第七章 参数估计习题

第七章 参数估计

习题十七 点估计

一、填空

1. 估计一个参数的常用估计方法是 。

2. 若X 是离散型随机变量，分布律是P{X =x}=P(x ;θ)，（θ是待估计参数），则似然函数 ，X 是连续型随机变量，概率密度是f(x ;θ)，则似然函数是 。

3. 若未知参数θ的估计量是θ

?，若?ε>0，有 成立，则θ?称是θ的一致估计量，若 称θ?是θ的无偏估计量。设θ?1,θ?2是未知参数θ的两个无偏估计量，若 则称θ?1较θ

?2有效。 4. 对任意分布的总体，样本均值X 是 的无偏估计量。

5. 设总体X ~π(λ)，其中λ>0是未知参数，X 1,…,X n 是X 的一个样本，则λ的矩估计量为 ，极大似然估计为 。

6. 设Χ1 Χ2，…，Χn 1是总体Χ～Ν(μ1,σ12)的一个样本，、S 12分别是样本均值和方差；Y 1 Y 2，…，Y n 2是总体Y ～Ν(μ2,σ22)的一个样本，Y 、S 22是样本均值和方差，这两个样本相

互独立，S 12/S 2

2σ1

2/σ2

2服从 ．

二、设随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0)，且二次方程y 2+4y +X =0无实根的概

率为1

2，求μ。

三、设总体X 服从几何分布，分布律为Y 1，先用矩法求p 的估计量，再求p 的极大似然估计。

四、设总体X 的概率密度为f(x ;θ)={(θ+1)x θ,0?1是未知参数，

X 1,…,X n 是来自X 的容量为n 的简单随机样本，（1）求θ的矩估计量；（2）求θ的极大似然估计。

五、设总体X 的概率分布为

X

0123P

θ2

2θ(1?θ)θ2

1?2θ

，其中θ(0<θ<1

2)是未知参数，

利用总体X 的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和最大似然估计值。

四、设总体X ~N (μ,σ2),X 1,…,X n ，都是来自X 的一个样本，试确定常数C ，使C ∑(X i+1?

n?1i=1X i )2为σ2的无偏估计。

五、设某种元件的使用寿命X 的概率密度为f(x,θ)={

2e ?2(x?θ)

,x >θ0, x ≤θ

，其中θ>0是未知参数，X 1,…,X n 是来自总体X 的简单随机样本，（1）求总体X 的分布函数F(x)；（2）求θ的最大似然估计量θ?；（3）用θ?做θ的估计量，讨论它是否具有无偏性。

习题十八 区间估计

一．填空

1. 设总体Χ～Ν(μ,σ2) Χ1 …，Χn 是来自Χ的一个样本，求σ2的置信区间所使用的枢轴量为Ζ= ；Ζ服从 分布．

2. 设由来自总体Χ～Ν(μ,σ2)容量为9的简单随机样本，得样本均值Χ=5，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是 ．

3. 设总体Χ～Ν(μ,σ2) Χ1 …，Χn 是Χ的样本，则当σ2已知时，求μ的置信区间所使用的枢轴量为Ζ= ；Ζ服从 分布；当σ2未知时，求μ的置信区间所使用的枢轴量Ζ= ，Ζ服从 分布．

二、某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取10只进行寿命测试，取得数据如下（单位：小

时）：1050 1100 1080 1120 1250 1040 1130 1300 1200．设灯泡寿命服从正态分布，试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信区间（α=0.05 S=.87.057）

三、假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布，现随机抽取此种香烟8支为一样本，测得其

尼古丁平均含量为18.6毫克，样本均方差S=2.4毫克，试求此种香烟尼古丁含量方差的置信度为0.99的置信区间．

四、设总体Χ～Ν(μ,σ2)，已知σ=σ0，要使总体均值μ对应于置信度为1?α的置信区间长

度不大于L，问应抽取多大容量的样本？

五、某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱，分别从两条流水线上抽取样本：X1,…,X12及

Y1,…,Y17，算出x=10.6(g),y=9.5(g),s12=2.4,s22=4.7。假设这两条流水线上装的番茄酱的重量都服从正态分布，且相互独立，其均值分别为μ1,μ2。设两总体方差σ12=σ22，求μ1?μ2置信度为的置信区间。

六、已知一批零件的长度X（单位：cm）服从正态分布N(μ,1)，从中随机地抽取16个零件，

得到长度的平均值为40（cm），则μ的置信度为0.95的置信区间为多少。

七、从一大批电子管中随机抽取100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时．设电子管

寿命服从正态分布，均方差σ=40小时．以置信度0.95求出整批电子管平均寿命μ的置信区间．

第七章复习题

一．设总体X的概率密度函数f(x)={a

2

xe?a

2

λ,x>0

0, x≤0

，其中λ>0，且λ为未知参数，X1，X2，

?，X n是来自总体X的简单样本。１．试求常数a；２．求λ的矩估计量λ?；３．λ?是否是λ的无偏估计？

二．设总体X的概率密度函数f(x)={λax a?1e?λx a?x>0

0 x≤0

，其中λ为未知参数，a>0为已知常数。X1，X2，?，X n是来自总体X的简单样本。求λ的最大似然估计。

三．设总体X服从(0,θ)上的均匀分布，θ未知(θ>0)，X1，X2，X3是来自总体X的简单样本。

１．试证：θ?1=4

3max

1≤i≤3

X i，θ?2=4

3

min

1≤i≤3

X i都是θ的无偏估计；２．上述两个估计中哪个更有效？

四．设样本X1，X2，?，X n是来自N(μ,42)，为使(X??1,X?+1)是μ的置信水平为0.90的置信区间，那么样本容量n至少应该是多少？

五．设某地区110kv电网在正常情况下服从正态分布，某日内测得10个电压数据（kv）如

下工：108.1 108.9 109.8 109.2 109.9 110.1 110.2 110.5 110.8 111.2 试以0.95的置信水平估计电压均值的标准差的范围。

六．有两台机床生产同一型号的滚球，将它们各自所的滚球直径分别记为X 和Y ，假设Χ～Ν(μ1,0.04)，Y ～Ν(μ2,0.09)。现从这两台机床的产品中分别抽取16 个和25个，测得滚球的平均直径分别为x?=14.8(mm)和y?=15.2(mm)，试求μ1?μ2的置信水平为0.95的置信区间。

七．从汽车轮胎厂生产的某种轮胎中抽取10个样品进行磨损试验，直到轮胎行驶到磨损为止，测得它们的行驶路程如下：

41250 41010 42650 38970 40200 42550 43500 40400 41870 39800

设汽车轮胎行驶路程服从正态分布N(μ,σ2)，求：１．μ的置信水平为0.95的单侧置信下限；２．σ的置信水平为0.95的单侧置信上限；

1. 八．设从均值为μ，方差为σ2的总体中，分别抽取容量为n 1和n 2的两个独立样本。X ?1和X

?2分别是两样本的均值。试证对于任意的常数a ，Y =a(X ?1?X ?2)+X ?2是μ的无偏估计，并确定常数a ，使D(Y)达到最小。

九．已知总体Χ～Ν(μ,82)，抽取n =100的简单随机样本。现确定μ的估计区间为(43.88,46.52)，试问这个估计区间的置信水平是多少？

第七章 自测题

一．填空题

１．设总体X ~b (n,p)，p 为未知参数，X 1，X 2，?，X n 为来自总体的一个样本。则p 的矩估计量是（ ），p 2的最大似然估计量是（ ）。

２．设Χ1 Χ2，…，Χn 和，Y 1 Y 2，…，Y m 是分别来自总体Χ～Ν(μ,1)和Χ～Ν(μ,22)的两个样

本，μ的一个无偏估计有形式T =a ∑X i n i=1+b ∑Y

i m i=1，则a 和b 应满足条件（ ）；当a =（ ）和b =（ ）时 ，T 最有效。

３．已知一批零件的长度X 服从正态分布Ν(μ,1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40，则μ的置信水平为0.95的置信区间是（ ） （注：标准正态分布函数值Φ(1.96)=0.975，Φ(1.645)=0.95）。

４．在天平上重复称量一重为a 的物品，假设各次称量的结果相互独立且同服从正态分布Ν(a,0.22)，若以x?表示n 次称量的算术平均值，则为使P{|X ??a|<0.1}≥0.95，n 的最小值应不小于自然数（ ）。

５．设X 1，X 2，X 3是来自总体X 的样本，X 的数学期望μ和方差σ2都存在。 μ的下列三个

无偏估计中，最有效的是（ ）。

μ?1=2

3(X 1+1

6X 2+1

6X 3) μ?2=1

4X 1+1

8X 2+5

8X 3 μ?3=1

7X 1+3

14X 2+9

14X 3 二．选择题

１．设X 1，?，X n 是来自总体X 的样本，X 的分布函数F(x ;θ)含未知参数θ，则（ ）。 Ａ、用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量相同 Ｂ、用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不同 Ｃ、用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不一定相同 Ｄ、用最大似然估计法求出的θ的估计量是唯一的

２．设X 1，?，X n 是来自总体X 的样本，σ2表示总体的方差，X

?为样本的均值，S 2为样本方差，则样本标准差S （ ）。Ａ、是σ的无偏估计量 Ｂ、是σ的最大似然估计量 Ｃ、是σ的相合估计量 Ｄ、与样本均值X

?相互独立。 ３．设θ?为θ的无偏估计，且lim n→∞

D(θ?)=0，则（ ）。Ａ、θ

?为θ的矩估计量 Ｂ、θ?为θ的有效估计量 Ｃ、θ

?为θ的最大似然估计量 Ｄ、θ?为θ的相合估计量。 ４．设θ为总体分布的参数，(θ1,θ2)为θ的1?α置信区间，现有下列五种说法：（１）(θ1,θ2)以概率1?α包含θ；（２）θ以概率1?α落入(θ1,θ2)；（３）(θ1,θ2)不包含θ的概率为α；（４）θ以概率为α落入(θ1,θ2)之外；（５）以(θ1,θ2)估计θ所在的范围时，所犯错误的概率为α； 以上五种说法中，正确的有（ ）个。 Ａ、２ Ｂ、３ Ｃ、４ Ｄ、５ ５．设正态总体X 的标准差为1，由来自X 样本容量为25的简单随机样本建立X 的数学期望μ的0.95置信区间，则置信区间的长度等于（ ） Ａ、0.7840 Ｂ、0.3290 Ｃ、0.3920 Ｄ、0.6936

三．设总体X 的概率密度为f(x)=1

2e |x?θ|,??∞

样本，求参数θ的矩估计。

四．设总体X 的分布密度为f(x)={2x

θ2e ?x 2

/θ2

,x >00, x ≤0

１．试求参数θ2的最大似然估计量θ

?2；２．θ?2是否为θ2的有效估计？为什么？ 五．设θ

?1，θ?2是参数θ的两个相互独立的无偏估计量，并且D(θ?1)=2D(θ?2)，试确定常数k 1和k 2，使得k 1θ

?1+k 2θ?2是θ的无偏估计量，并且在所有这样的线性估计中方差最小。 六．某电子产品的一个参数服从正态分布，从某天生产的产品中抽取15个产品，测得该参数值如下：3.0 2.7 2.9 2.8 3.1 2.6 2.5 2.8 2.4 2.9 2.7 2.6 3.2 3.0 2.8，试

求该参数的期望与标准差的置信水平为0.95的置信区间。

七．设使用两种治疗严重膀胱疾病的药物，其治疗所需时间以天计，数据如下：

使用第一种药物：n 1=14人，x?1=17天，s 12

=1.5； 使用第二种药物：n 2=16人，x?2=19天，s 22=1.8；

设二总体均近似正态分布，且方差相等，求使用两种药物平均治疗时间差μ1?μ2的0.99的置信区间。

八．从二正态总体X ，Y 分别抽取容量为16 和10的两个样本，求得∑(x i ?x?)2=38016i=1，

∑(y i ?y?)2=18010i=1，试求方差之比σ

X σY

置信水平为0.95的置信区间。

第七章 考研训练题

一．填空题

１．设总体X 服从正态分布Ν(μ1,σ2)，总体Y 服从正态分布Ν(μ2,σ2)，Χ1 Χ2，…，Χn 1和Y 1 Y 2，…，Y n 2分别是来自总体X 和Y 的简单样本，则E(1n 1+n 2?2

[∑(X i ?X ?)2n 1

i=1+∑(Y i ?Y ?)2n 2i=1

])＝（ ）。

２．设总体X 的概率密度为f(x,θ)={e ?(x?θ),x ≥θ0, x <θ，而Χ1 Χ2，…，Χn 是来自总体X 的简单

样本，则未知参数θ的矩估计量为（ ）。

３．设总体X 的方差为1，根据来自X 的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则X 的数学期望的置信水平近似等于0.95的置信区间为（ ）。 二．选择题

1.设随机变量X ~N (0,1)，对给定的α?(0<α<1)，数u α满足P{X >u α}=α。若P{|X|≤x}=α 则x 等于（ ）。Ａ、u α/2 Ｂ、u 1?α/2 Ｃ、u 1/2?α/2 Ｄ、u 1?α

2. 设Χ1 Χ2，…，Χn （n ≥2）是来自Χ～Ν(0,1)的样本，X ?为样本平均值，S 2为样本方差，则（ ）。

Ａ、nX ?~N (0,1)Ｂ、nS 2~χ2(n)Ｃ、(n?1)X ?

S

~t (n ?1)Ｄ、(n?1)X 12

∑X i

2n

i=2~F (1,n ?1) 三．设X 1，?，X n （n >2）是来自X ~Ν(0,σ2)的样本，X ?为样本平均值，记Y i =X i ?X ?, i =1,2,?,n ，求：1. 求D(Y i )；2. 求cov(Y 1,Y n )；3. 若c(Y 1+Y n )2是σ2的无偏估计量，求常数c

四．设随机变量X 的分布函数为F(x ;α,β)={1?(α

x )β,x >α

0, x ≤α，其中参数α>0,β>1。设

Χ1 Χ2，…，Χn 是来自Χ的样本，1. 当α=1时，求未知参数β的矩估计量；2. 当α=1时，求未知参数β的最大似然估计量；3. 当β=2时，求未知参数α的最大似然估计量

五．设总体X 的概率密度为f(x,θ)={2e ?2(x?θ),x >θ

0, x ≤θ，其中θ>0是未知参数，X 1,…,X n 是

来自总体X 的简单随机样本，记θ?=min{X 1,…,X n }，（1）求总体X 的分布函数F(x)；（2）求统计量θ?的分布函数G(x)；（3）用θ?做θ的估计量，讨论它是否具有无偏性。 六．设总体X 的概率分布为

X 0123P

θ2

2θ(1?θ)θ2

1?2θ

，其中θ(0<θ<1

2)是未知参数，

利用总体X 的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和最大似然估计值。 七．假设0.5 1.25 0 80 2.0是来自总体X 的简单样本观察值，已知Y =ln(X)~N (μ,1)，记b =E(X)。（1）求b =E(X)；（2）求μ的置信水平为0.95的置信区间；（3）利用上述结果求b 的置信水平为0.95的置信区间。