第八章 稳恒磁场
第八章稳恒磁场
一、本章学习目标
1、建立磁场的概念，认识磁场相关定理。
2、掌握安培环路定理及应用。
3、了解磁介质。
二、本章教学内容
§8-1、磁感应强度磁场的高斯定理
§8-2、安培定理
§8-3、毕奥——萨伐尔定律
§8-4、安培环路定理
§8-5、介质中的磁场
三、本章重点
高斯定理和场强的环路定理；电场强度和电势的概念及计算。
8-1磁感应强度磁场的高斯定理
一、基本磁现象：
在日常生活中可以观察到很多磁现象：天然磁体周围有磁场、通电导线周围有磁场、电子束周围有磁场、通电线能使小磁针偏转、磁体的磁场能给通电线以力的作用、通电导线之间有力的作用、磁体的磁场能给通电线圈以力矩作用、通电线圈之间有力的作用、天然磁体能使电子束偏转。
安培提出分子电流假说：天然磁性的产生也是由于磁体内部有电流流动，电荷的运动是一切磁现象的根源。（磁现象的电本质）
奥斯特：电流对小磁针有作用。
安培：电流与电流之间有相互作用。
二、磁感应强度
1、磁场（特殊的物质）
电流磁铁
磁场
电流磁铁???
? 电流磁场电流??
2、磁场的重要表现
对运动电荷和载流导体有力的作用；对通电线圈有力矩的作用；载流导体在磁场中运动，磁场的作用力将对其作功，表明磁场具有能量。
3、磁感应强度
通过对导线、电荷、线圈的力或力矩来定义。从磁场对运动的试验电荷的作用力出发，引入磁感应强度B 来定量地描述磁场。
①磁场中运动电荷受力与v
?有关但v F ??⊥； ②当0?=F 时，v ?的方向即B ?的方向（或反方向）；
③当B v ??⊥时，max ??F F =；
④qv F max
与qv 无关，B v q F ????=。
描述磁场中一点性质（强弱和方向）的物理量，为一矢量。由
B v q F ????= （B
?的单位：特斯拉） 为由场点唯一确定的矢量（与运动电荷无关）。B
?大小： qv F B max
=
（B v ??⊥时）方向由上式所决定。
磁感应强度B 的方向：B 、max F 和v 的方向满足右手螺旋关系。 三、洛仑兹力
1、洛仑兹力
运动带电粒子在磁场中受到的作用力称为洛伦兹力。 由安培公式 ：
B dl I f d ?
??= qnvS I = nSdl dN = B v qdN B qnvS f d ?
????=?= 洛仑兹力?
)
,sin(B v B v q dN f d f ???????==
2、洛仑兹力的特点
由牛顿第二定律：B
v q dt v d m ????=
两端同时点乘v ?：0)(≡??=?B v v q dt v d v m ?
????
? 0212=???
???v m dt d ? ? 常数
=2
21mv
结论：电荷在磁场内运动时，磁场不对运动电荷作功，只会改变运动的方向。（洛仑兹力不作功） 四、磁场中的高斯定理
1、磁力线（磁场的形象表示）
（1）每一条磁力线都是环绕电流的闭合曲线，因此磁场是涡旋场。磁力线是无头无尾的闭合回线。
（2）任意两条磁力线在空间不相交。
（3）磁力线的环绕方向与电流方向之间可以分别用右手定则表示
2、磁通量（B
?通量） 穿过某个面的磁感线的条数，定义的方法与电通量类似，为什么要引入磁通量？可从电场中的高斯定理来说明。
s d B ds B ds B d n m ??cos ?===Φα
???==Φ=Φs
s
n m m ds
B ds B d αcos
?
??=Φs
m s d B
?? (单位：韦伯（wb ）)
3、磁场的高斯定理
0??=??s
s d B
(
??
∑=?s
i
q
s d E 0
1??ε)
磁场是无源涡旋场 五、洛伦兹关系
B v q E q F F F B v q F E q F m e m e ?+=+=?==?????????,
带电粒子的运动方程：B
v q E q dt v
d m ?+=??22 1、磁聚焦 螺距2ox
ox mv h v T eB π=
=与R 无关，当l n h
=整数时，即聚焦时。有 eB mv h l h ox
π2=
=nm eBl v ox π2=?
ev mv ox =2
1
V m n l B e V v m e ox 2222222
82π==
? V l B n m e 22228π=?
2、速度选择器
E
q F e ??=
B
v q F m ?=??
当
m
e F F ??-=
即E
vB E v B
=?=
可以通过。 3、恩勃立奇质谱仪
'B E v =
qB mv R =
RB v M q =
?
当',,,q E B B 一定，'q E M RB B
= （R M ∝为底片） 4、旋加速器
5、霍尔效应（1879年）
不论是电子还是“空穴”载流子，力f ?
总是向上的
b IB U U U H ∝
-=21
b IB R U H
H =
H R 称为霍尔系数，仅与材料有关
下面推导H R ：
设平衡时，霍尔电场为H E ?
vB
E B v q E q H H =??=?
?
avB aE U U U H H ==-=21 （把v 消去）
而nqabv I =
nqab v 1=
?
)()(1b IB R b IB nq U H H ==
比较得：
nq R H 1
=
8-2 安培定律
一、安培定律
安培定律是由大量实验结果总结出来，无法直接用实验验证，其正确性在于其推论可以用实验检验
1、安培定律
当电流I 元处于磁场B ?
中时受力
sin(,)df kBIdl I dl B =u u r v
df 称为安培力,在国际单位制中,1=k 。
sin(,)df k BIdl Idl B =u u r v 写成矢量 df I dl B =?u u r v
v 称为安培公式。
对L 长度的载流导线在磁场B ?
中受力 L
f I dl B =??
u u r v v
2、安培定律的微观解释
磁场对导体中的运动电子的洛伦兹力。P221 3、举例：
例1：长为l 的一载流直导线在匀强磁场B 中，因各电流元所受的力的方向是一致的，所以这载流直导线所受的作用力。
θ
θθsin sin sin 0
IBl dl IB IdlB df f l
l L
====????
合力的作用点在长直导线中点，方向垂直各面向内 当0=θ时 0=f
当2πθ=时 BIl f =max ，此为高中熟悉的公式
例2、如图（ａ）所示，一根长直导线载有电流I 1 ＝30 A ，矩形回路载有电流I 2 ＝20 A ．试计算作用在回路上的合力．已知d ＝1.0 cm ，b ＝8.0 cm ，l ＝0.12 m ．
解：线框所受总的安培力F 为左、右两边安培力F 3 和F 4 之矢量和，如图（ｂ）所示，它们的大小分别为
d l
I I μF π22103=
()b d l I I μF +=π22
104 故合力的大小为
()N 1028.1π2π2321021043-?=+-=
-=b d l
I I μd l I I μF F F
合力的方向朝左，指向直导线．
例3、一直流变电站将电压为500kV 的直流电，通过两条截面不计的平行输电线输向远方．已知两输电导线间单位长度的电容为3.0×10－11F·m －1 ，若导线间的静电力与安培力正好抵消．求：（1） 通过输电线的电流；（2） 输送的功率．
解：（1）由分析知单位长度导线所受的安培力和静电力分别为
d I μBI F B π220=
=
d εU C λE F E 02
2π2=
=
由0B E +=f f 可得
d εU C d I μ02
220π2π2=
解得
A 105.430
0?==
μεCU
I
（2） 输出功率
W 1025.29?==IU N
8-3 比奥—萨伐尔定律及其应用
一、磁场叠加原理
实验证明稳恒电路的磁场满足叠加原理。 二、比奥—萨伐尔定律
无法直接通过实验证明，其正确性在于用定律算出的结果和实验相符合 1、稳恒电流的磁场
电流元l Id ?在空间（真空）某点产生的B d ?
2)?,?sin(r r
l Id Idl dB ∝
322??????r r l Id k r l d I k r r r l Id k B d ?=?=?=
2、磁场的迭加原理
???==L L r r l Id k
B d B 3????（有限长导线）
在国际单位制中（SI 制）70
104k μπ
-==，
真空磁导率70410μπ-=?TmA -1（特米安-1）
?0
3
??
?4Idl r dB
r μπ?=
当有介质时，
r
μμμ0=
?3
???4Idl r dB r μπ?=
3、运动电荷的磁场
2
004r r l Id B d ρ
ρρ?=πμ
qnvS I =
nSdl dN =
2004r )r ,v sin(qv dN dB B ρ
ρπμ=
=
三、比奥—萨伐尔定律的应用
1、载流直导线的磁场
设直导线长为L ，通有电流I ，导线旁任意一点P 与导线距离为0r 。求P 点的磁感应强度。
r 0
l
dl
?
取一电流元Idl ，它在P 点产生的磁场d B 的大小为
20sin 4r Idl dB θ
πμ=
d B 的方向垂直纸面向里。由于所有电流元在P 点产生的磁场d B 的方向都相同，故B dB =?。
由图可知
θsin 0
r r =
，θctg r l 0-=，
θθ2
0sin d r dl = 带入积分得
)cos (cos 4sin 4210
000
2
1
θθπμθθπ
μθθ
-==
?r I
r d I B
若导线无限长，01=θ，πθ=2，则有
002r I B πμ=
若导线半无限长，01=θ，2/2πθ=，则有 00r 4I B πμ=
2、载流圆线圈轴线上的磁场
dB x
απμαcos 4cos 2
0?
??=
==r Idl
dB dB B x
2
/3222
02
/32
2
02
/32
2
0)x R (2IR R
2)
x R (4IR
dl )
x R (4IR
+=
?+=
+=?
μππμπμ
B 的方向沿轴线与线圈中电流的方向成右手螺旋关系。 在线圈中心处的O 点，x =0，有
R I
B 20μ=
一段载流圆弧形导线在圆心处的磁场
200422R Il
R
l
R I
B πμπμ=
?
=
式中l 为弧长。
定义载流线圈的磁矩
n e S m IS I ==
如果线圈有N 匝，则
m =NI S 。
载流圆线圈轴线上的磁场可记为 2/3220)(2x R +=
πμm
B
3、载流直螺线管轴线上的磁场
在螺线管上距P 点l 处任取长为dl 的一小段，视为一个载流圆线圈，电流dI =nIdl ，
在P 点产生的磁感应强度d B 的大小为
2/322202
/32220)(2)(2l R nIdl
R l R dI
R dB +=
+=
μμ
方向沿轴线向右，所以P 点的总磁场B 的大小为
??
+=
=2/322
20)(2l R
nIdl
R dB B μ
由于 βRctg l =，β2222csc R l R =+，
ββd R dl 2csc -= )
cos (cos 2
nI
d sin 2
nI
B 12002
1
ββμββμββ
-=
-
=?
B 的方向沿电流的右手螺旋方向。
(1) 无限长螺线管 nI B 0μ=
(2) 在半无限长螺线管的一端
nI B 021
μ=
例1、如图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I ，它们在点O 的磁感强度各为多少？
解（ａ） 长直电流对点O 而言，有0=?r l Id ，因此它在点O 产生的磁场为零，则点O 处总的磁感强度为1/4 圆弧电流所激发，故有
R I μB 800=
B 0 的方向垂直纸面向外．
（ｂ） 将载流导线看作圆电流和长直电流，由叠加原理可得
R I
μR I μB π22000-
=
B 0 的方向垂直纸面向里．
（c ） 将载流导线看作1/2 圆电流和两段半无限长直电流，由叠加原理可得
R I
μR I μR I μR I μR I μB 4π24π4π40
00000+=++=
B 0 的方向垂直纸面向外．
4、运动电荷的磁场
此式称为运动电荷的磁场公式：一个电量为q ，以速度v （v < 204r q r e v B ?= πμ 其中270A N 104--??=πμ叫做真空磁导率。 运动电荷的磁场和电场的相互关系 E v B ?=00εμ 5、用毕奥-萨伐尔定律解题的主要步骤： (1)分析B 的对称性，建立适当的坐标系，写出B d ? 的分量式，变矢量积分为 标量积分进行计算； (2)统一积分变量，给出正确的积分上下限。 6、距离应用。 例1、如图所示，载流长直导线的电流为I ，试求通过矩形面积的磁通量． 解：由上述分析可得矩形平面的总磁通量 ? ==21 1 200ln π2d π2d d d d Il μx l x l μΦ 8-4 安培环路定理 一、安培环路定律 在静电场中，电场强度满足静电场的环流定理，即沿任何闭合回路L 的线积分等于零，说明静电场是保守力场，那磁场呢？安培环路定律回答了这个问题。 1、内容 磁感应强度沿任何闭合回路L 的线积分，等于穿过该环路所有电流强度代数和的 μ倍。 即 ∑?=?) (0) (??内L L I l d B μ 2、证明： 以长直载流导线为例：已知： r I B πμ20= ① 取以直导线为中心的圆形回路， I r B dl B l d B L L 2??μπ===?? ? 若L 反向 I r B dl B l d B L L 2??μπ-=-=-=?? ? ② 取以直导线为中心的任意回路L ，回路在垂直于导线的平面内 I rd r I d Br dl B l d B L L L 02002cos ??μ?πμ?θπ????====? ③ L 不在垂直于导线的平面内 ? ????=+=+=+?=?⊥⊥L L L L L I Brd dl B dl B l d l d B l d B 0//0//0cos 90cos )??(???μ?θ ④ 若沿同一闭合路径反方向积分，则 ??? ?-=-=-=-=?L L L L I Brd dl B dl B l d B 0 cos )cos(??μ?θθπ ⑤ 若L 中没有包围电流 ?? ?? ? =-== =' 0''''02cos 2cos r I B d r dl r I B rd dl πμ?θπμ?θ 022cos cos ????''00'''''=-=+=?+??πμ?πμθθd r r I rd r I dl B Bdl l d B l d B 3、注意： 1）、当L 与I 服从右手法则时，0>I ，反之，0 3）、B ?是由内外电流共同产生的。 4）、定律成立条件必须是对闭合电流或无限长电流的磁场。 5）、该定律在电磁场理论中占有重要地位。 6）、用安培环路定律可以计算某些具有对称性分布的电流的磁场。 4、静电场和稳恒磁场的区别： 0=??l d E ρ ρ（电场有保守性，它是保守场，或有势场） ∑?=?i i I l d B 0μρ ρ（磁场没有保守性，它是非保守场，或无势场） ∑?= ?i s q S d E 0 1ε?ρ（电力线起于正电荷、止于负电荷。静电场是有源场） =??S d B ? ρ（磁力线闭合、无自由磁荷磁场是无源场） 二、安培环路定律的应用 当场源分布具有高度对称性时，利用安培环路定理计算磁感应强度 1、无限长直载流导线的磁场 I R B dl B l d B L L 2??μπ===?? ? R I B πμ20= 2、长直螺线管内的磁场 ab nI I l d B l d B ab abcd ????μμ==?=?∑???ab nI B 0? μ=? ? nI B 0μ= nI H = 3、环形螺线管内的磁场 NI r B dl B l d B L L 02??μπ===?? ? ? r NI B πμ20= 当 2112,r r r r <<-时，管内各点的磁场实际上是均匀的。取圆环平均长度l nI l NI B 00μμ== nI H = 4、长直圆柱性载流导线内外的磁场 1）、对R r >时， I r B l d B ?==?0 2??μπ r I B πμ20= )(R r < r I H π2= )(R r < 2）、对R r <时， 2202??r R I r B l d B ππμπ?==? 202R Ir B πμ= )(处R r < 22R Ir H π= 总之，对一般情况 ???=?s L s d l d B ????0δμ （δ?电流密度，取值按右手螺旋法则） 5、解题步骤： （1）由电流分布的对称性，分析磁场分布的对称性。 （2）选取合适闭合路径L 。 （3）再应用安培环路定律确定磁感应强度的数值和方向。 6、例题 例1、一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱（半径为a ）和一同轴的导体圆管（内、外半径分别是b 、c ）构成，使用时，电流I 从一导体流去，从另一导体流回。设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：（1）导体圆柱内（rc)以及（4）电缆线（r>c ）各点处的磁场强度的大小。（设铜导线 0μμ≈） 解：（1） a r < ∑?=?I l d B L 01??μ 22 02a r I r B ππμπ=? 202a Ir B πμ=? （2） b r a << ∑?=?I l d B L 02 ??μ I r B 02μπ=? r I B πμ20= ? （3） c r b << ∑?=?I l d B L 03??μ )(222220I b c b r I r B ---=?μπ 2 2 220222 202)1(2b c r c r I b c b r r I B --?=---=πμπμ （4） c r > 0??04 ==?∑?I l d B L μ 0=B 例2、在半径为R 的无限长金属圆柱体内部挖去一半径为r 的无限长圆柱体，两柱体的轴线平行，相距为d ，今有电流沿空心柱体的轴线方向流动，电流I 均匀分布在空心柱体的截面上。（1）分别求圆柱轴线上和空心部分轴线上的磁感应强度的大小；（2）当R=1.0cm,r=0.5mm,d=5.0mm 和I=31A 计算上述两处磁感应强度的值。 解：电流密度 2212() I R R δπ= - 本题等效为均匀通有电流密度δ的圆柱)(1R 以及反向通有电流密度为δ的小圆柱组成。 （1） 10=B δ πμπ2 20202R a B = δ μa R B 222 020= ∴ 20 100B B B += )(222 2212 2 02 2 00R R a IR a R B -= = πμδμ （2） 2 0' 102a a B δπμπ= )(22 212 200' 10R R Ia a B -= = πμδμ 0'20=B )(2212 20' 20'10'0R R Ia B B B -=+=πμ 例3、电流I 均匀地流过半径为R 的圆形长直导线，试计算单位长度导线内的磁场通过图中所示剖面的磁通量． 解：由分析可得单位长度导线内的磁通量 4πd 2π00 20I μr R Ir μΦR ==? 8-5 介质中的磁场 一、介质对磁场的影响 磁场中的介质收到磁化后形成一个附加磁场，附加磁场将对原磁场产生影响。 B B B o '+=ρρρ 磁介质可分为四大类 ：B B B o '+=ρρρ0B B r =μr r μμμ0= （1）、顺磁质0B B > （2）、抗磁质0 B B < （3）、铁磁质 B B >> 二、顺磁质与抗磁质的磁化 1、顺磁质及其磁化： 分子的固有磁矩不为零，无外磁场作用时，由于分子的热运动，分子磁矩取向各不相同,整个介质不显磁性。有外磁场时，分子磁矩要受到一个力矩的作用，使分子磁矩转向外磁场的方向。分子磁矩产生的磁场方向和外磁场方向一致，顺磁质磁化结果，使介质内部磁场增强。 2、抗磁质及其磁化 分子的固有磁矩为零，在外磁场中，抗磁质分子会产生附加磁矩，电子的附加磁矩总是削弱外磁场的作用。 3、磁场强度 B H μ=v v 三、磁介质中的安培环路定理 ?∑+=?L L s I I l d B ) (0μ? ? 定义磁场强度： μμμ=r 0在稳恒磁场中，磁场强度矢量沿任一闭合路径的线积分（即环流）等于包围 在环路内各传导电流电流的代数和，∑?=?L L I l d H 0 ? ?而与磁化电流无关。 四、铁磁质 1、磁化曲线 装置：环形螺绕环; 铁磁质Fe,Co,Ni 及稀钍族元素的化合物，能被强烈地磁化 原理： 励磁电流 I; 用安培定理得H 实验测量B ,如用感应电动势测量或用小线圈在缝口处测量； 2、磁滞回线 磁滞回线--不可逆过程 B 的变化落后于H ，从而具有剩磁，即磁滞效应。每个H 对应不同的B 与磁化的历史有关。 在交变电流的励磁下反复磁化使其温度升高的磁滞损耗与磁滞回线所包围的面积成正比。 铁磁体于铁电体类似；在交变场的作用下，它的形状会随之变化，称为磁致伸缩（10-5数量级）它可用做换能器，在超声及检测技术中大有作为。 3、磁畴 根据现代理论，铁磁质相邻原子的电子之间存在很强的“交换耦合作用”，使得在无外磁场作用时，电子自旋磁矩能在小区域内自发地平行排列，形成自发磁化达到饱和状态的微小区域。这些区域称为“磁畴”。用磁畴理论可以解释铁磁质的磁化过程、磁滞现象、磁滞损耗以及居里点。 临界温度(铁磁质的居里点) 每种磁介质当温度升高到一定程度时，由高磁导率、磁滞、磁致伸缩等一系列特殊状态全部消失，而变为顺磁性。不同铁磁质具有不同的转变温度如：铁为1040K，钴为1390K，镍为630K 4、铁磁质的特性 （1）磁导率μ不是一个常量，它的值不仅决定于原线圈中的电流，还决定于铁磁质样品磁化的历史。B和H不是线性关系。 （2）有很大的磁导率，放入线圈中时可以使磁场增强24 10 ~ 10倍。 （3）剩磁、磁饱和及磁滞现象。 （4）温度超过居里点时，铁磁质转变为顺磁质。 5、铁磁质的分类及其应用 （1）软磁材料 软磁材料作变压器的。还用于继电器、电机、以及各种高频电磁元件的磁芯、磁棒；纯铁，硅钢坡莫合金(Fe，Ni)，铁氧体等。mr大，易磁化、易退磁（起始磁化率大）。饱和磁感应强度大，矫顽力(Hc)小，磁滞回线的面积窄而长，损耗小（HdB面积小）。 （2）硬磁材料——作永久磁铁 钨钢，碳钢，铝镍钴合金矫顽力(Hc)大（>102A/m），剩磁Br大；磁滞回线的面积大，损耗大。还用于磁电式电表中的永磁铁；耳机中的永久磁铁，永磁扬声器。 （3）矩磁材料——作存储元件 锰镁铁氧体，锂锰铁氧体，Br=BS，Hc不大，磁滞回线是矩形；用于记忆元件，当+脉冲产生H>HC使磁芯呈+B态，则–脉冲产生H 第8章 稳恒磁场 习题及答案 6. 如图所示，AB 、CD 为长直导线，C B 为圆心在O 点的一段圆弧形导线，其半径为R 。若通以电流I ，求O 点的磁感应强度。 解：O 点磁场由AB 、C B 、CD 三部分电流产生，应用磁场叠加原理。 AB 在O 点产生的磁感应强度为 01 B C B 在O 点产生的磁感应强度大小为 R I B 402 R I R I 123400 ，方向垂直纸面向里 CD 在O 点产生的磁感应强度大小为 )cos (cos 4210 03 r I B )180cos 150(cos 60cos 400 R I )2 31(20 R I ，方向垂直纸面向里 故 )6 231(203210 R I B B B B ，方向垂直纸面向里 7. 如图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A ，B 两点，并在很远处与电源相连。已知圆环的粗细均匀，求环中心O 的磁感应强度。 解：圆心O 点磁场由直电流 A 和 B 及两段圆弧上电流1I 与2I 所产生，但 A 和 B 在O 点 产生的磁场为零。且 21221R R I I 电阻电阻 1I 产生的磁感应强度大小为 ）（ 241 01R I B ，方向垂直纸面向外 2I 产生的磁感应强度大小为 R I B 4202 ，方向垂直纸面向里 所以， 1) 2(21 21 I I B B 环中心O 的磁感应强度为 0210 B B B 8. 如图所示，一无限长载流平板宽度为a ，沿长度方向通过均匀电流I ，求与平板共面且距平板一边为b 的任意点P 的磁感应强度。 解：将载流平板看成许多无限长的载流直导线，应用叠加原理求解。 以P 点为坐标原点，垂直载流平板向左为x 轴正方向建立坐标系。在载流平板上取dx a I dI ，dI 在P 点产生的磁感应强度大小为 x dI dB 20 dx ax I 20 ，方向垂直纸面向里 P 点的磁感应强度大小为 第四章 恒定磁场 (注意：以下各题中凡是未标明磁媒质的空间，按真空考虑） 4-1 如题4-1图所示，两条通以电流I 的半 无穷长直导线垂直交于O 点。在两导 线所在平面，以O 点为圆心作半径为R 的圆。求圆周上A 、B 、C 、D 、E 、F 各点的磁感应强度。 解 参考教材71页的例4-1，可知，图4-2所示通有电流I 的直导线在P 点产生的磁感应强度为 ()αθθπμe B 120cos cos 4--=r I 因此，可得（设参考正方向为指出纸面） R I R R I B A πμπμ422 135cos 180cos 220cos 135cos 400= ???? ? ? ??----= ()R I R I B B πμπμ410cos 90cos 400=--= 用类似的方法可得 R I B C πμ40=， I R B C 021 2μπ-=，R I B D πμ40=，R I B E πμ20=，I R B F 021 2μπ+- = 4-2 xy 平面上有一正n 边形导线回路。回路的中心在原点，n 边形顶点到原点的距离为R 。导线中电流为I 。 1）求此载流回路在原点产生的磁感应强度； 2）证明当n 趋近于无穷大时，所得磁感应强度与半径为R 的圆形载流导线回路产生的磁感应强度相同； 3）计算n 等于3时原点的磁感应强度 。 解 如图4-3中所示为正n 边形导线回路的一个边长，则所对应的圆心角为n π 2， 1）n 条边在圆心产生的磁感应强度为 απe B ?? ? ??=n R tan 20 2）当n ∞→时，圆心处的磁感应强度为 ααμππμe e B R I n R I n n 2tan 2lim 00=??? ??=∞→ 3）当n 等于3时圆心处的磁感应强度为 ααπμππμe e B R I R I 2333tan 2300=?? ? ??= 4-3 设矢量磁位的参考点为无穷远处，计算半径为R 的圆形 导线回路通以电流I 时，在其轴线上产生的矢量磁位。 解 如图4-4建立坐标系，可得轴线上z 处的矢量磁位为 0d 4220=+=?l R z I l A πμ 4-4 设矢量磁位的参考点在无穷远处，计算一段长为2米的直线电流I 在其中垂 线上距线电流1米处的矢量磁位。 解 据76页例4-4，可得 () () 12210cos 1sin cos 1sin ln 4θθθθπμ--=I z e A ， 其中， 451=θ， 1352=θ，则 1212ln 42212222122ln 400-+=???? ??+???? ??+=πμπμI I z z e e A 4-5 在空间，下列矢量函数哪些可能是磁感应强度？哪些不是？回答并说明理 由。 1） Ar r e （球坐标系） 2） A x y y x ()e e + 3） )(y x y x A e e - 4） Ar e α（球坐标系） 5） Ar e α（圆柱坐标系） 解 1） 03)(13 2≠== ??A A r r r ??A 2） 0 ==++??z A y A x A z y x ??????A 3） 01-1 ===++ ??z A y A x A z y x ??????A 由于0=??B ，因此以上表达式中，1）不是磁感应强度表达式，而2）~5） 可能是磁感应强度表达式。 4-6 相距为d 的平行无限大平面电流，两平面分别在z d =-/2和z d =/2平行于 xy 平面。面电流密度分别为K x e 和K y e ，求由两无限大平面分割出的三个空 第五章 恒定磁场与磁介质 一、 选择题 1、 关于稳恒磁场的磁场强度H 的下列几种说法中哪个是正确的（） A 、H 仅与传导电流有关。 B 、若闭合曲线内没有包围传导电流，则曲线上各点的H 为零 C 、若闭合曲线上各点的H 均为零，则该曲线所包围传导电流的代数和为零 D 、以闭合曲线L 为边缘的任意曲面的H 通量均相等 答案：C 2、磁介质有三种，用相对磁导率r μ表征它们各自的特性时（） A 、顺磁质r μ>0，抗磁质r μ<0，铁磁质r μ》1 B 、顺磁质r μ>1，抗磁质r μ=1，铁磁质r μ》1 C 、顺磁质r μ>1，抗磁质r μ<1，铁磁质r μ》1 D 、顺磁质r μ>0，抗磁质r μ<0，铁磁质r μ>1 答案：C 3、 用细导线均匀密绕成的长为l ，半径为a(l 》a)，总匝数为N 的螺线管通以稳恒电流I ，当管内充满磁导率为r μ的 均匀磁介质后，管中任意一点（） A 、磁感应强度大小为B=r μμ0NI B 、磁感应强度大小为B=r μNI /l C 、磁场强度大小为H=0μNI/l D 、磁场强度大小为H=NI/l 答案：D 4、 顺磁物质的磁导率（） A 、比真空的磁导率略小 B 、比真空的磁导率略大 C 、远小于真空的磁导率 D 、远大于真空中的磁导率 答案：B 5、 通电直长螺线管内的一半空间充满磁介r u ，在螺线管中，介质中与空气中相等的物理量是（） A 、 B 1=B 2 B 、H 1=H 2 C 、M 1=M 2 D 、21 ψψ= 答案：B 6、 图中所示的三条线分别表示三种不同磁介质的B-H 关系，表示顺磁质的是（） A 、第一条 B 、第二条 C 、第三条 D 、无法判断 答案：B 7、 磁铁能吸引铁钉之类的小物体是由于（） A 、小物体是铁磁性的，被磁铁磁化，受到吸引力 B 、小物体是顺磁性的，被磁铁磁化，受到吸引力 C 、小物体是抗磁性的，被磁铁磁化，受到吸引力 D 、磁铁和小物体都是顺磁性物质，相互吸引 答案：A 8、如图所示，一永磁环，环开一很窄的空隙，环内磁化强度矢量为M ，则空隙中P 点处的H 的大小为（） A 、0μM B 、M C 、r μμ0M D 、0 答案：B 9、如图所示，一根沿轴向均匀磁化的细长永磁棒，磁化强度为M ，图中所标各点的磁感应强度是（） A 、0,3021 ===B M B B μ B 、M B B M B 032012 1 ,μμ= == 第6章 恒定磁场 1． 空间某点的磁感应强度B 的方向，一般可以用下列几种办法来判断，其中哪个是错误的？ （ C ） （A ）小磁针北（N ）极在该点的指向； （B ）运动正电荷在该点所受最大的力与其速度的矢积的方向； （C ）电流元在该点不受力的方向； （D ）载流线圈稳定平衡时，磁矩在该点的指向。 2． 下列关于磁感应线的描述，哪个是正确的? （ D ） （A ）条形磁铁的磁感应线是从N 极到S 极的； （B ）条形磁铁的磁感应线是从S 极到N 极的； （C ）磁感应线是从N 极出发终止于S 极的曲线； （D ）磁感应线是无头无尾的闭合曲线。 3． 磁场的高斯定理 0S d B 说明了下面的哪些叙述是正确的？ （ A ） a 穿入闭合曲面的磁感应线条数必然等于穿出的磁感应线条数； b 穿入闭合曲面的磁感应线条数不等于穿出的磁感应线条数； c 一根磁感应线可以终止在闭合曲面内； d 一根磁感应线可以完全处于闭合曲面内。 （A ）ad ； （B ）ac ； （C ）cd ； （D ）ab 。 4． 如图所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ，当曲面S 向长直导线靠近时，穿过曲面S 的磁通量 和面上各点的磁感应强度B 将如何变化？ （ D ） （A ） 增大，B 也增大； （B ） 不变，B 也不变； （C ） 增大，B 不变； （D ） 不变，B 增大。 5． 两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置，一个处于竖直位置，两个线圈的圆心重合，则在圆心o 处的磁感应强度大小为多少? （ C ） （A ）0； （B ）R I 2/0 ； （C ）R I 2/20 ； （D ）R I /0 。 6、有一无限长直流导线在空间产生磁场，在此磁场中作一个以截流导线为轴线的同轴的圆柱形闭合高斯面，则通过此闭合面的磁感应通量（ A ） A 、等于零 B 、不一定等于零 C 、为μ0I D 、为 i n i q 1 1 7、一带电粒子垂直射入磁场B 后，作周期为T 的匀速率圆周运动，若要使运动周期变为T/2，磁感应强度应变为（B ） A 、 B /2 B 、2B C 、B D 、–B 8 竖直向下的匀强磁场中，用细线悬挂一条水平导线。若匀强磁场磁感应强度大小为B ，导线质量为m ， I 第九章 稳恒磁场 9-1 如图所示，无限长载流导线附近，球面Ｓ向导线靠近，穿 过Ｓ的磁通量Φ将不变，面上各点磁感应强度的大小将增大。(均填“增大”或“减小”或“不变”) 9-2 如图，载有电流I 的无限长直导线的一侧有一等腰直角三角形的回路ＭＮＯ，回路和长直导线共面，回路的ＭＮ边与导线平行，相距为a ，而且ＭＮ和ＭＯ的长度也等于a ，求通过此回路的磁通量。 解：取如图所示的面积元（阴影部分），通过此面积元的磁通 量为 dr r a r I S d B d )2(20-=?=Φπμ 所以，通过三角形面积的磁通量为 )12ln 2(2)2(2020-=-=Φ=Φ?? π μπμIa dr r a r I d a a 9-3 图示为一张某粒子在均匀磁场B 中运动轨迹的照片，中间阴影区为铅板，粒子通过铅板后速度变小，从图中可以看出左半部轨迹较右半部弯曲得厉害些，则该粒子（Ｂ） （Ａ）不带电。（）带正电。（Ｃ）带负电。（Ｄ）不能判断。 解：从图中可以看出粒子由右向左运动。设粒子带正电，判断后发现其运动轨迹与图形符合，所以带正电。 9-4 如图，质量m 、电量e -的电子以速度v 水平射入均匀磁场B 中，当它在水平方向运动l 距离后，有人计算其横向偏移y 如下（不计重力）： evB f =，加速度m evB a =，时间v l t =，所以 )2/(2 1 22mv eBl at y == 其错误在于电子做匀速圆周运动，不是抛物线运动。正确答案是___。 解：正确解法如下： 设电子作圆周运动的半径为R ，则eB mv R = 。由图可以得出 22l R R y --=-= eB mv 2 2)( l eB mv - 9-5 图为某载流体（通电导体或半导体）的横截面，电流的方向垂直于纸面向。若在 小地区控制测量 一、名词解释： 平面控制测量，高程控制测量、控制点、图根点、导线、导线点、角度闭合差、仪器高、标高、图根控制网、首级控制网、坐标正算、坐标反算、全长相对闭合差、尺常数、视距差、对向观测、三角锁、三角网、坐标增量闭合差、前视距、后视距、视距累计差、结点水准网、联接测量 二、填空题 1.控制网一般分为（1）和（2）两大类，（1）类解决控制点的坐标，（2）类解决控制点的高程。 2.导线按布设形式可以分为闭合导线、和。 3.控制网网形主要有三角锁、和。 4._________时，高程控制测量采用水准网，时，高程控制测量采用三角高程网。 5.三角高程测量一般都采用观测，其目的是消减的影响。 6.三、四等水准测量一般使用的仪器是型或型水准仪。 7.三、四水准测量内，双面尺法观测的结果中，红、黑面后视读数总和减去红、黑面前视读数总和，应等于的。 8.一直线的坐标方位角为78°，另一直线的象限角为北偏西15°，则两直线之间最小水平角为最大水平角为。 9.平面控制测量的方法有测量和测量。 10.闭合导线的纵横坐标增量之和理论上应为______, 但由于有误差存在, 实际不为______。 11.一对双面水准尺的红、黑面的起点差应为_______ 、__________ 。 12.三、四等水准测量，采用双面水准尺时, 每站有___个前、后视读数，______个中丝读数。 地面上有A、 B 、C 三点, 已知AB 边的坐标方位角为35 o 23 ′，又测得左夹角为89 o 34 ′，则CB 边的坐标方位角为________，反坐标方位角为________。 三、选择题 1.国家控制网是按( ) 建立的，它的低级点受高级点逐级控制。 一至四等 B. 一至四级C. 一至二等D. 一至二级 2.导线点属于( ) 平面控制点 B. 高程控制点C. 坐标控制点D. 水准控制点 3.下列属于平面控制点的是( ) 水准点 B. 三角高程点C. 三角点D. 以上答案都不对 4.的布置形式有() A.一级导线、二级导线﹑图根导线 B.单向导线﹑往返导线﹑多边形导线 C.闭合导线﹑附合导线﹑支导线 D.经纬仪导线、电磁波导线、视距导线 5.导线测量的外业工作是() A.选点﹑测角﹑量边 B.埋石﹑造标﹑绘草图 C.距离丈量﹑水准测量﹑角度 D.测水平角、测竖直角、测斜距 6.附合导线的转折角，一般用( ) 法进行观测。 第八章 真空中的稳恒磁场 一、 基本要求 1．掌握磁感应强度的概念。理解毕奥－萨伐尔定律。能计算一些简单问题中的磁感应强度。 2．理解稳恒磁场的规律：磁场的高斯定理和安培环路定理。理解用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法。 3．理解安培定律和洛仑兹力公式。了解磁矩的概念。能计算简单几何形状载流导体和载流平面线圈在均匀磁场中或在无限长直载流导线产生的非均匀磁场中所受的力和力矩。能分析点电荷在均匀电磁场（包括纯电场，纯磁场）中的受力和运动。 二、 基本内容 1. 基本概念：电流产生磁场，描述磁场的基本物理量——磁感应强度矢量，磁场线，磁通量，磁场对电流的作用。 2. 毕奥－萨伐尔定律 电流元d l I 在空间某点激发的磁感应强度为： 02 4d d r μπ?=l r B I 其中，r 表示从电流元到该点的距离，0r 表示从电流元到该点的单位矢量。 从该定律可以直接得到在直电流的延长线和反向延长线上各点的磁感应强度为零。它是求解磁场的基本规律，它从电流元的磁场出发，可得到计算线电流产生磁场的方法 2 ()() 4L L d d r μ π ?==?? l r B B I 应用上式在教材中导出了一些电流产生磁场的计算公式，包括：一段直电流在空间任意一点的磁场，无限长直载流导线在空间任意一点的磁场，圆电流在轴线上各点的磁场，一段载流圆弧在圆心处的磁场，圆电流在圆心处的磁场。 这些计算公式在求解问题时可以直接使用。 3. 磁场的叠加原理 121 n n i i ==++ +=∑B B B B B 该原理表明多个电流在空间某点产生的磁场，等于各电流单独存在时在该点处产生的磁场的矢量和。将磁场的计算公式和叠加原理结合使用，可以求解多种电流在空间某点产生的磁场。在计算中首先应该将复杂的电流分成计算公式已知的电流段，然后分段计算，最后求出矢量和。对于电流连续分布的载流体，可以选择合适的电流元dI ，用已知公式求出电流元在所求点的磁场d B ，然后根据d B 的分布特点，建立合适的坐标系，求出各个磁场分量，最后求其矢量和。 4. 磁场中的高斯定理 () 0S d ?=?? B S 该定理表明：磁场是无源场，磁场线是无头无尾的闭合曲线。应用该定理求解均匀磁场中非闭合曲面的通量时，可以作平面，使平面和曲面形成闭合曲面，由于闭合曲面的通量为零，即曲面的通量等于平面通量的负值，从而达到以平代曲的目的。 5. 安培环路定理 01 N i L i d I μ=?=∑? B l 该定理表明：磁场是有旋场，磁场是非保守力场。应用该定理时，首先应该注意穿过以L 为边界的任意曲面的电流的正负；其次应该知道环流为零，环路上各点的磁感应强度不一定为零。在应用定理求解具有轴对称电流分布的磁场和均匀磁场的磁感应强度时，要根据电流的对称性和磁场的性质选择合适的环路L 。 6. 安培定律 电流元在外磁场中受安培力为： d Id =?f l B 其中，d f 的大小?sin IdlB df =，d f 方向由Id ?l B 确定。 该定律是计算磁场对电流的作用的基本定律。一段载流导线在磁场中受到的安培力为： () () L L d Id ==???f f l B 应用上式时，应该注意电流上各点的磁场是否均匀及磁力的分布特点。如果电流 第五章 稳恒磁场 设0x <的半空间充满磁导率为μ的均匀介质，0x >的半空间为真空，今有线电流沿z 轴方向流动，求磁感应强度和磁化电流分布。 解：如图所示 令 110A I H e r = 220A I H e r = 由稳恒磁场的边界条件知， 12t t H H = 12n n B B = 又 B μ= 且 n H H = 所以 1122H H μμ= (1) 再根据安培环路定律 H dl I ?=?? 得 12I H H r π+= (2) 联立(1),(2)两式便解得 2112 0I I H r r μμμμπμμπ=? =?++ 01212 0I I H r r μμμμπμμπ= ? =?++ 故， 01110I B H e r θμμμμμπ== ?+ 02220I B H e r θμμμμμπ== ?+ 212()M a n M M n M =?-=? 2 20 ( )B n H μ=?- 00()0I n e r θμμμμπ-= ???=+ 222()M M M J M H H χχ=??=??=?? 00 00(0,0,)z J Ie z μμμμδμμμμ--=?=?++ 半径为a 的无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，试解矢势 A 的微分方程，设导体的磁导率为0μ，导体外的磁导率为μ。 解： 由电流分布的对称性可知，导体内矢势1A 和导体外矢势2A 均只有z e 分量，而与φ，z 无关。由2A ?的柱坐标系中的表达式可知，只有一个分量，即 210A J μ?=- 220A ?= 此即 1 01()A r J r r r μ??=-?? 2 1()0A r r r r ??=?? 通解为 21121 ln 4 A Jr b r b μ=-++ 212ln A c r c =+ 稳恒磁场一章习题解答 习题9—1 无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为a 、b ，电流在导体截面 上均匀分布，则空间各处的B 的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r 的关系定性地如图所示。正确的图是：[ ] 解：根据安培环路定理，容易求得无限长载流空心圆柱导体的内外的磁感应强度分布为 ????? ????--=r I a b r a r I B πμπμ2)(2)(0 02 2220 )()()(b r b r a a r >≤≤< 所以，应该选择答案(B)。 习题9—2 如图，一个电量为+q 、质量 为m 的质点，以速度v 沿X 轴射入磁感应强度为B 的均匀磁场中，磁场方向垂直纸面向里，其范围从x =0延伸到无限远，如果质点在x =0和y =0处进入磁场， 则它将以速度v -从磁场中某一点出来，这点坐标是x =0和［ ］。 (A) qB m y v + =。 (B) qB m y v 2+=。 (C) qB m y v 2- =。 (D) qB m y v -=。 解：依右手螺旋法则，带电质点进入磁场后将在x >0和y >0区间以匀速v 经一个半圆周而从磁场出来，其圆周运动的半径为 qB m R v = r B O a b (A) (B) B a b r O B r O a b (C) B O r a b (D) 习题9―1图 习题9―2图 因此，它从磁场出来点的坐标为x =0和qB m y v 2+=，故应选择答案(B)。 习题9—3 通有电流I 的无限长直导线弯成如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感应强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为［ ］。 (A) O Q P B B B >>。 (B) O P Q B B B >>。 (C) P O Q B B B >>。 (D) P Q O B B B >> 说明：本题得通过计算才能选出正确答案。对P 点，其磁感应强度的大小 a I B P πμ20= 对Q 点，其磁感应强度的大小 [][])2 2 1(2180c o s 45cos 4135cos 0cos 4000+=-+-= a I a I a I B Q πμπμπμ 对O 点，其磁感应强度的大小 )2 1(2424000π πμπμμ+=? += a I a I a I B O 显然有P Q O B B B >>，所以选择答案(D)。 ［注：对一段直电流的磁感应强度公式)cos (cos 4210θθπμ-= a I B 应当熟练掌握。］ 习题9—4 如图所示，一固定的载流大平板， 在其附近有一载流小线框能自由转动或平 动，线框平面与大平板垂直，大平板的电流 与线框中的电流方向如图所示，则通电线框 的运动情况从大平板向外看是：［ ］ (A) 顺时针转动 (B) 靠近大平板AB (C) 逆时针转动 (D) 离开大平板向外运动 解：根据大平板的电流方向可以判断其右侧磁感应强度的方向平行于大平板、且垂直于I 1；小线框的磁矩方向向上，如图所示。由公式 习题9―3图 题解9―4图 §3 磁场的“高斯定理”与安培环路定理 引言： 磁场、电场均是矢量场，但磁场与电场性质不同。在电学中有场方程： ?∑=?S s q s d D 内 0??， ?=?0l d E ? ? 而在磁学中相应的该两方面（通量、环流）又该如何？即 ?=?s s d B ???， ?=??L l d B ? ? 它们均可由毕奥－萨伐尔定律，结合叠加原理导出。 一、磁场的“高斯定理” 1、磁通量 引入磁力线形象化地描述磁场，疏密和切向所代表的含义类同电力线。如图5-17，规定：通过一曲面S 的磁通量为 ? ?=?=ΦS S m dS B S d B θcos ? ? 在SI 制中各物理量的单位为 m Φ：韦伯（Wb ），1韦伯=1特21米? B ρ ： 特斯拉（T ），2111米 韦伯特=，具有磁通密度概念。 2、B ρ 线的闭合性 即磁场的高斯定理：?=?S S d B 0? ?。表明：闭合曲面S 的磁通量为零，自然界 中不存在自由磁荷（磁单极）。因稳恒电流本身是闭合的（? =?S S d j 0? ?） ，故闭合电流与闭合B ? 线相互套链。高斯定理也表明，磁力线是无头无尾的闭合线，磁场是无源场。 图5-17 图5-18 θ B ? d n ds s ? ?= Id l ?θ r d B ? 闭面S 3、高斯定理的证明思路 高斯定理可从毕奥－萨伐尔定律严格证明，这里仅提供思路。如图5-18。 (1) 首先考虑单个电流元l Id ? 之场中 以l Id ?为轴线取一磁力线元管，其上磁场2 04sin r Idl dB πθμ=处处相等；再取任意闭曲面S ，若S 与之交链，则一进一出，0=Φm d ；若S 与之不交链，仍0=Φm d ； 再展扩至整体S 面上，得0=Φm 。 (2) 然后再考虑任意回路之总场是各电流元之场的叠加，因l Id ? 是任一电流 元，故对整体考虑，其结论不变。 二、安培环路定理 1、研究：?=?L l d B ?? ? 2、特点：取积分回路L （称之为安培环路）沿B ?线，因B ?线闭合，且B ? 与l d ?的夹角为零，而有?≠?L l d B 0? ?。 3、内容：∑?=?) (0内L L I l d B μ? ?，其中右侧为穿过闭路L 的电流之代数和，按右 手定则规定，参见图5-19。 图5-19 4、定理证明：该定理可由毕奥－萨伐尔定律证明，下面先看l d B ρ ρ?，再计算??L l d B ρ ρ，最后再用叠加原理。 如图5-20，L －安培环路，L '－载流回路，作一负l d ρ 位移后成L ''。 I I L （正） L （负） 右手定则 → → 第六章 稳恒磁场 本章提要 1. 磁感应强度 描述磁场力的属性的物理量是磁感应强度，常用B 来表示。其定义式为 qv F B max = 在SI 制中，B 的单位为特斯拉（T ）。B 另一个单位为高斯(G)，两者的换算关系为 1T=104G 2. 毕奥—萨伐尔定律 （1） 毕奥—萨伐尔定律 ? 毕奥—萨伐尔定律的微分形式 电流元I d l 在真空中任一点P 所产生的磁感应强度d B 的大小与电流元的大小成正比，与电流元I d l 和r 的夹角的正弦成正比，与电流元到P 点的距离的平方 成反比。d B 的方向垂直于I d l 和r 所组成的平面，指向与矢积I d l ×0r 的方向相同，即 00 2d d 4I r l r B m p ′= 其中， 7-20410N A m p -=醋，称真空磁导率。 ? 毕奥—萨伐尔定律的积分形式 00 2 d d 4l l I r μπ?==?? l r B B （2）几种典型的磁场分布 ? 无限长直电流的磁场分布 02I B r m p = ? 载流长直螺线管内的磁场分布 0B nI m = ? 运动电荷的磁场分布 00 2 4q r v r B m p ′= 3. 磁高斯定理 ? 磁通量 穿过磁场中某一面积S 的磁通量定义为 d B S m s Φ= 蝌 ? 磁高斯定理 通过空间中任意封闭曲面的磁通量必为零，即 d 0S B S =蝌 g ò 4. 安培环路定理 在真空中的稳恒磁场内，磁感应强度B 的环流等于穿过积分回路的所有传导电流强度代数和的0μ倍，即 0in d L I B r m ??ò ? 5. 安培力与洛仑兹力 （1）安培力 载流导线在磁场中受到的宏观力称安培力。安培力服从安培定律。 ? 安培定律的微分形式 放在磁场中任一点处的电流元d I l 所受到的磁场作用力d F 的大小与电流元d I l 的大小和该点的磁感应强度B 的大小成正比，还与电流元d I l 的方向和B 的方向之间的夹角θ的正弦成正比，d F 的方向为d I ?l B 所确定的方向。即 d d I =?F l B ? 安培定律的积分形式 对于任意载流导线，若将其视为由无数个电流元组成的，则其在磁场中所受的作用力为 d F l B l I =?? （2）洛仑兹力 一个定向运动的电荷在磁场中所受的力即洛仑兹力，其满足的基本规律为 q =?f υB 洛仑兹力的几个重要应用： ? 质谱仪 ? 霍耳效应 6. 磁介质 （1） 磁介质及分类 能在磁场作用下发生变化，并且能够反过来影响磁场的介质称磁介质。一般用磁介质中的磁感应强度B 的大小与真空中的磁感应强度0B 的大小之比来描述磁介质被磁化后对原来外磁场的影响，即 第八章 稳恒磁场 磁介质 教学基本要求 1.理解磁感应强度的概念，掌握用毕--萨定律计算磁感应强度的方法． 2.掌握安培环路定理以及用来求解具有对称性磁场的方法． 3.能够用安培定律计算载流导线和回路所受的磁力和磁力矩． 4.掌握洛伦兹力公式，并由此计算带电粒子在均匀电场和均匀磁场中的受力和运动的简单情况． 5.了解顺磁质、抗磁质和铁磁质的特点及磁化机理． 6.掌握磁介质时的安培环路定理，并利用其求解磁介质时具有一定对称性的磁场分布． 教学内容提要 1.基本概念 （1）磁感应强度B max F B qv ⊥ = 其方向为小磁针N 极在此处所指方向． （2）载流线圈的磁矩 m IS =P n 其中n 为载流线圈正法线方向的单位矢量． （3）磁通量 d d Φ=Φ=??B S 2.磁场的产生 (1)运动电荷的磁场 034q r μπ?= ?v r B (2)毕奥——萨伐尔定律 0Id d μπ?= l r B (3)磁感应强度叠加原理 03 4L L Id d r μπ?==?? l r B B 3.稳恒磁场的基本性质 （1）高斯定理 0?=? s B dS （2）安培环路定理 0 i l d I μ?=∑?B l 4.几种典型磁场 （1）无限长载流直导线的磁场 02I B r = μπ （2）圆电流中心的磁场 02I B R μ= （3）长直载流螺线管内的磁场 0B nI μ= （4）载流密绕螺绕环内的磁场 0N B I L μ= （5）圆电流轴线上的磁场 2 02 232 2() IR B R r μ= + 5.磁场力 （1）洛伦兹力 q ?f =υB （2） 安培力公式 d Id ?F =l B L d Id == ??? F F l B （3）载流平面线圈在均匀磁场中受到的合磁力 0=F 合 受到的磁力矩 =?m M P B 6.磁介质的分类 （1）顺磁质. r μ略微大于1的磁介质，磁介质磁化后产生的附加磁场与外磁场方向相同． （2）抗磁质．r μ略微小于1的磁介质，磁介质磁化后产生的附加磁场与外磁场方向相反． （3）铁介质．1r μ>>的磁介质，磁介质磁化后能产生很强的与外磁场同方向的附加磁场． 7.有磁介质时高斯定理和安培环路定理 （1）高斯定理 s d ?? B S =0 第五章 稳恒磁场 引言： 电流通过导体有热效应，通过电解液有化学效应。本章讨论电流的磁效应：电流在其周围空间激发磁场，磁场对电流有磁力作用。 本章重点介绍真空中静磁学知识，建立稳恒磁场之基本方程式。研究方法仍为场论方法，注意与静电场比较和区别。 §1 磁的基本现象和规律 一、磁作用 电与磁常相伴随、相互转化，相互作用综述为图5-1所示几种情况。 图5-1 图5-2 1、磁铁间的相互作用 结合实物演示说明： (1)同种磁极相互排斥、异种磁极相互吸引，参见图5-2； (2)将一磁棒分为两段，N 、S 极并不能相互分离，不存在磁单极； (3)地球本身是一大磁体，其磁性N 极在地理南极，磁性S 极在地理北极。 自由悬挂的条形磁棒或长磁针始终指南北，即是上规律的体现——指南针及应用。 2、电流对磁铁的作用 图5-3 N S N S S N N S N S 电流 磁铁 磁铁 电流 ③ ② ② ③ ① ④ I S N N I N S S I N N S S S 通电导线周围产生磁场，通电螺线管相当于条形磁铁，参见图5-3。 3、磁铁对电流的作用 电流是运动电荷形成，表明磁极对运动电荷也有磁力作用，参见图5-4。 图5-4 右手定则判受力 4、电流对电流的作用 参见图5-5说明。 同向电流：吸引 反向电流：排斥 图5-5 以上均称为磁相互作用，是基本的磁现象。 二、磁场 1、物质磁性的基本来源 螺线管通电后的磁性与磁棒的相似性，启发人们：磁铁与电流是否在本源上一致？ （19 世纪，法国）安培分子电流假说：组成磁铁的最小单元——磁分子就是环形电流。若这些分子电流定向排列，宏观上即显示N 、S 极。 ●磁分子的“分子电流”等效成图5-6 ●分子环流形成的微观解释：原子、分子内电子的绕核旋转和自转。 综上可见：一切磁效应均来源于电流；一切磁作用都是电流与电流之间的相互作用，或说成运动电荷之间的相互作用。 I N S F N S F 第 8 章 稳恒磁场 习题及答案 6. 如图所示， AB 、 CD 为长直导线， BC 为圆心在 O 点的一段圆弧形导线，其半径为 R 。 若通以电流 I ，求 O 点的磁感应强度。 解： O 点磁场由 AB 、 BC 、 CD 三部分电流产生，应用磁场叠加原理。 AB 在 O 点产生的磁感应强度为 B 1 0 BC 在 O 点产生的磁感应强度大小为 B 2 0 I 0 I 3 0 I ，方向垂直纸面向里 4 R 4 R 12R CD 在 O 点产生的磁感应强度大小为 B 3 I (cos 1 cos 2 ) 4 r 0 0 I 4 R cos60 0 (cos150cos180 ) 0 I 3 (1 ) ，方向垂直纸面向里 2 R 2 故 B 0 B 1 B 2 B 3 0 I (1 3 ) ，方向垂直纸面向里 2 2 R 6 A ， B 两点，并在很远处与电源相连。已知 7. 如图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的 圆环的粗细均匀，求环中心 O 的磁感应强度。 解：圆心 O 点磁场由直电流 A 和 B 及两段圆弧上电流 I 1 与 I 2 所产生，但 A 和 B 在 O 点 产生的磁场为零。且 I 1 电阻 R 2 I 2 电阻 R 1 2 I 1 产生的磁感应强度大小为 B 1 0 I 1 2） （ 4 R ，方向垂直纸面向外 I 2 产生的磁感应强度大小为 B 2 0 I 2 ，方向垂直纸面向里 4 R 所以， B 1 I 1 (2 ) 1 B 2 I 2 环中心 O 的磁感应强度为 B 0 B 1 B 2 8. 如图所示，一无限长载流平板宽度为 a ，沿长度方向通过均匀电流 I ，求与平板共面且距平 板一边为 b 的任意点 P 的磁感应强度。 解：将载流平板看成许多无限长的载流直导线，应用叠加 原理求解。 以 P 点为坐标原点，垂直载流平板向左为 x 轴正方向建立 坐标系。在载流平板上取 dI I dx ， dI 在 P 点产生的磁感应 a 强度大小为 第四章 恒定磁场 (注意:以下各题中凡就是未标明磁媒质得空间,按真空考虑) 4-1 如题41图所示,两条通以电流得半无 穷长直导线垂直交于O 点。在两导线 所在平面,以O 点为圆心作半径为得 圆。求圆周上A 、B 、C 、D 、E 、F 各 点得磁感应强度。 解 参考教材71页得例41,可知,图42所示 通有电流得直导线在点产生得磁感应强度 为 因此,可得(设参考正方向为指出纸面) R I R R I B A πμπμ422135cos 180cos 220cos 135cos 400=????? ? ??----=οοοο 用类似得方法可得 ,,,, 4-2 平面上有一正边形导线回路。回路得中心在原点,边形顶点到原点得距离为。导线中电流为。 1)求此载流回路在原点产生得磁感应强度; 2)证明当趋近于无穷大时,所得磁感应强度与半径为得圆形载流导线回路产生得磁感应强度相同; 3)计算等于3时原点得磁感应强度 。 解 如图43中所示为正边形导线回路得一个边长,则所对应得圆心角为,各边在圆()()()()()αααααααππμππμθπμθπμθπμθθπμθθπμe e e e e e e B ?? ? ??=??? ??====---=--=n R I n r I r I r I r I r I r I tan 2sin 2cos 2cos 2cos 24cos cos 4cos cos 4001010101101201 1)n 条边在圆心产生得磁感应强度为 2)当n 时,圆心处得磁感应强度为 3)当等于3时圆心处得磁感应强度为 4-3 设矢量磁位得参考点为无穷远处,计算半径为得圆形导线回路通以电流时,在其轴线上产生得矢量磁位。 解 如图44建立坐标系,可得轴线上处得矢量磁位为 4-4 设矢量磁位得参考点在无穷远处,计算一段长为2米得直线电流在其中垂线上距线电流1米处得矢量磁位。 7章练习题 1、在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线 方向单位矢量n 与B 的夹角为α ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) πr 2B ． . (B) 2 πr 2B ． (C) -πr 2B sin α． (D) -πr 2 B cos α． 2、如图所示，电流I 由长直导线1经a 点流入由电阻均匀的导线构 成的正方形线框，由b 点流出，经长直导线2返回电源(导线1、2的延长线均通过O 点)．设载流导线1、2和正方形线框中的电 流在框中心O 点产生的磁感强度分别用 1B 、2B 、3B 表示，则O 点的磁感强度大小 (A) B = 0，因为B 1 = B 2 = B 3 = 0． (B) B = 0，因为虽然B 1≠ 0、B 2≠ 0、B 3≠ 0，但 0321=++B B B ． (C) B ≠ 0，因为虽然021=+B B ，但B 3≠ 0． (D) B ≠ 0，因为虽然B 3= 0，但021≠+B B ． 3、通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为： (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ． (C) B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ． 4、磁场由沿空心长圆筒形导体的均匀分布的电 流产生，圆筒半径为R ，x 坐标轴垂直圆筒轴线，原点在中心轴线上．图(A)～(E)哪一条曲 线表示B －x 的关系？ ［ ］ B x O R (D) B x O R (C) B x O R (E) 1 第6章 稳恒电流的磁场 一 基本要求 1. 掌握磁感应强度B 的概念。 2. 掌握毕奥－萨伐尔定律，并能用该定律计算一些简单问题中的磁感应强度。 3. 掌握用安培环路定律计算磁感应强度的条件及方法，并能熟练应用。 4. 理解磁场高斯定理。 5. 了解运动电荷的磁场。 6. 理解安培定律，能用安培定律计算简单几何形状的载流导体所受到的磁场力。 7. 理解磁矩的概念，能计算平面载流线圈在均匀磁场中所受到的磁力矩，了解磁力矩所作的功。 8. 理解并能运用洛伦兹力公式分析点电荷在均匀磁场（包括纯电场、纯磁场）中的受力和运动的简单情况。 9. 了解霍耳效应。 10. 了解磁化现象及其微观解释。 11. 了解磁介质的高斯定理和安培环路定理，能用安培环路定理处理较简单的介质中的磁场问题。 12. 了解各向同性介质中H 与B 的联系与区别。 13. 了解铁磁质的特性。 二 内容提要 1. 毕奥－萨伐尔定律 电流元Id l 在真空中某一场点产生的磁感应强度d B 的大小与 电流元的大小、电流元到该点的位矢r 与电流元的夹角θ的正弦的乘积成正比，与位矢大小的平方成反比，即 2 04r l I B θ πμsin d d = dB 的方向与r l I ?d 相同，其矢量式为 3 04r r l I B ?= d d πμ 2. 几种载流导体的磁场 利用毕奥－萨伐尔定律可以导出几种载流导体磁场的分布，这些结果均可作公式应用。 （1）有限长直载流导线的磁感应强度的大小 )cos (cos π2104θθμ-= a I B 方向与电流成右手螺旋关系。式中，a 为场点到载流直导线的距离，21θθ、分别为直导线始末两端到场点的连线与电场方向的夹角。 第8章 恒定磁场 一、填空题 8.1、如图所示，平行的无限长直载流导线A 和B ， Y 电流强度均为I ，垂直纸面向外，两根载流导线 之间相距为a ，则 （1）AB 中点（P 点）的磁感应强度P B = ； （2）磁感应强度B 沿图中环路L 的线积分 ??L l d B = 。 8.2、一个绕有500匝导线的平均周长50cm 的细环，载有0.3A 电流时，铁芯的相对磁导率为600。 （1）铁芯中的磁感应强度B 为 ； （2）铁芯中的磁场强度H 为 。（170104--???=A m T πμ） 8.3、将条形磁铁插入与冲击电流计串联的金属环中时，有C q 5100.2-?=的电荷通过电流计。若连接电流计的电路总电阻Ω=25R ，则穿过环的磁通的变化 ?Φ= 。 8.4、如图所示，一长直导线中通有电流I ，有一与长直导线共面、垂直于导线的细金 属棒AB ，以速度v 平行于长直导线 作匀速运动。问 （1） 金属棒A 、B 两端的电势A U 和B U 哪 一个较高 ？ （2）若将电流I 反向，A U 和B U 哪一个较高 ？ （3）若将金属棒与导线平行放置，结果又如何 ？ 8.5、真空中一根无限长直导线中流有电流强度为I 的电流，则距导线垂直距离为a 的某点的磁能密度m w = 。 8.6、反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为 ∑?==?n i i s q s d D 1 dt d L d E m L /Φ-=?? 0=??s s d B ∑?=Φ+=?n i D i L dt d I L d H 1 / 试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式的。将你确定的方程式用代号填在相应结论后的空白处。 （1）变化的磁场一定伴随有电场 ； （2）磁感应线是无头无尾的 ； （3）电荷总伴随有电场 。 8.7、将半径为R 的无限长导线薄壁管（厚度忽略） 沿轴向割去一个宽度为h （h <大学物理第8章稳恒磁场课后习题及答案
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