运筹学论文

运筹学论文

运筹学（operational research,缩写O.R.）的“运筹”就是运算、筹划的意思。实际上，现实生活中几乎在每个人的头脑中都自然地存在着一种朴素的“选优”和“求好”的思想。例如，当准备去完成一项任务或去做一件事情时，人们脑子里自然地会产生一个想法，就是在条件允许的范围内，尽可能地找出一个“最好”的办法，去把需要做的事情做好。实际上这就是运筹学的基本思想。

运筹学作为一门科学最早出现在第二次世界大战前夕，英国面临如何抵御德国飞机轰炸的问题。当时英国的鲍德西雷达站负责人A.P.罗威建议马上展开对雷达系统运用方面的研究。为区分于技术方面的研究，他提出了“operational research”这个术语，原意为“作战研究”。当时所研究和解决的问题都是短期和战术性的问题，第二次世界大战结束以后，在英美两国的军队中相继成立了正式的运筹学研究组织。并以RAND公司为首的一些部门开始着重研究战略性问题。例如，未来的武器系统的设计和其合理运用的方法，各种轰炸机系统的评价，未来的武器系统和未来战争的战略部署，以及苏联的军事能力和未来的发展预测等问题。进入了20世纪60年代，运筹学的研究转入了战略力量的构成和数量问题的研究，同时除了军事领域的应用研究以外，相继在工业、农业、经济和社会问题等各领域都有了应用。与此同时，运筹学的研究进入了快速发展阶段，并形成了运筹学的许多新的应用分支。

O.R.传入中国后，曾一度被译为“作业研究”或“运用研究”。1956年，中国学术界通过钱学森、许国志等科学家的介绍，在了解了这门学科后，有关专家就译名问题达成共识，即译为“运筹学”。其译意恰当的反映了运筹学既源于军事决策，又军民通用的特点，并且赋予其作为一门学科的含义。同时，相继有以华罗庚教授为首的一大批数学家加入了运筹学的研究队伍，使中国运筹学研究的很多分支很快跟上国际水平，并结合我国的特点在国内进行了推广应用。特别是经济领域，关于投入产出表的研究与应用、质量控制（质量管理）等方面的应用很有特色。

许多关于运筹学定义的描述，均强调“最优决策”，其中最有的“最”是过分理想了，在实际生活中的很多问题往往很难做到最优，通常会用“次优”、“满意”等概念代替“最优”。因此，运筹学的应以又可描述为：“运筹学是一种给出问题坏的答案的艺术，否则的话问题的结果会更坏。”尽管关于运筹学定义的描述不尽相同，但都包含有共同的内容，如“科学的”、“系统的”、“最优的”、“数量化的”、“决策”等。在理解上有很大的不一致，因为运筹学是一门应用学科，涉及面太广，现在看来不可能用一两句话能够完整准确地概括出来，不可能给它下一个严格的数学定义。

运筹学的研究对象是社会、经济、生产管理、军事等活动中的决策优化问题。这里所说的活动泛指在社会环境、经济基础、军事力量建设和运用中，为达到一定目的而进行的资源运用活动。而决策优化则在于寻求合理有效的资源运用方案或使方案得到最大改进。运筹学与其他的应用学科不同的地方就在于它是从决策优化的角度研究各种经济和军事活动中的问题，且力求不仅从定性的方面，而且着重从定量的方面提供可操作的决策优化理论和方法。随着科学技术的发展，尤其是高科技在各个领域的应用，各种资源的建设和运用变得更加复杂。如果不深入地从定性和定量的两个方面来研究起决策问题，那么很难实现科学的管理和决策。从这个意

义上讲，运筹学以其特有的研究对象而成为一门重要的应用学科。运筹学是运用自然科学、社会科学、军事科学的相关理论，在研究分析社会、经济、军事领域等问题的运用实践活动中产生的交叉学科，它与数学。物理学和计算机技术都有密切的关系。

线性规划（LP ）是运筹学的一个重要分支，特别是随着计算机技术的飞速发展，使得大规模线性规划的求解成为可能，从而使线性规划的应用领域更加广泛。例如在工业、农业、商业、交通运输、军事、政治、经济、社会和管理等领域的最优设计和决策问题很多都可归结为线性规划问题。实际中所研究的许多优化问题，都是在一组约束条件下，要求使问题的某一项指标“最优”的方案，这里的“最优”包括“最好”、“最大”、“最小”、“最高”、“最低”、“最多”、“最少”等等，这类问题统称为最优化问题。如果要研究问题的目标函数和约束条件的函数都是线性的，这类问题就称为线性规划问题。线性规划也是最简单的一类最优化问题，譬如像合理地分配和使用有限的资源（经济、人力、物资等资源），是能够获得“最有效益”的问题等。

线性规划的一般形式：

其中j x ，j=1,…,n,为待定的决策变量，已知的系数ij a 组成的矩阵

1112121

22212...............n n m m mn a a a a a a A a a a ??????=?????? 线性规划的一般形式：

1111221122

min ........,1,...,...,1,...,0,1,...,n n i i in n i i i in n i j z c x c x s t a x a x a x b i p

a x a x a x

b i p m x j q ?=++???+++==??+++≥=+??≥=?

称为约束矩阵。

可行解和可行区域：

一个满足所有约束条件的向量1(,...,)T n x x x =称为上述线性规划的可行解或可行点，所有可行点组成的集合称为可行区域。

单纯形方法：

对于任何非线性退化的线性规划问题，从任何基本可行解开始，经过有限次迭代，或得到一个基本可行的最优解，或作出该线性规划问题无界的判断。

在单纯形方法的一次迭代过程中，迭代前后的两个基有m-1个相同的列向量，这样的基称为相邻基。在几何上，可以严格证明相邻基所对应的要么是可行域多面凸集D 的相邻顶点，要么是同一个顶点（在退化情况下）。因此直观的说，单纯形方法就是从可行域多面凸集的一个顶点迭代到与其相邻的另一个顶点，直至找到最优解或判定问题无界。下面给出具体的计算步骤。

单纯形方法步骤：

第1步 找到一个初始的可行基B ；

第2步 求出对应的典式及检验数向量ζ；

第3步 求max{|1,...,}k j j n ζζ==；

第4步 若0k ζ≤，停止。 已找到最优解0B N x b x x ????==????????及最优值T B z c =； 第5步 若0k A ≤，停止。原问题无界；

第6步 求min{|0,1,...}i r ik ik rk

b b a i m a a >==； 第7步 以k A 代替r B A 得到新的基，转第2步。

我们遇到的实际问题一般规模都较大，即使建立了模型，找到了解的方法，对于庞大的计算量也是望而却步。“工欲善其事，必先利其器”，手中有一个方便的求解最优化问题的工具就显得很重要。LINGO 是一个利用线性规划和非线性规划来简洁地阐述、解决和分析复杂问题的简便工具。其特点是程序执行速度很快，易于输入、修改、求解和分析一个数学规划问题。下面就用一个简单的线性规划的题目来演示一下lingo 软件是如何解决实际问题的。

例1：某工厂甲、乙两种产品，每件甲产品要耗钢材2kg 、煤2kg 、产值为120元；每件乙产品要耗钢材3kg ，煤1kg ，产值为100元。现钢厂有钢材600kg ，煤400kg ，试确定甲、乙两种产品各生产多少件，才能使该厂的总产值最大？

解：设甲、乙两种产品的产量分别为X 1、X 2，则总产值是X 1 、X 2的函数

f(X 1，X 2)＝120X 1＋100X 2， 资源的多少是约束条件，由于钢的限制，应满足2X 1＋3X 2≤600；

由于煤的限制，应满足2X 1＋X 2≤400。综上所述，得数学模型为：

求最大值（目标函数）：

max ＝120X 1＋100X 2

s.t. 2X 1＋3X 2≤600

2X 1＋X 2≤400 X 1≥0，X 2≥0

在lingo 软件中运行如下：

X l ，X

2

为决策变量，解得X

l

=150件，X

2

=100件

fmax＝(120 ×150＋100×100)元＝28000元

故当甲产品生产150件、乙产品生产100件时，产值最大，为28000元。

通过上面这些模型的建立和完整的求解过程，充分展示出了LINGO这一数学优化工具的强大作用，以及数学理论知识通过数学建模这一桥梁在现实生活中发挥的极大作用。文中只介绍了求解线性规划的简单示例，还有许多学习和实践的地方。以上就是本人的运筹学论文。