳过程就是宽平稳过程。正态过程的严平稳性与宽平稳性是等价的。 二、平稳过程的数字特征 设 为平稳过程，且 ，则 )]([t X E X =μ为常数，称其为均值。 )]()([)(ττ+=t X t X E R X 为其τ的一元函数， （自相关函数） )]([22t X E X =ψ为常数，（均方值）随机过程课后习题
随机过程-习题-第4章-01
随机过程习题答案
随机过程-习题-第4章
随机过程试题
(完整版)随机过程知识点汇总
《随机过程答案》第四章习题
第四章随机过程
随机过程关于平稳过程中的各态历经性的综述
相关正态随机过程的仿真
第四章 平稳随机过程