积分变换课后
1-1
1． 试证：若
()f t 满足Fourier 积分定理中的条件，则有
()()()d d 0
cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞
=+??
其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞
-∞-∞
==??
分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试
用三角形式证明.
证明：利用Fourier 积分的复数形式，有
()()j j e e d π12t t
f t f ωωτω+∞+∞--∞-∞??=
?????? ()()j j d e d π11cos sin 2t f ωτωτωττω+∞+∞-∞-∞??=
-????
??
()()()j j d 1cos sin 2
a b t t ωωωωω+∞
-∞??=
-+??? 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以
()()()d d 11cos sin 22
f t a t b t ωωωωωω+∞+∞-∞-∞=
+?? ()()d d 0
cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞
=+?
?
2．求下列函数的Fourier 积分：
1）()22
21,10,1t t f t t ?-≤?=?>??; 2) ()0,
0;e sin 2,0
t
t f t t t -?
1,10
1,010,1t t f t t t ?-∞<<-?
--<
?<<+∞?
分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解.
解：1）函数()22
2
1,1
0,
1t t f t t ?-≤?=?>??为连续的偶函数，其Fourier 变换为 j 21()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞
+∞?====-?-∞
???F
1
2233
0sin 2cos 2sin sin 4(sin cos )2t t t t t t ωωωωωωωωωωωω????-=--+=?? ????
?(偶函数)
f (t )的Fourier 积分为
j 3
11()()e d ()cos d 0
2ππ4(sin cos )
cos d 0πt
f t F F t t ωωωωωωωωωωωω
+∞+∞==-∞+∞-=??? 2)所给函数为连续函数，其Fourier 变换为
()[]j j ω()()e d e sin 2e d 0
t
t t F f t f t t t t ωωτ---+∞===-∞??F
2j 2j j (12j j )(12j j )e e 1e e d [e e ]d 02j 2j 0
t t t t t t t t ωωω----+--+++∞+∞
-=??=-?? (12j j )(12j j )0
1e e 2j 12j j 12j j t t ωωωω+∞
-+--++??=+??-+-++?? ()2
24
252j j 1121(2)j 1(2)j 256ωωωωωω??--????=+=
?-+-+--+??（实部为偶函数，虚数为奇函数）
f (t )的Fourier 变换为
()j 1()e d 2πt f t F ωωω+∞
=-∞
? ()()2
24252j 1cos jsin d 2π256t t ωωωωωωω
??--+∞??=?--∞-+? ()()()22
2424
2
24
5cos 2sin 5sin 2cos 11d d π256π2565cos 2sin 2d π0256t t t t t t ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω-+--+∞+∞=+-∞-+-∞-+-++∞=-+???
这里用到奇偶函数的积分性质.
3）所给函数有间断点-1，0，1且f (-t )= - f (t )是奇函数，其Fourier 变换为
()[]j ()()e d 2j ()sin d 0
t
F f t f t t f t t t ωωω-+∞+∞===--∞??F
12j(cos 1)2j 1sin d 0t t ωωω
-=-?=?（奇函数）
f (t )的Fourier 积分为
()()j j ()e d sin d π0π0
21cos sin d π0t
f t F F t t ωωωωωωωωωω
+∞+∞=+∞-=???1=
2
其中t ≠-1，0，1（在间断点0t 处，右边f (t )应以
()()
00002
f t f t ++-代替）.
3．求下列函数的Fourier 变换，并推证下列积分结果： 1）()e
(0),t
f t ββ-=>证明：22cos πd e ;02t
t βωωβωβ
-+∞=+? 2）()e cos t
f t t -=，证明：24
2πcos d e cos ;042
t
t t ωωωω-+∞+=+? 3）sin ,π()0,πt t f t t ?≤?=?>??，证明：2
πsin ,π
sin πsin 2d 010,πt t t t ωωωω?≤+∞?=?-?>?
? 证明：1）函数()e t f t β-=为连续的偶函数，其Fourier 变换为
()()j e e d 2e cos d 0t t t
F f t t t t βωβωω---+∞+∞??===??-∞??F
()
22
22
e cos sin 22
t t t t t ββωωωβ
βωβω
-=+∞
=-+==
++ 再由Fourier 变换得
()()j 22
112e d cos d 2ππ0t
f t F t t ωβωωωβω+∞+∞=
=-∞+?? 即 22
cos πd e 02t
t βωωβωβ
-+∞=+?
2）函数()e cos t f t t -=为连续的偶函数，其Fourier 变换为
()j j ()e d e cos e d t t t F f t t t t ωωω---+∞+∞
==-∞-∞
?
?
j j j e e e e d 2
t t t t
t ω---+∞+-∞? (1j j )(1j j )(1j j )(1j j )001e d e d e d e d 200t
t t t t t t t ωωωω-+----+--+++∞+∞??=
+++??-∞-∞??
???? (1j j )(1j j )(1j j )(1j j )001e e e e 21j j 1j j 1j j 01j j 0t t t t ωωωωωωωω+--++-+++-??
+∞+∞=+++??+--∞---∞-+-+-??
24
11111
221j j 1j j 1j j 1j j 4
ωωωωωω??-+=+++=??+----+-+-+?? 再由Fourier 变换公式得
()()2j 41112()e d cos d cos d 2ππ0π04t
f t F F t t ωωωωωωωωωω+∞+∞+∞+=
==-∞+??? 即 24
2πcos d e cos 042
t
t t ωωωω-+∞+=+? 3）给出的函数为奇函数，其Fourier 变换为
()()()π
π
j j π
π
e
d sin e
d sin cos jsin d t
t
F f t t t t t t t t ωωωωω+∞---∞
--===-?
??
()()π
π
002j sin sin d j cos 1cos 1d t t t t t t ωωω??=-=+--?
??? ()()2sin 1πsin 1πsin sin 2jsin j j 1010111t t ωωωπωπ
ωπ
ωωωωω??+---??=-=-= ?
?+-+--??
?? ()()()-1
j 2112jsin πe d cos jsin d 2π2π1t
F F t t ωωωωωωωωω+∞+∞-∞-∞??==+??-??F
20sin ,π
2sin πsin d π10,
πt t t t ωωωω+∞?≤?=-=?
->??? 故
2
πsin ,π
sin πsin 2d 10,πt t t t ωωωω+∞
?≤?=?-?>?
?
4.求函数()()e 0,0t f t t ββ-=>≥的Fourier 正弦积分表达式和Fourier 余弦积分表达式.
解：根据Fourier 正弦积分公式，并用分部积分法，有
()()002sin d sin d πf t t f ωωτττω+∞+∞
??=
?
?????
002sin d sin d πe t t βτωωτω+∞+-∞??=?
????? ()220sin cos 2sin d π0e t t βτ
βωωωωωβτω+-∞??-+∞=??+??
? 2202sin d .πt ω
ωωβω
+∞=
+? 根据Fourier 余弦积分公式，用分部积分法，有
()()002cos d cos d πf t t f ωωτττω+∞+∞
??=
???
??? 002cos d cos d πe t
t βτωωτω+∞+-∞??=?
????? ()220sin cos 2cos d π0e t t βτ
βωωωωωβτω+-∞??-+∞=??+??
? 22
02cos d .πt ωωωβω+∞=+? 1-2
1．求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ
?≤≤?=???其他
的Fourier 变换.
解：
[]()j j j j 0
1e e
()()()e d e d 0j j t t t t A F f t f t t A t A τ
ωωωωτ
ωωω-----+∞??=====??
-∞-????F 2.设()F ω是函数()f t 的Fourier 变换，证明()F ω与()f t 有相同的奇偶性.
证明：()F ω与()f t 是一个Fourier 变换对，即 ()()j e d t F f t t ωω-+∞=-∞?
，()()j 1e d 2πt f t F ωωω+∞=-∞
? 如果()F ω为奇函数，即()()F F ωω-=-，则
()()()()()()j j 11e d e d 2π2πt t
f t F F ωωωωωω--+∞+∞-=
=---∞-∞
??
（令u ω-=）()j 1e d 2πut F u u -∞
=+∞
? （换积分变量u 为ω）()()j 1e d 2πt
F f t ωωω+∞=-=--∞
? 所以()f t 亦为奇函数.
如果()f t 为奇函数，即()()f t f t -=-，则
()()()()()j j e d e d t t
F f t t f t t ωωω----+∞+∞-==---∞-∞
?
? （令t u -=）()j e d u f u u ω--∞
=+∞
? （换积分变量u 为t ）()()j e d t f t t F ωω-+∞
=-=--∞
? 所以()F ω亦为奇函数.
同理可证()f t 与()F ω同为偶函数.
4．求函数()()e 0t f t t -=≥的Fourier 正弦变换，并推证
()20
012sin πd e α
ωαωωαω+∞
-=>+?
解：由Fourier 正弦变换公式，有
()()s s F f t ω??=??F ()0
sin f t t t ω+∞
=?d 0sin t
t t ω+∞
-=?e d ()2sin cos 10t t t ωωωω---+∞=
+e 21ω
ω=+ 由Fourier 正弦逆变换公式，有
()1
20022sin ()()sin 1s
s s t
f t F F t ωωωωωωωω+∞+∞-===????+??F d d ππ
由此，当0t α=>时，可得
()()20
sin ππd e 0122f αωαωωααω+∞
-==>+?
5．设()()f t F ω??=??F ，试证明：
1）()f t 为实值函数的充要条件是()()F F ωω-=； 2）()f t 为虚值函数的充要条件是()()F F ωω-=-.
证明： 在一般情况下，记()()()r i f t f t f t =+j 其中()r f t 和()i f t 均为t 的实值函数，且分别为()f t 的实部与虚部. 因此
()()()()[]j e d j cos jsin d t r i F f t t f t f t t t t ωωωω-+∞+∞
??==+-??-∞-∞
?? ()()()()cos sin d j sin cos d r
i r i f t t f t t t f t t f t t t ωωωω+∞+∞
????=+--????-∞-∞?
? ()()Re Im F j F ωω????=+???? 其中()()()Re cos sin d r i F f t t f t t t ωωω+∞
????=+????-∞
?
， ()a ()()()Im sin cos d r i F f t t f t t t ωωω+∞
????=--????-∞? ()b
1）若()f t 为t 的实值函数，即()()(),0r i f t t f f t ==.此时，()a 式和()b 式分别为
()()Re cos d r F f t t t ωω+∞??=??-∞? ()()Im sin d r F f t t t ωω+∞
??=-??-∞
?
所以
()()()Re jIm F F F ωωω????-=-+-????
()()()Re jIm F F F ωωω????=-=???? 反之，若已知()()F F ωω-=，则有
()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω????????-+-=-????????
此即表明()F ω的实部是关于ω的偶函数；()F ω的虚部是关于ω的奇函数.因此，必定有
()()()cos d j sin d r r
F f t t t f t t t ωωω+∞+∞
=--∞-∞??
亦即表明()()r f t f t =为t 的实值函数.从而结论1）获证.
2）若()f t 为t 的虚值函数，即()()()j ,0i r f t f f t t ==.此时，()a 式和()b 式分别为
()()Re sin d i F f t t t ωω+∞
??=??-∞
? ()()Im cos d i
F f t t t ωω+∞
??=??-∞?
所以
()()()Re jIm F F F ωωω????-=-+-????
()()Re jIm F F ωω????=-+????
()(){}
Re jIm F F ωω????=--????
()F ω=-
反之，若已知()()F F ωω-=-，则有
()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω????????-+-=-+????????
此即表明()F ω的实部是关于ω的奇函数；()F ω的虚部是关于ω的偶函数.因此，必定有
()()()sin d j cos d i i
F f t t t f t t t ωωω+∞+∞
==+-∞-∞?
?， 亦即表明()()j i f t f t =为t 的虚值函数.从而结论2）获证.
6.已知某函数的Fourier 变换sin ()F ω
ωω
=
，求该函数()f t .
解：sin ()F ω
ωω
=
为连续的偶函数，由公式有
()()j π1sin e d cos d 2π0t
f t F t ωωωωωωω
+∞+∞=
=-∞??
()()sin 1sin 111d d 2π02π0t t ωω
ωωωω
+∞++∞-=
+??
但由于当0a >时
sin sin sin π
d d()d 0002
a a t a t t ωωωωωω+∞+∞+∞===??? 当0a <时
sin sin()π
d d 002
a a ωωωωωω+∞+∞-=-=-?? 当0a =时，sin d 0,0a ωωω+∞=?所以得 ()1
121
1401t f t t t ?
?==??
?>??
，，，
7．已知某函数的Fourier 变换为()()()00πδδF ωωωωω??=++-??，求该函数()f t .
解：由函数()()()00δd t t g t t g t -=，易知
()()()()j j j 001e d 2π11πδe d πδe d 2π2πt
t t f t F ωωωωωωωωωωω+∞=
-∞
+∞+∞=++--∞-∞
???
j j 000
11e e cos 22t t t ωωωωωωω=-==+=
8．求符号函数（又称正负号函数）()1,0sgn 1,0t t t -?的Fourier 变换.
解：容易看出()()()sgn t u t u t =--，而1
[()]()πδ().j u t F ωωω
=-
+F 9．求函数()()()1δδδδ222a a t a t a t f t t ??????=
++-+++- ? ????????
?的Fourier 变换.
解 ：
()()()()j 1δδδδe d 222t a a F f t t a t a t t ωωω+∞--∞????????==++-+++- ? ??????????
??F j j j j 1e e e e 222t t t t a a t a t a t t ωωωω----?
???=+++??=-==-=???
?
cos cos 2
a
a ωω=+.
10 .求函数()cos sin t f t t =的Fourier 变换. 解: 已知
()()000sin j πδδt ωωωωω??=+--??????F 由()1cos sin sin 22f t t t t ==
有()()()πj
δ2δ22
f t ωω????=+--????F 11.求函数()3sin f t t =的Fourier 变换.
解:已知()0j 0e 2πδt
ωωω??=-??F ,由
()()3
j j 33j j -j 3j e e j sin e 3e 3e e 2j 8t t t t t t
f t t --??-===-+- ???
即得
()()()()()πj
δ33δ13δ1δ34f t ωωωω????=---++-+????F
12.求函数()πsin 53t t f ?
?=+ ??
?的Fourier 变换.
解: 由于
(
)π1sin 5sin532f t t t t ?
?=+=+ ???
故()()(
)()()πj
δ5δ5δ5δ522f t ωωωω?????=+--+++-???????
F .
14.证明：若()()j e t F ?ω??=??
F ，其中()t ?为一实数，则 ()()()1cos 2t F F ?ωω????=+-????F
()()()1sin 2j t F F ?ωω????=--????F
其中()F ω-为()F ω的共轭函数.
证明：因为 ()()
j j e
e d t t F t ?ωω+∞--∞
=??
()()()
j j j j e
e d e
e d t t t
t F t t ??ωωω+∞+∞
---∞
-∞
-==??
?
()()()
()
()()j j j j 1e e
e
d cos
e d cos 22
t t t
t F F t t t t ??ωωωω??-+∞+∞
---∞-∞
+????+-===???
???
F 同理可证另一等式.
17．求作如图的锯齿形波的频谱图.（图形见教科书）.
解 ：02π,T ω=()1
,00,ht t T f t T ?≤≤?=???
其他
()00
111d d 2
T
T
h C f t t ht t T
T
T =
=
=?
?
()()000j j j 020
1
1e
d e d e d T
T
T
n t
n t n t n ht h C F n f t t t t t T
T
T T
ωωωω---==
=
?=?
?
?
00j j 2
1
1j e e d j j 2πT
n t n t T
h
h
t T n n n ωωωω--??=
?+
=?
?-??
?
()()()()()000
j j 2πδ2πδπδδ.22πn n n n h h h
F n h n n n ωωωωωωω+∞+∞
=-∞=-∞
≠≠=+?-=+?-∑∑
1－3
1．若1122()[()],()[()],F f t F f t ωω== F F ,αβ是常数，证明（线性性质）：
1212()()()()f t f t F F αβαωβω+=+????F -1
1212()()()()F F f t f t αωβωαβ+=+????F
分析：根据Fourier 变换的定义很容易证明. 证明：根据Fourier 变换与逆变换的公式分别有
1212()()()()t
f t f t f t f t t ωαβαβ+∞
--∞+=+?????????F j e d
12()()t
t f t t f t t ωωαβ+∞+∞
---∞
-∞
=+?
?
j j e
d e d
12()()F F αωβω=+
-1
12121()()()()2t
F F F F ωαωβωαωβωω+∞-∞+=
+?????????F
j e d π
1211()()22t t
F F ωωαωωβ
ωω+∞+∞-∞-∞??
??=+????????
??j j e d e d ππ
12()()f t f t αβ=+
6．若()[()]F f t ω= F ，证明（翻转性质）：()[()]F f t ω-=- F 分析：根据Fourier 变换的定义，再进行变量代换即可证明. 证明：()[()]t f t f t t ω+∞--∞-=-?F j e d （令t u -=）()()
u f u u ω+∞---∞
=?j e d
（换u 为t ）()()t
f t t ω+∞---∞
=?
j e
d
()F ω=-
9．设函数()1,10,1
t f t t ???，利用对称性质，证明：π ,1sin .0,1t t ωω?
>????F 证明：()[()]t f t f t t ω+∞--∞
=?
F j e d 1
1
t t ω--=?j e d
1
cos t t ω=?d 1
sin t
t ωω
=?
d
由对称性质：()[()]f t F ω= F ，则()[()]2,F t f ω=-F π有
()sin [()]2t F t f t ω??
==-????
F F π (),1sin 0,1t f t ωωω?????
F π π 12．利用能量积分()()2212f t t F ωω+∞
+∞
-∞
-∞??=????d d π
，求下列积分的值： 1）2
1cos x
x x +∞
-∞
-?
d ； 2）4
2sin x x x +∞-∞?d ；
3）()
2
2
1
1x x +∞-∞
+?
d ；4）()
2
2
2
1x x x +∞-∞
+?
d .
解：1）2
2
2
2sin 1cos 2x
x
x x x x +∞
+∞
-∞
-∞-=?
?d d
（令2x
t =）2
sin t t t +∞-∞??= ???
?d 2
1sin 2t t ω+∞-∞??
=?????F d π 12
1
12ω-=
?πd π=π 2）()22
422sin 1cos sin x x x
x x x x +∞
+∞-∞
-∞-=?
?d d 2
2
sin sin cos x x x x x x x +∞
+∞-∞-∞????=- ? ???????d d 2
1sin 2t t t +∞-∞??=- ???
?πd
22
=πππ-=
3）()
22221
111x t t x +∞
+∞
-∞
-∞??
= ?+??+?
?d d 2
21121t ω+∞-∞??=??+???F d π，其中
221111t
t t t ω+∞--∞??=??++??
?F j e d 20cos 21t t t ω+∞=+?d 22ωω--==πe πe 从而
()
2221
121x x ωω+∞+∞--∞
-∞=+?
?d πe d π2201ωω+∞-=?πe d π20
122
ω
-+∞=?=
-π
πe 4）()
()
2
22
2
2
2
11
11x x x x x x +∞+∞-∞
-∞
+-=++?
?
d d ()
22
21111x x x x +∞+∞-∞
-∞=-++?
?d d arctan 2x
+∞-∞
=-
π2222
=+-=ππππ
1－4
1.证明下列各式： 2）()1f t ()()()()()23123f t f t f t f t f t ????
=????
；
6）
()()()
()()
()121212d d
d
;d d d f t f t f t
f t f t f t t
t t
?
?==?? 10)()
()()d t f t u t f ττ-∞
=?
分析：根据卷积的定义证明. 证明： 2) ()
()()12
3f t f t f t ????
()()()123d f f t f t ττττ+∞
-∞??=--??
?
()()()132d f f u f t u du τττ+∞
+∞-∞
-∞??=--????
?
? ()()()132d d f f u f t u u τττ+∞+∞
-∞
-∞
=--?
?
()()()123
d d f f t u f u u
τττ+∞
+∞-∞
-∞??=--?????
? ()()()1
23d f t u f t u f u u +∞-∞
??=--??
?
()()()123f t f t f t ??
=?
?
6）
()()()()1212d d d d d f t f t f f t t
t τττ+∞
-∞???
?=?-??????
?
()()()()1212
d
d
d d d f f t f t f t t t τττ+∞
-∞
??=?-=???
, ()()()()1212d d d d d f t f t f t f t t τττ+∞-∞???
?=-???????
? ()()()()12
12d d d d d f t f f t f t t t τττ+∞-∞
??
=-?=????
?
.
10) ()
()()()d f t u t f u t τττ+∞-∞
=-?
()1,0,t u t t τττ??
????
?()d t f ττ-∞=?. 2．若()()()()12e ,sin t f t u t f t tu t α-==，求()()12f t f t .
注意：不能随意调换()1f t 和()2f t 的位置.
解：由()()1e ,0
e 0,0
t t
t f t u t t αα--?>?==?
?==?
()()
()1221f t f t f t f t =()()21d f f t τττ+∞-∞
=-?
要确定()()210f f t ττ-≠的区间，采用解不等式组的方法.因为
()()210,0;0,0f t f t ττττ>≠->-≠.即必须满足 0
0t ττ>??
->?, 即0t ττ>??
()()
()1221f t f t f t f t =
()()21d f f t τττ+∞-∞
=-?
()
0sin e
d t t ατττ--=?
e sin e d t t αατττ-=?
（分部积分法）()2
e sin cos e 10t
t
ατααττα-??-=??+?? ()22
e sin cos 1e
11t
αταατταα-??
-=+??++?
? 2
sin cos e 1
t
ααττα--+=+ 4 .若()()()()1122,F f t F f t ωω????==????F F ，证明:
()()()()11221
*2πF f t t F f ωω???=??F
证明:
()()()()1
21
21
1d 2π2πF F F u F u u ωωω+∞
-∞=
?-? ()()j 211e d d 2πut F u f t t u ω+∞+∞--∞-∞?
?=-???
????? ()()j 211e d d 2πut F u f t t u ω+∞+∞--∞-∞??=
-?
????? ()()j 211e d d 2πut F u f t u t ω+∞+∞--∞-∞??=-?
?????
()()j 121e d d 2πut f t F u u t ω+∞+∞--∞-∞?
?=-?
????? ()()j j 121e e d d 2πst t
f t F s s t ω+∞+∞--∞-∞??=
??????? ()()()()j 1212e d t f t f t t f t f t ω+∞--∞
??=??=????
F
5.求下列函数的Fourier 变换： 1）()()0sin f t t u t ω=?； 2）()()0e sin t f t t u t βω-=?； 5）()()0j 0e t f t u t t ω=-；
解: 1）已知()()1
πδj u t ωω??=+??F ,又 ()()()()()
00j j 01sin e e 2j
t
t f t t u t u t u t ωωω-=?=
-. 由位移性质有
()()()()()0000111
πδπδ2j j j f t ωωωωωωωω????=-+-+- ??? ?-+?
?F
()()000220
π
δδ2j ωωωωωωω??=
--+-??-. 2）由Fourier 变换的定义，有
()()j 00e sin e sin e d t t t
t u t t u t t ββωωω+∞
----∞
???=????F ()j 00
sin e
d t
t t βωω+∞
-+=?
()()()j 0002
2
0e
j sin cos 0j t
t t βωβωωωωβωω-+??-+-+∞??=
++
()
2
2
j ωβωω=
++
5）利用位移性质及()u t 的Fourier 变换，有
()()0j 0e t u t t u t ω-????-=????F F ()0j 1e πδj t ωωω-??=+
???
再由象函数的位移性质，有
()()()()000j j 0001e e πδj t t
u t t ωωωωωωω--????-=+-???
?-????
F 7．已知某信号的相关函数()21e 4
a R τ
τ-=
，求它的能量谱密度()S ω，其中0a >.
解 由定义知
()()j e d S R ωτωττ+∞--∞
=?
2j 1e e d 4
a τωτ
τ+∞---∞=
? 02j 2j 0
11e e d e e d 44a a τωττωτττ+∞----∞=
+?? ()(
)()
2j 2j 0
01e 1e 42j 42j a a a a ωτωτ
ωω--++∞=+
--∞-+
22
11142j 2j 4a
a a a ωωω??=+= ?
-++?? 9．求函数()()()e ,0t f t u t αα-=>的能量谱密度. 解: 因为()()e ,0e
0,0
t t
t f t u t t αα--?>?==?
()()
()()e
,e
0,
t t t f t u t t ατατττττ-+-+?>-?+=+=?<-??
当0τ>时，()()0f t f t τ+≠的区间为()0,+∞，所以
()()()()
d e e
d t t R f t f t t t αταττ+∞+∞
-+--∞
=+=?
?
220
11e
e
d e
e e 22t
t t ατ
αατ
αατ
α
α
+∞
-----+∞===
--?
当0τ<时，()()0f t f t τ+≠的区间为(),τ-+∞，所以
()()()d R f t f t t ττ+∞-∞
=+?
()
e e
d t t t ατατ
+∞-+--=?
2e
e
d t
t ατ
ατ+∞---
=?
21e e
2t ατ
ατ
α--+∞
-=-
21e e 2ατ
ατα-=1e 2ατ
α
= 因此，()1e
2R ατ
τα
-=
，现在可以求得()f t 的能量谱密度，即 ()()j e
d S R ωτ
ωττ+∞
--∞
=?
j 1e e d 2ατωττα+∞
---∞
=
?
()()
0j j 01e d e d 2αωταωτττα+∞--+-∞??=
+???
??? ()()()j j 01
11e e 2j j 0αωταωτα
αωαω--+??+∞=+??--∞-+??
1112j j α
αωαω??
=
+??-+??
22
1
αω
=
+ 1－5
1．求微分方程()()(),()x t x t t t δ'+=-∞<<+∞的解. 分析：求解微分、积分方程的步骤：
1）对微分、积分方程取Fourier 变换得象函数的代数方程； 2）解代数方程得象函数；
3）取Fourier 逆变换得象原函数（方程的解）.
解：设()(),x t X ω??=??F 对方程两边取Fourier 变换，得 ()()j 1.X X ωωω+= 即
()1
.1X j ωω=
+
其逆变换为()0,0
.e ,0
t
t x t t -?
()()2
22
2
1
0;y a b t b t a
τττ+∞
-∞
=<<+-+?
d
2）()22
2t t y τττ+∞-
---∞
=?e d πe
.
解：1）利用卷积定理可以求解此类积分方程.显然，方程的左端是未知函数()y t 与
22
1
t a
+的卷积，即()221
y t t a
+.设()(),y t Y ω??=??F 对方程两边取Fourier 变换，有
()222
211y t t a t b ????
=??*+?????+?F F
即
()222211y t t a t b ????
???=???+???
????+F F F 易知：22
cos 2t
t βωωβωβ
+∞
-=+?
πd e ，有 ()222211t t
Y t t t a t b
ωωω+∞
+∞---∞
-∞?=++?
?j j e d e d 即
()22220
0cos cos 22t t Y t t t a t b
ωωω+∞+∞?=++?
?d d 所以()()22b b a a a b Y b a
ωω
ωω----==πe
e πe
由上可知222201cos π2d e a t t t a t a a ωω+∞-??=??
=?++??F ，
()()-1
b a a y t e b ω--?=??
???F
()-1
-b a a b a b b a ω--=
?-??????
F πe π
()
()2
2--a b a b t b a =
??+??
π.
2）设()(),y t Y ω??=??F 对方程两边取Fourier 变换，同理可得
()2
2e 2πe t t y t --????=???
???
F F
利用钟形脉冲函数的Fourier 变换2
2
4e e
π
t A A ωββ
β
-
-??=
??
F 及由Fourier 变换的
定义可求得：222e t
βββω
-??=??+F ，从而 ()2
2e 2πe t t y t --???????=????????
F F F
即
()()2
2
22
22
2121Y ωω
ωωω-
-==++πe πe
()2
2
2
2
2
ωωω-
-
=-πe
πj e
从而
()()2
2
2-1
-1
2
2y t ω
ωω--??
??
=-???????????
?
πe πj e F F ， 其中，记()22
e
f t ω-
??=??F ，则()22
2π
e
t f t -
=
，上式中第二项可利用微分性质
()()()()22
2
2
f t f t ωωω-
''????==????F F j j e
，则
()()2
2
22-1
2
2
22t f t t ωω--????''== ??? ????
?
??
F πd j e e d 2
222t
-=πe 因此
()2
22
2
222t t y t -
-
=?
-π
e
π
e
ππ
2
22
221t t -??=- ??e π.
5.求下列微分方程的解()x t ：
()()()()d ax t b x f t ch t τττ+∞-∞
'+-=?
其中()(),f t h t 为已知函数，,,a b c 均为已知常数.
解：设
()()()()()(),,.f t F h t H x t X ωωω??????===??????F F F 对方程两边取
复变函数与积分变换公式
复变函数复习提纲 （一）复数的概念 1.复数的概念：z = X ? iy , X, y 是实数,x = Rez,y=lmz.r=_i. 中的幅角。 3）arg Z与arctan~y之间的关系如下: X y 当X 0, arg Z= arctan 丄； X y y -0,arg Z= arctan 二 ! X y y ：： O,arg Z= arctan -二 J X 4)三角表示：Z = Z(COS8 +isin0 ),其中日=argz；注：中间一定是“ +”号。 5)指数表示：Z = ZeF,其中V - arg z。 (二)复数的运算 1.加减法：若Z I=X I iy1, z2=X2 iy2,贝廿z1二z2= x1二x2i y1- y2 2.乘除法： 1)若z1 = x1 iy1, Z2 =X2 iy2,贝U 狂h[N×2 一y$2 i x2% x1y2 ； 乙_ X1+ i y_ (x1 十 i 和X—i y_ XX y*y y x；。X Z2 X2+ i% (对讪-X )i2y 2+2X222+ 2X22 2)若Z I=Iz I e i^,z2 =∣z2 e iθ ,则 Z1Z2 = ZIll Z2 e i(t1也； 3.乘幕与方根 1)若Z= Z(COS J isin * n (CoS n i Sinn )= n e i"。 2）幅角：在Z=O时，矢量与X轴正向的夹角, 记为Arg Z （多值函数）；主值arg Z 是位于（-理,二］注：两个复数不能比较大小 2.复数的表示
2)若 Z = IZ(COSB+isinT)=∣ze i ^,则 （三）复变函数 1?复变函 数： w = f z ,在几何上可以看作把 Z 平面上的一个点集 D 变到W 平面上的一个点集 G 的映射 . 2 ?复初等函数 1）指数函数：e z =e x cosy isiny ,在Z 平面处处可导，处处解析；且 注：e z 是以2二i 为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3）对数函数： LnZ=In z+i （argz + 2kιι） （k=0,±1,±2八）（多值函数）； 主值：In Z = Inz+iargz 。（单值函数） ?1 LnZ 的每一个主值分支In z 在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Inz Z 注：负复数也有对数存在。 （与实函数不同） 3）乘幕与幕函数：a — e bLna （a = 0） ； Z b = e bLnZ （Zn 0） 注：在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Z S -bz b j 。 Sin z,cos Z 在 Z 平面内解析，且 Sinz = cosz, CoSZ=-Sinz 注：有界性Sin z 兰1, cosz ≤1不再成立；（与实函数不同） Z ■ Z Z ■ Z ,,,, e -e e +e 4) 双曲函数 ShZ ,chz = 2 2 ShZ 奇函数，ChZ 是偶函数。ShZ I ChZ 在Z 平面内解析，且 ShZ =chz, ChZ i - ShZ O （四）解析函数的概念 1 ?复变函数的导数 1）点可导: f r fZ0；fZ 0 2）区域可导：f Z 在区域内点点可导。 2 ?解析函数的概念 1 f 日 +2kπ ..日 +2kπ ) Z n I cos ----------- 十 ISi n -------- I n n (k =0,12…n -1)(有n 个相异的值) 4）三角函数: iz -iz e -e Sin Z = 2i iz JZ . e +e , sin z , ,cos z ,tgz ,ctgz 2 cos z cosz Sin Z
复变函数与积分变换习题答案
习题六 1. 求映射1 w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2222 11i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221 x x u x y ax a = ==+, 所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y = =-++ 22 2222 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1 w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0
复变函数与积分变换公式
复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??
积分变换的认识与应用
积分变换的一些应用 积分变换 积分变换是数学中对于函数的作用子，理论上用以处理微分方程等问题。所谓积分变换，就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。最常见的积分变换有两种：傅里叶变换和拉普拉斯变换，其他的还包括梅林变换和汉克尔变换等。积分变换法凭借着它灵活方便的特点在理工科方面有很大的应用，本文将会讲述关于傅里叶变换和拉普拉斯变换的一些应用。 傅里叶变换 定义 傅里叶其实是一种分析信号的方法，既可以分析信号的成分，也可以利用这些成分合成信号。设f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在下一个周期内具有有限个间断点，并且在这些间断点上函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则函数满足傅里叶变换： 它存在逆变换，则傅里叶逆变换： 有一种特殊的变换叫离散傅里叶变换，它是对一个序列进行的变换，为： 傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅里叶变换算法的意义，首先要了解傅里叶原理的意义。傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。 个别应用 傅里叶变换最常见于图像处理跟数学信号处理中，而现在现在我介绍其中一种比较不错的应用：加密、解密图像。 根据Candan等人提出的离散分数傅里叶变换的定义为，X（n）是带有N个矢量元素的输入信号，是变换核矩阵，是分数阶。Soo-Chang Pei 等人将离散分数傅里叶变换核矩阵定义为，当N为奇数时，矩阵 ，当N为偶数时，，是一个对角矩阵，其对角线上的元素是V中年每列特征向量的特征根。我们将NXN DFT矩阵定义为： ，进而可以将阶DFRFT矩阵定义为：
积分变换学习笔记
积分变换-意义 积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。 通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知?(x)，如果 存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为?(x)以K(s,x)为核的积分变换。 一、傅立叶变换 意义 尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇 定义 f(t)满足傅立叶积分定理条件时，下图①式的积分运算称为f(t)的傅立叶变换,②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数，f(t)叫做F(ω)的象原函数。
欧拉公式： ? +?=? sin cos i e i 二、傅里叶变换与逆变换的性质 1.线性性质: 2. 位移性质 () 1 (),22Dirichlet ()()()Fourier ()cos sin 2T T T T T n n n T T f t T f t f t f t t a f t a n t b n t ωω∞ =?? --???? ??=++∑为周期函数，在上满足 条件： 连续或仅有有限个第一类间断点；仅有有限个极值点 则可展开为级数，且在连续点处成立： )] ([)]([)]()([)]([)]([)]()([1 11ωωωωG B F A BG AF t g b t f a t bg t af ---+=++=+F F F F F F 为实常数，则 ，若00,)()]([ωωt F t f =F
复变函数与积分变换公式
复变函数与积分变换公 式 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值 ()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??
复变函数与积分变换课后习题答案详解
复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） ——课后习题答案
习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππe cos isin 44-??????=-+- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+ ); 33 3;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 322222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ (( )( ){ }3 3 2 3 2 111313188-+? ???== --?-?+?-????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴Re 1=?? , Im 0=?? ． ④解： ∵ () ( )(( )2 3 3 2 3 13131i 8 ??--?-?+?-???? =?? ()1 80i 18 = += ∴Re 1 =? ? , Im 0=? ? ． ⑤解： ∵()()1,2i 211i, k n k n k k n k ?-=? =∈?=+-???￠． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i -+= 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()( )2i 32i 2i 32i ++=++= ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 22++== ()1i 11i 222i ++-??== ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+，
积分变换
积分变换、数学物理方程与特殊函数 经过十二周的学习，我们学到了很多知识，这与以后的学习和工作打下了基础，老师讲解十分认真，讲课效果很好。由于现在还处于理论的学习阶段，无法将学到的这些内容应用到实际问题中，但我相信，在以后的实验和实际问题中肯定能发挥相当大的作用。这门课是数学的更深一个层次，与高等数学的关系密不可分。下面就我学习的状况谈一下我对这门课的认识。 首先学习的是《积分变换》的内容，我们主要学习了Fourier 变换、逆变换及其应用。Fourier 积分变换相对于后面学到的《数学物理方程》偏重于理论，其中与多种函数和理论密切相关，Fourier 变换中经常用到欧拉公式。 复数形式的欧拉公式： ?? ???-=+=-=+= ---x i x e x i e i e e n w t e e n w t ix ix inwt inwt inwt inwt sin cos ,sin cos 2sin ,2cos 其中有三个基本函数，在学习《积分变换》时经常用到； 1.单位阶跃函数： ?? ?<>=0 ,00,1)(t t t u 可以用阶跃函数吧分段函数表达出来。 2.矩形脉冲函数： ???????><=2,02 ,τττ t t E t P ）（ 3.δ函数： ? ??≠=∞+=0,00 ,)(x x x δ 表示密度分布的极限。 δ函数具有筛选性质： )0()()(-f dx x f x =? +∞ ∞ δ 其一般形式为：)()()(0-0x f dx x f x x =-?+∞∞ δ 同时还学习了卷积定理：假定)(1t f ，)(2t f 都是满足Fourier 积分定理中的条件，且[])()(11w F t f =?，[])()(22w F t f =?，则
复变函数与积分变换(修订版复旦大学)课后的第三章习题答案
习题三 1. 计算积分2 ()d C x y ix z -+?,其中C 为从原点到点1+i 的直线段. 解 设直线段的方程为y x =,则z x ix =+. 01x ≤≤ 故 ()()1 22 1 23 1 0()1 1 (1)(1)(1)333C x y ix dz x y ix d x ix i i ix i dx i i x i -+=-++-=+=+?=+=?? ? 2. 计算积分(1)d C z z -?，其中积分路径C 为 (1) 从点0到点1+i 的直线段; (2) 沿抛物线y=x2，从点0到点1+i 的弧段. 解 (1)设z x ix =+. 01x ≤≤ ()()1 11()C z dz x ix d x ix i -=-++=?? (2)设2 z x ix =+. 01x ≤≤ ()()1 22 211()3 C i z dz x ix d x ix -=-++=?? 3. 计算积分d C z z ?，其中积分路径C 为 (1) 从点-i 到点i 的直线段; (2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i 到点i; (3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i 到点i. 解 (1)设z iy =. 11y -≤≤ 11 1 1 C z dz ydiy i ydy i --===??? (2)设i z e θ =. θ从32π到2π 22 332 2 12i i C z dz de i de i π π θ θππ===???
(3) 设i z e θ =. θ从32π到2π 2 32 12i C z dz de i π θ π==?? 6. 计算积分()sin z C z e z dz -???,其中C 为0 z a =>. 解 ()sin sin z z C C C z e z dz z dz e zdz -?=-????蜒 ? ∵sin z e z ?在z a =所围的区域内解析 ∴sin 0z C e zdz ?=?? 从而 ()20 22 sin 0 z i C C i z e z dz z dz adae a i e d π θ π θθ-?====?? ??蜒 故()sin 0 z C z e z dz -?=?? 7. 计算积分2 1 (1) C dz z z +??,其中积分路径C 为 （1）11:2 C z = （2） 23 :2 C z = （3） 31:2 C z i += （4） 43:2 C z i -= 解：（1）在 1 2 z = 所围的区域内， 21 (1)z z +只有一个奇点0z =. 12 1 11111 ()2002(1) 22C C dz dz i i z z z z i z i ππ= -?-?=--=+-+?? 蜒（2）在2C 所围的区域内包含三个奇点 0,z z i ==±.故 22 1 11111()20(1) 22C C dz dz i i i z z z z i z i πππ= -?-?=--=+-+?? 蜒（3）在2C 所围的区域内包含一个奇点 z i =-,故 32 1 11111()00(1) 22C C dz dz i i z z z z i z i ππ= -?-?=--=-+-+??蜒（4）在4C 所围的区域内包含两个奇点 0,z z i ==,故
积分变换主要公式
一、傅里叶变换 1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件： 1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞ -∞?收敛； 则傅氏积分公式存在，且有 ()()()()()(), 1[]11002,2 iw iw t f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ +∞+∞--∞ -∞ ??=-?++-? ?? ? 是的连续点是的第一类间断点 2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞ --∞ ==? 1-2 傅里叶逆变换定义式：()1 1[]()()2iw t F F w f t F w e dw π +∞--∞ == ? 1-3 3、常用函数的傅里叶变换公式()1 ()F F f t F ω-??→←?? 矩形脉冲函数 1 ,22()sin 2 0, 2 F F E t E f t t τ τωτω-?≤?? ??→ =? ←???> ?? 1-4 单边指数衰减函数 ()()1 ,01 1 ,0 t F F e t e t F e t iw j t βββω --?≥??→=?= ??? ←????++
复变函数与积分变换习题答案
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i π ππ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 13i + 解：()/31322cos /3sin /3i i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2 221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos ) 2 2 2 2 2 2 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα ?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos 3sin 3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin 1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解： 3/4 11cos 3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) a ib + 解： 1ar 2ar 2 2 22 4 21ar 2 2421ar 2242 b b i ctg k i ctg k a a b i ctg a b i ctg a a i b a b e a b e a b e a b e ππ?? ?? ++ ? ? ?? ?? += += +?+?=? ?-+? (2) 3 i 解：6 226 36346323 2332 2322 i k i i i i k i e i i e e e e i π ππππππππ?? ??++ ? ???????+ ?????+ ??? ?=+ ?? ??====-+? ??=-?
积分变换习题解答2-2
2－2 1．求下列函数的Laplace 变换式： 1）()232f t t t =++. 解:由[]2 132!1232132m m m t s s s s s t t +????==++=++???? 及有L L L . 2)()1e t f t t =-. 解 ：[]() () 11 11 ,e e t t t t t s s s s --????= ==- ????2 2 2+1-1L L ,L 1-. 3)()()2 1e t f t t =-. 解： ()22-1e e 2e e t t t t t t t ????=-+???? L L () () () 2 3 2 3 2 2 145 .-1-1-1s s s s s s -+= - + = -1 5）()cos f t t at =. 解: 由微分性质有: [][]() 2 2 2 222 2 d d cos cos d d s s a t at at s s s a s a -?? =-=-= ? +?? +L L 6) ()5sin 23cos 2f t t t =- 解:已知[][]2 2 2 2 sin ,cos s t t s s ω ωωω ω= = ++L L ,则 []52 2 222103sin 23cos 25 34 4 4 s t t s s s --=-= +++L 8)()4e cos 4t f t t -=. 解: 由[]2 cos 416 t s +s = L 及位移性质有 42cos 4416 e t s t s -??=??++4（＋）L . 3．若()()f t F s ??=??L ，证明（象函数的微分性质）:
积分变换中非常有用的公式
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲 第一章 复变函数 一、复变数和复变函数 ()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续 极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00 z f z f z z =→ 第二章 解析函数 一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。 二、柯西——黎曼方程 掌握利用C-R 方程?????-==x y y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。 掌握复变函数的导数： y x y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=??=+=??= 1)(' 三、初等函数 重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。 1、幂函数与根式函数 θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数 n k z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +== 性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，z z e e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……） 性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:k k z z 1 )'(ln = 。 4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= i e e z iz iz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界 5、反三角函数（了解） 反正弦函数 )1(1 sin 2z iz Ln i z Arc w -+= =
第三章-行波法与积分变换法Word版
第三章 行波法与积分变换法 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知
). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x += -?0)(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 .2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx 称下常微分方程为其特征方程 0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。 由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、公式的物理意义 由 )()(),(at x G at x F t x u -++= 其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波， )(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。
积分变换课后答案
1-1 1． 试证：若 ()f t 满足Fourier 积分定理中的条件，则有 ()()()d d 0 cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞ =+? ? 其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞ -∞-∞ ==?? 分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试 用三角形式证明. 证明：利用Fourier 积分的复数形式，有 ()()j j e e d π12t t f t f ωωτω+∞+∞--∞-∞??= ? ????? ()()j j d e d π11cos sin 2t f ωτωτωττω+∞+∞-∞-∞??=-???? ?? ()()()j j d 1cos sin 2 a b t t ωωωωω+∞ -∞??= -+??? 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以 ()()()d d 11cos sin 22 f t a t b t ωωωωωω+∞+∞-∞-∞= +?? ()()d d 0 cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞ =+? ? 2．求下列函数的Fourier 积分： 1）()22 21,10,1t t f t t ?-≤?=?>??; 2) ()0, 0;e sin 2,0 t t f t t t -???为连续的偶函数，其Fourier 变换为 j 21()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞ +∞?====-?-∞ ???F
积分变换课后答案.docx
1-1 1．试证：若 f t 满足Fourier积分定理中的条件，则有 f t a cos td b sin td 00 1 f cos d , b 1 sin d . 其中 a f ππ 分析：由 Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明 . 证明：利用 Fourier积分的复数形式，有 f t1f e j t e j t d 2π 11f cos j sin d e j t d 2π 1 j b cos t j sin t d a 2 由于 aa, b b, 所以 f 1 a cos td 1 b sin td t 2 2 a cos td b sin t d 00 2．求下列函数的 Fourier积分： 1）f 1t 2 ,t 21 2)f 0,t0 t t 2 ;t; 0,1 e t sin 2t, t0 0,t1 3)f 1,1t0 t 0t1 1, 0,1t 分析：由 Fourier积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解 . 解： 1）函数f 1t 2 , t 21 t t 2 为连续的偶函数，其 Fourier 变换为0,1 F () F [ f (t )] f (t)e j t d t2 f (t )cos tdt 21 t 2 )cos tdt (1
— sin t2t cos t2sin t t 2 sin t 1 cos ) 4(sin (偶函 2233 数) f(t)的 Fourier积分为 f (t )1 F ()e j t d1 F ()cos td 2ππ 0 4(sin cos) td π 03cos 2) 所给函数为连续函数，其Fourier变换为 F ω F f (t ) f (t )e j t dt e t sin 2te j t dt 0e t e2tj e 2tj e j t dt1 [e( 1 2j j ) t e (1 2j j )t ]d t 2j2j 1e( 1 2j j )t e (1 2j j )t 2j 1 2j j 1 2j j0 j11 2 5 2 1 (2)j 1 (2)j25 62 2 j 24（实部为偶函数，虚 数为奇函数） f (t)的 Fourier变换为 f t1 F ()e j t d 2π 1252 2j cos t jsin t d 2π25624 152 cos t2sin t152 sin t 2 cos t π25624d π25 624 d 252 cos t2sin t π 025624d 这里用到奇偶函数的积分性质 . 3）所给函数有间断点 -1 ，0，1且 f(- t)= - f(t)是奇函数，其 Fourier变换为 F F f ( t ) f ( t)e j t dt2j f (t )sin tdt
积分变换的应用
浅谈积分变换的应用 学院：机械与汽车工程学院 专业：机械工程及自动化 年级：12级 姓名：郑伟锋 学号：201230110266 成绩： 2014年1月
目录 1.积分变换的简介 (3) 1.1积分变换的分类 (3) 1.2傅立叶变换 (3) 1.2拉普拉斯变换 (4) 1.3梅林变换和哈尔克变换 (5) 1.3.1梅林变换 (5) 1.3.2汉克尔变换 (6) 2.各类积分变换的应用 (6) 2.1总述 (6) 2.2傅立叶变换的应用 (6) 2.2.1傅立叶变换在图像处理中的应用 (6) 2.2.2傅立叶变换在信号处理中的应用 (7) 2.3拉普拉斯变换的应用 (8) 2.3.1总述 (8) 2.3.2 运用拉普拉斯变换分析高阶动态电路 (8) 参考文献 (9)
1.积分变换的简介 1.1积分变换的分类 通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知?(x)，如果 存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为?(x)以K(s,x)为核的积分变换。 积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。 1.2傅立叶变换 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。其定义如下 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换
积分变换课后答案
１－１ 1． 试证:若满足F ｏｕｒｉe ｒ积分定理中得条件,则有 其中()()()()d d ππ 11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞ -∞-∞= =?? 分析:由Ｆｏu ｒier 积分得复数形式与三角形式都可以证明此题,请读者 试用三角形式证明。 证明:利用F ｏurier 积分得复数形式,有 由于所以 ２.求下列函数得F ｏu ｒier 积分: １); 2) 3) 分析:由F ｏu ｒi ｅr 积分得复数形式与三角形式都可以解此题,请读者试用三角形式解、 解:１)函数为连续得偶函数,其Ｆou ｒier 变换为 j 21()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞+∞?====-?-∞ ???F 1 2233 0sin 2cos 2sin sin 4(sin cos ) 2t t t t t t ωωωωωωωω ωωωω????-=--+=?? ?????(偶函数) f (t )得Ｆour ｉer 积分为 2)所给函数为连续函数,其Ｆourie ｒ变换为 2j 2j j (12j j )(12j j )e e 1e e d [e e ]d 02j 2j 0 t t t t t t t t ωωω----+--+++∞+∞-=??=-?? (实部为偶函数,虚数为奇函数) ｆ (t )得Ｆo ｕrier 变换为
()()()22 2424 2 24 5cos 2sin 5sin 2cos 11d d π256π2565cos 2sin 2d π0256t t t t t t ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω-+--+∞+∞=+-∞-+-∞-+-++∞=-+??? 这里用到奇偶函数得积分性质. 3)所给函数有间断点-1,0,１且f (—t )= － f (t )就是奇函数,其Fouri ｅｒ变换为 ()[]j ()()e d 2j ()sin d 0 t F f t f t t f t t t ωωω-+∞+∞===--∞? ?F (奇函数) f (t )得Fourier 积分为 其中t —1,0,1(在间断点处,右边ｆ(t )应以代替)。 ３.求下列函数得Ｆｏu ｒier 变换,并推证下列积分结果: １)证明: 2)证明: ３),证明: 证明:1)函数为连续得偶函数,其Fourie ｒ变换为 ()()j e e d 2e cos d 0t t t F f t t t t βωβωω---+∞+∞??===??-∞ ??F 再由Fo ｕrie ｒ变换得 即 ２)函数为连续得偶函数,其F ｏu ｒier 变换为 (1j j )(1j j )(1j j )(1j j )001e d e d e d e d 200t t t t t t t t ωωωω-+----+--+++∞+∞??= +++??-∞-∞?? ???? (1j j )(1j j )(1j j )(1j j )001e e e e 21j j 1j j 1j j 01j j 0t t t t ωωωωωωωω+--++-+++-?? +∞+∞=+++??+--∞---∞-+-+-?? 2411111 221j j 1j j 1j j 1j j 4 ωωωωωω??-+=+++= ??+----+-+-+?? 再由Fo ｕrie ｒ变换公式得